Transcript Rizikos fizika

Rizikos fizika
Bronius Kaulakys ir Vygintas Gontis
VU Teorinės fizikos ir astronomijos institutas
http://physrisk.itpa.lt
1
Įžanga
The physicist Ernest Rutherford is reported as saying:
"All science is either physics or stamp collecting".
Nobelio premijos laureatas Ernestas Rezerfordas:
“Mokslas yra arba fizika arba pašto ženklų kolekcionavimas”
Bus pasakojama apie naujus fizikų tyrimų objektus, naujas
fizikos šakas, tendencijas, netradicines tematikas
2
Kadangi
“Gera teorija viską kuria iš naujo”
(Dietrich Schwanitz )
tai ir pradėsime nuo pradžios
3
Fizika
Senovėje fizika – gamtos filosofija
 Demokritas (V-IVa. pr.Kr.): atomai, juslinis suvokimas
 Aristotelis (IVa. pr.Kr.): veikalas Fizika, mokslo sistema
 IIIa. pr.Kr. – fizika atsiskyrė nuo filosofijos ir suartėjo su
matematika
 G.Galilei (XVIIa.): a) klasikinės fizikos pradininkas,
b) sisteminiai tyrimai,
c) matematikos metodų taikymai.
G.Galilei už heliocentrinės sistemos propagavimą buvo
teisiamas inkvizicijos.
Priverstas atsižadėti heliocentrinės sistemos – pirma(?)
rizika fizikoje (fiziko rizika)
4
Fizika
Klasikinės fizikos šakos
 Mechanika – mechaninis judėjimas
 Optika – šviesos reiškiniai
 Termodinamika – šiluminiai reiškiniai
XX a. sukuriamos:
 Kvantinė mechanika
 Reliatyvumo teorija
Statistinę fiziką apibrėžia ne tiek
reiškiniai, kiek jos taikomi metodai
5
Fizika
Šiuolaikinei (XX-XXIa.) fizikai (ir visam mokslui)
būdingi įvairiapusiški objektų, sistemų, būsenų,
vyksmų tyrimai
Fizika skirstoma į: atomų, molekulių,
kietojo kūno, elementariųjų dalelių,
kvantuotų laukų, plazmos, žemų temperatūrų,
didelių slėgių, aplinkos, atmosferos,
netvarkingų sistemų, netiesinių sistemų fiziką ir t.t.
Ir dar kitaip
6
Fizika. Klasifikacija dabar
Physical Review ir Physical Review Letters:
 Atomic, Molecular, and Optical Physics, apimant: Fundamental
Concepts, Quantum Information
 Condensed Matter and Materials Physics
 Nuclear Physics
 Particles, Fields, Gravitation, and Cosmology
 Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, apimant: Nonlinear
Dynamics, Chaos and Pattern Formation, Biological Physics,
Interdisciplinary Physics
Physica A turi didelį skyrių Econophysics
The European Physical Journal B turi skyrius:
 Environmental Physics
 Traffic Flow, tai ir “Traffic Physics'‘, Driven Many-particle Systems,
the Internet
 Physics in Society
 Econophysics
7
Fizika
Nuo 2005 spalio
pradedamas leisti naujas
žurnalas
Nature Physics,
www.nature.com/nphys,
pretenduojantis į
aukščiausią fizikos žurnalo
prestižą
Nature Physics will offer a unique mix of news and
reviews alongside top-quality research papers.
Published monthly, in print and online, the journal will
reflect the entire spectrum of physics, pure and applied.
8
Naujoviškos mokslo klasifikacijos
Europos mokslo fondas http://www.esf.org
mokslus klasifikuoja taip:
Physical and Engineering Sciences
Medical Sciences
Life, Earth and
Environmental Sciences
Humanities
Social Sciences
9
Tarpdisciplininiai mokslai
Jauna leidykla World Scientific įveda (abėcėlės
tvarka):











Chemistry
Computer Science
Economics, Finance and Management
Engineering
Environmental Science
Materials Science
Mathematics
Medical and Life Sciences
Nonlinear Science
Physics
Social Sciences
10
Fizika
Per pastaruosius 10 metų pradėjo plėtotis
sudėtingų sistemų fizika,
ekonofizika,
Analogiškai astrofizikai,
finansų fizika,
geofizikai, biofizikai,
rizikos fizika,
aplinkos fizikai,
sociofizika,
atmosferos fizikai





 tinklų fizika,
ir kitos fizikos ekspansijos į „svetimus daržus“.
Juos vienija fizikos, ypač statistinės fizikos, netiesinės ir
chaotinės dinamikos, netgi kvantinės mechanikos
tyrimo metodų, bendrųjų dėsningumų taikymai
įvairioms sistemoms, vyksmams, reiškiniams, iki
pastarojo dešimtmečio buvusiems už tradicinio fizikos
tyrimų objekto ribų.
11
Rizika fizikoje ir fizikos atradimų rizika
Ypač suaktualėjo po radioaktyvaus
spinduliavimo atradimo ir
branduolinės energijos išlaisvinimo:
Apspinduliuoti mokslininkai
1939.08.02 A.Einšteino įspėja JAV
prezidentą F.Roosevelt’ą apie
atominės bombos galimybę
Branduolinis ir vandenilinis ginklas
Atominės elektrinės
ir t.t.
12
Fizikos atradimų rizika ir pavojai
Paradoksas – greitintuvai
(Relativistic Heavy Ion
Colliders) gali suardyti
Visata!?
(Physics World, May 2005):
JAV federalinis teisėjas R.
Posner (Čikagos universitetas)
rašo, kad elementariųjų dalelių
greitintuvai nėra be rizikos –
“strangelets” dalelės, sudarytos
iš daug keistųjų kvarkų ir
galinčios adsorbuoti medžiagą,
gali suardyti planetą...
1945.07.16 atominės bombos sprogimo ugnies kamuolys –
apims visą dangų ir Žemę!?
1952 m. vandenilinės bombos sprogimas – prasidės viso
vandenyno vandenilio sintezė!?
13
Rizikos fizika
Nuo 1971 m. vykdoma Europos
bendradarbiavimo mokslo ir
technologijų srityje bendroji veikimo
programa COST iš šimtų remtų
veikimų (Actions) iki 2003 m. parėmė
tik 10 iš fizikos srities.
Jų tarpe COST P10 Rizikos fizika
(2003-2007 metai)
14
COST Action P10 Physics of Risk
 “The main objective of the Action is to develop
greater understanding and application of
 modern statistical physics, mathematics and
computational physics in relation to problems
 associated with risk such as occur in quantitative
finance, food safety, health, social science
 and other disciplines, where these tools can
enhance and improve upon current approaches
to these issues.”
Dalyvauja 27 šalys, jų tarpe Australija,
Šveicarija, Norvegija, Baltarusija.
15
Rizikos fizika
COST P10 trys darbo grupės:
1. Fizika ir rizika (finansiniai ir kiti duomenys,
laipsniai skirstiniai, sukrėtimai ir koreliacijos)
2. Agentų modeliai (agentų, lošėjų, veikėjų
sąveikos pasekmių modeliavimas ekonomikoje,
biologijoje, medicinoje, visuomenės nuomonės
formavime, bankų bankrotams ir pan.)
3. Tinklai: dinamika ir topologija (tinklų
augimas, universalumas, laipsninius skirstinius
sąlygojantys mechanizmai, geometrijos įtaka
dinamikai ir pan.)
16
Rizikos fizika
Rizika (tikimybė), kad įvyks:
 Elektros tiekimo tinklo avarijos
 Gamtinių dujų tiekimo sistemos
 Investavimo rizika
 Draudimo rizika
 Kainų pokyčių rizika
 Genetinių ‘klaidų’, apsigimimų rizika
 Epidemijų, pandemijų protrūkių rizika
 Klimato kaitos rizika
 Žemės drebėjimų rizika, pakartotinių
smūgių tikimybės ir t.t.
17
Žemės drebėjimai
Plokštės slenka viena į kitą
Plokštės traukiasi viena nuo kitos
Modelis
18
Gutenbergo – Richterio – dėsnis
log 10 N ( M > m ) = α - bm
N ( M > m ) = 10
α - bm
Čia N(M>m) – skaičius žemės drebėjimų, kurių stipris M didesnis
nei duota vertė m; α ir b – tam tikros empirinės konstantos
Modelis
Empirika, Rep. Prog. Phys. 67 (2004)
19
Gutenbergo – Richterio dėsnis
internete
-----------------------------------------------------------------------Žemės drebėjimai kaip taškinis vyksmas, FNL 2, L357 (2002)
y t    A  t  t
k
k
k

20
Omorio dėsnis
Po pagrindinio žemės drebėjimo smūgio atsiranda antriniai smūgiai,
kurių stipris
 1/ t
p
Čia t – laiko tarpas, praėjęs nuo pagrindinio smūgio.
Rodiklis p priklauso nuo pagrindinio smūgio stiprio M:
p M
Žemės drebėjimo, vykusio
Aliaskoje, (7.9 balo) aidas,
užfiksuotas Kalifornijoje esančiu
seismografu (3460 km atstumu
nuo epicentro)
21
Žemės drebėjimo atsikartojimai
22
Laipsniniai skirstiniai
M0 – seisminis momentas (dimensija Nm). Maždaug 1020 eilės:
Čia τ – proceso (lūžio) trukmė epicentre; S – žemės drebėjimo šaltinio plotas.
23
Iš PRL
straipsnių
24
Laipsniniai skirstiniai
Pareto (1898) skirstinys, Zipf (1949) dėsnis
Miestų gyventojų skaičiaus
histograma
Teistumų skaičiaus dažnio
skirstinys
25
Laipsniniai skirstiniai
Zipf’o dėsnis:
Pasaulio ežerų
pasiskirstymas
pagal plotą
Priroda (rus.) (2005m. balandis)
Pareto dėsnis:
Japonijos mokesčių mokėtojai
pagal sumokamą sumą
26
Kitos rizikos ir pavojai
Globalinis klimato atšilimas, asteroidų pavojai ir
rizika
27
Klimato atšalimas
28
Po 3,5 mlrd. m. sprogs Saulė ir praris Žemę
29
Tinklai
Tikslų parametrai:
Mazgų ryšių skaičiaus statistiką
Informacijos, energijos, dujų,
ligų, epidemijų sklidimo sparta
Tinklų patikimumas, saugumas,
stabilumas
Apsauga nuo teroristų ir t.t.
Mazgų su k ryšių skirstiniai
30
Tinklų modeliai
Senasis modelis:
Poisson’o skirstinys
Naujasis modelis:
“Scale-free” tinklas
-λ
Erdős-Rényi (1960)
“Scale-free” tinklas
31
Tinklai. Internetas
32
Tinklai
“Scale-free” tinklų
didelis pralaidumas
Nature (2001)
Seksualinių
partnerių sk.
per metus
skirstinys
(Švedija)
=2,5
33
Tinklai
 Viešojo transporto tinklai
 Energijos (elektros, dujų) tiekimo tinklai
 Informacijos difuzija socialiniuose tinkluose
reklamos nepasiekia tikslo)
(90%
 Mokslinio bendradarbiavimo tinklai
 Nuomonės, konsensuso formavimasis
 Kultūrų srautai, dreifai, difuzija (PRL, Phys.Rev.E,
Physica A, renormgrupių schemos ir pan.)
 Infekcijos užkrėtimo sklidimas
 ir t.t.
34
Smegenų funkcionavimo tinklai
Funkcionalinio magnetinio
rezonanso vaizdai:
V. M. Eguıluz, Scale-Free Brain
Functional Networks, PRL 94,
018102 (2005)
35
EKONOFIZIKA
Pradžia laikytini 1900 m. kai prancūzų
ekonomistas P. Bachelier paskelbė
disertaciją, kurioje kainų kitimą lygino su
Brauno dalelės judėjimu.
Įdomu, kad Brauno judėjimo teoriją A.
Einšteinas paskelbė vėliau – tik 1905 m.
Problema netgi Brauno
judėjimui apskaičiuoti
tikimybę, kad bus
pasiekta tam tikra dydžio
vertė, tam tikras plotas
po kreive (J. Phys. A. 38,
4097 (2005) ).
Bet kainų kitimas nėra
nei Brauno judesys, nei
stabilusis Levy vyksmas.
36
Levy vyksmai ir skrydžiai
Šuoliška maisto paieška
optimali, PRL (20 May 2005)
Augalų ligų plitimas
Phys. Rev. E (Nov. 2000)
37
Mokslininkų sėkmės ir nesėkmės.
Niutonas ir Gausas
 Niutonas investavo nesėkmingai ir po to
pareiškė: “Aš galiu preciziškai apskaičiuoti
dangaus kūnų trajektorijas minutės ir
centimetro tikslumu, bet aš negaliu
apskaičiuoti kaip išprotėjusių prekeivių
minia pakels ar numuš keitimo kursus”.
 Gausas
praturtėjo
iš
finansinių
spekuliacijų ir, gal būt, savo garsųjį
Gauso
(normalųjį)
skirstinį
išvedė
nagrinėdamas kainų kitimus biržoje.
 Nors kainos nėra aprašomos
Gauso skirstiniu.
38
Prof. H. Eugene Stanley
Boston University, Director Center for Polymer Studies
 Įvedė terminą Ekonofizika
(pradžioje siūlė Phynance)
 Dirbo fazinių virsmų, netvarkingų sistemų fizikos
tematikoje.
 Knyga Introduction to Phase Transitions and Critical
Phenomena, 1972, išversta į rusų ir japonų kalbas,
cituota 3089 kartus.
 Nuo 1990 >500 ISI str., iš jų 35 Nature, CV 68 psl.
 Vienas iš labiausiai cituojamų:> 7000 str. nuo 1990
 Daugybė garbės vardų ir apdovanojimų,
jų tarpe Boltzmann’o medalis 2004
 R. N. Mantegna and H. E. Stanley, Introduction to
Econophysics: Correlations & Complexity in Finance
(Cambridge Univ. Pr., 2000) išv. į japonų, kinų, lenkų k.
 +100 H. E. Stanley ISI straipsnių iš ekonofizikos.
39
Ekonofizika
Ne Gauso fliuktuacijos
Laipsniniai skirstiniai
40
Ekonofizika
 1973 m. Black ir Scholes (MIT) modelis,
aprašomas dif. lygtimi dalinėmis išvestinėmis
 Feynman’o integralų trajektorijomis naudojimas
pelno ir rizikos skaičiavimams:
• Pradžia: J.Dash, El.dal.fiz.specialistas (1986-2004)
• K.Ilinski, Kvantinės elektrodinamikos formalizmo
taikymas (1998)
• B.Baaquie, Hamiltono formalizmas (2004)
 E.Piotrowski and J.Sladkowski, Kvantinė lošimo
teorija (2002)
 ir t.t.
41
Mūsų tyrimų vieta ir esmė
 Laipsniai skirstiniai ir ilgalaikės koreliacijos –
būdingos ekonominių ir finansinių sistemų
savybės.
 Empiriniai duomenys rodo, kad ilgalaikės
kainų, apyvartų kitimų koreliacijos yra
sąlygotos sandorių aktyvumo, jų skaičiaus
per laiko vienetą N kitimo.
 Mes analizuojame sąryšius tarp laipsninių
koreliacijų (laipsninių spektrų skirstinių)
IR laipsninių signalo intensyvumo skirstinių.
 Tai siejame su 1/f triukšmo ("one-over-f
noise“) problema ir pateikiame taškinius ir
kt. 1/f triukšmo modelius.
42
1/f triukšmas arba 1/f fliuktuacijos
Signalo galios spektras S (f ) kaip
dažnio f funkcija yra S (f ) ~ 1/f β,
kur rodiklis β yra artimas 1.
Po pirmųjų Johnson 1925 m.
stebėjimų aptinkamas daugybėje
sistemų ir procesų: nuo fizikos,
geofizikos, astrofizikos, biologijos,
medicinos, transporto, finansų ir
kitokių sistemų iki interneto,
žmogaus elgesio ir psichologijos.
43
1/f triukšmų bibliografija (maža jos dalis)
Wentian Li
www.nslij-genetics.org/wli/1fnoise













1/f Noise in Electronic Devices: Reviews
[26 entries]
General Review of 1/f Phenomena [12
entries]
Universal Aspects of 1/f Noise
Models and Theories of 1/f Noise [61
entries]
Mathematical and Statistical Properties
of 1/f Noise [43 entries]
1/f Noise in Dynamical System Models
[26 entries]
Digital Signal Processing of 1/f Noise [2
entry ]
Specific Examples of 1/f Noise
1/f Noise in Electronic Devices [178
entries]
1/f Noise in Electronic Devices: MOS [69
entries]
1/f Noise in Ecological Systems [22
entries]
1/f Noise in Network Traffic [21 entries]
1/f and 1/f2 Noise in Financial Data
[22 entries]






















1/f Noise in Biology (Miscellaneous) [17]
1/f Noise in Heartbeat [17 entries]
1/f Noise in DNA Sequences [15 entries]
1/f Noise in Meteorology and Oceanography
[15 entries]
1/f Noise in Neuro Systems [13 entries]
1/f Noise in Astronomy [13 entries]
1/f Noise in Human Coordination [13 entries]
1/f Noise in Music and Speech [12 entries]
1/f Noise in Cognition, Psychology and
Psychiatry [12 entries]
1/f and 1/f2 Noise in Granular Flow [11]
1/f Noise in Magnetic Systems [9 entries]
1/f Noise in Electrochemical Systems [8]
1/f Noise in Traffic Flow [8 entries]
1/f Noise in Geophysical Records [8 entries]
1/f Noise in Radioactive Decay [8 entry]
1/f Noise in Chemical Systems [7 entries]
1/f Noise in Number Systems [5 entries]
1/f Noise in Written Language [4 entry]
1/f Noise at Phase Transition [3 entry]
1/f Noise in Optical Systems [1 entry]
1/f Noise (or related topics) in Leaking Faucet
[1 entry]
1/f Noise in Work-Related Tardiness [1 entry]
44
1/f triukšmo aiškinimo sunkumai (1)
Plačiai sutinkamas 1/f β triukšmas
Be galo didelės fliuktuacijos?
45
1/f triukšmo aiškinimo sunkumai (2)
 1/f triukšmas yra tarpinis tarp nekoreliuoto
baltojo triukšmo, S(f) ~1/f 0,
 Ir Brauno judėjimo, kai nėra koreliacijų tarp
pokyčių (inkrementų), S(f) ~1/f 2,
Čia W(t) – Brauno judėjimas (Wiener’io procesas)
46
1/f triukšmo aiškinimo sunkumai (3)
Priešingai Brauno judėjimui neegzistuoja
tiesinės stochastinės lygtys, jų sistemos,
generuojančios signalus su 1/f pobūdžio
fliuktuacijomis.
1/f triukšmas siejamas su laipsniniais
skirstiniais ir signalų fraktališkumu
1/f triukšmas – viena iš seniausių
šiuolaikinės fizikos problemų
47
Teorija. Modeliavimas
 Mes pateikiame taškinio proceso 1/f β triukšmo modelį,
apimantį įvaires eksponentės β reikšmes.
 Taškiniai procesai sutinkami labai įvairiose sistemose:
nuo fizikos, ekonomikos, ekologijos, neurologijos,
seismologijos iki interneto ir t.t..
 Modelyje tarpimpulsinis laikas kinta stochastiškai,
difuziškai.
 Gaunami tarpimpulsinių laikų ir signalo intensyvumo
laipsniniai skirstiniai – daugelyje vyksmų ir sistemų
stebimas reiškinys.
 Gautos analizinės spektrinio tankio ir signalo
intensyvumo išraiškos ir sulyginta su skaitinio modelio
tyrimo rezultatais.
 Modelį taikome ir finansinių rinkų sandorių statistikos
aprašymui.
48
1/f fliuktuacijos, mastelio invariantiškumas ir pan.
finansinių duomenų sekose
 C.W.J.Granger (Ekonomikos Nobelio premija 2003)
(1966) Econometrica 34, 150
 A.V.Lo (1991) Econometrica 59, 1279
 R.N.Mantegna, H.Stanley (1995) Nature 376, 46
 R.N.Mantegna, H.Stanley (1996) Nature 383, 587
 B. B. Mandelbrot (1997) Fractals and Scaling in Finance
 Y.H.Liu el al. (1997, 1999) Physica A, Phys.Rev. E
 R. N. Mantegna, H. E. Stanley (2000) An Introduction to
Econophysics: Correlations and Complexity in Finance
 X.Gabaix, P.Gopikrishnan, V.Plerou, and E.Stanley (2003)
Nature 423, 267
 ……….
 V.Gontis and B.Kaulakys (2004) Physica A 343, 505
 V.Gontis and B.Kaulakys (2004) Physica A 344, 128
 V.Gontis and B.Kaulakys (2006) J. Stat. Mech. (10)
P10016
 ……..
49
TAŠKINIS 1/f TRIUKŠMO MODELIS
Signalas sudarytas iš impulsų arba įvykių:
I (t ) 
A
k
(t  t k )
k
Impulsų Ak(t-tk) formos fliuktuacijos sąlygoja aukštų
dažnių spektrą.
Žemų dažnių srityje apsiribojame koreliacijų tarp impulsų
pasirodymo laikų tk sąlygotais reiškiniais.
Susiveda į taškinį vyksmą.
50
Taškinis vyksmas
I (t )  a   (t  t k )
k
Visų pirma ir iš esmės nusakomas įvykių
laikais t1, t2, …tk…
Arba trukmėmis tarp įvykių  k  t k 1  t k
51
Stochastiniai tarpimpulsinės trukmės kitimo
modeliai
Poisson’o procesas
P ( ) 
Fraktalinis atsinaujinantis procesas
Autoregresinis sąlyginės trukmės
P ( ) 
1


exp( 



 m in   m ax
  k 1

P ( k  1 ) 
exp  
,




1


);   0
 (   1)
K
 0 
a
j k j
j0
Rekurentinis autoregresinis AR(1) modelis
(judėjimas su relaksacija)
 k  1   k   ( k   k )    k , 
1
B. Kaulakys and T. Meškauskas, Phys. Rev. E 58, 7013-7019 (1998)
B. Kaulakys, Phys. Lett. A 257, 37-42 (1999)
52
Rekurentinis autoregresinis AR(1)
modelis (judėjimas su relaksacija)
Su atsitiktiniais tarpimpulsinio laiko

k
pokyčiais εk
53
Taškinio vyksmo spektrinis tankis
S
f
1
f
54
Skaitinė analizė
Tarpimpulsinių laikų
 k  t k 1  t k
Gauso pokyčių εk
skirstiniui
55
Skaitinė analizė ne Gauso pokyčiams εk
Tolygiam pokyčių εk skirstiniui
Nesimetriniam χ32 pokyčių εk
skirstiniui
56
Taškinio vyksmo signalas
Eismo intensyvumas
57
Išvada.
Galima 1/f triukšmo kilmė
Stochastinis, autoregresinis, Brauno
judėjimas laiko ašyje, t.y.,
Atsitiktiniai trukmės tarp įvykių,
impulsų, dalelių pokyčiai
B. Kaulakys, Microel. Reliab. 40, 1787 (2000).
B. Kaulakys, Lith. J. Phys. 40, 281 (2000).
58
Mūsų modelis, straipsniai
naudojami, cituojami ne tik fizikų
Fizikiniuose žurnaluose ir, pvz.,:











ELECTRONICS AND COMMUNICATIONS IN JAPAN
MICROELECTRONICS RELIABILITY
JOURNAL OF CLIMATE
QUARTERLY JOURNAL OF THE ROYAL
METEOROLOGICAL SOCIETY
NONLINEAR PROCESSES IN GEOPHYSICS
ASTRONOMY & ASTROPHYSICS
MEDICAL & BIOLOGICAL ENGINEERING & COMPUTING
HUMAN MOVEMENT SCIENCE
PSYCHONOMIC BULLETIN & REVIEW
GAIT & POSTURE
LECTURE NOTES IN COMPUTER SCIENCE ir kt.
59
1/f fliuktuacijas generuojanti
stochastinė diferencialinė lygtis
 k  1   k   k , S ( f ) ~
dx
 x  x
4
5/2
1/ f
 ( t ), S ( f ) ~ 1 / f
dt
P(x) ~
1
x
3
Laipsninis
skirstinys
B. Kaulakys and J. Ruseckas, Phys. Rev. E 70, 020101(R) (2004)
B. Kaulakys, J. Ruseckas, V. Gontis and M. Alaburda, Physica A 365 , 217 (2006)
60
Stochastinis multiplikatyvus taškinis
vyksmas
Lanževeno lygtis sudreifu d   k

ir multiplikatyviu baltojo triukšmo šaltiniu
b  k    k  :
B. Kaulakys, V. Gontis and M. Alaburda, Phys. Rev. E 71, 051105 (2005)
61
Multiplikatyvus taškinis vyksmas
Tarpimpulsinės trukmės kitimo lygtis:
Sprendiniai:
V.Gontis and B.Kaulakys, Physica A 343, 505 (2004)
62
Skaitinė analizė
10 realizacijų po 106 impulsų sekų, kai
1
a  1,   ,   0.02
2
įvairiems γ
a  1,   1,   0.05
įvairiems γ
63
Taškinio signalo intensyvumo skirstinio
tankis
Perėjus nuo impulsų numerių k prie tikro laiko t gauname
tarimpulsinių laikų skirstinį realiame laike t
Signalo intensyvumo I
a /  k skirstinys yra
Kai
64
Signalas iš nekoreliuotų sandų.
McWhorter modelis
1/f triukšmas signalų su plačiu tiesinės relaksacijos laikų
skirstiniu ir Lorenco spektrais suma:
,
 l  1/
rel
l
,
Spektrinis tankis ir intensyvumo skirstinys:
,
B.Kaulakys, Lith.J.Phys. 40, 281 (2000);
B. Kaulakys, V. Gontis and M. Alaburda, Phys. Rev. E 71, 051105 (2005)
65
Grynas 1/f triukšmas: β=1, λ=3
1/ f
1/ f
1/ I
Sandų suma
3
Taškinis vyksmas
66
1/fβ triukšmas
67
Vyksmų fraktališkumas
Matematinėje analizėje dažniausiai funkcijos yra tolygios, turi baigtines
išvestines ir laiko momento ti aplinkoje gali būti aprašytos Teiloro eilute:
I ( t )  a 0  a1  t  ti   a 2  t  ti   a 3  t  t i   ...
2
3
Realiame gyvenime daugelis signalų yra labai nereguliarūs ir jie tam tikro
laiko ti aplinkoje negali būti aproksimuoti keleto narių Teiloro arba Furje
eilutėmis.
Daugelis empirinių ar eksperimentuose gautų signalų (laiko eilučių) yra
fraktalinės, t.y. tam tikruose taškuose ti turi singuliarumus – ne sveiko laipsnio
laiko narius, kurie atrodo kaip laipteliai arba smailės.
Formaliai tokio taško aplinkoje signalas gali būti užrašytas kaip eilutė su laiko
nariu nesveikuoju laipsniu hi:
2
3
hi
I ( t )  a 0  a 1  t  t i   a 2  t  t i   a 3  t  t i   ...  a h  t  t i 
i
Čia hi – charakterizuojantis singuliarumą nesveikas skaičius.
Toliau – fraktalinių signalų pavyzdžiai:
68
Signalų pavyzdžiai
hi = -0,6
S(f) ~ f 0,6
Širdies periodo tarp
pulsų. Multifraktalinis
S(f) ~ 1/f
hi = 0,2
S(f) ~1/ f
1,4
Toliau – multifraktališkumas:
69
Multifraktališkumas
Kai yra keleto tipų singuliarumai.
Reikia apskaičiuoti hi vertę kiekvienam singuliarumo tipui, tirti jų sekas {tih} ir
apskaičiuoti kiekvienos sekos dimensiją D(h).
Gaunamas singuliarumų spektras D(h)
Spektras D(h) charakterizuoja proceso, generuojančio signalą I(t), netiesiškumą.
Netiesinio fraktalinio proceso išėjimo signalas priklauso nuo įeinančio signalo ir
istorijos.
70
Fraktalinių signalų savybės
Pavyzdys. Cantor’o seka ir Devil’o
laiptai
f ( x )   f ( x )
p
f (x)  x
D
P( x) ~ x

x (t ) x (t   )
Sx( f ) ~ 1/ f
~
t


71
Taškinio vyksmo multifraktališkumas
, q = 1,…10
72
Nekoreliuotų sandų sumos signalo
monofraktališkumas
, q = 1,…10
73
Prekybos aktyvumo N statistika
Sandoriai kaip taškinis vyksmas
Sandorių skaičius per laiką
d,
t k  d
N k (t ) 

I ( t ) dt
tk
74
Prekybos aktyvumo N statistika
Grynas multiplikatyvus modelis, 
 1,
 k 1   k 1 1      k

skirstinys sandorių skaičiaus N per laiką 
Kai
d
,
Kumuliatyvus N skirstinys
   4  2 ,   1   , if   0.7,    0.3,    3.4
V.Gontis and B.Kaulakys, Physica A 343, 505 (2004)
75
Lyginimas su empiriniais finansiniais
duomenimis
=3.4
1000 akcijų apyvartos empiriniai
duomenys:
= 3.4 (X. Gabaix et all).

0.7
Lietuvos VPB 3
likvidžiausių akcijų prekybos
empiriniai duomenys.
V.Gontis and B.Kaulakys,
Physica A 343, 128 (2004)
   4  2 ,   1   , if   0.7,    0.3,    3.4
76
Lyginimas su empiriniais finansiniais
duomenimis
Lietuvos VPB
3 likvidžiausių
akcijų prekybos
empiriniai
duomenys.
Skaitinis
stochastinio
vyksmo
modeliavimas.
77
Signalas iš įvairios trukmės impulsų
{T1 , T 2 , T 3 ,..T k ,..T n },
P (Tk ) ~ Tk

Tankūs impulsai
78
Galingumo spektras
S ( f )  lim
T 
S ( f )  lim
2
T
 I ( t ) exp(  i 2  ft ) dt
2
2
  k , k  ( )  k , k  ( )
T   T k ,k 
 k , k  ( )  exp i ( t k  t k  ) 
 k , k  ( ) 
 duA k ( u ) e
i u
 d u Ak  ( u ) e
 i u 
79
Įvairios trukmės nekoreliuotų impulsų seka
I (t ) 
 Ak ( t  t k ), Ak ( t ) 

Tk
k
S ( f )  2 Fk ( f )
P (T k ) 
S( f ) ~
2
, Fk ( f ) 
(  1 ) T k
 1
T max
1
f
,

A(
t
)
Tk
 Ak ( u ) e
i 2  fu
du

 1
T min
kai
, T min  T k  T max
  2  2  0
ir 1 / T m ax   f   1 / T m in
 J. Ruseckas, B. Kaulakys and M. Alaburda, Lith. J. Phys.
43, p.223-228 (2003)
80
Perspektyvos. Taikymai tinkluose,
geofizikoje, finansų rinkose,
biomedicinoje, ekologijoje
Interneto tinklų modeliavimas
{T1 , T 2 , T 3 ,..T k ,..T n },

P (Tk ) ~ Tk , S ( f ) ~
1
f
V. Gontis, B. Kaulakys, and J. Ruseckas, AIP Conf. Proc. 776, 144 (2005)
81
Tolimesni darbai
Signalų internete statistinės savybės
Modelis
Empiriniai duomenys
ir kitokių vyksmų analizė, modeliavimas, modelių taikymai,
empirinių didelio dažnio duomenų analizė
82
Fraktalai
xn+1 = a xn + b yn + e
yn+1 = c xn + d yn + f
Menas – parinkti
parametrus
a, b, c, d, e, f.
83
Fraktalinis Brauno judėjimas, dažnių
sintezė, koreliacijos
84