Transcript pps

Stranica:III- 1
Elektrostatika




Električno polje na granici dva dielektrika.
Pločasti kondenzator.
Cilindrični kondenzator.
Kuglasti kondenzator.
Stranica:III- 2
1. zadatak
Dvije metalne ploče sa zrakom kao izolatorom bile su spojene na izvor
napona U, a zatim odspojene od njega. Nakon toga je razmak ploča
povećan na dvostruki iznos, a zrak je zamijenjen tinjcem (r = 6).
Odredite što se događa s električnim poljem, naponom između ploča,
kapacitetom kondenzatora, nabojem na pločama i energijom u
kondenzatoru.
+Q
-Q
r
E, D
S
d
Početna stranica
Stranica:III- 3
Uvodni pojmovi

Za pločasti kondenzator vrijedi:
+Q
Q
D  
S



D    E  0   r  E
-Q
r
S
E, D
U
d
E(x)
U  E d
C  0 r 
j(x)
xref = d
-x 0
Q
C
d
S
d
Q2
Q U E  D
W


S d
2C
2
2
x
El. polje je konstantno.
Potencijal je linearna funkcija.
Početna stranica
Stranica:III- 4
Rješenje zadatka


Na ploče kondenzatora je bio spojen napon U i ploče su
se nabile nabojem Q.
Nakon toga je kondenzator odspojen, povećan je razmak
među pločama i ubačen je dielektrik.
+Q
-Q
+Q
r
0
E, D
S
S
E1, D1
2d
d

-Q
Budući da je kondenzator odspojen od izvora napajanja
nakon ubacivanja izolatora vrijedi:
Q  konst.
Početna stranica
Stranica:III- 5

Vektor dielektričnog pomaka D:
D

El. polje E:
E

Q
Q
; D1 
S
S
D
0
; E1 
D1

0 r
 D  D1
D1
E1  0   r
1 1

 
D
E
r 6
Napon U:
U  E  d ; U1  E1  2d 

0
U1 E1  2d 1


U
E d
3
Kapacitet C:
S
S
S
C1
2d   r  3
C   0  ; C1   0   r 


S
d
2d
C
2
0 
d
Energija W:
Q  U1
Q U
Q  U1
W1
U 1
W
;W1 

 2  1
Q U
2
2
W
U 3
2
Početna stranica
0 r 

Stranica:III- 6
2. zadatak
Na slici su prikazane dvije ploče nabijene nabojem površinske gustoće
 između kojih se nalaze dva sloja dielektrika uz njih te sloj metala u
sredini.
a) Skicirajte funkcije jakosti polja E(x) i potencijala j(x).
b) Izvedite izraze za funkciju potencijala j(x) za 0 < x < c uz
pretpostavku da su poznati , a, b, c te 1 > 2 .
-
+
r1
m
al
t
e
r2
x
0
a
b
c
Početna stranica
Stranica:III- 7
Uvodni pojmovi

Pločasti kondenzator s dva dielektrika (serija):
+Q
E(x)
D1  D2
-Q
E1, D1
E2, D2
r1
r2
d1
d2
E1  E2
S
E1 
 0   r1  S
C1   0   r1 
j(x)
E1
xref = d
E2
; E2 
Q
0 r2  S
S
S
; C2   0   r 2 
d1
d2
1 1
1
C C
 +
 C 1 2
C C1 C2
C1 + C2
U1  E1  d1; U 2  E2  d 2
-x 0
x
d1
Q
d
U  U1 + U 2
W  W1 + W2
Za r1 < r2 el. polje i potencijal izgledaju kao na slici:
Početna stranica
Stranica:III- 8
Uvodni pojmovi

Pločasti kondenzator s dva dielektrika (paralela):
+Q
E1  E2  E
-Q
D1  D2
E1, D1
Q1, S1
r1
Q  Q1 + Q2
E2, D2
Q2, S2
D1 
r2
d
Q1
Q
  0   r1  E; D2  2   0   r 2  E
S1
S2
C1   0   r1 
E(x)
j(x)
E1=E2
S1
S
; C2   0   r 2  2
d
d
C  C1 + C2
xref = d
U1  U 2  U  E1  d  E2  d
-x 0
x
d
W  W1 + W2
El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:
Početna stranica
Stranica:III- 9
Rješenje zadatka

Prvo određujemo el. polje.
-
+
r1
m
al
t
e
El. polje u prvom dielektriku
iznosi:
r2
E1  x
0
a
b
D1

-

 0   r1
El. polje u metalu:
c
Emetal  0
E(x)
a
b
c
0
E1
E2
x
El. polje u drugom dielektriku
iznosi:
D

E2  - 2  
0 r2
Početna stranica
Stranica:III- 10

El. potencijal određuje se na sljedeći način:
x
-
j ( x)  -  E ( x)dx
+
r1
m
xref
Ref. točka je u ishodištu:
al
t
e
r2
j (0)  0
Za 0 < x < a:
x
0
a
b
c
j(x)
x
x
0
0
j ( x)  -  E ( x)dx  -  -

dx
 0   r1
x


j ( x) 
x 
x
 0   r1 0  0   r1

a
 0   r1
Za x = a:
a
0
b
c
x
j ( x) 

a
 0   r1
Početna stranica
Stranica:III- 11
Za a < x < b:
a
x
j ( x)  -  E1 ( x)dx -  Emetal ( x)dx
-
0
+
r1
m
al
t
e
j ( x)  j (a) -  0dx  j (a )
a
r2
j (b)  j (a) 
x
0
a
a
x
b
c

a
 0   r1
Za b < x < c:
a
b
x
0
a
b
j ( x)  -  E1 ( x)dx -  Emetal ( x)dx -  E2 ( x)dx


j(x)
a +
 c - b 
 0   r1
0 r2
x

a
 0   r1
a
0

x
0 r2 b



j ( x) 
x+
a b
0 r2
 0   r1
0 r2
j ( x)  j (a)+
b
c
x
Za x = c:


j ( x) 
a +
 c - b 
 0   r1
0 r2
Početna stranica
Stranica:III- 12
3. zadatak
Pločasti kondenzator sadrži dva sloja dielektrika prema slici. Odredite
maksimalnu vrijednost napona U pri kojem neće doći do proboja, ako je
zadano:






E1p = 10 [kV/m]
E2p = 20 [kV/m]
d1 = 7 [mm]
d2 = 3 [mm]
r1 = 5
r2 = 2
+Q
-Q
r1
d1
r2
d2
Početna stranica
Stranica:III- 13
Rješenje zadatka

Probojno polje označava maksimalno el. polje kod kojeg u
određenom dielektriku neće doći do proboja.
+Q
-Q
r1
r2
Za serijski spojene kondenzatore
vrijedi:
D1  D2
E1  E2
d1

d2
Ako pretpostavimo da će el. polje u prvom dielektriku
imati svoju maksimalnu vrijednost vrijedi:
E1  E1p  10 kV/m

 0   r1  E1p   0   r 2  E2  E2  r1  E1p  25 kV/m  E2p
r2

Ovaj slučaj ne zadovoljava, jer iako ne dolazi do proboja u
prvom dielektriku u drugom dolazi.
Početna stranica
Stranica:III- 14

Uz pretpostavku da je u drugom dielektriku maksimalno
polje vrijedi:
E2  E2p  20 kV/m

 0   r1  E1   0   r 2  E2 p  E1  r 2  E2 p  8 kV/m  E1p
 r1

Znači el. polja u prvom i drugom dielektriku iznose:
E1  8 kV/m
E2  E2p  20 kV/m

Maksimalni napon onda iznosi:
U max  U1 + U 2  E1  d1 + E2  d2
Umax  8 103  7 10-3 + 20103  3 10-3
U max  116V
Početna stranica
Stranica:III- 15
4. zadatak
Za koaksijalni kabel s polietilenskom izolacijom kao na slici (negativan
linijski naboj na unutrašnjem vodiču) potrebno je odrediti:
a) potencijal unutarnjeg vodiča
b) ako el. polje u polietilenu ne smije prijeći vrijednost od 3107 [V/m]
koliki je maksimalni napon koji se smije priključiti između vodiča
kabela
c) kapacitet, ako je zadana dužina kabela l
Zadano:

r = 2.3

 = 1.1510-8 [As/m]

2  R1 = 2.6 [mm]

2  R2 = 9.5 [mm]

Emax = 30 [MV/m]

l = 500 [m]
+
-
r R1 R2
Početna stranica
Stranica:III- 16
Uvodni pojmovi

Cilindrični kondenzator s dva dielektrika (serija):
-
E1 (r ) 
D1 ( R2 )  D2 ( R2 )
+
R1
R2


; E2 (r ) 
2     0   r1  r
2    0   r 2  r
r1 r2
C1 
R3
j(r)
E(r)
2     0   r1  l
2    0   r 2  l
; C2 
R
R
ln 2
ln 3
R1
R2
1 1
1
C C
 +
 C 1 2
C C1 C2
C1 + C2

R
ln 2
2     0   r1 R1
R

U R 2 R3 
ln 3
2     0   r 2 R2
U R1R 2 
rref = R3
r
0
R 1 R2 R 3
W  W1 + W2
El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:
Početna stranica
Stranica:III- 17
Rješenje zadatka

U kondenzatoru (R1 < r < R2) se el. polje mijenja kao :
-
E (r ) 
+
2    0   r  r
-
R1
Potencijal se određuje u odnosu na
ref. točku koja se nalazi na R2:
rref
-
j (r ) 
ln
2    0   r
r
r
R2
E(r)
0 R1
-
2      R2
R2
r
j ( R1 ) 
-
2      R1
-
R
ln 2
2     R1
-
R
ln 2
2     0   r R1
- 1.1510-8
4.7510-3
j ( R1 ) 
ln
2    8.85410-12  2.3 1.3 10-3
j(r)
0 R1
Potencijal unutarnjeg vodiča:
R2
r
j ( R1 )  -116V
El. polje i potencijal izgledaju kao
na slici:
Početna stranica
Stranica:III- 18


Maksimalni napon će se postići u slučaju kada el. polje
ima maksimalni iznos. Da ne bi došlo do proboja
dielektrika to max. polje je na mjestu R1:
max
Emax ( R1 ) 
2     0   r  R1
Maksimalni napon je jednak:
U R1R 2 
- max
2    0   r
ln
R2
R1
max  Emax ( R1 )  2     0   r  R1  U R1R 2  - Emax ( R1 )  R1  ln
U R1R 2
R2
R1
4.7510-3
 -3010 1.3 10  ln
1.3 10-3
6
-3
U R1R 2  -51kV

Kapacitet kondenzatora:
2     0   r  l 2    8.85410-12  2.3  500
C

 49 nF
-3
R2
4.7510
ln
ln
R1
1.3 10-3
Početna stranica
Stranica:III- 19
5. zadatak
Kuglasti kondenzator s dva sloja dielektrika priključen je na napon U
prema slici. Odredite polumjer granične površine (R2) da bi na oba sloja
vladao jednak napon. Koliki se najveći napon može priključiti na takav
kondenzator a da ne dođe do proboja. Nacrtajte dijagrame promjene
potencijala i iznosa vektora jakosti el. polja u zavisnosti o udaljenosti r
od središta kondenzatora, j(r), E(r), s karakterističnim vrijednostima
polja i potencijala za taj slučaj. Zadano:






r1 = 4
r2 = 2
R1 = 1 [cm]
R3 = 6 [cm]
E1P = 200 [kV/m]
E2P = 75 [kV/m]
R1
R2
U
r1 r2
R3
Početna stranica
Stranica:III- 20
Uvodni pojmovi

Kuglasti kondenzator s dva dielektrika (serija):
E1 (r ) 
-Q
Q
Q
;
E
(
r
)

2
4     0   r1  r 2
4    0   r 2  r 2
+Q
R1
R2
r1 r2
D1 ( R2 )  D2 ( R2 )
C1  4     0   r1 
R3
j(r)
R R
R1  R2
; C2  4     0   r 2  2 3
R2 - R1
R3 - R2
1 1
1
C C
 +
 C 1 2
C C1 C2
C1 + C2
E(r)
1
Q
1 
 - 
4     0   r1  R1 R2 
 1
Q
1 


- 

4     0   r 2  R2 R3 
U R1R 2 
rref = R3
r
0
R 1 R2 R 3
U R 2 R3
W  W1 + W2
El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:
Početna stranica
Stranica:III- 21
Rješenje zadatka

Napon na prvom i drugom dielektriku su jednaki:
U R1R 2  U R 2 R3
 1
1 1 
Q
Q
1 
 - 
 -  
4     0   r1  R1 R2  4     0   r 2  R2 R3 
1 1 1  1  1
1 
 - 
 -  
 r1  R1 R2   r 2  R2 R3 
R2 
R2
 r1 +  r 2  R1  R3
 r1  R1 +  r 2  R3

4 + 2 110-2  6 10-2

4 110-2 + 2  6 10-2
R2  2.25 cm

Maksimalno polje u prvom dielektriku je na mjestu R1, a u
drugom na mjestu R2.
Početna stranica
Stranica:III- 22

Pretpostavimo da je u prvom dielektriku el. polje jednako
probojnom polju:
E1m ( R1 )  E1P 

Q
2
4     0   r1  R1
Uz takvo polje provjeravamo koliko je polje na granici (R2)
u drugom dielektriku:
D1 ( R2 )  D2 ( R2 )
 0   r1  E1 ( R2 )   0   r 2  E2 ( R2 )
E2 ( R2 )  E1 ( R2 ) 

 r1
r2
El. polje u prvom dielektriku na granici (R2) iznosi:
Q
R12
E1 ( R2 ) 
 E1P  2
2
R2
4     0   r1  R2

Uvrštavanjem poznatih vrijednosti el. polje drugom
dielektriku na granici iznosi:
2
R12  r1
 2.25  4
E2 ( R2 )  E1P  2 
 200 
   79kV/m  E2 P
R2  r 2
 1  2
Početna stranica
Stranica:III- 23


Uz maksimalno polje u prvom dielektriku, u drugom bi
došlo do proboja.
Ukoliko je pak u drugom dielektriku polje jednako
probojnom u prvom dielektriku polje iznosi:
E2 m ( R2 )  E2 P 
Q
2
4     0   r 2  R2
 0   r1  E1 ( R2 )   0   r 2  E2 ( R2 )
E1 ( R2 )  E2 P 
r2
 r1
 r 2 R2 2
2  2.25 
E1 ( R1 )  E2 P 
 2  75   
  190 kV/m   E1P
 r1 R1
4  1 
2

Maksimalni napon određuje se:
U max  U R1R 2 + U R 2 R 3 

 1
1 1 
Q max
Q max
1 
 - 
 -  +
4     0   r1  R1 R2  4     0   r 2  R2 R3 
Količina naboja na kuglama može se odrediti kao:
2
Qmax  4    0   r 2  R2  E2P
Početna stranica
Stranica:III- 24
 r 2  R2 2  E2 P  1 1   r 2  R2 2  E2 P  1 1 
 - 
 -  +
U max 
 r1
r2
 R1 R2 
 R2 R3 
 1
 r 2  R2 2  E2 P  1 1 
1 
 -  + R2 2  E2 P   - 
U max 
 r1
 R1 R2 
 R2 R3 

Uvrštenjem poznatih vrijednosti dobijemo maksimalni
napon:
U max  2.1 kV

Za el. polje znamo sljedeće:
E1 ( R1 )  190kV/m
E2 ( R2 )  75 kV/m
E1 ( R2 )  E2 P 
r2
2
 75  37.5 kV/m
 r1
4
2
R 
 2.25 
E2 ( R3 )  E2 P   2   75 
  10.5 kV/m
R
6


 3
2
Početna stranica
Stranica:III- 25

Pomoću izračunatih vrijednosti polja mogu se odrediti
funkcije promjene el. polja, E(r):
0; za 0  r  R1

Q

; za R1  r  R2
2
 4     0   r1  r
E (r )  
Q

; za R2  r  R3
 4    0   r 2  r 2

0; za r  R3

Dijagram promjene jakosti el. polja:
E(r), kV
Budući da Q nije zadan,
on se može odrediti kao:
190
Q  4    0   r 2  R2  E2P
2
75
37.5
10
r
R1 R 2 R 3
Početna stranica
Stranica:III- 26


Dijagram potencijala određujemo uz referentnu točku na
udaljenosti R3 (pogledati sliku).
j ref  j ( R3 )  0
Potencijal u drugom dielektriku, za R2 < r < R3, se mijenja
kao:
Q
Q
j (r )  U rR 3 + j ( R3 ) 
+0
4     0   r 2  r 4     0   r 2  R3
j ( R2 ) 

 1
 1
Q
1 
Q
1 
  -  
  -   1.05 kV
4     0   r 2  R2  R2 R3  4     0   r 2  R2 R3 
Potencijal u prvom dielektriku:
j (r )  U rR 2 + j ( R2 )  U rR 2 + U R 2 R3 + j ( R3 )
j (r ) 
 1
Q
Q
Q
1 
 - 
+
4     0   r1  r 4     0   r1  R2 4     0   r 2  R2 R3 
j ( R1 ) 
 1
1 1 
Q
Q
1 
 -   2.1 kV
 -  +
4     0   r1  R1 R2  4     0   r 2  R2 R3 
Početna stranica
Stranica:III- 27

Potencijal, j(r):

 1
 1
Q
1 
Q
1 

; za 0  r  R1


+




 4     0   r1  R1 R2  4     0   r 2  R2 R3 

 1
Q
Q
Q
1 


+
- ; za R1  r  R2
j (r )   4     0   r1  r 4     0   r1  R2 4     0   r 2  R2 R3 

Q
Q

; za R2  r  R3
 4     0   r 2  r 4     0   r 2  R3

0; za r  R3

Dijagram promjene potencijala:
j(r), kV
2.10
1.05
r
R1 R2 R3
Početna stranica