Transcript 第六章动态电路的复频域分析

“十一五”规划教材—电路基
础
第六章 动态电路的复频域分析
 6.1 拉普拉斯变换及其性质
 6.2 拉普拉斯反变换
 6.3 电路基本定律及电路元件的复频域形式
 6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路
 6.5 网络函数
 6.6 固有频率
“十一五”规划教材—电路基
础
本章要介绍的拉普拉斯变换方法是研究线性非时变
动态电路的基本工具。采用拉普拉斯变换的分析方法，
称为复频域分析，即s域分析。
6.1拉普拉斯变换及其性质
6.1.1 拉普拉斯变换的定义
设时域函数f(t)在区间 [0，∞ )内的定积分为


0-
f (t )e st dt
式中，s=σ+jω为复频率。若该定积分在s某一域内收敛，
则由此积分确定的复频域函数可表示为

F (s)   f (t )e st dt
0-
“十一五”规划教材—电路基
础
8
cost
9
e t sin t
10
11
12
e
 t
2Ke
s 
(s   )2   2
cos t
 e t cos t 
t
s
s2   2

(s   )2   2
(b  a )

as  b
(s   )2   2
e t sin t
cos(t  K )(K  K e
jK
)
K
K

s    j s    j
“十一五”规划教材—电路基
础
6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
若ℒ[f1(t)]= F1(s)，ℒ[f2(t)]= F2(s)
则对任意常数a1及a2（实数或复数）有
ℒ[a1f1(t)+a2f2(t)] = a1ℒ[f1(t)]+a2ℒ[f2(t)] = a1F1(s)+a2F2(s)
即拉氏变换满足齐次性和可加性。
应用：
k
k
i
k 1
k
(t )  0
k
u
k 1
k
(t )  0
I
k 1
k
( s)  0
k
U
k 1
k
( s)  0
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.1.4 试求电阻元件电压电流关系的复频域形式。
解:时域中线性电阻元件
uR  RiR
对电阻电压、电流进行拉氏变换，并由线性性质可得
ℒ [uR] = ℒ [RiR] = Rℒ [iR]
U R (s)  RI R (s)
电阻元件电压电流关系的复频域形式。
它表明，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之
间的关系也服从欧姆定律。
“十一五”规划教材—电路基
础
二、微分性质
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
d
ℒ[ dt f (t )
]
 sF (s)  f (0 )
拉氏变换的微分性质表明，时域中的求导运算，对
应于复频域中乘以s的运算，并以f(0-)计入原始值
推广：
ℒ[ f ( n ) (t ) ]  sn F (s)  sn1 f (0 )  sn2 f (1) (0 ) 
n 1
 s n F ( s)   s k f ( n1k ) (0 )
k 0
 f ( n1) (0 )
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.1.5 试求电容元件电压——电流关系的复频域形式。
duC
解：在时域中线性非时变电容元件 iC  C
dt
对电容电压、电流进行拉氏变换，并根据微分性
质和线性性质可得
duC
duC
ℒ [iC] = ℒ C[
] = Cℒ [
dt
dt
] = C[sUC(s)-uC(0-)]
则电压——电流关系的电容元件的复频域形式为
IC (s)  sCUC (s)  CuC (0 )
三、积分性质
“十一五”规划教材—电路基
础
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
1
ℒ[ 0 f ( )d ]  s F ( s )

拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算，
对应于复频域中除以s的运算

t
例6.1.6 试求电感元件电压——电流关系的复频域形式。
解：在时域中线性非时变电感元件
1 t
iL  iL (0 )   uL ( )d
L 0
“十一五”规划教材—电路基
础
对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和
线性性质可得
1 t
ℒ [iL] = ℒ [ iL (0 )  0 u L ( )d ]
L 
1 t
= ℒ [ iL (0 ) ]+ℒ [  uL ( )d ]
L 0
i L (0  ) 1

 U L ( s)
s
sL
电感元件的复频域形式为：
i L (0  ) 1
I L ( s) 
 U L (s)
s
sL
从微分和积分性质可看出，在应用拉氏变换时，直
接用时域中的0-时的原始值，而不必考虑0+时的初始值。
四、时移性质
“十一五”规划教材—电路基
础
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
ℒ[f(t-)] = e  s F(s)
拉氏变换的时移性质表明，若原函数在时间上推迟
(即其图形沿时间轴向右移动 )，则其象函数应乘以延
时因子e-s
例6.1.7 图示单个矩形脉冲波形f(t)，其幅度为A，试求f(t)
的拉氏变换F(s)。
解 ：矩形脉冲f(t)可表示为
f (t )  A[ (t  a)   (t  b)]
f (t )
A
O
a
b
t
故根据时移性质，有
F ( s )  ℒ[f (t ) ]
f (t )
“十一五”规划教材—电路基
础
A
O
a
b
A  as
 A ℒ [ (t  a)   (t  b)]  (e  e bs )
s
t
例6.1.8 已知 f (t ) (t )  e  (t )
求 f (t  3) (t  3) 的象函数
解 ： 故根据时移性质，有
F (s) 
[ f (t  3) (t  1)]  e
3 s
1
s 1
t
“十一五”规划教材—电路基
础
五、频移性质
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
t
ℒ[e f (t )]=F(s-α)
拉氏变换的频移性质表明，若原函数乘以指数因子
et,则其象函数应位移（即其图形沿实轴向右移动）。
sin t 及 e t cos t 的拉氏变换。
s
解 ： ℒ [sin t ]  
ℒ [cos t ]  2
2
2
s 
s  2

 t
根据频移性质可求得 ℒ [e sin t ] 
( s   )2   2
s 
 t
ℒ [e cos t ] 
(s   )2   2
例6.1.9 试求e
 t
“十一五”规划教材—电路基
础
六、初值定理
sF ( s) 存在，则
若ℒ[f(t)] = F(s)，且 lim
s 
f (0 )  lim sF ( s)
s 
七、终值定理
f (t ) 存在，则
若ℒ[f(t)] = F(s)，且 lim
t 
f ()  lim sF ( s )
s 0
利用初值定理和终值定理，可以不经过反变换而直
接由象函数F(s)来确定原函数f(t)的初值和终值。
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.1.10：
s
已知 F ( s) 
求原函数f(t)的初始值f(0+)
( s  1)(3s  2)
2
已知 F ( s) 
求原函数f(t)的终值f()
s( s  1)(3s  2)
解 ： 根据初值定理
f (0 )  lim sF (s)  lim
s 
s 
根据终值定理
f ()  lim sF ( s)  lim
s 0
s 0
1
1

5 2 3
3  2
s s
1
1

( s  1)(3s  2) 2
“十一五”规划教材—电路基
础
八、卷积定理
若ℒ[f1(t)]= F1(s)，ℒ[f2(t)]= F2(s)，且t  0时f1(t) = f2(t) = 0则
ℒ[f1(t)f2(t)] = F1(s)F2(s)
卷积定理表明，时域中两原函数的卷积，对应于复
频域中两象函数的乘积。
“十一五”规划教材—电路基
础
t
例：已知某网络的的冲激响应为 h(t )  2e  (t )
求该网络在激励 f (t )   (t )  3 (t ) 作用下的零状态响应
解:
Z (t )  f (t )  h(t )
1
2
2
4
Z ( S )  F ( S ) H ( S )  (  3)(
) 
s
S 1 s s 1
Z (t )  2 (t )  4e  (t )
t
“十一五”规划教材—电路基
础
6.2 拉普拉斯反变换
拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。
拉普拉斯反变换的定义：
1
f (t ) 
2j
  j

 j
F ( S )e st ds
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部
分分式展开的方法间接求得。（适用于有理式）
设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数。
P(s) bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
F ( s) 

Q(s) an s n  an1s n1  ...  a1s  a0
“十一五”规划教材—电路基
础
①展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）
若m<n 称有理函数是真分数式
若m>n则 将F(s)分解为一个s多项式和一个真分式之和
P( s)
B( s)
F (s) 
 A( s) 
Q( s )
Q( s )
其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一个多项式，其对应的
时间函数是(t)，(1)(t)， (2)(t) 等的线性组合。
B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，则B(s)/ Q(s)为真分式
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.2.1
3
2
s

5
s

10
s

16
试求 F ( s) 
的原函数。
s3
解：将F(s)真分式化得
s  5s  10s  16
4
2
F (s) 
 s  2s  4 
s3
s3
3
2
所以F(s)对应的原函数为
f (t )  
(2)
(t )  2 (t )  4 (t )  4e
(1)
3t
“十一五”规划教材—电路基
础
设：F(s)为真分式，并将分母多项式Q(s)用因式连乘的
形式来表示，即：
P( s) bm s m  bm 1s m 1  ...  b1s  b0 1
P( s)
F ( s) 


n
n
n 1
Q( s) an s  an 1s  ...  a1s  a0 an  ( s  p )
j
j 1
pj(j=1，2，…，n)为方程Q(s)=0的根，称为Q(s)的零点。
当spj时，F(s)，所以pj也称为F(s)的极点。
若pj是多项式Q(s)的单根，则称pj为F(s)的单极点。
如果 pj(j＝1，2，…，r)是Q(s)的r重根，则称pj为F(s)的r
阶极点。
“十一五”规划教材—电路基
础
6.2.2 单极点有理函数的拉氏反变换
F(s)的极点均为单极点时， F(s)的部分分式展开式为
K1
K2
P(s)
F ( s) 



Q(s) s  p1 s  p2
n
Kj
Kn


s  pn j 1 s  p j
Kj(j=1，2，…，n)为待定常数
方法一
K j  lim(s  p j ) F (s)  (s  p j ) F (s)
方法二
P
k j  (1)
Q
s p j
s  Pj
s p j
“十一五”规划教材—电路基
础
拉氏反变换并进行线性组合，可得：
f(t) = ℒ-1[F(s)] =
 n Kj  n
p jt
-1
ℒ  s  p    K j e
 j 1
j 
 j 1
一、 极点均为实数情况
s 2  3s  5
例6.2.2 试求 F ( s)  3
的原函数f(t)。
2
s  6s  11s  6
解
K3
K1
K2
s  3s  5
F ( s) 



( s  1)(s  2)(s  3) s  1 s  2 s  3
2
F(s)的各极点分别为p1 = -1，p2 = 2，p3 = 3
“十一五”规划教材—电路基
础
s  3s  5

 1.5
( s  2)( s  3) s 1
2
K1  ( s  1) F ( s) s  p
1
K 2  ( s  2) F ( s) s  p
2
K3  ( s  3) F ( s) s  p
3
f(t) =
ℒ-1[F(s)]
=
ℒ-1
s 2  3s  5

 3
( s  1)( s  3) s 2
s 2  3s  5

 2.5
( s  1)( s  2) s 3
3
2.5 
 1.5
t
2t
3t



1.5
e

3
e

2.5
e
 s  1 s  2 s  3 
“十一五”规划教材—电路基
础
二、极点为复数情况（共轭复根）
若F(s)有 p1
单极点。
   j

p

p
单极点，则必有 2
1    j
K1
K2

则F(s)将包含
s  (  j ) s  (  j )
K1  [s  (  j)] F (s) |s  j
K2  [s  (  j)] F (s) |s  j
K1和K2一般也是共轭复数，即：
如果 K1  | K1 | e jK
 jK

K

K

|
K
|
e
则 2
1
1
“十一五”规划教材—电路基
础
拉氏反变换为：
f(t)= K1e
(  j ) t
 K 2e
(  j ) t
t
 | K1 | e [e
j (t K )
e
 j (t  K )
t
 2 | K1 | e cos(t  K )
s 2  3s  7
例6.2.3 试求 F ( s)  2
的原函数f(t)。
( s  4s  13)( s  1)
解： F(s)极点分别为p1 = 2+j3，p2 = 2j3，p3 = 1。.
则F(s)的部分分式展开式为

1
K3
K1
K
F ( s) 


s  (2  j3) s  (2  j3) s  1
]
“十一五”规划教材—电路基
础
s 2  3s  7
4  j3
 j18.4
K1 

 0.264e
[ s  (2  j3)]( s  1) s 2 j 3 18  j 6
s  3s  7
K3  2
 0.5
s  4 s  13 s 1
2
f(t)=
2t
-1
ℒ [ F (s)]  [0.528e
cos(3t 18.4 )  0.5e ] (t )

t
“十一五”规划教材—电路基
础
6.2.3 重极点有理函数的拉氏反变换
若F(s)有一个r阶极点p1，其他为单极点，则F(s)的部
分分式展开式为：
K11
K12
F ( s) 


2
s  p1 (s  p1 )
K1r
K r 1


r
(s  p1 ) s  pr 1
Kn

s  pn
其中： K1r  ( s  p1 ) r F ( s )
s p
1
K1( r 1)
K1( r 2)
d
 [( s  p1 ) r F ( s )]s  p1
ds
1 d2
r

[(
s

p
)
1 F ( s )]s  p1 ···
2
2! ds
1 d r 1
r
K11 
[(
s

p
)
1 F ( s )]s  p1
r 1
(r  1)! ds
“十一五”规划教材—电路基
础
f(t) =
ℒ-1[F(s)]
=
ℒ-1

 ( K11  K12t 

例6.2.4
 K11
K12



2
 s  p1 (s  p1 )
K1r
K r 1


r
(s  p1 ) s  pr 1
1

K1r t r 1 )e p1t  ( K r 1e pr1t 
(r  1)!
10s 2  4
试求 F (s) 
2的原函数f(t)
s(s  1)(s  2)
解： F ( s)  K11  K 21  K31  K32
s
s  1 s  2 ( s  2) 2
可得： K  sF ( s)
11
s 0
10s 2  4

( s  1)( s  2)2
1
s 0
Kn 


s  pn 

 K ne )   (t )

pnt
10s 2  4
K 21  ( s  1) F ( s) s 1 
s( s  2)2
“十一五”规划教材—电路基
础
 14
s 1
2

d
d
10
s
 4
2
K31  ( s  2) F ( s ) 
  2
s

2
ds
ds  s  s  s 2
20s( s 2  s)  (10s 2  4)(2 s  1)

 13
2
2
(s  s)
s 2
K32  ( s  2) F ( s) s 2
2
f(t)=
ℒ-1
10s 2  4

 22
s( s  1) s 2
[ F ( s )]  1  14e  t  (13  22t )e 2t   (t )
“十一五”规划教材—电路基
础
6.3 电路基本定律及电路元件的复频域形式
KCL(t)
ℒ
KCL(s)
KVL(t)
KVL(s)
支路关系(t)
支路关系(s)
6.3.1基尔霍夫定律的复频域形式
n
 i (t )  0
k
k 1
n
 u (t )  0
k 1
k
n
I
k 1
k
n
U
k 1
k
( s)  0
(s)  0
“十一五”规划教材—电路基
础
6.3.2电路元件电压电流关系的复频域形式
一、电阻元件电压电流关系的复频域形式
u(t )  Ri(t )
i (t )
R
u (t )
U R (s)  RI R (s)
I ( s)
R
U (s)
二、电容元件电压电流关系的复频域形式
du C (t )
iC (t )  C
dt
IC (s)  sCUC (s)  CuC (0 )
uC (0  )
1
U C ( s) 
I C ( s) 
sC
s
“十一五”规划教材—电路基
础
二、电容元件电压电流关系的复频域形式
uC (0  )
1
U C ( s) 
I C ( s) 
sC
s
IC (s)  sCUC (s)  CuC (0 )
1/sC具有电阻的量纲，称为运算容抗
iC (t )
C
u C (t )
1
I C ( s ) sC
sC称为运算容纳
CuC (0  )
uC (0  )
s
IC (s)
附加电流源
sC
U C (s)
U C (s)
附加电压源
时域模型
复频域戴维南模型
复频域诺顿模型
“十一五”规划教材—电路基
础
三、电感元件电压电流关系的复频域形式
U L (s)  sLI L (s)  LiL (0 )
di L (t )
u L (t )  L
dt
1
iL (0  )
I L ( s)  U L ( s) 
sL
s
sL具有电阻的量纲，称为运算感抗
1/sL称为运算感纳
iL (0  )
iL (t )
u L (t )
时域模型
L
I L ( s ) sL
LiL (0  )
U L (s)
复频域戴维南模型
s
I L (s)
1 / sL
U L (s)
复频域诺顿模型
“十一五”规划教材—电路基
础
四、耦合电感元件电压电流关系的复频域形式
di1
di2
u1  L1
M
dt
dt
i1 (t )
u1 (t ) L1
di2
di1
u 2  L2
M
dt
dt
 u1 (t )   L1
u (t )    M
 2  
U1 ( s) 
 L1
U ( s)   s  M
 2 

M   I1 ( s)   L1




L2   I 2 ( s)   M
i2 (t )
L2 u 2 (t )
(a) 时域模型
M   di1 (t ) / dt 
L2   di2 (t ) / dt 
复频域形式为
M
I1 ( s )
L1i1 (0  )
U1 (s)
sL1
Mi2 (0  )
M   i1 (0 ) 
L2  i2 (0 ) 
I 2 (s)
sM
L2 i2 (0  )
sL2
U 2 (s)
Mi1 (0  )
(b) 复频域模型
“十一五”规划教材—电路基
础
若用倒电感矩阵表示耦合电感元件
i1 (t )  12   21 i2 (t )
u1 (t )  11
 22 u2 (t )
(a) 时域模型
I1 ( s )
I 2 (s)
U1 ( s ) iL1 (0  )
s
 11
s
 12
s
 22
iL 2 (0  )
s
s
U 2 (s)
(b) 复频域模型
 I L1 ( s)  1   11  12  U L1 ( s)  1  iL1 (0 ) 
 
 I ( s)   s 




 L2 
 21  22  U L 2 ( s)  s iL 2 (0 ) 
“十一五”规划教材—电路基
础
6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路
6.4.1电路的复频域形式及运算阻抗和运算导纳
将电路中所有元件都用复频域模型表示，所有电
压和电流都用相应的象函数表示，这样的电路就成为原
电路的复频域模型，称为运算电路(operational circuit)
例：RLC并联电路
iS
iC
u (t )
C
(a) 时域电路
iR
iL
R
L
IC (s)
I S (s)
I R (s)
U (s)
Cu C (0  )
sC
I L (s)
R
1
iL (0  ) / s
sL
(b) 运算电路
“十一五”规划教材—电路基
础
一个处于零状态的无源一端口运算电路，端口电压象
函数U(s)与电流象函数I(s)之比称为运算阻抗(operational
impedance)Z(s)，即
U (s)
Z (s) 
I (s)
与之对偶的为运算导纳(operational admittance)Y(s)
I (s)
Y (s) 
U (s)
例：RLC串联运算电路
I (s)
U (s)
R
sL
1
sC
U ( s)
1
Z ( s) 
 R  sL 
I ( s)
sC
“十一五”规划教材—电路基
础
RLC串联运算电路的运算导纳为
I ( s)
1
sC
Y ( s) 

 2
U (s) R  sL  1
s LC  sRC  1
sC
注意：尽管运算阻抗Z(s)和运算导纳Y(s)都是有关象函
数的比值，但它们都不是象函数，只是复变数 s的函数。
“十一五”规划教材—电路基
础
6.4.2用运算法分析线性非时变动态电路
运算法分析线性非时变动态电路的主要步骤可归结为：
(1) 将时域电路变换为运算电路
（2）建立电路的复频域代数方程，并求解方程。
(3) 将求得响应的象函数反变换求出响应的原函数。
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.1 图(a)所示电路，已知电压源为单位阶跃uS(t)
，电流源为单位冲激iS(t)，电阻R1=10，R2=5，电容
C=1F，电路处于零状态uC(0-)=0V。试求t  0时的uC(t)。
iS
R1
uS
R2
U C (s)
sC
10
(a) 时域电路
1
Cu C (0  )
10s1
uC
C
1
(b) 运算电路
根据KCL求得节点方程
1 1
1
(   sC )U C ( s) 
1
10 5
10s
3  10 s
1  10 s
(
)U C ( s ) 
10
10 s
1
5
“十一五”规划教材—电路基
础
解得象函数:
1
1
2
s
1  10s
10  3  3
U C ( s) 

s(3  10s) s( s  3 ) s s  3
10
10
对UC(s)进行拉氏反变换求得原函数
1
-1
uC = ℒ [U C ( s)]  ( 
3
2
e
3

3
t
10
) (t )V
另外根据零状态响应是输入的线性函数，此题也可分
别求出冲激响应和阶跃响应后再叠加。
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.2 在图(a)所示电路中，iL(0-)=1A，uC(0-)=1V
，uS= (t)V，R1=R2=1，L=1H，C=1F，试求t  0 时
的u(t)。
R1
iL
I L ( s ) sL
L
R1
R2
1 I
1
s u (0
1 / sC
uS
C
uC
u
C
U C (s)

)/s
LiL (0  )
I2
U (s)
R2
根据KVL求得电路的网孔方程
 1
 sC  R1

  1
 sC
1
 1 uC (0 ) 






I
(
s
)
 1 
sC
s
s




I 2 (s)  
1
uC (0 ) 


sL 
 R2
LiL (0 ) 


sC
s 
“十一五”规划教材—电路基
础
1 
1

 0 
 s 1

 I1 ( s )  
s




1
 
I
(
s
)
1
1
1 

2



s  1
 s
 s

s 
解方程可求得响应象函数
(s  1)2
1  1 ( s  1)  1 
U (s)  R2 I 2 (s) 
  

2
2
s(s  2s  2) 2  s (s  1)  1
反变换求得原函数
u(t) =
ℒ-1
1
[U ( s )]  1  e  t (cos t  sin t )  V(t  0)
2
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.3 在图(a)所示电路中，开关S在t=0时闭合，S闭合前
电路处稳定状态。已知R1=RS=1，R2=2，L1=2H，L2=1H，
M=1H，uS=(t)V。试求t  0 时的i1和i2。
I1 ( s )
i1
RS
S(t  0)
R1
i2
sM
R1
R2
u L1
L1
L2
R2
RS
M
uS
I 2 (s)
uL2
U L1 ( s ) sL1
US
U L1 (0  )
sL2 U L 2 ( s )
U L 2 (0  )
解: 可得i1(0-)=0.5A，i2(0-)=0A
U L1 ( s) 
 L1
U ( s)   s  M
 L2 

 L1
 s
M
M   I1 ( s)  U L1 (0  ) 




L2   I 2 ( s)  U L 2 (0 ) 
M   I1 ( s)   L1




L2   I 2 ( s )   M
M   i1 (0 ) 
L2  i2 (0 ) 
代入具体参数的耦合电感电压方程为
U L1 ( s) 
2
U ( s)   s 1

 L2

“十一五”规划教材—电路基
础
1  I1 ( s)   1 




1  I 2 ( s)  0.5
根据KVL得电路的回路方程
 R1I1 ( s)  U L1 ( s)  RS [ I1 (s)  I 2 ( s)]  U S ( s)

 R2 I 2 ( s)  U L 2 ( s)  RS [ I1 ( s)  I 2 ( s)]  U S ( s)
1 
1 

 2s  2 s  1  I1 ( s) 
s

 s  1 s  3  I ( s )   1 1 

 2    
 s 2 
“十一五”规划教材—电路基
础
K1 K 2
( s  1)( s  4)
s4
解得： I1 ( s) 



2s( s  1)( s  5) 2s( s  5) s s  5
K3 K 4
s 1
1
I 2 ( s) 



s( s  1)( s  5) s( s  5)
s s5
求得待定常数 K1  0.4，K2  0.1，K3  0.2，K4  0.2
0.4 0.1
I1 ( s) 

s
s5
反变换求得原函数
i1(t) =
ℒ-1
0.2 0.2
I 2 ( s) 

s s5
5t
[I1 (s)]  (0.4  0.1e )A (t  0)
i2(t) = ℒ-1 [ I 2 (s)]  0.2(1  e5t ) (t )A
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.4 图所示二端口电路处于零状态，试求该二端口电
路的短路导纳矩阵
R
u1 (t )
a
U1 (s)
I 2 (s)
1/ R
u 2 (t )
L
a
I1 ( s )
C2
C1
U 2 (s)
b
I1 ( s )
U1 (s)
sC1
b
I 2 (s)
sC 2
1/ sL U 2 ( s )
(a)
(b)
二端口电路可分解为(a)、(b)所示两个二端口电路的并联
a
U1 (s)
I 2 (s)
1/ R
I1a (s)
a
Y11 
U1 (s)
I1a (s)
Y 
U 2 ( s)
a
12
a
I
a
2 ( s)
Y21 
U1 (s)
U 2 (s)
U 2 0
1

R
1

R
U10
U 2 0
1

R
a
2
I ( s)
Y 
U 2 ( s)
a
22
b
I1 ( s )
a
I1 ( s )
U10
1

R
“十一五”规划教材—电路基
础
b
I 2 (s)
U1 (s)
I1b (s)
Y 
U1 (s)
b
11
b
I
b
1 ( s)
Y12 
U 2 ( s)
b
I
( s)
Y21b  2
U1 (s)
sC 2
sC1
U 2 0
U10
U 2 0
b
I
b
2 ( s)
Y22 
U 2 ( s)
1/ sL U 2 ( s )
sC1 (s 2 LC2  1)
 2
s L(C1  C2 )  1
s3 LC1C2
 2
s L(C1  C2 )  1
s3 LC1C2
 2
s L(C1  C2 )  1
U10
sC2 (s 2 LC1  1)
 2
s L(C1  C2 )  1
“十一五”规划教材—电路基
础
 1
 R
a
Y 
 1
 R
1
 
R

1 
R 
 sC1 ( s 2 LC2  1)

s 3 LC1C2

 s 2 L(C  C )  1

2
s
L
(
C

C
)

1
1
2
1
2

Yb  

s 3 LC1C2
sC2 ( s 2 LC1  1) 
 2

2
s
L
(
C

C
)

1
s
L
(
C

C
)

1

1
2
1
2

 1 sC1 ( s 2 LC2  1)

s 3 LC1C2
1
 R  s 2 L(C  C )  1  R  s 2 L(C  C )  1 
1
2
1
2

Y = Y a +Yb  
 1
s 3 LC1C2
1 sC2 ( s 2 LC1  1) 
 2
  2

 R s L(C1  C2 )  1 R s L(C1  C2 )  1 
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.5 在图所示电路中，开关S在t=0时断开，S断
开前电路处稳定状态。已知R1=30，R2= R3=5，
L=0.1H，C=10-3F，uS=140V。试求t  0 时的uC。
R1
iL
uS
L
R2
uC
C R3
S
t0
解: 由于开关S断开前电路处于稳定状态，可求得电路原
始状态iL(0-)=4A，uC (0-)=20V
用戴维南定理求 UOC(s) Zeq(s)
0.1s
30
140
s
0.4
5
Z eq ( s )
a
U OC ( s )
b
5
U OC ( s )
a 10 3
s
20
b
s
U C (s)
“十一五”规划教材—电路基
础
可得：
10
140
U OC ( s ) 
(
 0.4)
0.1s  40 s
10  0.1s  30 
Z eq ( s) 
0.1s  40
0.1s
30
140
s
5
a
0.4
U OC ( s )
5
b
由等效运算电路，可求得uC的象函数
103 / s
20 20 103  (2 s  600) 20
U C ( s) 
[U OC ( s)  ] 


3
2
10
s
s
s ( s  200)
s
Z eq ( s) 
s
K3
K2
20s 2  104 s  14 105 K1




s( s  200) 2
s s  200 ( s  200) 2
Z eq ( s )
U OC ( s )
a 10 3
s
20
b
s
U C (s)
“十一五”规划教材—电路基
础
求得待定常数 K1  35，K2  15，K3  1000
35
15
1000
U C ( s)  

s s  200 ( s  200)2
反变换求得原函数
200t
uC = ℒ-1 [UC (s)]  [35  (1000t 15)e
]V(t  0)
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.6 图(a)所示电路，开关S在t=0时打开，S打开前电
路处于稳定状态。已知C=0.1F， G=100S，iS=4cos1000tA
，试求t  0 时的uC。
4s
iS ( t )
S
(t  0)
C
uC G
s  10
2
6
0.1s
U C ( s ) 100
解：根据KCL求得电路的节点方程
4s
(100  0.1s )U C ( s )  2
s  106
K1
K2
K2
40s
U C ( s) 



3
2
6
3
3
( s  10 )( s  10 ) s  10 s  j10 s  j103
“十一五”规划教材—电路基
础
求得待定常数 K1  0.02，K2  0.01 245 ，K3  0.01 2 45
0.02 0.01 245 0.01 2  45
U C ( s) 


3
3
3
s  10
s  j10
s  j10
反变换求得原函数
uC = ℒ-1[UC (s)]  [0.02e1000t  0.02 2 cos(1000t  45 )] (t )V
uC=暂态分量+稳态分量
从工程技术上看，经过45，暂态过程已结束，
电容电压uC(t)进入稳态响应，即：
0.02 2 cos(1000t  45 )V
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电
路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，
R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t  0 时的uC和iC1，iC2。
iS
iC 1
R1
C1
S(t  0)
uC 1
R2
10
iC 2
C2
uC 2
I C1 ( s)
s
C1u C 1 (0  )
2
1.5
0.3s
IC 2 (s)
U C (s)
3
0.2s
解：开关S闭合前电路处于稳定状态，可求得uC1(0-)=5V，
uC2 (0-)=0 V。
根据KCL求得电路的节点方程
10
(5  0.5s)U C ( s)   1.5
s
“十一五”规划教材—电路基
础
K2
3s  20 K1
U C (s) 


s( s  10) s s  10
求得待定常数 K1  2，K2  1
可得： U C ( s)  2 
s
1
s  10
可得iC1的象函数
3s  20
0.6s  9s
IC1 (s)  sC1U C (s)  C1uC1 (0 )  0.3s 
 1.5 
s(s  10)
s(s  10)
2
K3
3s
K4
 0.6 
 0.6 

s( s  10)
s ( s  10)
“十一五”规划教材—电路基
础
求得待定常数 K3  0，K4  3
3
I C1 ( s )  0.6 
s  10
同理可得iC2的象函数
2
I C 2 ( s)  0.6 
s  10
反变换求得原函数
uC = ℒ-1 [UC (s)]  (2  e10t )V(t  0+ )
iC1 = ℒ- [ IC1 (s)]  0.6 (t )  3e10t (t )A
1
iC2 = ℒ- [ IC 2 (s)]  0.6 (t )  2e
10t
1
 (t )A
“十一五”规划教材—电路基
础
本例所求与例5.6.7相同，且已知两电容电压在t=0
时发生强迫跳变，由t=0- 时的[uC1(0-)=5V，uC2(0-)=0V]
，跳变到t=0+ 时的uC1(0+)=uC2(0+)=3V。使电容中出现
冲激电流而产生的结果。
但在应用运算法的计算过程中不需要特别考虑是否
发生电容电压的强迫跳变，这是因为运算方法使用的是
t=0- 时刻的原始值，而不是t=0+ 时刻的初始值。因此
，在分析含有电容电压和电感电流发生强迫跳变的电路
时，复频域分析方法要比时域分析方法方便
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.4.8 在图(a)所示电路中，开关S在t=0时由1切换
到2，S切换前电路处稳定状态。已知iS1=1A，iS2=5A，
R1=R3=1，R2=0.5，L1=1H，L2=2H，M=1H，试用节
点分析法求t  0 时的u2。
R3
S
iS 2
2
iL 1
1
iS 1
R1 L1
M
iL 2
L2 R2
I L 1 G3 I L 2
iS 1  iS 2
u2
s
G1
iL1 (0  )
 11
 12
s
s
s
 22
s G2
U 2 (s)
解:开关S切换前电路处稳定状态，可得iL1(0-)=1A，iL2(0-)=0
根据电路标出的参考方向有电感矩阵和倒电感矩阵
1 1 
L

1
2


 2 1
Γ 

 1 1 
“十一五”规划教材—电路基
础
I L 1 G3 I L 2
iS 1  iS 2
s
可得：
G1
iL1 (0  )
 11
s
s
 12
s
 22
s G2
U 2 (s)
 I L1 ( s)  1  2 1 U L1 ( s)  1  iL1 (0 ) 
 I ( s)   s  1 1  U ( s)   s i (0 ) 

  L2 
 L2 
 L2  
1 
2
 s  2  s  1 U1 ( s )   5 
s



  
U
(
s
)
1
1
  1
 3   2  0
 s

s
“十一五”规划教材—电路基
础
求得响应象函数
5(s  1)
1
U 2 ( s)  2

5s  6s  1 s  1
5
反变换求得原函数
1
 t
5
u2 = ℒ-1 U 2 (s)  e  (t )V
从该例可看出在列写电路的节点方程时，如果电路
中含有耦合电感元件，那么使用倒电感矩阵比电感矩阵更
为方便。
6.5 网络函数
“十一五”规划教材—电路基
础
6.5.1网络函数的定义和分类
一个零状态的运算电路，输入激励的象函数为W(s)，零状
态响应的象函数为Y(s)，则网络函数(network function)H(s) 定
义为零状态响应象函数Y(s)与激励象函数W(s)之比，即
Y (s)
H ( s) 
W (s)
U1 ( S )
Z11 ( S ) 
——驱动点阻抗（或入端阻抗）
I1 ( S )
I1 ( S )
Y11 ( S ) 
U1 ( S )
——驱动点导纳（或入端导纳）
“十一五”规划教材—电路基
础
6.5.1网络函数的定义和分类
U 2 (S )
Z 21 ( S ) 
I1 ( S )
——转移阻抗
I 2 (S )
Y21 ( S ) 
U1 ( S )
——转移导纳
U 2 (S )
HU ( S ) 
U1 ( S )
——转移电压比
I 2 (S )
H I (S ) 
——转移电流比
I1 ( S )
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.5.1 图示为电流源IS(s)激励下的RLC并联运算电路
。设电压U(s)和电流IL(s)都是零状态响应象函数，试求
阻抗函数U(s)/IS(s)和电流比IL(s)/IS(s)。
解:由图(b)有电路的节点方程为
1
( sC  G  )U ( s )  I S ( s )
sL
U ( s)
1
sL
H ( s) 

 2
I S ( s) sC  G  1/ sL s LC  sLG  1
1/ sL
I S (s)
sC  G  1/ sL
I L ( s)
1/ sL
1
H ( s) 

 2
I S ( s) sC  G  1/ sL s LC  sLG  1
由图(c)可得 I L ( s) 
I L (s)
I S (s)
U (s)
G 1
sC
sL
(a)
I S (s)
U (s)
G 1
sC
sL
(b) 驱动点函数
1
I S (s)
sC
G
sL
(c) 转移函数
I L (s)
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.5.2 图(a)所示时域电路中，
R
11 15
2 15
 L
H
30
30
C1 
15
15
F C2 
F
3
30
试求网络函数H(s)= IL(s)/US(s)
uS
iL
C1
L
C 2 iR
R
1
U S (s)
sC1
1
I R (s)
sC2
R
I L (s)
sL
(a)
(b)
解: 用回路分析法可得复频域电路回路方程为
1

 sL  sC
1

 1
 sC

1

  I ( s)  U ( s ) 
 L    S 
1
1   I R ( s )  U S ( s ) 
R

sC1 sC2 
1
sC1
解得:
“十一五”规划教材—电路基
础

1 1
R
1 
1
 2
)U S ( s)
 sLR  L(  ) 
 I L ( s)  ( R 
C1 C2 sC1 s C1C2 
sC2

11 15 2
15
s 
s
I L (s)
5
H ( s) 
 330 2
U S ( s) s  6s  11s  6
从上两例可看出,网络函数H(s)都是s的实系数有理
函数，函数中的分子多项式和分母多项式的系数取决于
电路拓扑结构和各元件的参数。
“十一五”规划教材—电路基
础
例 6.5.3 图(a)所示电路，称为PID调节器。试求网
络函数H(s)=Uo(s)/Ui(s)。
R1
R1 ① R2
C2
R2

ui C1
1/( sC 2 )

uo
U i (s)
1
sC1
U o (s)
(b)
(a)
解 :由运算电路图(b)，对节点①列写电流方程为
1
1
(  sC1 )U i ( s) 
U o ( s)  0
R1
R2  1/( sC2 )
H (s) 
U o ( s)
R C
1
1
1
1
 (  sC1 )( R2 
)  ( 2  1 ) 
  R2C1s
U i (s)
R1
sC2
R1 C2
R1C2 s
从H(s)的表达式可以看出，输出电压对输入电压
实现比例、积分和微分运算，因此称为PID调节器。
“十一五”规划教材—电路基
础
例 6.5.4 图示电路中，已知二端口电路N的a参数矩阵为
1 0
AN  
试求网络函数H(s)=U2(s)/U1(s)。

1 1 
I1 ( s )
U1 (s)
sL N1
N2 R
N
I 2 (s)
U 2 (s)
解：将图示电路分解成N1、N、N2三部分，可分别求出N1
和N2的a参数矩阵为
则整个二端口电路a参数矩阵为
1 sL  1 0 1 R  1  sL R  s( R  1) L 
A = A1 AN A2  







1 R
0 1  1 1 0 1   1

“十一五”规划教材—电路基
础
U1 ( s)  1  sL R  s( R  1) L   U 2 ( s) 
 I ( s)    1
   I ( s) 
1

R
 2 
 1  
令I2(s)=0，得到网络函数H(s)=U2(s)/U1(s)为
1
H (s) 
1  sL
“十一五”规划教材—电路基
础
6.5.2网络函数的零点和极点
网络函数可以表示成s的实系数有理函数，即
N (s) bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
H ( s) 

D(s) an s n  an1s n1  ...  a1s  a0
m
或：
( s  z1 )( s  z2 ) ( s  zm )
H (s)  K
K
( s  p1 )( s  p2 ) ( s  pn )
 (s  z )
i 1
n
i
 (s  p )
j 1
j
式中zi(i=1，2，…，m)是分子多项式的零点，当s=zi
时，H(s)=0，称为网络函数的零点(zero)
pj(j=1，2，…，n)是分母多项式的零点，当s= pj
时，H(s)=，称为网络函数的极点(pole)。
s2  2
例如网络函数为 H (s) 
( s  1)(s 2  4s  8)
“十一五”规划教材—电路基
础
H(s)的零点为 z1  j 2 z2   j 2
极点为p1 1，p2 2+j2，p3 2j2
网络函数的零点和极点都是实
数和复数，可标示在s复平面上。
通常用“○”表示零点，用“”
表示极点，从而得到网络函数的零
点、极点分布图，简称极零图
p2×
j
j2
z1 ○ j 2
p1
×

2 1 O
z2 ○ j 2
p3 ×
 j2
注：如遇到重零点和重极点的情况，可在代表零点和极
点的符号旁注一个表示重数的数字
“十一五”规划教材—电路基
础
6.5.3网络函数与冲激响应
由网络函数的定义可得：
Y (s)  H ( s)W ( s)
电路的零状态响应象函数等于网络函数与激励象函数的乘积
当激励为单位冲激w(t)=(t)
即W(s)=1时
Y (s)  H (s)W (s)  H (s) 1  H (s)
Y ( s) ℒ [h(t )]  H (s)
h(t )  ℒ-1[ H ( s)]
即：网络函数就是冲激响应的象函数。 或者说网络函数
的拉氏反变换就是冲激响应，
“十一五”规划教材—电路基
础
在时域分析中已经知道，冲激响应就是t  0+ 时的零
输入响应，反映了时域响应中自由分量的特性。现在可通
过对网络函数极点的分析，来判断冲激响应的特性，进而
判断电路的性质。
若网络函数为真分式且分母为单根，则电路的冲激响应为
h(t )  ℒ-1[ H ( s)] =ℒ
 n Kj  n
p jt
-1  
   K j e  (t )
 j 1 s  p j  j 1
冲激响应h(t)与H(s)的极点在s复平面上的位置有关
(1) 网络函数的极点全都在s复平面的开左半平面上，冲激
响应随时间增长而趋于零，电路是渐近稳定的。
h(t )  0
因为此时 pi 0 (i=1，2，…，n)，所以 lim
t 
“十一五”规划教材—电路基
础
若极点中有共轭复极点，则
h(t )  K1e
1t
2t
cos(1t  1 )  K2e
cos(2t  2 ) 
由于i 0 (i=1，2，…，n)，故 lim h(t )  0
t 

j
j1
1 O

 j1

h(t )
lim h(t )  0
t 
O
渐近稳定电路的极点与冲激响应
t
“十一五”规划教材—电路基
础
(2) 网络函数的极点有一个（实极点）或一对（共轭复极
点）在s复平面的开右半平面上，冲激响应随时间增长而
发散并趋于无穷大，电路是不稳定的。
在这种情况下，与s复平面的右半平面上的极点相
p2t
1t
K
e
K
e
对应，在冲激响应中将含有 2 或 1 cos(1t  1 )
h (t )  
所以 lim
t 
j1
O
 j1
j
h(t )

1

O

不稳定电路的极点与冲激响应
t
“十一五”规划教材—电路基
础
(3) 网络函数的极点全都在s复平面的闭左半平面上，
且位于虚轴上的为单极点，冲激响应随时间增长趋于一
恒定常数或等幅振荡，电路是临界稳定或振荡的。
在这种情况下，与虚轴上的单极点相对应，在冲
激响应中将含有K1cos(1t+1)或K2，故 lim h(t )  0
t 
j
 j1
h(t )

O
O
  j1
稳定电路的极点与冲激响应
t
“十一五”规划教材—电路基
础
(4) 网络函数的极点全都在s复平面的闭左半平面上，
且位于虚轴上的为重极点，冲激响应将随时间增长而
趋于无穷大，电路是不稳定的。
在这种情况下，与虚轴上的重极点相对应，在冲激
响应中将含有(K1+K2t+…)cos(1t+1) 或K1+K2t+…，
h (t )  
故 lim
t 
。
另外，冲激响应衰减（或发散）的快慢和振荡的快慢也
与网络函数的极点在s复平面的位置密切相关。极点越靠
近虚轴，冲激响应的衰减（或发散）越慢；极点越靠近实
轴，冲激响应的振荡越慢。
6.6 固有频率
“十一五”规划教材—电路基
础
网络函数是和零状态响应相联系的。本节将要讨论
的固有频率则是与零输入响应相联系的。固有频率反映
了电路本身所具有的特性，仅由电路的拓扑结构及元件
参数决定，而与输入激励和电路的状态无关。虽然网络
函数和固有频率联系的对象不同，但它们彼此之间并非
毫无关系。事实上，通过网络函数来确定固有频率有时
更为简便。
6.6.1固有频率的定义
一、电路变量的固有频率
在线性非时变电路中，若电路变量y的零输入响应方程
的特征根si（i=1，2，…，n）为单根
“十一五”规划教材—电路基
础
有零输入响应为
y  K1e  K 2e 
s1t
 Ki e 
si t
s2t
n
  Ki e
si t
i 1
则称si为电路变量y(t)的一阶固有频率。
一般地，如果零输入响应表达式为
m
ri
y   Kij t j 1esit
i 1 j 1
则称si为电路变量y(t)的ri阶固有频率。
例如：如果s1为特征方程的4重根，零输入响应中将含有
( K1  K2t  K3t 2  K4t 3 )es1t 项，并可表示成
4
n
i 1
i 5
y   Kit i 1e s1t   Ki e sit
4
n
i 1
i 5
y   Kit i 1e s1t   Ki e sit
“十一五”规划教材—电路基
础
则称s1为电路变量y的四阶固有频率。
电路变量的固有频率确定了该电路变量零输入响应
的性质，因而从电路变量的固有频率也可获知电路是否
稳定。
（1）若电路中各电路变量的固有频率全都位于s复平面的开
左半平面，则电路是渐近稳定的；
（2）若固有频率除位于s复平面的开左半平面外，有一些
位于虚轴上，但位于虚轴上的这些固有频率全都是一阶的，
则电路是振荡的（临界稳定的）；
（3）若在虚轴上有高阶固有频率或在s复平面的开右半平面
上有固有频率，则电路是不稳定的。
“十一五”规划教材—电路基
础
二、电路的固有频率
电路中所有电路变量固有频率的集合，称电路的固有
频率。
例6.6.1 在图示电路中，C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，
试求电路的固有频率。
uC 3
解：设uC1(0)=U10，uC2(0)=U20
G1
uC 1
C3
C1
由于电容C1，C2和C3构成回路，
只有两个电容电压是独立的。
则: uC3(0)=U10U20
在零输入情况下，电路的节点矩阵方程为
C2
uC 2
G2
“十一五”规划教材—电路基
u础
C3
在零输入情况下，电
路的节点矩阵方程为
G1
uC 1
C3
C1
C2
uC 2
G2
sC3
 s(C1  C3 )  G1
 U C1 (s)   C1U10  C3 (U10  U 20 ) 







sC
s
(
C

C
)

G
U
(
s
)
C
U

C
(
U

U
)
3
2
3
2   C2
3
10
20 

  2 20
 2s  1 s  U C1 ( s)   2U10  U 20 




 s

2s  1 U C 2 ( s)   2U 20  U10 

3U10 s  (2U10  U 20 )
3U 20 s  (2U 20  U10 )
U C1 ( s ) 
U C 2 ( s) 
(3s  1)( s  1)
(3s  1)( s  1)
“十一五”规划教材—电路基
础
电路变量uC1和uC2都有1/3和1两个固有频率。
但是 U C 3 ( s)  U C1 ( s)  U C 2 ( s )  3(U10  U 20 ) s  3(U10  U 20 )
(3s  1)( s  1)
3(U10  U 20 )( s  1) 3(U10  U 20 )


(3s  1)( s  1)
3s  1
uC3只有1/3一个固有频率
原因是上式分子、分母中正好有公因子（s+1）相除。
因此，整个电路的固有频率集为{1/3，1}。
“十一五”规划教材—电路基
础
6.6.2电路固有频率数
如果电路中有n个固有频率（k阶固有频率算作k个
固有频率），那么就有n个待定系数Ki需要由电路的初始
状态确定。从前面分析已知，组成电路初始状态的初始
值为独立电容电压和独立电感电流，因此，要确定n个
待定系数Ki，电路中就必须有总数为n的独立电容电压和
（或）独立电感电流。反之亦然。由此可得出结论:
电路固有频率数 = 电路独立储能元件数
这个数目也称为电路的复杂度
“十一五”规划教材—电路基
础
电路中影响电路状态的变量（电容电压或电感电流）的
独立性问题可分无源电路和有源电路两种情况进行讨论。
所谓有源电路是指含有受控源或负值RLC元件的电路，否则
称无源电路。
(1)无源（RLC）电路:
(a)如果电路中不含全电容回路（全部由电容或电容和独立
电压源构成的回路），则每一个电容电压都是独立的。
(b)如果含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受
其它电容电压或电压源的制约。因此，如果电路中有nC个
电容元件，同时含有lC个相互独立的全电容回路，则
独立电容电压数 = nC  lC
“十一五”规划教材—电路基
础
(a)如果电路中不含全电感割集（全部由电感或电感和
独立电流源构成的割集），则每一个电感电流都是独立的。
(b)如果含有一个全电感割集，其中将有一个电感电流
受其它电感电流或电流源的制约。因此，如果电路中有nL
个电感元件，同时含有qL个相互独立的全电感割集，则
独立电感电流数 = nL  qL
所以无源（RLC）电路的复杂度，即电路固有频率的数量n为
n = n C + n L  lC  q L
“十一五”规划教材—电路基
础
(2) 有源电路
只能给出其上、下限，即
电路复杂度公式
0  n  n C + n L  lC  q L
例6.6.2 考察图示有源电路，试确定电路固有频率的个数。
解: 由图示电路，有KVL路方程
(sL  R) I L (s)  LiL (0 )  U L (s)
R
(1   ) LiL (0 )
I L ( s) 
(1   ) Ls  R
 uL
R
如果  1，则有一个固有频率 s1   (1   ) L
若 = 1，则IL(s)=0，没有固有频率。
iL
L
uL
例6.6.3 考察图示有源电路，
试确定电路固有频率的个数。
“十一五”规划教材—电路基
础
u
ia
iL 1
L1
2u
iL 2
ib
u2
L2
iL 3
R
L3
解 :由图示电路，有网孔方程
 R   I a ( s)   L1iL1 (0 )  L2iL 2 (0 )  2U ( s) 
 s( L1  L2 )  R







R
sL

R
I
(
s
)
L
i
(0
)
3
3 L3


 b  

其中: U (s)  L2  sI L2 (s)  iL2 (0 )  sL2 Ia (s)  L2iL2 (0 )
 R   I a (s)  ( L1  L2 )iL1 (0 ) 
 s( L1  L2 )  R






R
sL3  R   I b (s)   L3iL3 (0 ) 

解得:
“十一五”规划教材—电路基
础
( L1  L2 )( sL3  R)iL1 (0 )  L3 RiL3 (0 )
I a ( s) 
( L1  L2 ) L3 s 2  ( L1  L2  L3 ) Rs
I b ( s) 
L3 ( L1  L2 )s  R iL3 (0 )  ( L1  L2 ) RiL1 (0 )
( L1  L2 ) L3 s  ( L1  L2  L3 ) Rs
2
从上两式可见，如果L1L2，则电路有两个固有频率；
如果L1=L2，则只有一个固有频率，因为此时Ia(s)=Ib(s)，于
是iL1=iL2=iL3，三个电感电流只有一个是独立的。
“十一五”规划教材—电路基
础
6.6.3零固有频率
如果电路的某一固有频率si = 0，则称为零固有频率。
当电路变量有零固有频率时，其零输入响应中就含有K，即
常数项。
电路中出现零固有频率只有两种可能
(1) 如果零输入响应是电流且为常量，只有全电感回路
（全部由电感或电感和独立电流源构成的回路）才有可
能保持恒定电流的流通。
(2) 如果零输入响应是电压且为常量，只有全电容割集（
全部由电容或电容和独立电压源构成的割集）才有可能保
持恒定电压的存在。
则如果电路中含有lL个全电感回路和qC个全电容割集，
则电路零固有频率的数量n0为 n0 = lL + qC
“十一五”规划教材—电路基
础
6.6.4固有频率的求取
一、电路变量固有频率的求取
这里介绍网络函数法，也就是通过求电路变量对应的网
络函数的极点，来求取电路变量的固有频率。
例6.6.4 求图(a)所示电路中电路变量电容C1两端电压u的
固有频率。已知R1=R2=1Ω，R3=4Ω，C1=C2=1F，L=1H。
i
i
iS
L
R1
u
C1
R3
C2
(a)
R2
L
R1
u
C1
R3
C2
R2
(b) 电流源“焊接”电路
“十一五”规划教材—电路基
础
解: 以u为输出变量的网络函数的极点来确定所求固有频率
在原电路施加电流源激励,而不改变原电路结构,可得:
U ( s)
1
s 2  5s  5
H ( s) 


1
I S ( s) s  1 
( s  1)( s  2)(s  3)
1
s
4
s 1
网络函数有1，2和3三个极点。这些极点都是电路
变量u的固有频率。则nnCnLlCqL2+1003，即
电路固有频率数为3个，故所求就是电路变量u的全部
固有频率
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.6.5 求图(a)所示电路中电感电流i的固有频率。已知
R1=R2=1Ω，R3=4Ω，C1=C2=1F，L=1H。
i
解 :设在电感支路上钳接一个
电压源uS作为激励源,uS与i相
应的网络函数为:
H ( s) 
I ( s)
1
s 1


U S ( s) s  1  4  1
(s  2)(s  3)
R1
s 1
s 1
L
R1
C1
u
R3
C2
R2
(a)
i
L
uS
C1
R3
C2
该网络函数也只有2和3两个极 电压源“钳接”电
点。至此已可肯定电感电流i的固有频路
率只有2和3两个。
R2
“十一五”规划教材—电路基
础
二、电路固有频率的求取
电路行列式法也是求取电路固有频率的一种方法。当网
络函数的极点数目少于预期的数目时，可改用电路行列式
法。电路行列式方法的基础是以下定理：
若线性非时变电路的方程（复频域形式）为
P ( s)Y ( s)  W ( s)
则电路行列式det[P(s)]0的非零根必是电路的非零固有频
率，电路的非零固有频率也必是det[P(s)]0的非零根。
电路方程可以是节点方程、网孔方程、回路方程、割
集方程等，其中P(s)表示Yn(s)、Zm(s)、Zl(s)、Yq(s)等，
即对应电路方程的系数矩阵。
“十一五”规划教材—电路基
础
例6.6.6 图示电路中，C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，试用
电路行列式法求取电路的固有频率。
uC 3
解：设uC1(0)=U10，uC2(0)=U20
电路的节点矩阵方程为
G1
uC 1
C3
C1
C2
uC 2
G2
 2s  1 s  U C1 ( s)   2U10  U 20 




 s

U
(
s
)
2
U

U
2
s

1

  C 2   20
10 
△(s) = det［P(s)］= (2s+1)2s2 = (3s+1) (s+1)
电路的固有频率为1/3和1。与例6.6.1所求结果一致