Transcript 00-ParadZuk

Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji
Katedra Inżynierii Wodnej
Paradoks Żukowskiego
wersja 2.1
Anna Stopka, Małgorzata Słonina
II rok IŚ, rok akademicki 2005/2006
dr inż. Leszek Książek
Kraków, styczeń 2006
Plan prezentacji:
• Przedstawienie problemu
• Obliczenia
• Dyskusja wyników
Wstecz
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Dalej
Przedstawienie
problemu
W poziomej ściance zbiornika,
wypełnionego cieczą o ciężarze
właściwym , znajduje się
prostokątny otwór, w który
wstawiono walec o średnicy D i
tworzącej równej L. Walec może
obracać się wokół centralnej osi
O, leżącej na głębokości H.
Dane: D, L, H
Udowodnić, że wypadkowy napór hydrostatyczny nie
wywołuje momentu obrotowego walca .
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
β
Px
α
P
Wypadkowy napór hydrostatyczny
(PARCIE) nie będzie wywoływał
momentu obrotowego, gdy ramię
działania parcia będzie wynosiło zero.
Przypadek będzie miał miejsce wtedy,
gdy kierunek działania wypadkowej
parcia będzie przechodził przez punkt
O. W takim przypadku kąty  i 
powinny mieć taką samą wartość.
Jednocześnie:
Py
tg = tg
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
1) Składową poziomą Px
wyznaczymy z zależności:
gdzie: hs – głębokość punktu
przyłożenia Px
Ax – pole powierzchni na jaką
działa Px
W układzie współrzędnych,
takim jak na rys.:
(1a)
(1b)
stąd:
Slajd poprzedni
(1)
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Kierunek działania wektora Px
leży na głębokości hc:
(2a)
Iξ - moment bezwładności
prostokąta o
bokach D, L
podstawiając (1a), (1b) oraz
Iξ=LD3/12 do równania (2a)
otrzymamy:
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
po przekształceniu otrzymujemy:
Ostatecznie po skróceniu licznika i mianownika
przez LD otrzymujemy głębokość punktu
przyłożenia wypadkowej pacia Px:
(2)
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
2) Składowa pionowa Py jest sumą naporu na powierzchnię MN,
skierowanego w dół oraz wektora naporu na powierzchnię MU,
zwróconego ku górze, a zatem:
(3a)
gdzie:
V1- objętość zakreskowana linią
poziomą,
V2- zakreskowana. linią
pionową.
Stąd:
(3b)
gdzie:
Vz- objętość bryły parcia
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Podstawiając (3b) do równania (3a) otrzymujemy
wypadkowe parcie pionowe Py:
(3)
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Linia działania składowej Py
przechodzi przez środek
ciężkości objętości bryły
parcia Vz,, w związku z tym:
(4)
gdzie:
xc – środek ciężkości koła
o średnicy D
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
3) Napór całkowity (wypadkowa parcia) P wynosi:
(5a)
Wstawiając równanie (1) oraz
(3) do (5a) mamy:
(5)
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Kierunek działania wypadkowej
parcia P tworzy z poziomem
kąt α:
(6a)
podstawiając równanie (1) oraz
(3) do (6a) otrzymujemy:
(6)
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
4) Z rysunku wynika zależność trygonometryczna kąta β:
(7a)
w której:
(7b)
Wstawiając (1a) oraz (2) do
równania (7b) otrzymujemy:
z równania (4) mamy xc:
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Po podstawieniu powyższych zależności otrzymamy:
(7)
Porównując równanie (6) z (7) możemy stwierdzić, że:
c.b.d.u.
Slajd poprzedni
Składowa parcia Px
Składowa parcia Py
Napór całkowity P
Slajd następny
Dyskusja wyników
Wobec tego kierunek działania wypadkowej parcia
przecina oś obrotu walca (punkt O).
A zatem, moment pochodzący od naporu
hydrostatycznego, względem osi obrotu, jest równy
zeru.
Źródło: Eustachy S. Burka, Tomasz J. Nałęcz, „Mechanika płynów w przykładach”
Warszawa: PWN 2002