Transcript 數學(一)

第三章
指數與對數
習題
3-5 指數與對數的應用
一、觀念題
第三章/指數與對數
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
n
a

10
設
為正數 x 的科學記號, 則 1  a  10且 n 為
整數.
若 log x  2.4231, 則 logx 的首數為 2 , 尾數為
0.4231.
解：  
解析：
若a 10n為正數 x 的科學記號中, 則n必須為整
數, 且 1  a  10 .
 log x  2.4231  3  0.5769 
log x的首數為3 , 尾數為0.5769.
1
一、觀念題
第三章/指數與對數
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
 log1.37 與 log13700 的尾數相同.
解：

解析：
 log13700  4  log1.37, 所以log1.37 與
log13700的尾數相同.
2
一、觀念題
第三章/指數與對數
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
設 log a 的尾數是 log b的尾數的2倍, 則 log b的尾
數小於 1 .
2
解：  
解析：
因為尾數必須不小於 0 且小於 1,
令 logb的尾數為 d,
因 loga 的尾數為 logb 的尾數的 2 倍,
則 loga 的尾數為 2d,
1
所以 0  2d  1, 故 0  d 
2
3
一、觀念題
第三章/指數與對數
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
1
2
若logx 與 log 的尾數相同, 則logx3為整數.
x
解：

解析：
1
的尾數相同, 則
x
1
2
log x  log  3log x 為整數,所以log x3為整數.
x
log x2 與 log
4
一、觀念題
第三章/指數與對數
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
若 log x  n  log a , 其中n為正整數, 且 0  log a  1,
則 x 的整數部分的位數有 n  1位.
解：

解析：
若 log x  n  log a , 其中 n 為正整數,
且 0  log a  1,則 x  a 10n, 且 1  a  10,
所以 x 的整數部分的位數有 n  1位.
5
一、觀念題
第三章/指數與對數
6
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
若 log x  n  log a , 其中n為負整數, 且 0  log a  1,
則x為純小數, 且小數點後第 | n | 位始出現不為 0 的
數字.
解：

解析：
若0  log x  n  log a , 其中n為負整數, 且
0  log a  1 ,則 x  a 10n 且 1  a  10, 所以x為
純小數, 且小數點後第| n | 位始出現不為 0 的數
字.
一、觀念題
第三章/指數與對數
7
對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.
若 x 為 m 位正整數, 則 m  1  log x  m.
若 x 為純小數, 且自小數點後第 m 位始出現不為 0
的數字, 則 m  log x  m  1.
解：  
解析：
若x為m位正整數, 則 10m1  x  10m , 所以
m  1  log x  m.
若x為純小數且自小數點後第m位始出現不為
0 的數字, 所以 logx 的首數為 m ,
故 m  log x  m  1.
二、基礎題
第三章/指數與對數
1.利用對數表, 寫出下列對數值：
 log5.46.
 log27.3.
 log0.0436.
解：
 log5.46  0.7372.
 log 27.3  log(10  2.73)  1  log 2.73  1.4362.
 log0.0436  log(4.36 102 )  2  log 4.36
 2  0.6395  1.3605.
8
二、基礎題
第三章/指數與對數
9
2.利用對數表, 求(2.7)100乘開後的整數部分是幾位數？
又其最高位數字為何？
解：
 因為 log(2.7)100  100log 2.7




 100  0.4314  43.14  43  0.14,
又 log1  0  0.14  0.3010  log 2,
得log1043  43  43.14  log(2.7)100  43.3010  log(2 1043 ),
所以1043  (2.7)100  2 1043 ,
故(2.7)100乘開後的整數部分為44位數, 且最高
位數字為1.
二、基礎題
第三章/指數與對數
5
3. ( ) 40 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不
8
為0？又此不為0的數字為何？
解：
5 40
 因為 log( )  40  [log5  log8]
8  40  (1  log 2  3log 2)
 40  (1  4log 2)
 40  (1  1.2040)
 8.16
 9  0.84,
10
二、基礎題
第三章/指數與對數
11
5
3. ( ) 40 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不
8
為0？又此不為0的數字為何？
解：
 又 log 6  0.7782  0.84  0.8451  log 7,
 得 log(6 109 )  9  0.7782  9  0.84  log( 5 )40
8
 9  0.8451  log(7 109 ),
5 40
 所以6  10  ( )  7  109 ,
8
5 40
 故 ( ) 表成小數時, 在小數點後第 9 位始出現
8
不為 0 的數字 6.
9
二、基礎題
第三章/指數與對數
4.已知47100為168位數, 試問4727是幾位數？
解：
 因為47100為168位數,
100
167

log
47
 168,
 所以
 於是知 1.67  log 47  1.68,
27
 因此得 1.67  27  log 47  1.68  27,
27
 即 45.09  log 47  45.36,
 所以 log4727 的首數為 45 , 故 4727 是 46 位數.
12
二、基礎題
第三章/指數與對數
13
5.在1999年6月1日, 數學家利用電腦驗證出 26972593  1
是一個質數. 若想要列印此質數至少需要多少張A4
紙？假定每張A4紙可列印出3000個數字. 在下列選
項中, 選出最接近的張數.（已知 log 2  0.3010 ）
(A)50
(B)100
(C)200
(D)500
(E)700.
【89推甄】
二、基礎題
第三章/指數與對數
14
解：
 因為 log 26972593  6972593  log 2  6972593  0.3010
 2098750.493
 2098750  0.493
 而log3  0.4771  0.493  0.6020  log 4,
 所以3  102098750  26972593  4  102098750
 又2的乘冪的個位數會由「2, 4, 8, 6」每4個循
環一次, 所以 26972593 的個位數字為2,
 故 26972593  1 與 26972593 均為 2098751 位數
 又 2098751  3000  699  1751
 故想要列印此質數至少需要700張A4紙, 所以
選(E).
二、基礎題
第三章/指數與對數
15
6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3
1
日後細菌數為600,000, 5 日後細菌數為19200,000,
2
 試求 k 值.
解：
  設原有細菌數為 N 0 , x日後細菌數為f(x),
x
f
(
x
)

N

(
k

1)
,
 由題意知
0
3
f
(3)

N

(
k

1)
 600000,
且
0
11
1
f (5 )  N0  (k  1) 2  19200000,
2
二、基礎題
第三章/指數與對數
16
6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3
1
日後細菌數為600,000, 5 日後細菌數為19200,000,
2
 試求 k 值.
解：
  所以
11
1
f (5 ) N  (k  1) 2
5
19200000
5
2  0
2

(
k

1)


32

2
,
3
f (3)
N 0  (k  1)
600000
 於是得 k  1  4,
 故知 k  3.
二、基礎題
第三章/指數與對數
17
6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3
1
日後細菌數為600,000, 5 日後細菌數為19200,000,
2
 3 1 日後細菌數為多少？
2
解：
1
2
1
 f (3 )  N0  4  f (3)  2  1200000.
2
3
二、基礎題
第三章/指數與對數
18
6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3
1
日後細菌數為600,000, 5 日後細菌數為19200,000,
2
幾日後細菌數為9600,000？
解：
  設t日後細菌數為9600000, 則
t
3
t 3
f (t )  N0  (k  1)  N0  (k  1)  (k  1)
 600000  4t3
 9600000,
二、基礎題
第三章/指數與對數
19
6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3
1
日後細菌數為600,000, 5 日後細菌數為19200,000,
2
幾日後細菌數為9600,000？
解：
  所以 4t3  16,
 得 t  3  2,
 故知 t  5.
二、基礎題
第三章/指數與對數
20
7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為
1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年（取整數）
後, 阿源可得本利和兩百萬元？
解：
 設 n 年後阿源可得本利和為Pn, 則
Pn  106  (1  1.8%)n ,
 所以 Pn  2 106  (1  1.8%)n  2
 n log1.018  log 2
二、基礎題
第三章/指數與對數
21
7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為
1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年（取整數）
後, 阿源可得本利和兩百萬元？
解：
log 2
0.3010
n

 39.1,
log1.018 0.0076
 故至少40年後, 阿源可得本利和超過兩百萬元.
三、進階題
第三章/指數與對數
22
1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增
長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達
50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）,
1999年第60億人誕生在東歐 賽拉耶佛. 試根據上述
資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？
解：
60 6
12
 設每年的增長率為r, 由已知得 (1  r ) 
 ,
50 5
 設西元 n 年世界人口將達 70 億人, 則
(1  r )
n 1999
70 7

 ,
60 6
三、進階題
第三章/指數與對數
23
1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增
長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達
50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）,
1999年第60億人誕生在東歐 賽拉耶佛. 試根據上述
資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？
解：
1999
6 n12
7
 所以 ( )
 ,
5
6 n  1999
6
7
 兩邊取常用對數得 12 log 5  log 6 ,
12(log7  log6)
 整理得 n  1999 
log6  log5
三、進階題
第三章/指數與對數
24
1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增
長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達
50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）,
1999年第60億人誕生在東歐 賽拉耶佛. 試根據上述
資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？
解：
12  (0.8451  0.7782) 0.8028


 10.136......
0.7782  0.6990
0.0792
 所以, n  2009.136......
 故推估在西元2010年, 世界人口將達70億人.
三、進階題
第三章/指數與對數
25
2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時
內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 100(1  2 kt )% ,
其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時
內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多
少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮
99% 的人口聽到該訊息？
（已知 log 2  0.3010,log3  0.4771,log 7  0.8451）
解：
 由已知得100(1  23k )%  70%,
 所以 1  23k  0.7 , 即 23k  0.3,
 設 t 小時可使全鎮 99% 的人口聽到該訊息,
三、進階題
第三章/指數與對數
26
2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時
內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 100(1  2 kt )% ,
其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時
內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多
少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮
99% 的人口聽到該訊息？
（已知 log 2  0.3010,log3  0.4771,log 7  0.8451）
解：
 則 100(1  2 )%  99% , 化簡得 2
 kt
t
3 k 3
 kt
t
3
 0.01,
)  0.01 , 即 (0.3)  0.01.
t
 兩邊取常用對數得 log 0.3  log 0.01  2,
3
 由指數律得 (2
三、進階題
第三章/指數與對數
27
2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時
內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 100(1  2 kt )% ,
其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時
內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多
少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮
99% 的人口聽到該訊息？
（已知 log 2  0.3010,log3  0.4771,log 7  0.8451）
解：
6
6
6
6
 所以 t 



 11.47......
log 0.3 log3  1 1  0.4771 0.5229
 故最快要11.5小時才能使全鎮 99% 的人口聽
到該訊息.
End