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GEOMETRIA DE POSIÇÃO
Matemática
Dorta
CONCEITOS PRIMITIVOS
As noções geométricas, em geral,
são estabelecidas através de
definições. Em particular, as
primeiras noções, os conceitos
primitivos da Geometria, são
adotados sem definição.
ADOTAREMOS SEM DEFINIR
OS CONCEITOS DE PONTO,
RETA E PLANO.
Ponto (representado por
letra maiúscula)
Reta (representações usuais: letra
minúscula ou da outra forma indicada
abaixo)
AB  r
Plano (representado
normalmente por uma letra
grega minúscula)

GEOMETRIA DE POSIÇÃO
 No plano: estudo das posições
relativas de pontos e retas de um
mesmo plano;
 Espacial: estudo das posições
relativas de pontos, retas e planos do
espaço.
PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
As proposições (propriedades)
geométricas são aceitas
mediante demonstrações. Em
particular, as proposições
primitivas ou postulados ou
axiomas são aceitos sem
demonstração.
Postulados da existência
 Da reta;
 Do plano.
Postulado da existência da reta
 Numa reta, bem como fora dela,
existem infinitos pontos.
Ar
Br
Cr
Postulado da existência do plano
 Num plano, bem como fora dele,
existem infinitos pontos.
A
B 
Postulados da determinação
 Da reta
 Do plano
Postulado da determinação da reta
 Dois pontos distintos determinam uma
única reta que passa por eles.
Ar
Br
AB  r
Postulado da determinação do plano
 três pontos não colineares
determinam um único plano que
passa por eles.
   ABC

Postulado da Inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos
num plano, então a reta está contida
neste mesmo plano.
( A   , B   , A  B e AB  r )  r  
Postulado da intersecção
Se dois planos
distintos tem um
ponto comum,
então a intersecção
desses planos é
uma única reta que
passa por aquele
ponto.
Observação: Postulado da intersecção
 Os planos  e  , nesse caso são chamados
secantes.
 A intersecçã o entre os planos secantes  e  é uma reta.
Postulados de separação
 Da reta
 Do plano
 Do espaço
Postulado de separação da reta
 Um ponto O de uma reta r divide-a em
duas semi-retas de origem O.
As semi - retas OA e OB tem origem comum no ponto O,
mas são semi - retas opostas.
Postulado de separação do plano
 Uma reta r de um plano alpha divide-o
em dois semiplanos de origem r.
r  1
1
2
r 2
 1 e  2 são semiplanos
em relação a reta r.
opostos,
Postulado de separação do espaço
 Um plano alpha separa o espaço em
dois semi-espaços de origem alpha.
E1 e E 2 são semi - espaços
em relação ao plano  .

  E1
  E2
opostos,
Posições Relativas





De
De
De
De
De
ponto e reta;
ponto e plano;
uma reta e um plano;
duas retas no espaço;
dois planos no espaço.
Posição Relativa de ponto e reta
Dado um ponto P e uma reta r,
temos:
P  r ou P  r
No exemplo :
Ar
Br
Cr
Posição Relativa de ponto e plano
Dado um ponto P e um plano α,
temos:
P   ou P  
No exemplo :
A 

B
Posição Relativa de
uma reta e um plano

Posição Relativa de
uma reta e um plano

Posição Relativa de
uma reta e um plano

Posição Relativa de
duas retas no espaço
 duas ou mais retas são coplanares quando existe
um plano que contém todas elas.
 retas coplanares que não tem ponto comum são
chamadas de retas paralelas distintas.
 retas coplanares que têm um único ponto comum
são chamadas de retas concorrentes.
 dadas duas retas, quando não existe um plano
que contém as duas, elas são chamadas de retas
reversas (ou não coplanares).
Posição Relativa de
duas retas no espaço: resumo
coplanares
Distintas
paralelas
concorrentes: perpendiculares ou não
reversas: ortogonais ou não
Coincidentes (paralelas iguais)
Posição Relativa de
dois planos no espaço
 dois planos que
não têm ponto
comum são
chamados planos
paralelos distintos
Posição Relativa de
dois planos no espaço
 dois planos distintos
que têm uma reta
comum são chamados
planos secantes.
Posição Relativa de
dois planos no espaço: resumo

 planos distintos



  planos coincident es


  paralelos.

  secantes.
(paralelos
iguais).
EXERCÍCIOS – AULA 30
EXERCÍCIO 1
Assinale a alternativa correta:
EXERCÍCIO 1
a) Se duas retas não tem ponto em
comum, então elas são reversas.
RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas
distintas.
EXERCÍCIO 1
b) Duas retas que formam
ângulo reto são
perpendiculares.
RESPOSTA: Falso. Podem
ser ortogonais (reversas
+ ângulo reto).
OBSERVAÇÃO: RETAS REVERSAS
 Duas retas são denominadas reversas se, e
somente se, não existe um plano que as
contém. Se as retas reversas formam um
ângulo reto, então elas são ortogonais.
EXERCÍCIO 1
c) Três pontos distintos determinam um
plano.
RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem
ser não colineares, para determinar um
plano.
EXERCÍCIO 1
d) Duas retas
perpendiculares a
uma terceira são
paralelas entre si.
RESPOSTA: Falso, não
necessariamente. No
exemplo, s e t são
perpendiculares r,
mas não são
paralelas entre si.
EXERCÍCIO 1
e) Duas retas ortogonais
formam ângulo reto.
RESPOSTA: Verdadeiro.
Ortogonais = reversas +
ângulo reto.
EXERCÍCIOS – AULA 30
EXERCÍCIO 2
A figura representa um cubo ABCDEFGH.
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 2
a) As retas BC e FG são
paralelas.
RESPOSTA: Verdadeiro
EXERCÍCIO 2
b) As retas AC e CH
são
concorrentes.
RESPOSTA:
Verdadeiro. As
retas se
interceptam no
ponto C.
EXERCÍCIO 2
c) As retas BC e HG são ortogonais.
RESPOSTA: Verdadeiro. As retas são reversas e é possível
perceber o ângulo reto pela perspectiva proporcionada
pela segunda figura da esquerda para direita
EXERCÍCIO 2
d) As retas AC e BD são perpendiculares.
RESPOSTA: Verdadeiro. Como estas retas são as diagonais
de uma das faces de um cubo, que é um quadrado, elas
se interceptam formando um ângulo reto. Observe na
perspectiva da figura 2.
EXERCÍCIO 2
e) As retas AB e CH são concorrentes.
RESPOSTA: Falso. Observe nas figuras, que as
referidas retas não se interceptam.
EXERCÍCIOS – AULA 31
EXERCÍCIO 1
Considere o cubo representado na figura:
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 1
a) A reta GB é secante ao plano ADC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
b) A reta DB está contida no plano ABC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
c) A reta EG é paralela ao plano ABC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
d) A reta AF é
paralela ao plano
HGC.
RESPOSTA:
Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
e) As retas EG e DB são paralelas
RESPOSTA: Falso. São reversas.
EXERCÍCIOS – AULA 31
EXERCÍCIO 2
Considere as proposições seguintes:
EXERCÍCIO 2
I.
Se duas retas são
paralelas a um
mesmo plano,
então elas são
paralelas entre si.
RESPOSTA: Falso.
r // plano ( ABC )
s // plano ( ABC )
r e s são concorrent es.
EXERCÍCIO 2
II.
Dois planos
secantes tem como
intersecção uma
reta.
RESPOSTA: Verdadeiro
EXERCÍCIO 2
III. Dois planos paralelos não tem ponto em comum.
RESPOSTA: Falso, podem ser coincidentes.
EXERCÍCIO 2
IV.
Se dois planos  e  paralelos distintos
Resposta : Verdadeiro
são intercepta dos por umplano  , então
as intersecçõ es são retas paralelas.
Se
  plano (ABC)
  plano (EFG)
  plano (FGC)
Então,
FG // BC
EXERCÍCIOS – AULA 32
EXERCÍCIO 1
Considere o cubo representado na figura:
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 1
a) A reta FB é perpendicular ao plano ADC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
b) A reta BC é perpendicular ao plano DHG.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
c) As retas FB e DB são perpendiculares.
RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras
em perspectivas diferentes.
EXERCÍCIO 1
d) As retas BC e HC são perpendiculares.
RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em
perspectivas diferentes.
EXERCÍCIO 1
e) A reta FD é perpendicular ao plano ABC.
RESPOSTA: Falso.