Transcript Cardinalidade de Conjuntos

Cardinalidade de Conjuntos:
Conjuntos finitos, infinitos,
enumeráveis e não-enumeráveis
Ana Maria Luz F. Amaral
Matemática Discreta 2013.1
George Cantor (1845-1918)
Matemático alemão George Cantor (1845-1918) é o
inventor
da moderna
Teoria
dos Conjuntos
e dos
•“Deus criou
os números
naturais.
O resto é obra
dos
chamados
Números
Transfinitos.
Através do seu hoje
homens.” Leopold
Kronecker
(1823-1891)
famoso
Método
da Diagonal
pode-se
demonstrar
um fato
•“ A teoria
dos conjuntos
de Cantor
é uma
moléstia, uma
até
então
impensável:
existem
maiores
do que
doença
perversa,
da qualque
algum
dia, osinfinitos
matemáticos
estarão
outros!
curados.” Henri Poincaré(1854-1912)
•“Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu
Os
conceitos
matemáticos
inovadores propostos por
para
nós” David
Hilbert (1862-1943)
Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte
da comunidade matemática da época. Os matemáticos
modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho
desenvolvido por Cantor na sua teoria dos conjuntos,
reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da
maior importância.
Sumário



Cardinalidade de Conjuntos:
Conjuntos finitos e infinitos
Conjuntos enumeráveis e nãoenumeráveis (Hotel de Hilbert e Método
da Diagonal de Cantor)
Cardinalidade de Conjuntos
Scheinerman:
“ O número de elementos em um conjunto A se denota por
|A|. A cardinalidade de A nada mais é do que o número de
objetos no conjunto.
Diz-se que o conjunto é finito se sua cardinalidade é um
inteiro. Em caso contrário, dizemos que o conjunto é
infinito”
Exemplos: |  | 0
Se A={1,2,3}, |A|=3
Conjuntos finitos e infinitos
P. Menezes:
Cardinalidade é definida usando funções bijetoras.
A cardinalidade de um conjunto A é:

Finita: se existe uma bijeção entre A e o conjunto {1,2,3,..., n}
para algum n pertencente aos Naturais: |A|=n.

Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio
de A.
Portanto, um conjunto A é um:

conjunto finito (possui cardinalidade finita) se for possível
representá-lo por extensão

Conjunto infinito se for possível retirar alguns elementos de A e,
mesmo assim, estabelecer uma bijeção com A.
Ex: O conj. dos Naturais é infinito
Conjuntos enumeráveis e nãoenumeráveis
Um conjunto A é dito:

Enumerável: quando é finito ou quando existe uma bijeção
f: N →A. Neste caso f chama-se enumeração dos elementos de
A. Escrevendo-se f(1)=a1, f(2)=a2,..., f(n)=an,... Tem-se então
A={a1,a2,...,an,...}

Não-enumerável: caso contrário
Conjuntos enumeráveis e nãoenumeráveis
Exemplo: Hotel de Hilbert
Veremos um vídeo que mostra o
gerente do Hotel Hilbert, que possui
infinitos quartos, tratando o problema
de acomodar novos hóspedes quando
o hotel já tem infinitos hóspedes.
Cada hóspede em um quarto.
Observe que o gerente fala que o hotel
está lotado, no sentido de que há
infinitos hóspedes, mas não no
sentido de que não caiba mais
hóspedes.
Hotel de Hilbert: vídeo da
Equipe M3 da UNICAMP
(aproxidamente 10 min).
Exemplo: Hotel de Hilbert
Num primeiro momento um novo hóspede chega e gostaria de se
acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de
quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser
cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos
então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o
hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, movendo
o hóspede do quarto N para o quarto N+1, podemos acomodar o
novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um
argumento análogo é possível alocar um número infinito
(enumerável) de novos clientes (um ônibus com infinitos
passageiros): apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2,
o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N
para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão
livres para os novos hóspedes.
Exemplo: Hotel de Hilbert
Então, um desafio ainda maior se apresenta ao gerente do Hotel
Hilbert: acomodar os passageiros de uma excursão com infinitos
ônibus cada um com infinitos passageiros. O gerente resolve este
problema realocando seus hóspedes - desta vez, um hóspede que
esteja no quarto n deverá se mudar para o quarto 2n . O gerente dispõe
de infinitas vagas novamente. Depois, o gerente associa a cada ônibus
um número primo diferente de dois. Então, ele acomoda os
passageiros segundo a seguinte regra: o passageiro que está na
cadeira n do ônibus p ocupará o quarto de número pn
Exemplo: Hotel de Hilbert
Não,
Se chegasse
a seguir um
veremos
grupooinfinito
por quê?
de hóspedes ao
Hotel de
contendo
um novo
hóspede
Observe
queHilbert,
em todas
as situações
acima
para cada
numero real,
o gerente
poderia
sempre
conseguimos
enumerar
a quantidade
hospedá-los?
de
hóspedes e os quartos do Hotel, ou seja, é
possível construir uma bijeção entre N e a
quantidade de hóspedes e uma bijeção entre
N o número de quartos
Um conjunto “maior” que o
dos números Naturais
Para comparar a “quantidade” de elementos de dois conjuntos
infinitos, devemos verificar se existe alguma função bijetora entre
eles.
Caso exista, dizemos que estes conjuntos têm a mesma
cardinalidade.
Até agora, o conjunto N dos números naturais foi o único que
abordamos, porém existem outros conjuntos infinitos que
conhecemos, como o conjunto R, dos números reais, e que
diferem significativamente do conjunto dos números naturais.
De fato, o conjunto dos números reais possui uma
cardinalidade maior do que a dos números naturais e, portanto
é “maior” do que ele.
Método da diagonal de Cantor
Quando se tinha conjuntos infinitos enumeráveis de hóspedes para se hospedar
no Hotel de Hilbert, sempre se conseguia reorganizar os hóspedes, mas no
momento que você tem uma quantidade infinita não-enumerável (números
Reais) surge um problema, afinal existem infinitos “maiores” que outros.
Veremos a seguir um vídeo que mostra a conversa do matemático
George Cantor com seu amigo Lukas Zweig (lingüista). Cantor muito
animado com sua nova descoberta explica ao amigo o seu hoje
famoso Método da Diagonal para demonstrar que o conjunto dos
números Reais é não enumerável. O vídeo apresenta o argumento de
Cantor como uma aplicação do método de prova de teoremas em
matemática chamado Método de Redução ao Absurdo inventado pelos
antigos matemáticos gregos.
Os infinitos de Cantor: vídeo
da Equipe M3 da UNICAMP
(aproxidamente 14 min).
No caso do Hotel de Hilbert...
No caso do Hotel de Hilbert...
O conjunto dos números Reais
é não-enumerável
Como Cantor disse no vídeo: Dois conjuntos tem a
mesma cardinalidade se é possível construir uma
bijeção entre eles. (P. Menezes chama estes conjuntos
de equipotentes !_
Teorema: R é não enumerável.
Idéia da prova: Construímos uma bijeção entre R e S={x
pertencente a R;0<x<1}=]0,1[. Seja f:S→R
 (1 / 2 s )  1,
f (s)  
 (1 /( 2 s  2 ))  1,
0  s  1/ 2
1/ 2  s  1
Com o argumento da diagonal de Cantor mostramos que
]0,1[ é não enumerável, logo se R tem a mesma
cardinalidade de S então R é não enumerável.■
Exercício: Mostre que o conjunto
dos Irracionais é não-enumarável
Exercícos

Exercícios de 7.1 a 7.9 do Paulo B. Menezes,
Matemática Discreta para Computação e
Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto /

Instituto de Informática da UFRGS, Porto
Alegre, 2006.
Exercícios Seção 3.1 do 75 ao 84 do J.L.
Gersting, Fundamentos Matemáticos para a
Ciência da Computação. 5ª edição, LTC
Editora, Rio de Janeiro (2001).
Referências






Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a.
edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre,
2006. Capítulo 7.
J.L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª
edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001). P. 139-142
E. R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006. p.50
Renata de Freitas, Petrucio Viana. Hotel de Hilbert. Disponível em:
http://www.uff.br/grupodelogica/hotel_hilbert_slides.pdf
Hotel de Hilbert, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 10 min).
Disponível em: http://youtu.be/pjOVHzy_DVU (Acesso em 17/07/2013)
Os infinitos de Cantor, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 14
min). Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1120 (Acesso em
17/07/2013)