Transcript Distância entre Dois Pontos
© Paulo Correia 2001
Distância entre Dois Pontos
© Paulo Correia 2001
Distância entre dois pontos na Recta
P(5)
d PO =5
5
x
0 5 A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada.
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Distância entre dois pontos na Recta
Q(-5)
d QO =5
5 -5 0 A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada.
x
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Distância entre dois pontos na Recta
P(
a
)
d PO =|a|
|
a| x a
0 De uma forma geral, a distância de um ponto à origem é o valor absoluto da própria coordenada.
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Distância entre dois pontos na Recta
P(3) Q(5)
d PQ =5-3 =2 x
0 3 2 5 A distância entre dois pontos será dada pela subtracção das coordenadas.
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Distância entre dois pontos na Recta
P(
a
) Q(
b
)
d PQ =|a-b|
|
a-b| a b
Se não soubermos qual é o maior valor (
a
ou
b
), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim vamos obter sempre um valor positivo para a distância.
x
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Exemplo:
P(5) Q(3)
d PQ
= |3-5
|
= |-2| = 2
d PQ
= |5-3
|
= |2| = 2 0 3 5
d PQ =|a-b| x
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Exemplo:
P(-1) Q(3)
d PQ
= |-1-3 = |-4| = 4
|
-1 0 3
d PQ
= |3-(-1)
|
= |3+1| = |4| = 4
d PQ =|a-b| x
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Exemplo:
P(-2) Q(-6) -6
d PQ
= |-6-(-2)
|
= |-6+2| = |-4| = 4
d PQ
= |-2-(-6)
|
= |-2+6| = |4| = 4 -2 0
d PQ =|a-b| x
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(-2,4) Q(-2,9) R(4,4) 4 0 -2 R No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas:
d
PR = |-2-4| = = 6 6 4 P Q 9
x
5 No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas:
d
PQ = |4-9| = = 5
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 )
b
2 Q 0
b
1
a
1 ?
a
2
x
P Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos?
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ) R(
a
2 ,
b
1 )
b
2 Q 0
b
1
a
1 P ?
a
2 R
x
Começamos por considerar um terceiro ponto cuja abcissa seja igual à de um dos pontos e a ordenada igual à do outro ponto.
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ) R(
a
2 ,
b
1 )
d
PR = |
a
1 -
a
2 |
d
QR = |
b
1 -
b
2 |
b
2 Q 0
b
1
a
1 P ?
a
2 R
x
Determinamos a distância do ponto novo a cada um dos pontos dados.
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ) R(
a
2 ,
b
1 )
d
PR = |
a
1 -
a
2 |
d
QR = |
b
1 -
b
2 | (
d
PQ ) 2 = (
d
PR ) 2 + (
d
QR ) 2
b
2 Q
a
1 0
b
1 P
a
2 R
x
Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância entre os dois ponto iniciais.
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Distância entre dois pontos no Plano y
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ) R(
a
2 ,
b
1 )
d
PR = |
a
1 -
a
2 |
d
QR = |
b
1 -
b
2 |
d
Q (
d
PQ ) 2 = (
d
PR ) 2 + (
d
QR ) 2
b
2 (
d
PQ ) 2 = (
a
1 -
a
2 ) 2
a
1 0
b
1 P Podemos expressar a distância entre dois
d a
2 R
PQ
a
pontos através das suas coordenadas.
1
x a
2
b
1 + (
b
1 -
b
2 ) 2
b
2 2
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y
0 -2
Exemplo:
7 P
d PQ
a
1
a
2
b
1
b
2 2 A distância de um ponto à Origem é dada por:
d PO
a
2
b
2
x
P(7,-2)
d PO
7 53 2 49 4 ( 2 ) 2
© Paulo Correia 2001 -3 -2 0
y
Exemplo:
4 7 P
d PQ
a
1
a
2
b
1
b
2 2 P(7,-2) Q(-3,4)
d PQ
( 7 ( 3 )) 2 ( 2 4 ) 2 ( 7 3 ) 2 ( 2 4 ) 2
x
2 ( 10 ) 2 ( 6 ) 2 100 36 136 34
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Distância entre dois pontos no Espaço x z
Q
c
2
b
2
a
1
c
1 ?
a
2 P(
a
1 ,
b
1 ,
c
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ,
c
2 )
b
1
y
P
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Distância entre dois pontos no Espaço x b
2
a
1
c
1
z
Q
c
2
a
2 P(
a
1 ,
b
1 ,
c
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ,
c
2 ) R(
a
2 ,
b
2 ,
c
1 ) R
b
1
y
P Começamos por considerar um ponto com duas coordenadas iguais a um dos pontos e a outra igual ao outro ponto.
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Distância entre dois pontos no Espaço x b
2
a
1
c
1
z
Q
c
2
a
2 P(
a
1 ,
b
1 ,
c
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ,
c
2 ) R(
a
2 ,
b
2 ,
c
1 ) R
b
1
y
P (
d
PR
d
) 2 QR = ( = |
a c
1 1 -
c a
2 2 ) | 2 + (
b
1 -
b
2 ) 2 Determinamos a distância desse ponto a cada um dos outros pontos.
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Distância entre dois pontos no Espaço x b
2
a
1
c
1
z
Q
c
2
a
2 P(
a
1 ,
b
1 ,
c
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ,
c
2 ) (
d
PR ) 2 = (
a
1 -
a
2 ) 2 + (
b
1 -
b
2 ) 2
d
QR = |
c
1 -
c
2 | (
d
PQ ) 2 = (
d
PR ) 2 + (
d
QR ) 2
b
1 (
d
PQ ) 2 = (
a
1 -
a
2 ) 2
y
+ (
b
1 -
b
2 ) 2 + (
c
1 -
c
2 ) 2 R P Através do Teorema de Pitágoras podemos agora determinar a
distância entre os ponto P e Q.
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Distância entre dois pontos no Espaço x z c
2
b
2
a
1
c
1 Q P(
a
1 ,
b
1 ,
c
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 ,
c
2 ) (
d
PR ) 2 = (
a
1 -
a
2 ) 2 + (
b
1 -
b
2 ) 2
d
QR = |
c
1 -
c
2 |
a
2 (
d
PQ ) 2 = (
d
PR ) 2 + (
d
QR ) 2 R
d PQ
P
b
1 (
d
PQ ) 2 = (
a
1 -
a
2 ) 2
y
+ (
b
1 -
b
2 ) 2 + (
c
1 -
c
2 ) 2 Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas.
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2 2
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x
Exemplo:
z d PQ
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2 2 P(-2,5,4) P A distância de um ponto à Origem é dada por:
d PO
a
2
b
2
c
2 4 -2 5
y d PO
( 2 ) 2 5 2 4 25 16 4 2 3 45 5
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Exemplo:
z d PQ
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2 2 Q -2 3 -4
x
P 2 -4 6
y
P(2,-2,-4) Q(-4,6,3)
d PQ
( ( 2 6 36 ) 149 2 ( 4 )) 64 2 49 ( 2 6 ) ( 8 ) 2 ( 7 ) 2 2 ( 4 ( 2 4 ) 2 ( 2 6 ) 2 ( 4 3 ) 2 3 ) 2
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Distância entre Dois Pontos
P(
a
) Q(
b
)
d PQ =|a-b|
P(
a
1 ,
b
1 ) Q(
a
2 ,
b
2 )
d PQ
a
1
a
2
b
1
b
2 2
d PQ
a
1 ,
b
1 ,
c
1 )
a
2 ,
b
2 ,
c
2 )
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2 2