Transcript Matematická Logika

Matematická Logika
Maroš Almáši, Peter Macko, Filip Júdt, Sebastián
Kováč, Roberta Ilašenková, Patrícia Manková, Nicol
Šlosárová
Gymnázium P.J.Šafárika Rožňava
Matematická logika
• Matematická logika (alebo z pohľadu filozofie moderná logika alebo
symbolická logika alebo logistika) je matematická disciplína zaoberajúca
sa štúdiom formálnych systémov vo vzťahu ku konceptom dôkazu a
výpočtu ako časť základov matematiky.
• Matematická logika je moderná forma logiky, ktorá sa od staršej, tradičnej
logiky odlišuje predovšetkým jej formalizáciou a kalkulizáciou, prípadne (z
praktických dôvodov) symbolizáciou.
• Matematická logika je formálna logika, ktorá pri skúmaní myslenia používa
matematické metódy, špeciálny aparát symbolov a kalkuly prípadne
formalizované jazyky.
• Moderná logika vyšla síce z matematických problémov a používa
matematické metódy, ale svojou povahou smeruje k tomu, aby slúžila
všetkým vedám ako teória vedeckého dôkazu.
Charakteristické črty
matematickej logiky
• Matematická logika vznikla hlavne pod vplyvom matematiky na
logiku v 19. storočí a vyznačuje sa týmito charakteristickými
črtami:
• a) zdôrazňuje nevyhnutnosť upresnenia jazyka, ktorým
vyjadrujeme myšlienky, ktoré robíme predmetom logickej
analýzy. Tento cieľ dosahuje väčšinou tým, že pracuje so
symbolickým jazykom;
• b) myšlienkové operácie (usudzovanie) prevádza na operácie s
výrazmi, ktoré sa uskutočňujú podľa presne stanovených
formálnych pravidiel (podobne ako počtové operácie v
matematike);
• c) rozpracovala metódu deduktívneho výkladu vedeckej
disciplíny, pri ktorej vychádzajúc z určitých základných pojmov
a poučiek odvodzujeme ostatné pojmy a poznatky príslušnej
disciplíny čisto logickou cestou. Moderná logika venuje síce
veľkú pozornosť analýze, rozboru myšlienok a výrazov, vlastný
výklad však podáva obvykle konštruktívnym postupom,
počínajúc budovaním vyjadrovacej sústavy, urcením významu
výrazov a stanovením prípustných operácií;
Pravidlá matematickej logiky
• Pravidlá, ktoré matematická logika pri výskume myslenia
vyťaží, sú analogické s pravidlami matematických, najmä
algebraických operácií. Úlohou matematickej logiky je
vlastne to isté, čo úlohou tradičnej logiky, totiž vyvinúť
postupy, pomocou ktorých by sa dala preveriť správnosť
našich logických uzáverov, alebo ináč povedané,
pomocou ktorých by sa dali odlíšiť platné uzávery od
neplatných. Alebo ešte ináč povedané, úlohou
matematickej logiky je vypracovať kritériá, pomocou
ktorých by sa dali rozlíšiť logicky pravdivé výpovede od
iných právd.
História matematiky
• Hlavné odvetvia matematiky vznikli z potreby robiť výpočty pre účely
obchodu, merať pozemky a predpovedať astronomické udalosti.
Tieto tri potreby zhruba zodpovedajú rozdeleniu matematiky na
štúdium štruktúry, priestoru a zmeny.
• Štúdium štruktúry začína pojmom čísla. Najskôr boli známe
prirodzené a celé čísla a ich aritmetické operácie, ktoré sú zahrnuté
v elementárnej algebre. Zložitejšie vlastnosti celých čísel skúma
teória čísel. Skúmanie metód na riešenie rovníc viedlo k vzniku
abtraktnej algebry, ktorá okrem iného skúma štruktúry ako okruhy a
polia, ktoré zobšeobecňujú vlastnosti dobre známych aritmetických
operácií na číslach. Vektor je pojem dôležitý vo fyzike. Lineárna
algebra, ktorá študuje vektory a ich zovšeobecnenie, vektorové
priestory, sa nachádza na priesečníku štúdia štruktúry a priestoru.
Augustus deMorgan
• Augustus De Morgan (1806 -1871) bol britský matematik, ktorý
predstavil formálnu verziu zákonov v klasickom výroku logiky. De
Morganov zápis bol ovplyvnení algebraricAugustus De Morgan
(1806 -1871) bol britský matematik, ktorý predstavil formálnu verziu
zákonou v klasickej výrokovej logike. De Morganov zápis bol
ovplyvnený algebrarickou logikou vymyslenou Georgem Boolem,
ktorý sa pozdejšie prihlásil o časť zásluh na týchto logických
zákonoch. Akokoľvek bola podobná pozorovaniu zápisná už
Aristotelom a boli známy už v starom Grécku a v stredoveku,
DeMorgan im dodal klasickou formu a zaviedli tým matematickú reč
do matematickej logiky. DeMorganovy zákony sú ľahko dokázateľné
a môžu sa javiť triviálne. Viac-menej, tieto zákony sú užitočné pre
dôkazy platnosti záveru a pre deduktívne úlohy .Logikou
vymyslenou Georgem Boolem, ktorý sa pozdejšie prihlásil o časť
zásluh na týchto logických zákonoch.
Fotogaléria