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二次函數
的應用問題
製作人
姚谷樺
例1.
例2.
例3.
例4.
動動腦
例5.
例6.
例7.
例8.
例9.
例10.
例11.
例12.
例13.
例14.
例15.
例1. 如何把12分成兩數，使兩數的乘積為最大？
列式
(解)：
？
思考
設兩數為x，12-x
兩數乘積為 y
問
所以 y=x(12-x)
先把乘積假設出來
y = -(x-6)2 +36
求兩數最大乘積
即求y=x(12-x)的最大值
？
≦36
想求兩數乘積
當x=6時，y=36為最大值
因此
兩數為6，6時，乘積36為最大
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例2. 如何將15分成三數之和，其中二數須為連續整數，
而使此三數的平方和為最小？
(解)：
列式
思考
？
設 三數為x，
x+1，
15-x-(x+1)=14-2x
問
？
三數的平方和為 y
2
2
想求三數的平方和
先把平方和假設出來
2
所以 y = x +(x+1) +(14-2x)
求三數最小平方和
2
2
2
即求y = x +(x+1) +(14-2x)
的最小值
首頁
例3. 一位農夫想用60公尺長的籬笆圍成一個矩形的菜圃，問如
何才能圍出最大的面積？這最大的面積為多少平方公尺？
(解)：
列式
思考
籬笆總長60公尺
矩形菜圃的長+寬=30公尺
？
設矩形菜圃長x公尺
寬(30-x)公尺
面積為y平方公尺
？
問
想求面積
先找長、寬
再把面積假設出來
所以 y=x(30-x)
2
y = -(x-15) +225
≦225
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求最大面積
即求y=x(30-x)的最大值
例4. 黃金旅行社為提高休閒生活品質，
特舉辦兩天一夜的黃金旅遊，
參加人數
每人所需費用
30
5000
預定人數為30人，每人只收5000元； 31=30+1
5000-100
但為響應政府週休二日，
32=30+2
5000-100‧ 2
只要人數達30人以後，特別優待：
35=30+5
5000-100‧ 5
每增加一人，就每人減收100元。
41=30+11
5000-100‧ 11
30+x
5000-100x
問應增加多少人，這旅行社才能收到最多的錢？
最多共收到多少錢呢？
解
(解)：
列式
？
可收到y
？元
設增加x人
則人數為(x+30)人
每人收(5000-100x)元
且y=(5000-100x)(x+30)
思考
問
想求
先把錢數假設出來
還可知道
想求
即求y=(5000-100x)(x+30)
的最大值
首頁
#動動腦： 要如何修改例1中，黃金旅行社的廣告詞，
才不會造成「旅遊不必付錢」的問題？
Answer:
先反向思考
若「旅遊不必付錢」
？
則每人所收的錢 (5000-100x) =0
即x=50
故若增加50人時，不必付錢
也就是人數為30+50=80人時，不必付錢(預定人數30人)
故旅行團應規定： 額滿人數為79人(80人時剛好不必付錢)
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例5. 一果園中種了25棵橘樹，每棵平均可生產橘子450個；
若在此園中，每加種1棵，則每棵平均生產量減少10個，
問應加種幾棵，能使此園的產量達到最大？
最大產量是多少？
所種棵數 每棵平均產量
解
25
450
26=25+1
450-10
27=25+2
450-10‧ 2
30=25+5
450-10‧ 5
36=25+11
450-10‧ 11
25+x
450-10x
(解)：
列式
？
產量y？
個
設加種x棵
思考
問
想求
先把產量假設出來
則棵數為(x+25)棵
每棵樹平均生長(450-10x)
顆橘子
還可知道
且y=(x+25)(450-10x)
想求
即求y=(x+25)(450-10x)的
最大值
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例6. A、B為數線上兩點，他們的座標分別為 7、2，
2
2
試在數線上求一點P，使
+
的值為最小。
PA
(解)：
PB
列式
思考
？
設 P點座標為x
2
PA + PB
2
2
想要
= x7 + x2
2
= (x-7) + (x-2)
要
2
2
2
先將 PA + PB 表示出來
2
再算最小值
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例7. 將一顆棒球以256呎/秒的速率，垂直往上拋，如果
經過t秒後，棒球的高度是 S(t)=256t-16t。問：
(1)此顆球所能達到的最大高度是多少呎？
(2)經過幾秒鐘後，球會落到地面？
(解)：
思考
列式
(1) S(t) = 256t-16t 2
2
= -16(t-8) +1024
要求
即求S(t)的最大值
≦1024
所以最大高度是1024公尺
(2)
？
S(t) = 0
此時t =16 或 0 (不合)
要求
先想球落到地面時有何條件
落到地面時高度為0
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例8. 亂太郎以長120m的鐵絲網在河邊
圍一個矩形的菜園。如右圖，虛
線部分為河邊，不圍鐵絲網，且
∠EAB=90∘， AB
=20m，則菜園
(矩形ACDE)的面積最大為多少平
方公尺？
(解)：
列式
？
設 AB = x公尺
則寬 DE =(x+20)公尺
且長 CD =(100-2x)公尺
首頁
A
E
20
B
C
思考
DE = BC +20
CD =120 - BC - DE
D
亦可設
DE =x
又設面積為y平方公尺
問
想求面積 先找長、寬
想求面積,就把面積假設出來
∴y=(100-2x)(x+20)
求
即求y(100-2x)(x+20)
的最大值
例9. 霧丸想沿魚池的岸邊，搭建一個伸入
池中6m的平台，形狀為兩個相連的正
方形，如右圖。若平台高度一定且建
築費為每平方公尺100元，問平台的邊
長多少公尺才能使建築費用最低？
(解)：
列式
岸
邊
6m
思考
設 其中一平台的邊長為
x公尺
則另一平台邊長為
(6-x)公尺
問
又設全部費用為y元
想
2
2
∴y=100[x +(6-x) ]
首頁
先假設建築費用
且求其最小值
而
例10. 一條繩子長100m，現在想把它切成兩
段分別圍出正方形A與B，當切出的一
段長x時，A、B面積之和最小，求出
此時之x及面積和之最小值。
(解)：
列式
設 A、B兩正方形面積和
為y平方公尺
∴y = ( x ) 2  (100  x ) 2
4
4
A B
x
100-x
思考
想求
而A的邊長為
x
4
B的邊長為 100  x
4
問
x 2 100  x 2
)
即求 y = ( )  (
4
4
的最小值
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例11. 如右圖，AB =16，BC=12的長方形ABCD
的邊上，各取一點M、N、P、Q，使 AM
= BN = CP = DQ =x
(1)試以x表示四邊形MNPQ的面積。
(1)
(16-x) +
12-x
D
C
P
思考
MNPQ=ABCD – 4個直角三角形
MNPQ的面積
=16‧12 –
1
2[ ‧x
2
B
x
N
Q
(2)問 x 等於多少時，MNPQ的面積最小？
(3)求四邊形MNPQ面積的最小值。
(解)：
列式
A x M 16-x
ΔMBN=ΔPDN=
1
‧x2 (12-x)]
ΔMAQ=ΔPCN=
1
‧x (16-x)
2
1
‧x2 (12-x)
2
=2x - 28x+192
(2) 2x 2- 28x+192
2
=2(x-7) +94 ≧94
(3) MNPQ面積的最小值為94
問
則利用配方法即可
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例12. AB 的長為12，P點在 AB上移動，以 AP
為一邊做等腰直角ΔAPC，其中
C
∠A=90度，又以 PB 為一邊作正方形
PBDE，如右圖，設 AP =x
(1)試以x表示ΔAPC與正方形PBDE的面積和
(2)求ΔAPC與正方形PBDE面積和的最小值
(解)：
(1)
列式
1
2
面積和= x +(12-x)
=
D
P
B
思考
2
2
A
E
1
2
1
= ‧x‧x
2
ΔABC面積= ‧底‧高
3 2
x -24x+144
2
正方形PBDE面積=(邊長)2
= PB 2 =( AB - AP ) 2 =(12-x) 2
(2)
=
3 2
x -24x+144
2
問
2
3
(x-8) +48
2
即求 x 2-24x+144的最小值
≧48
3
2
首頁
例13. 設a : b = 1 : 2且b : c = 3 : 4，求：
(1) a : b : c
(2) ab – bc + ca + c的最大值
列式
(解)：
思考
(1) a : b : c = 3 : 6 : 8
(2) 設 a=3k，b=6k，
c=8k (k≠0)
ab – bc + ca + c
2
2
2
=18k -48k +24k +8k
想求ab – bc + ca + c的最大值，
根據以往經驗，
須將未知數化簡成只有一個，
再配方
由(1) a : b : c = 3 : 6 : 8的提示
配方後即可得最大值
首頁
例14.
2
設a代表一個確定的數，且a≠0，若二次函數f(x) = ax +3ax
–
a 2+2的最大值為 -5，試求：
(1)此二次函數圖形的頂點座標
(2)a的值
(解)：
列式
(1) f(x) = ax2 +3ax – a 2 +2
=a(x+
9
3 2
2
)
–a
–
a
2
4
思考
想求
+2
即用配方法求最大值
且最大值為 -5
3
2
∴頂點座標為(- ,-5)
(2) ∵最大值為 -5
∴ -a 2–
9
a
4
∴a= -4或
+2= -5
從(1)的配方法中可看出
最大值為
7 (不合)(∵a<0才會有最大值)
4
首頁
y
例15. 如右圖，過A、B兩點直線方程式為
2x+3y=5，且P點為 AB 上任一點，求
A
(1)矩形OCPD的面積表示成x的二次函數為何？
(2)當P點座標為多少時，矩形OCPD的面積為
最大，其值又為何？
(解)：
列式
(1) 2x+3y=5
5  2x
y

∴
3
5  2x
)
設 P ( x,
3
則矩形OCPD的面積為
f(x)=x‧
(2)
首頁
P
C
O
思考
x
D
B
2x+3y=5
想求
須先知道 PC、CD 的長度
即P點座標
∵P在2x+3y=5上
5  2x
2
5
  x2  x
3
3
3
問
即求f(x)的最大值