Transcript 13. 軌跡及圓的方程

13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
一般式 x2+y2+Dx+Ey+F = 0
x2及y2的係數均為1
沒有xy項
次數為2
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
例 下列何者為圓的方程？
(1) x2+y2+6x+14y+36 = 0
(2) 5x2+5y2+25x－45y+163 = 0
(3) x2+6y2+18x－45y－64 = 0
(4) x2+y2+18xy+68x－19y－78 = 0
(5) x3+y2+28x－46y+85 = 0
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
2+y2+6x+14y+36 = 0
(1)
x

x2及y2的係數相同
沒有xy一項
次數為2
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
2+5y2+25x－45y+163 = 0
(2)
5x

x2及y2的係數相
同 (皆為5)
沒有xy一項
次數為2
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
2+6y2+18x－45y－64 = 0
(3)
x

y2的係數與x2的不同
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
2+y2+18xy+68x
(4)
x
+18xy+68x－19y－78
－19y－78 = 0

18xy
有xy項
13. 軌跡及圓的方程
(a) 如何分辨圓的方程？
(i) x2及y2的係數必須相同；
(ii) 沒有xy一項；
(iii) 次數為2。
3+y2+28x－46y+85 = 0
(5)
x

次數為3
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
對於圓C： x2+y2+Dx+Ey+F = 0
D )2 －( D )2 + (
2
2
2
2
D
E
E
2 (y
D
(
+
(
)
)
(x+
+
+
= 2
)
2
2
2
x2+y2+Dx+Ey+F
+Dx+Ey+F + (
圓心的坐標 = (－ D , － E )
2
2
∴ 半徑 =
( D )2 + ( E )2 － F
2
2
E )2－( E )2 = 0
2
2
2
) －F
r2
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
在圓方程的一般式中，
考慮半徑 ( D )2 + ( E )2 － F 的值，
2
2
2
(i) 若 ( D ) + ( E )2 － F ＞0，則該圓為一實圓。
2
2
2
(ii) 若 ( D ) + ( E )2 － F = 0，則該圓為一點圓。
2
2
(iii) 若 ( D )2 + ( E )2 － F ＜0，則該圓不能畫出來，
2
2
稱為虛圓。
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
例 判斷下列各方程所代表的圓是實圓、點圓或
虛圓。
(1) x2+y2+8x+6y+15 = 0
(2) x2+y2 －16x－8y+80 = 0
(3) x2+y2+14x+4y+60 = 0
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
(1) x2+y2+8x+6y+15 = 0 ∴ 該圓為一實圓
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
( D )2 + ( E )2 － F
2
2
2
= ( 8 ) + ( 6 )2 －15
2
2
2
= ( 4 ) + ( 3 ) 2 －15
= 10＞0
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
(2) x2+y2－16x－8y+80 = 0 ∴ 該圓為一點圓
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
( D )2 + ( E )2 － F
2
2
= (－16 )2 + ( －8 )2－80
2
2
2
= (－8) + (－4 )2 －80
=0
13. 軌跡及圓的方程
(b) 如何分辨實圓、點圓及虛圓？
(3) x2+y2+14x+4y+60 = 0 ∴ 該圓為一虛圓
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
( D )2 + ( E )2 － F
2
2
= ( 14 )2 + ( 4 )2－60
2
2
= (7 )2 + ( 2) 2－ 60
= －7 ＜ 0