Transcript CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Valutazione delle cadute
di tensione nelle travi in
c.a.p
Bozza del 19/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2005/06
PERDITE DI TENSIONE ISTANTANEE
Cadute di tensione
Istantanee
Pre-Tensione
Post-Tensione
Riduzione dello sforzo N0 di
tiro per effetto della
deformazione elastica della
trave
Rientro dei blocchi di
ancoraggio in testata
Attrito tra cavi e guaina
Bozza del 19/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
TRAVE PRE-TESA
Perdite di tensione a causa della deformazione elastica
Consideriamo il caso di cavo di precompressione centrato.
Lo sforzo N0 di tiro registrato ai martinetti non
sarà mai applicato all’elemento precompresso
(ovvero dopo il taglio dei trefoli), che vedrà su di
esso applicato sin dal disarmo direttamente lo
sforzo ridotto Nd=N0-DN (sforzo al disarmo)
Per congruenza deve aversi che
Nd  l
Ec  A

DN  l
Es  Ap
Da cui si può valutare la relazione tra la
caduta di tensioni dovuta alla
deformazione elastica e lo sforzo al
disarmo Nd:
DN  Nd 
Es  Ap
Ec  A
 Nd  n 
Ap
A
Da cui può determinarsi
quest’ultimo in funzione dello
sforzo normale iniziale N0:
Nd  N0  DN  N0 
nAp
N0
Ac  nAs
A
 N0 
 N0  N0 
 N0 
 Es A
A  n  Ap
Ac  n(As  Ap )
Ac  n(As  Ap )
Ec  Ac  n(As  Ap )
Bozza del 19/05/2008

a cura di Enzo Martinelli

Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
TRAVE PRE-TESA
Perdite di tensione a causa della deformazione elastica
In termini di tensione di trazione nel trefolo all’atto del disarmo si ha:
N
Nd  N0  c,0  EsAp
d  d   0  n  c,0
Ap
In generale, allora, nel caso di trefoli eccentrici si può calcolare la tensione nel trefolo
sottraendo da quella al tiro il valore della caduta di tensione dovuto alla deformazione
della fibra di calcestruzzo al livello del trefolo:
- e0: eccentricità cavo risultante;
N

M
N e
 spi '  spi  n   0  0 0  yj  min  yj 
- yj: eccentricità trefolo j-esimo;
I1
I1
 A1

Quanto al calcestruzzo le tensioni possono essere calcolate indifferentemente
considerando lo sforzo normale al disarmo Nd agente sulla sezione omogeneizzata di
calcestruzzo ed armatura “dolce”, ovvero lo sforzo normale al tiro N0 agente sulla sezione
trasversale alla quale siano state omogeneizzate anche i trefoli di precompressione:
c 
Ac  nAs
La
seconda
possibilità
è
operativamente più conveniente e nel
caso di sforzo di precompressione
eccentrico porta alla relazione:
Bozza del 19/05/2008
Nd

N0
Ac  n(As  Ap )
 c0 y  
M
N N  e0

 y  min  y
A1
I1
W1s
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2005/06
TRAVE POST-TESA
Perdite di tensione dovute al rientro degli apparecchi
Consideriamo la possibilità che si abbia
un rientro degli apparecchi in testata.
Ad esempio un rientro di 2 mm su di una
trave di 10 m:
Dra
D
2 / 10.000
 ra 
 0.032
 spi
 spi
1.200/ 190.000
Effetto della trazione dei cavi in fasi
successive. Consideriamo una trave
precompressa con tre cavi posti tutti alla
stessa quota ed immaginiamo che ciascuno
di essi provochi nella sezione più
sollecitata in fase di tiro una tensione nel
calcestruzzo sulla fibra al livello dei cavi di
8 N/mm2; allora la tesatura del secondo
provoca sul primo una perdita di tensione
(per deformazione elastica):
D em  n  c 
Es
 8  6  8  48 MPa
Ec
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a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2005/06
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TRAVE POST-TESA
Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-guaina
Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo
in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla
traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è
infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore dN d, vale
pn r (2 d)  2 N d
pn 
N
r
pt  f  pn  f 
Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo:
N  pt r d  (N  dN)
dN
  f d
N
N
r
N  N0  e f
La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare
per la valutazione delle cadute di tensione istantanee:
N0,B  N0,A 1  f(  z)
0.3 cavo - guaina
f
0.5 cavo - cls
  0.01 rad/m
d
r
N
N+dN
pn
pt
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TRAVE POST-TESA
Perdite di tensione per attrito: formula EC2
Pmax-DP
0.005  k  0.01
rad/m
Pmax
x
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Anno Accademico 2005/06
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico -
Bozza del 19/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
N0,i
sez
4
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
N0i
2
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
0.9889
0.9923
0.9962
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903
0.9932
0.9967
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915
0.9941
0.9971
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
5
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Bozza del 19/05/2008
 spi(i)
5
Ni
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
Ti
[kg]
19845
22124
15548
N0,i ( j)   spi ( j)  Ap ( j)
Ni ( j)  N0,i ( j)  cosi
Ti ( j)  N0,i ( j)  sini  N0,i ( j)  i
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Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
4
sez
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
 spi(i)
5
N0i
Ni
Ti
2
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
0.9889
0.9923
0.9962
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903
0.9932
0.9967
11963
11969
11977
133412 132112
177958 176748
178079 177483
18578
20713
14559
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915
0.9941
0.9971
11927
11937
11954
133043 131912
177546 176494
177789 177270
17313
19304
13572
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
( 2)
(1 )
11718
  spi174393
 1 9537
 f   ( 2 )   (1 )    z 
174653
spi
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
5
Bozza del 19/05/2008
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
11669

130450 130170
[kg]
19845
22124
15548
8542
Sezione n.2


1200  1  f  0.1489  0.1397  0.01  z  
11792
175754 175626
1196
MPa171791
11501 .3
171791
11415
127885 127885
11632
173737 173737
6723
0
0
0
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
4
sez
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
 spi(i)
5
N0i
Ni
2
Ti
N0
e0
y
[kg]
19845
22124
15548
[kg]
[cm]
[cm]
486984
1.80
107.20
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0
0.0875
0.1489 0.1483
( j)
0.1244
j 00.1240
0.0873 0.0872
N N
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397 0.1393 0.9903
0.1167 0.1164
0.9932
( j)
( j)
0.0818
0.0818
00.9967
j 0
N
11963
11969
11977
133412 132112
177958 176748
178079 177483
18578
20713
14559
486343
13.24
95.76
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
( j) 0.9915
0.1305 0.1301
0
0.1089 j0.1087
0.9941
0.0764 0.0763 0.9971
11927
11937
11954
133043 131912
177546 176494
177789 177270
17313
19304
13572
485676
23.95
85.05
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0655
0.0655
4
1
2
3
y0.0547
 yG0.0546
0.0546
,i  e0
8542
9537
6723
30.79
0.0383
130450 130170
174653 174393
175754 175626
78.21
0.0383
11669
11718
11792
480188
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
11415
11501
11632
127885 127885
171791 171791
173737 173737
0
0
0
473413
96.30
12.70
5
Bozza del 19/05/2008
e0 
0.9889
0.9923
0.9962
e
N
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2005/06
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
Effetti del ritiro del calcestruzzo
valori della
deformazione
r  0.00030
(applicazione prima di 14 gg)
r  0.00025
(applicazione dopo i 14 gg)
Effetti del fluage del calcestruzzo
Dr  0.00025 195.000  48.8
[MPa]
Dr  0.00030 195.000  58.5
[MPa]
Ec  9500  fck  8
[MPa]
1/3
 c,i

La fibra di calcestruzzo posta a distanza
2
.
3



2
.
3

e,i

Ec
ei dal baricentro (ed in corrispondenza  v,i     e,i  

del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta
2.0   e,i  2.0  c,i

Ec
alla seguente tensione per effetto dei

carichi permanenti:
 c,i
N0 N0  e  ei M *  ei



A
I
I
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Dv,i  Ep   v,i  n    c,i
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Ritiro
cs  cd  ca
ca,
fck  10
 2.5 
1000000
Esempio
cd,  k h c0
fck=40.0 MPa;
Ac=1500 cm2;
u=100 cm.
h 0  300 mm
0.75  0.38
 0.000285
1000
40  10
 2.5 
 0.0000750
1000000
cd,  
2Ac
h0 
u
ca,
ca,  0.000350
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Viscosità
Bozza del 05/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2005/06
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
Effetti del rilassamento dell’acciaio
Se l’armatura da pretensione viene inizialmente
sollecitata a livelli superiori al 50% della
tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che,
a deformazione imposta costante, la tensione si
riduce nel tempo.
2
Dril
  spi

 16  
 0.5   Dr
 fptk



Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage
le armature di precompressione non hanno una
deformazione imposta costante; pertanto la
caduta di tensione per rilassamento risulta
minore e valutabile come segue:

( D r  D v ) 
Dril  1  2.5
  D ril
 spi


Tipo di armatura
fili trafilati
D r
0.15 spi
Trecce
0.20 spi
Trefoli
 s pi
0.18
barre laminate
 s pi
0.12
Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito;
Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo);
Bozza del 19/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Rilassamento
0.25
Classe 1
0.20
t=500000 h
Classe 2
Dpr/pi
Classe 3
0.15
0.10
0.05
0.00
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
m
Bozza del 05/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008 – EC2
Caduta di tensione per
effetti differiti nel
generico cavo o trefolo
c,Qp, i
N0 N0  e  e i



A
IG
Eccentricità del
cavo risultante
Contributo
del Ritiro
MQp  e i
IG
Eccentricità del cavo
i-esimo di cui si valuta
la caduta di tensione
Contributo del
Rilassamento
Ecm
f 
 22000   ck 
 10 
Ep  195000 MPa
Contributo
della Viscosità
0.3
zcp
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
- esempio numerico: sezione di mezzeria N   N( j) 3767 kN
j
n=

r=
=
EP=
5.79
0.0003
2.3
2
2000000 kg/cm
Cavo n°3:
e3 =
(3)
 spi =
 c=
D r(3)=
D f(3)=
D ril(3)=
D ril'
(3)
=
β
N0 4843

 1.29
N 3767
99.00 cm
1163.17
MPa
Cavo n°2:
e2 =
11.40 MPa
(2)
 spi
=
60.00
MPa
 c=
151.86 MPa
(2)
DMPa
42.17
r =
(2)
DMPa
22.97
f =
D ril(2)=
D ril'
(2)
=
2
AP(3)=
99.00 cm
14.86 cm
(3)
1150.12Cavo
MPa n°1:D sp =
234.83 MPa
(2)
(3)
cm AMPa
=
11.40 MPa e1=  sp 89.00
928.34
P =
(1)
 spi =
60.00 MPa
151.86 MPa  c=
D r(1)=
36.74 MPa
D f(1)=
19.82 MPa
(3)
(2)
MPaD spkN
N1141.53
= 1379.91
=
10.98 MPa  sp(2)=
60.00 MPa
146.23 MPa
(1)
D ril =
D ril'
(1)
33.41 MPa
=
N(2)=
2
14.86 cm
231.68 MPa
(1)
918.44 MPaAP =
(1)
1365.18 kND sp =
 sp(1)=
N(1)=
2
11.15 cm
224.55 MPa
916.98 MPa
1022.28 kN
18.32 MPa
Dr  0.00030 200000  60.0 MPa
Δσv(1)  5.79  2.3  10.98  146.23 MPa
Bozza del 19/05/2008
2
 1141.53

 16  
 0.5   0.18  1141.53  33.41 MPa
 1900

60.0  146.23 

Δσril'(1)  1  2.5 
  33.41  18.32 MPa
1141.52 

N(1)  1115  1141.53  60.00  146.23  18.32  1022.28 kN
Δσril(1)
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2005/06
CONCLUSIONI
Nella presente unità didattica sono state esposte le problematiche relative alla valutazione
delle cadute di tensioni istantanee e differite nelle travi precompresse.
La valutazione esplicita delle cadute di tensione è stata valutata con riferimento alle
cadute istantanee per attrito tra cavo e guaina o calcestruzzo, caratteristiche del sistema
ad armature post-tese.
La valutazione degli cadute di tensione per effetti differiti è stata, invece, condotta sia
per il caso di sistema pre-teso che post-teso considerando le prescrizioni della normativa
italiana.
Anche se non mostrato esplicitamente, il calcolo delle cadute di tensione per effetti
differiti condotto nella sezione di mezzeria deve essere effettuato anche nelle altre 4
sezioni di controllo seguendo un procedimento analogo. I risultati sono riassunti nelle due
tabelle precedenti.
Bozza del 19/05/2008
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
RISULTATI NUMERICI
- Cadute di tensione istantanee sez
cavo
xi
yi
ei
[cm]
[cm]
[cm]
tgi
i
seni
cosi
 spi(i)
N0i
2
N0icosi
N0isini
N0
e0
y
1
1
2
3
1600
1600
1600
140.00
110.00
80.00
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
[kg]
[kg/cm ]
0.9889 12000 133780
0.9923 12000 178370
0.9962 12000 178370
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903 11963.3 133371
0.9932 11968.7 177904
0.9967 11976.9 178026
132072
176695
177430
18573
20706
14555
486197
13.24
95.76
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915 11926.7 132963
0.9941 11937.4 177439
0.9971 11953.7 177682
131832
176388
177164
17303
19292
13564
485384
23.95
85.05
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979 11669.2 130092
0.9985 11717.8 174176
0.9993 11791.8 175276
129813
173916
175147
8519
9511
6705
478876
78.21
30.79
5
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000 11415.3 127261
1.0000 11501.2 170955
1.0000 11631.7 172896
127261
170955
172896
0
0
0
471112
96.30
12.70
Bozza del 19/05/2008
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]
132300
176993
177691
19845
22124
15548
486984
1.80
107.20
Anno Accademico 2005/06
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
RISULTATI NUMERICI
- Cadute di tensione per effetti differiti M*
[kgcm]
 c(i)
D r(i)
2
D v(i)
2
D ril(i)
2
2
D ril'(i)
2
D diff(i)
2
 sp(i)
2
Ni
Nicosi
Nisini
N0
e0
y
[kg]
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]

[kg/cm ]
73.95
74.58
75.21
[kg/cm ]
600.00
600.00
600.00
[kg/cm ]
985.24
993.65
1002.05
[kg/cm ]
598.34
598.34
598.34
[kg/cm ]
400.73
399.68
398.64
[kg/cm ]
1985.97
1993.33
2000.69
[kg/cm ]
10014.03
10006.67
9999.31
111639.7 110405
148740.8 147095
148631.4 146987
16561
18449
12956
404487
1.71
107.29
1.20
3366600
73.26
75.30
77.25
600.00
600.00
600.00
976.12
1003.25
1029.19
579.15
581.92
586.18
388.40
387.04
386.84
1964.52
1990.29
2016.02
9998.83
9978.39
9960.83
111470.3 110384
148320.4 147312
148059.5 147564
15523
17263
12105
405260
13.20
95.80
1.20
6516000
74.00
77.11
79.93
600.00
600.00
600.00
985.96
1027.37
1064.94
560.33
565.78
574.17
374.06
372.95
374.24
1960.02
2000.32
2039.19
9966.71
9937.07
9914.55
111112.2 110167
147706.3 146831
147371.5 146941
14459
16060
11250
403939
23.89
85.11
1.21
22480200
97.13
102.11
104.17
600.00
600.00
600.00
1294.08
1360.41
1387.95
438.05
459.82
494.11
260.30
267.50
285.86
2154.38
2227.91
2273.81
9514.82
9489.93
9518.01
106074.4 105847
141059.8 140849
141477.2 141374
6946
7703
5412
388070
78.18
30.82
1.25
27801600
109.75
113.98
113.98
600.00
600.00
600.00
1462.32
1518.59
1518.59
334.07
367.45
421.68
183.19
198.23
229.67
2245.50
2316.82
2348.25
9169.78
9184.35
9283.44
102227.8 102228
136517.8 136518
137990.7 137991
0
0
0
376736
96.29
12.71
1.29
0
Bozza del 19/05/2008