Transcript Квадратные уравнения».

Муниципальное общеобразовательное
учреждение
«Гимназия №53»
Приёмы устного решения
квадратного уравнения
Бойко Т.А.
учитель математики
Цель:
устные
приёмы эффективного
решения квадратных уравнений.
1999 sin
2
x  1997 sin x  2  0 ;
3 sin 6 x  4 sin 6 x  1  0
2
319 x  1988 x  1669  0
2
(5  4 x )
2
 ( 9  21 x )( 4 x  5 )
x
 3  10
2
x
2
D  19881
5  25
3 tg
x
 24
x
 4 tg
x
1  0
2
 log 0 , 9 ( 2 y  3 x  1)  0

 0 ,5 log 2 ( 3 y  x  1,5 )  log 4 ( 8 x )  0
Извлечения квадратного корня
Из натурального числа
324  18
9216  96
92 *16 =96
81
186 1116
6 1116
3*24 = 18
1
28 224
8 224
19881  141
у
с
т
н
о
ax  bx  c  0
2
Приём «Коэффициентов»:
1) Если а+в+с=0, то
2) Если в = а + с, то
x 1  1, x 2
x 1   1, x 2 
c

.
a
 c
.
a
3) Если a  b  c  0 , то приём «Переброски»
Используя приёмы 1) -3) можно придумывать
уравнения с рациональными корнями.
4) ax
2
 (a
Например:
 x1   a
 1)  x  a  0  
1
x2  

a

2
6x
2
 37 x  6  0 ,
x
5)
ax
x
2
 (a
2
1
2
2
6


 x1  a
 1)  x  a  0  
1
x2 

a

Например:
15 x

 x 1  15
 226  x  15  0  
1
x2 

15
1
6
Например:
6)
ax
2
 (a
2
 x1   a
 1)  x  a  0  
1
x2 

a
17 x  288 x  17  0 ,
2
• 7)
ax
2
 (a
2
 x1  a
 1)  x  a  0  
1
x2  

a
Например:
 x 1  10
2
10 x  99  x  10  0  
1
x2  

10
 x 1   17
 
1
x2 

17
МОУ «Гимназия №53»
Учитель Бойко Т.А.
• Квадратные уравнения – это фундамент, на котором
покоится величественное здание алгебры. Квадратные
уравнения находят широкое применение при решении
тригонометрических,
• показательных , иррациональных уравнений и
неравенств.
• В школьном курсе математики изучаются формулы
корней квадратных уравнений, с помощью которых
можно решать любые квадратные уравнения.
• Однако имеются и другие приёмы решения квадратных
уравнений, которые позволяют очень быстро и
рационально решать квадратные уравнения.
Приёмы устного решения
квадратного уравнения
1) 2 ) приём «коэффициентов»
3) приём «переброски»
Обобщить и систематизировать изученный материал по теме:
«Квадратные уравнения».
•
• Научить учащихся приёмам устного решения квадратных
уравнений.
• Развивать внимание и логическое мышление.
• Воспитывать культуру поведения .
a  0
ax  bx  c  0
2
b=o
c=0
ax
b=0
c≠0
2
ax  c  0
0
1 корень:
x=0
b≠0
c=0
2
2корня,
если:
а и с имеют разные знаки
Нет корней, если:
а и с имеют одинаковые
знаки
ax  bx  0
2
2корня
x ( ax  b )  0 ,
x1  0
x2 
b
a
a  1
D >0
b  0, c  0
2корня
D =0
1корень
x  px  g  0
D<0
Нет корней
2
Формулы корней:
2
1
x1 , 2 
 p
2

p
2
 g;
x1 , 2 
b
b  4 ac
2
2a
4
3
x 1, 2 
k 
k
a
2
 ac
;
Теоремы
Виета
---------------------------Дано
x1 , x 2  корни
уравнения
Обратная
---------------------------Дано
Для чисел
x1 , x 2 , p , g
x  px  g  0
2
имеем
:
x1 

x2
x1  x 2
Доказать
x1  x 2
x1  x 2
  p


 p
g
Доказат ь
x1 , x 2
 корни
уравнения
g
x
2

px

g

0
У Р
А В Н Е Н И Е
К какому типу относится
уравнение
2x  x  3  0
2
Решите его
Ответ:
1; 
3
2
ЗАДАЧА
Найти наиболее рациональным способом
корни уравнения
1978 x  1984 x  6  0
2
x 1  1;
x2 
6
1978
•
Пусть дано квадратное уравнение
ax
2
 bx  c  0 ,
где a  0
1.Если a + b + c=0 (т.е сумма коэффициентов равна нулю), то
x 1  1, x 2

c
.
a
a0
x
2

b
a
По теореме Виета
По условию a + b +c =0,
Получаем
x1
b

 x 1  x 2   a

x  x  c .
1
2
a

откуда b= - a – c.
 1, x 2

c
a
x 
c
 0.
a
ac
c

1
 x 1  x 2  
a
a

Значит, x 1  x 2  1  c .
a

,
что и требовалось доказать.
Приёмы устного решения решения
квадратных
уравнений
ax
2
 bx  c  0
Если a  b  c  0
x1  1, x 2 
Например:
4x
2
 13 x  9  0
x1  1, x 2 
Приём №1
9
4
c
a
1999 x  2000 x  1  0
2
•
ax  bx  c  0
Если b = a + c, то
2
Приём №2
x1   1, x 2 
Например:
4 x  11 x  7  0
2
x1   1, x 2 
 7
4
c
a
Решить уравнение
319 x
2
 1988 x  1669  0
x 1   1;
x2  
1669
319
.
313 x  326 x  13  0
 1;
2
1.
2.
839 x  448 x  391  0
3.
345 x  137 x  208  0
 13
313
1; 
2
391
839
2
1; 
208
345
4.
939 x  978 x  39  0
2
 1;
 39
939
abc  0
Приём №3
2 x  11 x  5  0
2
Решаем устно
x  11 x  10  0
2
Его корни 10 и 1, и делим на 2.
Ответ: 5;
1
2
6x
2
 7x  3  0  x
2
 7 x  18  0
Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:
x1 
3
Ответ:
2
;
1
3
9
6
, x2  
2
6
Используя приёмы решения 1) – 3),вы можете
придумывать уравнения с рациональными корнями.
Например, возьмём уравнение x 2  5 x  6  0
(Корни 2 и 3), 6 делится на 1,2,3,6
1)
1
3
6=1*6
6=6*1
6=2*3
6=3*2 Отсюда уравнения:
________________
Одно уравнение дало ещё
7 уравнений с
рациональными корнями.
-------------------------------------------------
2 )1;
;
1
2
3
2
3 )1;
2
3
1)
6x  5x  1  0
2)
3)
2x  5x  3  0
4)
5)
6)
7)
2
4 )  2; 3
2
3x  5x  2  0
2
x  5x  6  0
5)
1 1
;
3
2
2
6x  5x  1  0
2
2x
2
6 )  1;
2
 5x  3  0
3x  5x  2  0
2
3
7 )  1;
2
3
Когда уравненье
решаешь дружок,
Ты должен найти у
него корешок.
Значение буквы
проверить несложно.
Поставь в уравненье
его осторожно.
Коль верное равенство
выйдет у вас,
То корнем значенье
зовите тотчас.
ax
2
 bx  c  0
По праву достойна в
стихах быть воспета
свойствах корней
теорема Виета.
Что лучше, скажи,
постоянства такого:
Умножишь ты корни – и
дробь уж готова?
В числителе с , в
знаменателе а.
А сумма корней тоже
дроби равна.
Хоть с минусом дробь,
что за беда.
В числителе в, в
знаменателе а.
x1  x 2 
c
a
x1  x 2  
b
a
Найти №№ 505 – 573
-------------------------------квадратные уравнения, которые
можно решить устно, используя
изученные приёмы.
Выводы:
• данные приёмы решения заслуживают внимания,
поскольку они не отражены в школьных учебниках
математики;
• овладение данными приёмами поможет учащимся
экономить время и эффективно решать уравнения;
• потребность в быстром решении обусловлена
применением тестовой системы вступительных
экзаменов;
• владение алгоритмом извлечения квадратного
корня из натурального числа.