Transcript 2.2 光在单个球面上的折射与成像

2 光学成像的几何学原理
§2. 2 光在单个球面上的折射
与成像
2 光学成像的几何学原理 2.2 光在单个球面上的折射与成像
主要内容
1. 基本概念和符号规则
2. 光在单个球面上的折射，同心性的破坏
3. 轴上物点的傍轴光线成像
4. 高斯物像公式与牛顿物像公式
5. 光在单个球面上的反射成像
6. 光在单个平面上的折射、反射成像
7. 离轴物点的傍轴光线成像
8. 成像放大率
9. 亥姆霍兹公式与拉格朗日-亥姆霍兹定理
2 光学成像的几何学原理 2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.1 基本概念和符号规则
(1) 折射球面光具组的基本概念
单个折射球面光具组：
M
n
n：物方介质的折射率
n'：物方介质的折射率
n'
i
h
Q
i'
u
-u'
O
C：球心
C
H
r
Q：物点
s
s'
Q'：像点
图2.2-1 轴上物点的折射成像
顶点：球面在光具组中的对称点O
光轴：使光线不发生偏折的方向，如过球心并垂直于球面的方向
主光轴：过球面顶点O和球心C的连线
主截面：包含主光轴的截面
Q'
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.1 基本概念和符号规则
说明：
① 一个球面光具组有无数个光轴和无数个主截面，但主光轴只有一个。
并且，由于轴对称性，一般只需要讨论光线在某一个主截面上的传播
规律即可。
② 折射球面作为一个简单光具组，是构成各种复杂光学系统的基本元件
之一，研究球面的折射成像规律具有普遍意义：
取n2=-n1，则球面折射问题转化为球面反射问题；
取r→∞，则球面的折射和反射变为平面的折射和反射；
两个或两个以上折射球面构成的光具组——透镜或透镜组。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.1 基本概念和符号规则
(2) 符号规则
以光具组的顶点和主光轴为基准，规定光路图中各几何量的符号如下：
① 物距s：物点Q位于球面顶点O的左侧，即对实物点，s>0。反之，s<0。
像距s'：像点Q'位于球面顶点O的右侧，即对实像点，s'>0。反之，s'<0。
② 曲率半径r：球心C位于球面顶点O的右侧时，r>0。反之，r<0。
③ 角度：以光轴（主光轴或球面法线）为基准，以锐角逆时针偏向为正，
顺时针 偏向为负。
④ 物像及轴外点高度：以主光轴为基准，向上为正，向下为负。
⑤ 全正图形：所有长度和角度在图中均以正值标记，若某个量按符号规
则为负值，在图上标注时，应冠以“-”号。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.1 基本概念和符号规则
说 明
长度量与角度量的正负无关，各自遵守相应的符号规则。
符号规则与全正图形的规定并不矛盾，在光路图中的长度量与角
度量均为几何量，只能取正值，而实际计算时，这些量又成为代数量，
这样才能保证所导出公式的普适性。
不同教材中采用的符号规则可能有所不同，因而所得公式的形式
也可能不相同，但最终的结论却是一致的。
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2.2.2 光在单个球面上的折射，同心性的破坏
(1) 像距与物距的关系
M
n
n'
i
h
Q
i'
u
-u'
O
Q'
C
H
r
s
s'
由正弦定理，对图中三角形DQMC和DQ'MC：
(2.2-1)
代入折射定律nsin i=n'sin i'，得像距s'的一般计算公式：
(2.2-2)
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2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2. 2 光在单个球面上的折射
(2) 同心性的破坏
问题：由式（2.2-2），s'不仅与r、s、n和n'有关，而且还与u（或h）
有关。不同的u（或h）取值，对应不同的s'（不同Q'）。
结论：由同一物点发出的单心光束经球面折射后，其单心性将不再保
持，因而与物点Q对应的共轭像点Q'也将不存在，表明这样一个
球面光具组不能使物点Q准确成像。
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2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(1) 傍轴光线条件
导致光束单心性破坏的原因：某些光线偏离主光轴的角度过大。
傍轴光线条件：
(2.2-3)
或
(2.2-4)
因而
(2.2-5)
代入式（2.2-2）得傍轴条件下球面折射成像公式：
(2.2-6)
(2.2-7)
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(2) 焦点与焦距
球面系统的光焦度：
(2.2-8)
光焦度的意义：一个仅由球面系统参数确定的常数
s→∞时，
s'→∞时，
物（像）方焦点F（F ' ） ：与无限远处像（物）点对应的轴上物（像）点
物（像）方焦距f （ f ' ） ：F （F ' ）到球面顶点O之距离
(2.2-9)
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2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
说明：
① 焦点是特殊的轴上物点和像点。因此，物
n
方焦距与物距、像方焦距与像距遵守相同
n'
的符号规则。
O
F
f>0（f '>0）： F（F'）为实焦点，且位于O点
的左（右）侧。
(a) 物方焦点F
f<0（f '<0）： F（F'）为虚焦点，且位于O点
的右（左）侧。
② 物像方焦距之比：
n
(2.2-10)
结论：f '与f大小不相等，但符号始终相同，故
F与F'分处于球面顶点的两侧而不重合。
n'
O
F'
(b) 像方焦点F'
图2.2-2 焦点的意义
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2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(3) 高斯物像公式
将焦距的定义式代入折射球面的成像公式，得
(2.2-11)
说明：高斯物像公式是光学系统傍轴成像的普遍公式。无论成像系统
如何不同，其物距、像距和物像方焦距之间的关系，均可以表
示成高斯物像公式的形式。只是在不同系统中，物距、像距和
物像方焦距的取值方法和符号规则有可能不同。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(4) 牛顿物像公式
① 物距和像距的另一种定义
物距x：以物方焦点F为起点，物点Q在F的左侧为正，右侧为负；
像距x'：以像方焦点F'为起点，像点Q'在F' 的左侧为负，右侧为正。
M
n'
n
Q'
Q
O
F
x
f
C F'
r
f'
图2.2-3 单个球面的折射
x'
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
② 牛顿物像公式
将物距和像距的新定义代入高斯物像公式，得牛顿物像公式：
(2.2-12)
说明：牛顿物像公式和高斯物像公式的意义等价，均适用于光学系统
的傍轴成像。区别是两者所定义的物距和像距取值基准不同。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(5) 光在单个球面上的反射成像
球面反射成像的特点：可以看作是球面折射的一种特殊形式，不同之处仅在
于经球面反射的光线方向倒转，变为从右向左传播。
反射成像系统中像距的符号规则：若像点Q'在球面顶点O的左侧，则s'>0。
反之，s'<0。
取n'=-n，并以-s'代替（2.2-7）式中的s'，得（傍轴条件下）
球面反射成像公式：
(2.2-13)
式中
(2.2-14)
(2.2-15)
结论：对于反射球面，高斯物像公式和牛顿物像公式形式仍然不变。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(6) 光在单个平面上的折射、反射成像
r→∞时，球面→平面，球面折射和反射成像→平面折射和反射成像，且有
傍轴光线在平面上的折射成像公式：
(2.2-16)
傍轴光线在平面上的反射成像公式：
(2.2-17)
像似深度：傍轴光线在平面上折射成像时的像距s'。
说明：平面镜是唯一能够理想成像的光学系统，而球面折射、反射以及平
面折射系统则只有在近轴近似条件下才能准确成像。
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2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
(1) 空间同心元光束经球面折射后的空间成像
① 空间元光束的成像特点
S
物：以C点为球心，以线段CQ
Q1
的长度为半径的球面S。
n
S
n'
D
w
Q2'
Q
像：以C点为球心，以线段Q'C
的长度为半径且过Q'点的
球面S'。
S'
C
D
Q2
Q'
Q1'
r
s
s'
图2.2-4 离轴物点的傍轴光线成像
S上各点（如Q、Q1和Q2点）发出的同心元光束（以过该点球面法线为
主光轴）经球面折射后，均成像在S'上（如Q'、Q1'和Q2'点）。
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2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
② 傍轴物条件
当球面S（物）和相应的S'（像）的横向线度远远小于该球面成像系统
的物距s、像距s'及折射球面S的曲率半径r时，或球面S上任意一点发出的同
心元光束的光轴与系统主光轴之间的夹角w很小时，则球面S和S'分别与过Q
和Q'点的垂轴平面重合。成像系统的物像共轭面近似简化为一对垂轴平面。
(2.2-18)
③ 傍轴光线、傍轴物条件下的物像关系
(2.2-19)
(2.2-20)
结论：傍轴光线和傍轴物条件下，轴外物点与轴上物点服从同一物像关系式。
对于球面反射成像系统的傍轴物点：
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
(2) 由等光程条件导出傍轴物点的成像规律
① 离轴物点经球面折射成像的光路图
M
n
n'
P
y
u
h
-i
-u'
-i '
O d
Q
C
r
s
Q'
-y'
P'
s'
图2.2-5 离轴物点的折射成像
② 光线POP'和PMP'的光程计算
(2.2-21)
(2.2-22)
(2.2-23)
结论：一般情况下，LPOP'≠LPMP'。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
③ 傍轴条件
傍轴光线：
(2.2-24)
傍轴物：
(2.2-25)
④ 傍轴条件下的物像关系
展开式（2.2-21）、（2.2-22）和（2.2-23）中的根号并取一级近似，得
(2.2-26)
对于任意变量h，光程差DL=0的条件：
(2.2-27)
(2.2-28)
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
(3) 成像放大率
① 横向放大率
定义：像高与物高之比，以V 表示：
(2.2-29)
意义；反映了在傍轴条件下，物点高度与像点高度的关系。
说明： 像的缩放：|V|>1：横向被放大；|V|<1：横向被缩小。
像的反正：V>0：像正立；V<0：像倒立。
折射球面：
(2.2-30)
反射球面：
(2.2-31)
任意系统：
(2.2-32)
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2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
② 角放大率
定义：折射光线（出射光线）和主光轴夹角u'的正切与对应共轭入射光
线和主光轴夹角u的正切之比，用W表示。即
(2.2-33)
意义：反映了成像系统出射光束相对入射光束孔径角的变化大小。
折射球面的角放大率：
(2.2-34)
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
③ 轴向放大率
定义：像距增量相对于物距增量的比值，用a 表示。即
(2.2-35)
对折射球面：
(2.2-36)
(2.2-37)
说明：轴向放大率实际上反映了成像系统的景深，即能够对纵向空间成清晰
像的范围。a 越小，则表明像距随物距的变化率越小，系统成像的景
深越大。物距x越大，则系统的轴向放大率a 越小。因此，拍摄远景
时可获得较大景深。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
④ V、W及a 之间的关系
(2.2-38)
(2.2-39)
结论：对于给定系统的一对共轭点，横向放大率与角放大率的乘积是一个
常数。或者说，横向放大率与角放大率成反比。提高V必然会减小W，
反之亦然。同时，横向放大率的平方与轴向放大率成正比。增大横
向放大率，必然导致轴向放大率也随之增大，从而使系统的景深减
小。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
2.2.4 离轴物点的傍轴光线成像
(4) 亥姆霍兹公式与拉格朗日-亥姆霍兹定理
亥姆霍兹公式：
(2.2-40)
说明：亥姆霍兹公式是球面系统能以空间任何宽光束成像的必要条件。
拉格朗日-亥姆霍兹定理（在傍轴条件下）：
(2.2-41)
意义：在傍轴条件下，球面系统的物高、物方介质折射率及入射光束的
孔径角之乘积ynu与像方相应量的乘积y'n'u'始终相等，无论经过
怎样的折射，都是一个不变量。
拉格朗日-亥姆霍兹不变量：ynu。
说明：对于由多个球面构成的共轴光学系统，无论成像的中间过程如何
复杂，拉格朗日-亥姆霍兹定理始终成立。因此，拉格朗日－亥姆
霍兹定理起着联系物方与像方各量的纽带作用。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
本节重点
1. 符号规则
2. 光在单个球面上的折射及反射成像规律
3. 光在单个平面上的折射及反射成像特点
4. 光焦度与焦距的概念及联系
5. 高斯物像公式与牛顿物像公式
6. 成像放大率
7. 亥姆霍兹公式与拉格朗日-亥姆霍兹定理