Transcript Transformasi Laplace - "Darpublic" at ee

Analisis Rangkaian Listrik
Di Kawasan s
Transformasi Laplace
Pengantar
Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih
sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu
karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan
persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis
tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan
mantap.
Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di
kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan
sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun
keadaan peralihan.
Pada tahap awal kita akan berusaha memahami transformasi
Laplace beserta sifat-sifatnya.
Melalui transformasi Laplace ini, berbagai bentuk gelombang
sinyal di kawasan waktu yang dinyatakan sebagai fungsi t,
dapat ditransformasikan ke kawasan s menjadi fungsi s.
Jika sinyal diyatakan sebagai fungsi s, maka pernyataan
elemen rangkaian pun harus disesuaikan dan penyesuaian ini
membawa kita pada konsep impedansi di kawasan s.
Perhitungan rangkaian akan memberikan kepada kita hasil
yang juga merupakan fungsi s. Jika kita perlu mengetahui
hasil perhitungan dalam fungsi t kita dapat mencari
transformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal
dari kawasan s ke kawasan t.
Dalam tahap awal, kita perlu memahami
transformasi Laplace,
dan pembahasan kita akan mencakup:
Transformasi Laplace.
Tabel Transformasi Laplace.
Sifat-Sifat Transformasi Laplace.
Transformasi Balik.
Diagram Pole-Zero.
Transformasi Laplace
Dalam pelajaran Analisis Rangkaian di kawasan fasor, kita melakukan
transformasi fungsi sinus (fungsi t) ke dalam bentuk fasor melalui
relasi Euler.
Dalam pelajaran Analisis di Kawasan s, kita akan melakukan
transformasi pernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui
Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai
suatu integral
F ( s) 

0
f (t )e st dt
Fungsi waktu
s adalah peubah kompleks:
s =  + j
Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya
meninjau sinyal-sinyal kausal

st
Sebelum membahas Taransformasi
F (s)  Laplace
f (t )elebih
dt lanjut, kita akan mencoba
memahami proses apa yang terjadi0 dalam transformasi ini.

Kita lihat bentuk yang ada di dalam tanda integral, yaitu
f (t )e st  f (t )e ( j)t  f (t )e t e  jt
Fungsi waktu
Eksponensial
kompleks
Meredam f(t)
jika  > 0
bentuk
sinusoidal
e  jt  cos t  sin t
Jadi perkalian f(t) dengan faktor eksponensial kompleks
menjadikan f(t) berbentuk sinusoidal teredam.
Sehingga integral dari 0 sampai  mempunyai nilai limit,
dan bukan bernilai tak hingga.
Kita lihat sekarang Transformasi Laplace
F ( s) 

0
f (t )e st dt
Bentuk gelombang sinyal yang kita hadapi dalam rangkaian listrik
tersusun dari tiga bentuk gelombang dasar yaitu:
(1) anak
tangga, (2)yang
eksponensial,
dandalam
(3) sinusoidal
Jadi semua bentuk
gelombang
kita temui
rangkaian listrik, setelah
dikalikan dengan est dan kemudian diintegrasi dari 0 sampai  akan kita
st
(yang
 j)t memiliki
jt limit.t
(1) f (t )  Au(t )
peroleh
F(s)
Ae
 Ae
 Aet e nilai
 Ae (cost  sint )
Aeat e  st  Ae( a  j)t  Ae( a)t e  jt
(2) f (t )  eatu(t )
 Ae( at) (cost  sint )
(3) f (t )  A cost u(t )
( j)t
cos 0te
e j0t e  jt  e  j0t e  jt t

e
2
e j (0 )t  e  j (0 )t t

e
2
sinus teredam
 cos(0  )t e t
Setelah menjadi sinus teredam, diintegrasi dari 0 sampai  dan didapat F(s)
Contoh:
Jika f(t) adalah fungsi tetapan f(t) = Au(t)
F ( s) 

0
Ae
 st
A  st
dt   e
s

0
 A A
 0   
 s s
Dalam contoh fungsi anak tangga ini, walaupun integrasi memiliki
nilai limit, namun teramati bahwa ada nilai s yang memberikan nilai
khusus pada F(s) yaitu s = 0. Pada nilai s ini F(s) menjadi tak
menentu dan nilai s yang membuat F(s) tak menentu ini disebut pole.
s adalah besaran kompleks. Posisi pole di bidang kompleks dalam
contoh ini dapat kita gambarkan sebagai berikut.
f(t)
0
Im
Au(t)
A
F ( s) 
s
X
s 0
Re
t
Posisi pole diberi tanda X
Contoh:
Jika f(t) adalah fungsi exponensial f(t) = Aetu(t)
F ( s) 

0
Ae
-t  st
e
dt 

0
Ae( s )t  
f(t)
Ae-at u(t)
 ( s   )t
Ae
s

0
A
s
Untuk s = , nilai F(s) menjadi
tak tentu.
A
F ( s) 
s
s =  ini adalah pole
t
Im
Penggambaran pada
bidang kompleks:

X
s  
Re
Posisi Pole diberi tanda X
Jika f(t) adalah fungsi cosinus f(t) = Acost u(t)
Contoh:
relasi Euler: cos  (e jt  e jt ) / 2
F ( s) 
f(t)

0
e jt  e  jt  st
A
e dt 
2

0
A ( j s )t
e
dt 
2

0
A (  j s )t
As
e
dt 
2
s 2  2
Acost u(t)
t
F ( s) 
Penggambaran pada
bidang kompleks
Zero diberi tanda O
As
s 2  2
Im
X
O
Untuk s = 0, nilai F(s) menjadi
nol.
Nilai s ini disebut zero
Untuk s2 = 2, atau
s   j
Re
nilai F(s) menjadi tak tentu.
Nilai s ini merupakan pole
Pole diberi tanda X
X
Salah satu sifat Transformasi Laplace yang sangat penting adalah
Sifat Unik
Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi
balik dari F(s) adalah f(t).
Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t)
dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan
menggunakan tabel transformasi Laplace.
Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari
transformasi balik dari F(s).
Tabel berikut ini memuat pasangan fungsi f(t) dan fungsi F(s).
Walaupun hanya memuat beberapa pasangan, namun untuk
keperluan kita, tabel ini sudah dianggap cukup.
Tabel Transformasi Laplace
Pernyataan Sinyal di Kawasan t
f(t)
Pernyataan Sinyal di Kawasan s
L[f(t)] = F(s)
impuls :
(t)
1
anak tangga :
u(t)
eksponensial :
[eat]u(t)
cosinus :
[cos t] u(t)
1
s
1
sa
s
sinus :
[sin t] u(t)
cosinus teredam : [eatcos t] u(t)
sinus teredam :
[eatsin t] u(t)
cosinus tergeser : [cos (t + )] u(t)
s 2  2

s 2  2
sa
s  a 2  2

s  a 2  2
s cos  sin
s 2  2
sinus tergeser :
[sin (t + )] u(t)
ramp :
[ t ] u(t)
ramp teredam :
[ t eat ] u(t)
s sin   cos 
s 2  2
1
s2
1
s  a 2
Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Sifat Unik
Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka
transformasi balik dari F(s) adalah f(t).
Dengan kata lain
Jika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t)
adalah V(s), maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk
gelombang V(s) adalah v(t).
Sifat Linier
Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat
linier.
Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari
transformasi masing-masing fungsi.
Bukti:
Jika f (t )  A1 f1(t )  A2 f 2 (t ) maka transformasi Laplace-nya adalah
F (s) 

0 A1 f1(t )  A2 f 2 (t )e
 A1

 st
dt

0 f1(t )dt  A2 0 f 2 (t )dt
 A1F1 ( s)  A2 F2 ( s)
dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace
dari f1(t) dan f2(t).
Fungsi yang merupakan integrasi suatu fungsi t
t
F (s)
Jika f (t )   f1( x)dx , maka transformasi Laplacenya adalah F ( s ) 
0
s
Bukti:
t
Misalkan f (t )   f1( x)dx
0
maka

 e  st
 t
  st
F ( s)   f1 ( x)dx  e dt  
 0

  s
0


  st
e
 t

 f1 ( x)dx  
f1 (t ) dt
0

s

 0 0


bernilai nol untuk t =  karena est = 0 pada t ,
bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam
tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).
  st

0
0
e
1
F (s)  
f1 (t ) dt 
s
s


F (s)
f1 (t )e  st dt  1
s
Fungsi yang merupakan diferensiasi suatu fungsi
Jika f (t ) 
df1 (t )
dt
maka transformasi Laplacenya adalah
F ( s )  sF1 ( s )  f1 (0)
Bukti:
Misalkan f (t ) 
F ( s) 
df1 (t )
maka
dt
 df (t )  st
1
e dt
0
dt


 f1(t )e st
 

0

0
f1(t )(s)e st dt
bernilai nol untuk t =  karena est = 0 untuk t 
bernilai f(0) untuk t = 0.
df (t )
L  1   s
 dt 

0
f (t )e  st dt  f (0)  sF1 ( s )  f1 (0)
Ini adalah nilai f1(t)
pada t = 0
Translasi di Kawasan t
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka
transformasi Laplace dari f(ta)u(ta) untuk a > 0
adalah easF(s).
Translasi di Kawasan s
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka
transformasi Laplace dari etf(t)
adalah F(s + ).
Pen-skalaan (scaling)
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) ,
maka untuk a > 0 transformasi dari f(at) adalah
1 s
F 
a a
Nilai Awal dan Nilai Akhir
Nilai awal : lim f (t )  lim sF ( s)
t 0 
s 
Nilai akhir: lim f (t )  lim sF ( s)
t 
s 0
Tabel Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Pernyataan f(t)
linier :
A1 f1(t) + A2 f2(t)
t
0 f ( x)dx
integrasi :
df (t )
dt
d 2 f (t )
diferensiasi :
dt 2
d 3 f (t )
dt3
linier : A1 f1(t) + A2 f2(t)
 f (t  a)u(t  a)
translasi di t:
eat f (t )
translasi di s :
f (at)
penskalaan :
lim f (t )
nilai awal :
nilai akhir :
konvolusi :
A1F1(s) + A2 F2(s)
F ( s)
s
sF (s)  f (0  )
s2F (s)  sf (0 )  f (0 )
s 3 F ( s )  s 2 f (0  )
 sf (0  )  f (0  )
A1F1(s) + A2 F2(s)
e as F (s)
F ( s  a)
1 s
F 
a a
lim sF ( s )
t 0
s 
lim f (t )
lim sF ( s )
t 
t
Pernyataan F(s) =L[f(t)]
0 f1 (x) f 2 (t  x)dx
s 0
F1(s)F2 ( s)
Mencari
Transformasi Laplace
dan
Diagram pole – zero
Mencari Transformasi Laplace
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut:
a). v1 (t )  5 cos(10t )u (t ) ;
b). v2 (t )  5 sin(10t )u (t ) ;
c). v3 (t )  3e  2t u (t )
Penyelesaian:
a) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [cos t] u(t)
v1 (t )  5 cos(10t )u (t )  V1 ( s ) 
5s
5s

s 2  (10) 2 s 2  100
b) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [sin t] u(t)
v2 (t )  5 sin(10t )u (t )  V2 ( s ) 
F (s) 
 V3 ( s ) 
F (s) 
3
s2
s
s 2  2

s 2  2
5 10
50

s 2  (10) 2 s 2  100
c) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [eat]u(t)
v3 (t )  3e 2t u (t )
F (s) 
1
sa
Mencari Diagram pole-zero
CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari
a). F( s ) 
2
s 1
b). F( s ) 
A( s  2)
( s  2) 2  3,24
a). Fungsi ini mempunyai pole di s = 1
tanpa zero tertentu.
b). Fungsi ini mempunyai zero di s = 2
Sedangkan pole dapat dicari dari
( s  2) 2  3,24  0
c). F( s) 
5
s
Im

1
Re
Im
+j1,8
Re
2
j1,8
( s  2)   3,24  j (1,8)  pole di s  2  j1,8
Im
c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu
sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 + j0.
Re
Mencari Transformasi Balik
Transformasi Balik
Transformasi balik adalah mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui.
Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam
tabel transformasi Laplace yang kita punyai, pekerjaan kita
cukup mudah.
Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang
bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya
seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan
menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam
tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari
transformasi balik setiap uraian.
Hal ini dimungkinkan oleh sifat linier dari transformasi Laplace
Bentuk Umum F(s)
Bentuk umum fungsi s adalah
F (s)  K
( s  z1 )(s  z2 )  ( s  zm )
( s  p1 )(s  p2 )  ( s  pn )
Dalam bentuk umum ini jumlah pole lebih besar dari jumlah zero,
Jadi indeks n > m
Jika F(s) memiliki pole yang semuanya berbeda,
pi  pj untuk i  j ,
dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana.
Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan
bahwa F(s) mempunyai pole kompleks.
Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa
F(s) mempunyai pole ganda.
Fungsi Dengan Pole Sederhana
Apabila F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat
diuraikan sebagai berikut
F (s)  K
( s  z1 )( s  z2 )  ( s  zm )
kn
k1
k2



( s  p1 )( s  p2 )  ( s  pn ) ( s  p1 ) ( s  p2 )
( s  pn )
F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana.
k1, k2,…..kn di sebut residu.
Jika semua residu sudah dapat ditentukan, maka
f (t )  k1e p1t  k2e p2t    kne pnt
Bagaimana cara menentukan residu ?
Cara menentukan residu:
F ( s)  K
(s  z1 )(s  z2 ) ( s  zm )
kn
k1
k2



( s  p1 )(s  p2 )( s  pn ) ( s  p1 ) ( s  p2 )
( s  pn )
Jika kita kalikan kedua ruas dengan (s  p1),
faktor (s p1) hilang dari ruas kiri,
dan ruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang
semuanya mengandung faktor (s p1).
K
( s  z1 )( s  z2 )  ( s  zm ) k1 ( s  p1 ) k 2 ( s  p1 )
k ( s  p1 )


 n
( s  p2 )  ( s  pn )
( s  p1 )
( s  p2 )
( s  pn )
Jika kemudian kita substitusikan s = p1 maka semua suku di
ruas kanan bernilai nol kecuali k1
K
( p1  z1 )( p1  z 2 )  ( p1  z m )
 k1
( p1  p 2 )  ( p1  p n )
Dengan demikian kita peroleh k1
k2 diperoleh dengan mengakalikan kedua ruas dengan
(s  p2) kemudian substitusikan s = p2 , dst.
CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.
F( s) 
F( s) 
k
k
4
 1  2
( s  1)(s  3) s  1 s  3
4
( s  1)( s  3)
( s  1)
masukkan s  1
masukkan s  3
2
2

s 1 s  3
4
 k1  2
( 1  3)
k
4
 1 ( s  3)  k 2
( s  1) s  1
( s  3)
F(s) 
k
4
 k1  2 ( s  1)
( s  3)
s3
4
 k 2  2
(3  1)
f (t )  2et  2e3t
CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.
F( s) 
k
k
4( s  2)
F( s) 
 1  2
( s  1)(s  3) s  1 s  3
4( s  2)
( s  1)( s  3)
( s  1)
masukkan s  1
masukkan s  3
2
2

s 1 s  3
4 ( 1  2)
 k1  2
( 1  3)
k
4 ( s  2)
 1 ( s  3)  k 2
( s  1)
s 1
( s  3)
F( s ) 
k
4 ( s  2)
 k1  2 ( s  1)
( s  3)
s3
4 ( 3  2 )
 k2  2
( 3  1)
f (t )  2e t  2e 3t
CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.
F(s) 
F( s) 
6( s  2)
s ( s  1)( s  4)
k
k
k
6( s  2)
 1 2  3
s ( s  1)( s  4)
s s 1 s  4
s
k s
k s
6( s  2)
 k1  2  3
( s  1)( s  4)
s 1 s  4
6(0  2)
 k1  3
(0  1)(0  4)
k
6( s  2) k1
 ( s  1)  k 2  3 ( s  1)
s ( s  4)
s
s4
masukkan s = 0
( s  1)
masukkan s = 1
( s  4)
F(s) 
3 2
1


s s 1 s  4
6( 1  2)
 k 2  2
 1( 1  4)
k
6( s  2) k1
 ( s  4)  2 ( s  4)  k 3
s ( s  1)
s
s 1
6( 4  2)
masukkan s = 4
 k 3  1
 4( 4  1)
f (t )  3  2e t 1e 4t
Fungsi Dengan Pole Kompleks
Dalam formulasi gejala fisika, fungsi F(s) merupakan rasio polinomial
dengan koefisien riil. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang
berbentuk p =  + j, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang
berbentuk p* =   j; sebab jika tidak maka koefisien polinomial
tersebut tidak akan riil.
Jadi untuk sinyal yang secara fisik kita temui, pole kompleks dari
F(s) haruslah terjadi secara berpasangan konjugat.
Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku
yang berbentuk
F (s)   
k
k*


s    j s    j 
Residu k dan k* juga merupakan residu konjugat sebab F(s) adalah
fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini dapat kita cari
dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian fungsi
dengan pole sederhana.
Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks
F( s)   
k
k*


s    j s    j 
adalah
f k (t )  ke (  j)t  k * e (  j)t
 k e j e (  j)t  k e  j e (  j)t
 k e (  j ()) t  k e (  j ()) t
 2k e
 t
e j ()t  e  j ()t
 2 k e t cos(  )
2
f (t )   2 k e t cos(  )  
CONTOH: Carilah transformasi balik dari
F (s) 
8
s ( s 2  4s  8)
memberi pole
 4  16  32
s

 2  j 2
kompleks
Memberikan pole
sederhana di s = 0
2
8
k1
k2
k 2
F (s) 
 

2
s ( s  4 s  8) s s  2  j 2 s  2  j 2
8
8

s

1
2
8
s ( s  4 s  8)
s 0
 k1 
 k2 

8
s( s 2  4s  8)
 ( s  2  j 2)
8
2 j (3 / 4)

e
 8  j8
2
f( t) u (t ) 

s  2 j 2
 k2 
8
s( s  2  j 2)
s  2 j 2
2  j (3 / 4)
e
2
2 j (3 / 4) ( 2 j 2)t
2  j ( 3 / 4 )  ( 2  j 2 ) t
e
e

e
e
2
2
 u (t ) 


2  2t j (3 / 4 2t )
e
e
 e  j (3 / 4 2t )  u (t )  2e 2t cos(2t  3 / 4)
2
Fungsi Dengan Pole Ganda
Pada kondisi tertentu, F(s) dapat mempunyai pole ganda. Penguraian F(s)
yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung
pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole
sederhana yang dapat diuraikan seperti contoh sebelumnya.
F (s) 
K ( s  z1 )
( s  p1 )(s  p2 ) 2
1
F( s ) 
s  p2
pole ganda


K ( s  z1 )


 ( s  p21)(s  p22 ) 
pole sederhana
 k1
k2 
k1
k2





2
s

p
s

p
1
2  ( s  p2 )(s  p21) ( s  p2 )

F( s ) 
1
s  p2
F( s ) 
k11
k
k2
 12 
s  p1 s  p2 ( s  p2 ) 2
f (t )  k11e p1t  k12e p2t  k2te p2t
CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi: F ( s) 
F( s) 

s
( s  1)(s  2) 2

s
( s  1)(s  2) 2

1 
s


( s  2)  ( s  1)(s  2) 
k2 
1  k1
s
s


k



1

k

2
1
2
( s  2)  s  1 s  2 
( s  2) s  1
( s  1) s  2
1  1
2 
1
2



( s  2)  s  1 s  2  ( s  1)(s  2) ( s  2) 2
k
k
2
 11  12 
s  1 s  2 ( s  2) 2
 F( s ) 
 k11 
 F( s) 
1
s2
 1
s  1
1
1
2


s  1 s  2 ( s  2) 2
 k12 
1
1
s  1 s  2
f (t )  e t  e 2t  2te2t
Course Ware
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s
Transformasi Laplace
Sudaryatno Sudirham