Transcript Potències de nombres racionals

Potències de nombres racionals
Potències d’exponent positiu
L'expressió
 3
 
 2
4
és una potència de base el nombre racional  3 i exponent
2
4, que és un nombre positiu o natural.
El resultat és un nombre racional que s'obté multiplicant la base tantes
vegades com indica l'exponent:
4
 3
 3   3   3   3  3 4 81
                   

4
16
 2
 2  2  2  2 2
En aquest exemple la base és un nombre racional negatiu i l'exponent, 4,
és parell. El resultat és positiu i es pot expressar com a potències del
numerador i del denominador o amb el resultat dels productes corresponents.
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent positiu
L'expressió
 3
 
 2
4
és una potència de base el nombre racional  3 i exponent
2
4, que és un nombre positiu o natural.
El resultat és un nombre racional que s'obté multiplicant la base tantes
vegades com indica l'exponent:
4
 3
 3   3   3   3  3 4 81
                   

4
16
 2
 2  2  2  2 2
En aquest exemple la base és un nombre racional negatiu i l'exponent, 4,
és parell. El resultat és positiu i es pot expressar com a potències del
numerador i del denominador o amb el resultat dels productes corresponents.
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent positiu
L'expressió
 3
 
 2
4
és una potència de base el nombre racional  3 i exponent
2
4, que és un nombre positiu o natural.
El resultat és un nombre racional que s'obté multiplicant la base tantes
vegades com indica l'exponent:
4
 3
 3   3   3   3  3 4 81
                   

4
16
 2
 2  2  2  2 2
En aquest exemple la base és un nombre racional negatiu i l'exponent, 4,
és parell. El resultat és positiu i es pot expressar com a potències del
numerador i del denominador o amb el resultat dels productes corresponents.
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent positiu
Si la base és un nombre racional negatiu i l'exponent, 3, és senar. El
resultat és un nombre racional negatiu.
3
3
 3
 3  3  3
3
27
                


8
23
 2
 2  2  2
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent positiu
Si la base és un nombre racional positiu, el resultat o potència sempre és
un nombre positiu tant si l'exponent és parell com senar.
3
4
 4   4   4  43
64
           

3
343
7
7 7 7 7
2
4
 4   4  4 2 16
        

2
49
7
7 7 7
Potències de nombres racionals
Càlculs amb potències
Els càlculs amb potències són els mateixos que hem estudiat per les
potències de nombres enters.
an · am = an+m
an : am = an-m
(an)m = an·m
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Si l’exponent és positiu ja hem vist com es calcula amb potències:
3
2
5
5
3
3
3
3

 



         5
4
 4  4
 4
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Exponent 0
Si volem calcular aquesta divisió restant exponents ens trobem amb un
exponent igual a zero:
3
3
2 2
2
:

   
 
3
3
   
3
3 3
2
 
3
0
Per una altra banda la divisió de dos nombres iguals dóna com a resultat 1.
Per tant podem dir que:
0
0
2
  1
3
i, en general,
a
  1
b
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Exponent negatiu
Si calculem aquest quocient de potències restant exponents ens trobem amb
un exponent negatiu:
3
5
2  2
2
  :    
3 3
3
35
2
 
3
2
Quin significat té un exponent negatiu?
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Exponent negatiu
Vegem-ho, però primer amb un exemple amb nombres enters. Suposem que
fem aquest càlcul:
 43 :  45 
 4   4   4
1
1


 4   4   4   4   4  4   4  42
Per una altra banda, aplicant les propietats de les potències tenim que
4 3 : 45  42
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Exponent negatiu
Així ,doncs, aquestes dues quantitats han de ser iguals, per tant:
 4 :  4
3
5
  4
2

1
 4
2
1

16
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Exponent negatiu
Tornem a l'exemple de les fraccions:
3
5
2  2
2
  :    
3 3
3
35
2
 
3
2
Com farem aquest càlcul?
Seguint el resultat de l'exercici anterior això serà:
2
 
3
2
1
2
3

 2  1: 2   
2
2
3
2
2
 
2
3
3
1
2
2
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Tota potència d'un nombre racional d'exponent negatiu és
una altra potència de base inversa i d'exponent oposat al de
la potència inicial.
És a dir tota potència d'exponent negatiu es transforma en potència
d'exponent positiu.
1
m
a  m
a
a
 
b 
m
b 
  
a
m
Potències de nombres racionals
Potències d’exponent enter
Atenció!
En alguns casos de divisió de potències d’igual base, sobre tot quan el divisor és
negatiu, hem d’estar atents a fer bé la resta d’exponents perquè podem tenir alguns
errors de signe. O bé ens recordem que la resta implica canviar el signe del nombre
que es resta o bé podem fer la resta d’exponents per escrit, amb els signes
corresponents, millor que mentalment.
Observa l’exemple:
5
5 5
  :  
9 9
4
5
  
9
5-(-4)
5
  
9
5 4
5
  
9
9