Transcript 3 - Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων και
χρωματισμοί σε γραφήματα με
εφαρμογή στην αποδοτική ανάθεση
συχνοτήτων σε ασύρματα δίκτυα
Εύη Παπαϊωάννου
Διδακτορική Διατριβή
Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Πατρών
Αντικείμενο
• Ασύρματα δίκτυα
– Πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά δίκτυα
– Πρόβλημα ελέγχου αποδοχής κλήσεων σε δίκτυα με
κυψελικές, επίπεδες, αυθαίρετες τοπολογίες
• Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
– Πρόβλημα εύρεσης μέγιστων ανεξάρτητων συνόλων
– Πρόβλημα ελάχιστου χρωματισμού
Μεθοδολογία
• On-line προβλήματα
– χρήστες/εκπομποί εμφανίζονται ένας-ένας σταδιακά και
η ακολουθία μπορεί να διακοπεί οποιαδήποτε στιγμή
– αλγόριθμοι αποκρίνονται άμεσα
– αποφάσεις αλγορίθμων δε μπορούν να αλλάξουν
• Εκτίμηση απόδοσης αλγορίθμων
– μέθοδος συγκριτικής ανάλυσης
– μέτρο απόδοσης = τιμή του συγκριτικού λόγου
απόδοσης
Κυψελικά ασύρματα δίκτυα
• Ένας γεωγραφικός χώρος χωρίζεται σε περιοχές (κυψέλες)
• Κάθε περιοχή αποτελεί την εμβέλεια ενός σταθμού βάσης
• Οι σταθμοί βάσης διασυνδέονται μέσω ενός δικτύου
υψηλής ταχύτητας
Επικοινωνία
• Απαιτείται πάντα επικοινωνία μεταξύ του χρήστη και του σταθμού
βάσης του
• Τεχνολογία Πολύπλεξης Διαμοιρασμού Συχνότητας (FDM Frequency Division Multiplexing): πολλοί χρήστες σε μία κυψέλη
μπορούν ταυτόχρονα να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης
τους χρησιμοποιώντας διαφορετικές συχνότητες [Hale 80]
Γράφημα παρεμβολών
• Ακανόνιστα δίκτυα
Γράφημα παρεμβολών
• Κυψελικά δίκτυα
– απόσταση επαναχρησιμοποίησης (k): η ελάχιστη απόσταση
δύο κυψελών στις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ίδια
συχνότητα
Ανάθεση συχνοτήτων
Δεδομένα
• Ένα κυψελικό δίκτυο και χρήστες που επιθυμούν να
επικοινωνήσουν με τους σταθμούς βάσης τους
Ζητούμενο
• Ανάθεση συχνοτήτων σε όλους τους χρήστες, έτσι ώστε:
– Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν
διαφορετικές συχνότητες
– Ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων συχνοτήτων να
ελαχιστοποιείται
Χρωματισμοί σε γραφήματα
Αν φανταστούμε:
• συχνότητες  χρώματα
• χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό
βάσης τους  κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του
ασύρματου δικτύου
Τότε:
• πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στους χρήστες του
δικτύου  πρόβλημα ελάχιστου πολυχρωματισμού του
γραφήματος παρεμβολών του δικτύου
• το γράφημα σχηματίζεται σταδιακά
– οι κορυφές παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται και οι
κλήσεις
Έλεγχος αποδοχής κλήσεων
Δεδομένα
• Ένα κυψελικό δίκτυο που υποστηρίζει w συχνότητες και
χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με τους
σταθμούς βάσης τους
Ζητούμενο
• Ανάθεση συχνοτήτων σε κάποιους από τους χρήστες, έτσι
ώστε:
– Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν
διαφορετικές συχνότητες
– Να χρησιμοποιούνται το πολύ w συχνότητες
– Ο αριθμός των χρηστών που εξυπηρετούνται να
μεγιστοποιείται
Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων
Αν φανταστούμε:
• συχνότητες  χρώματα
• χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό
βάσης τους  κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του
ασύρματου δικτύου
Τότε:
• πρόβλημα ελέγχου κλήσεων  πρόβλημα εύρεσης
ανεξάρτητων συνόλων στο γράφημα παρεμβολών του
δικτύου
• το γράφημα παρεμβολών σχηματίζεται σταδιακά
– οι κορυφές του παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται
και οι κλήσεις
Συγκριτική ανάλυση
Ανάθεση συχνοτήτων
Κόστος:
• Αριθμός χρησιμοποιούμενων
συχνοτήτων
Έλεγχος αποδοχής κλήσεων
Κέρδος:
• Αριθμός εξυπηρετούμενων
χρηστών
Συγκριτικός λόγος απόδοσης:
Συγκριτικός λόγος απόδοσης:
ρ  max
σ
ρ  max
σ
C A( σ )
C OPT ( σ )
E[C A ( σ )]
C OPT ( σ )
ρ  max
σ
ρ  max
σ
B OPT ( σ )
B A( σ )
B OPT ( σ )
E[B A ( σ )]
Ανάθεση συχνοτήτων
Προηγούμενα αποτελέσματα
• Off-line αλγόριθμοι
– 4/3-προσέγγιση [NS97, MR97, JKNS98]
• Ακόμα κι αν γνωρίζουμε εξ’ αρχής τους χρήστες, το πρόβλημα
ανάθεσης συχνοτήτων δε μπορεί να λυθεί βέλτιστα σε
πολυωνυμικό χρόνο [MR97]
– Απλοί 3/2- και 17/12-προσεγγιστικοί αλγόριθμοι [JKNS98]
• On-line αλγόριθμοι
– Αλγόριθμος FA: συγκριτικός λόγος απόδοσης 3 [JKNS98]
– Κανένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος δεν έχει συγκριτικό λόγο
απόδοσης καλύτερο από 2 [JKNS98]
Ο άπληστος αλγόριθμος
• Συχνότητες: θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3, ...
• Όταν εμφανίζεται μια νέα κλήση, τής ανατίθεται η ελάχιστη
διαθέσιμη συχνότητα, έτσι ώστε
– Να μην υπάρχουν παρεμβολές μεταξύ της κλήσης και
κλήσεων στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες (με βάση την
απόσταση επαναχρησιμοποίησης του δικτύου)
• Ο άπληστος αλγόριθμος έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης
το πολύ 2.5 και τουλάχιστον 2.429, απέναντι σε off-line
αντιπάλους
• Μεταγενέστερο [ΝΤ04] κάτω φράγμα = 2.5  Αυστηρή
ανάλυση
Απόδειξη – Άνω φράγμα
Απόδειξη – Άνω φράγμα
D
Απόδειξη – Άνω φράγμα
D
...α1 ...α2
...α6 ...α0 ...α3
...α5 ...α4
Απόδειξη – Άνω φράγμα
D
...α1 ...α2
...α6 ...α0 ...α3
...α5 ...α4
a0  2.5D
Απόδειξη – Κάτω φράγμα
Έλεγχος αποδοχής κλήσεων
Προηγούμενα αποτελέσματα
• Άπληστος αλγόριθμος, δίκτυα μέγιστου βαθμού Δ που
υποστηρίζουν μια συχνότητα [PPS97]
Ο άπληστος αλγόριθμος
...
Κέρδος = 1
Ο βέλτιστος αλγόριθμος
...
Κέρδος = Δ
Προηγούμενα αποτελέσματα
• Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» για δίκτυα
με χρωματικό αριθμό χ και μία συχνότητα [ΑΑFLR96, PPS97]
Προηγούμενα αποτελέσματα
• Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» για δίκτυα
με χρωματικό αριθμό χ και μία συχνότητα [ΑΑFLR96, PPS97]
...
Χρωματικός αριθμός = 4
4 φορές χειρότερος
Δίκτυα με μέγιστο βαθμό Δ
Χρωματικός αριθμός  Δ+1
 Δ+1 φορές χειρότερος
Προηγούμενα αποτελέσματα
• Kάτω φράγματα για αυθαίρετα δίκτυα [BFL96]
• Απλός τρόπος για τη μετατροπή ενός αλγορίθμου
σχεδιασμένου για δίκτυα που υποστηρίζουν μια συχνότητα
σε έναν αλγόριθμο για δίκτυα που υποστηρίζουν
αυθαίρετα πολλές συχνότητες [AAFLR01]
• Άνω φράγματα για δίκτυα με επίπεδους και αυθαίρετους
γράφους παρεμβολών χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο
«Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» [PPS02]
O άπληστος αλγόριθμος
• Ο άπληστος αλγόριθμος σε δίκτυα που υποστηρίζουν μία
συχνότητα έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης ίσο με το
μέγιστο μέγεθος του ανεξάρτητου συνόλου στη γειτονιά
κάθε κορυφής του γραφήματος παρεμβολών
...
Ντετερμινιστικοί αλγόριθμοι
• Ο άπληστος αλγόριθμος σε κυψελικά δίκτυα με μία
συχνότητα
• Βέλτιστος στην κλάση των ντετερμινιστικών on-line
αλγορίθμων
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης: 3
Κέρδος = 1
Κέρδος = 3
Πιθανοτικοί αλγόριθμοι
• Βασισμένοι στον αλγόριθμο «Ταξινόμησης και Τυχαίας
Επιλογής»
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης = ο αριθμός των χρωμάτων
που χρησιμοποιούνται για το χρωματισμό του γραφήματος
παρεμβολών
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης για κυψελικά δίκτυα: 3
Ιδέα
Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p
Ιδέα
Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p
(1-p)t0: σχεδόν σίγουρα εξυπηρετεί κάποια
Τεχνική Marking
Ιδέα
Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p
(1-p)t0: σχεδόν σίγουρα εξυπηρετεί κάποια
Τεχνική Marking
Ο αλγόριθμος p-Random
• Αρχικά όλες οι κυψέλες είναι unmarked
• Για κάθε νέα κλήση c σε μια κυψέλη v
– Αν η v είναι marked, απόρριψε την c
– Αν υπάρχει κλήση που έχει γίνει αποδεκτή στην κυψέλη v ή σε
κάποια γειτονική της κυψέλη, απόρριψε την c
– Διαφορετικά:
• Με πιθανότητα p, κάνε αποδεκτή την c
• Με πιθανότητα 1-p, απόρριψε την c και κάνε mark την κυψέλη v
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
B ( ) 

c 
X (c )
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
B ( ) 

 b (c )   (  (c )  
c A (  )
c A (  )
c ' ( c )
X (c ' )
d (c ' )
)
Άνω φράγματα
• Μελετάμε λεπτομερώς τη γειτονιά κάθε κυψέλης που
περιέχει μια βέλτιστη κλήση και εκφράζουμε το συγκριτικό
λόγο απόδοσης σα συνάρτηση της p
• Καλύτερο αποτέλεσμα: 2.651
Άνω φράγματα
• ο αλγόριθμος p-Random έχει καλύτερο συγκριτικό λόγο
απόδοσης από κάθε ντετερμινιστικό αλγόριθμο σε
οποιοδήποτε δίκτυο που υποστηρίζει μία συχνότητα
– 27/28 Δ
– η ανάλυση επεκτείνεται και αραιά δίκτυα βαθμού 3 ή 4
• Μειονεκτήματα
– Για δίκτυα που υποστηρίζουν αυθαίρετα πολλές συχνότητες
δεν πετυχαίνει βελτίωση
– Χρησιμοποιεί τυχαιότητα ανάλογη του μεγέθους των
ακολουθιών κλήσεων
Αλγόριθμοι βασισμένοι στον CRS
Ζητούμενο
• Πιθανοτικοί αλγόριθμοι
• Αυθαίρετα πολλές συχνότητες
• Οποιαδήποτε απόσταση επαναχρησιμοποίησης
• Μικρό βαθμό τυχαιότητας
• ασθενείς πηγές τυχαιότητας
• σταθερό αριθμό τυχαίων δυαδικών ψηφίων
Δεδομένο
• Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής»
• Απλός
• Τυχαιότητα μια φορά στην αρχή
• Λειτουργεί «καλά» ανεξάρτητα από το πλήθος των
υποστηριζόμενων συχνοτήτων
Ο αλγόριθμος CRS-A
• Χρωματισμός για το γράφο παρεμβολών με 4 χρώματα 0,1,2,3
• Διάλεξε ένα χρώμα, αγνόησε τις κλήσεις σε κυψέλες αυτού του
χρώματος και τρέξε τον άπληστο αλγόριθμο γι όλες τις άλλες
κλήσεις
0
1
2
1
3
0
3
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
3
0
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
1
2
1
0
Ο αλγόριθμος CRS-A
• Χρωματισμός για το γράφο παρεμβολών με 4 χρώματα 0,1,2,3
• Διάλεξε ένα χρώμα, αγνόησε τις κλήσεις σε κυψέλες αυτού του
χρώματος και τρέξε τον άπληστο αλγόριθμο γι όλες τις άλλες
κλήσεις
0
1
2
1
3
0
3
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
3
0
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
3
3
3
0
1
2
2
2
1
0
1
2
1
0
Ο αλγόριθμος CRS-A: ανάλυση
0
1
0
2
1
1
2
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
2
0
1
0
0
1
0
1
2
0
1
2
2
0
1
2
2
0
0
2
2
2
1
1
2
2
0
0
1
2
0
1
0
• Ο άπληστος αλγόριθμος θα εξυπηρετήσει τουλάχιστον μισές από
τις βέλτιστες κλήσεις
• Δουλεύουμε κατά μέσο όρο με τα 3/4 των συνολικών κλήσεων
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης = 8/3
Αλγόριθμοι βασισμένοι στο CRS
• Δίκτυο που υποστηρίζει w συχνότητες
• Αλγόριθμοι βασισμένοι στο παράδειγμα CRS:
– Χρωμάτισε το γράφο παρεμβολών
– Όρισε v χρωματικές κλάσεις από τα χρώματα που
χρησιμοποιούνται
– Διάλεξε ισοπίθανα μία από τις v χρωματικές κλάσεις
– Εκτέλεσε τον άπληστο αλγόριθμο μόνο για κυψέλες με
χρώματα από την επιλεγμένη χρωματική κλάση
• Αν:
– κάθε χρώμα ανήκει σε τουλάχιστον λ διαφορετικές χρωματικές
κλάσεις και
– κάθε συνεκτική συνιστώσα του υπογράφου του G που
αποτελείται από κόμβους χρωματισμένους με χρώματα της
ίδιας χρωματικής κλάσης είναι κλίκα
τότε, ο βασισμένος στο CRS αλγόριθμος έχει συγκριτικό
λόγο απόδοσης v/λ απέναντι σε αντιπάλους χωρίς μνήμη
Ο αλγόριθμος CRS-B
• Χρωματισμός για το γράφο παρεμβολών με 5 χρώματα
0,1,2,3,4 και 5 χρωματικές κλάσεις {0,1}, {1,2}, {2,3}, {3,4},
{4,0}
0
1
3
0
4
1
3
0
2
1
3
2
4
3
0
4
1
0
2
1
3
2
4
1
3
0
2
4
1
0
4
1
3
0
4
3
0
2
4
3
2
4
1
3
2
1
3
0
2
1
0
2
4
1
0
4
1
3
0
4
3
0
2
4
1
3
4
• Ο χρωματισμός και οι χρωματικές κλάσεις πληρούν τις
συνθήκες του προηγούμενου Λήμματος για v=5 και λ=2
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης = 5/2
Ο αλγόριθμος CRS-C
• Χρωματισμός για το γράφο παρεμβολών με 7 χρώματα
0,1,2,3,4,5,6 και 7 χρωματικές κλάσεις {0,1,3}, {1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6},
{4,5,0}, {5,6,1}, {6,0,2}
0
1
3
5
4
6
1
3
0
4
1
5
2
6
3
0
4
1
5
2
6
3
0
2
4
6
1
2
4
1
5
0
1
3
0
4
6
0
2
6
3
5
6
1
5
2
4
5
0
4
1
3
4
6
3
0
2
3
5
2
6
1
2
5
0
2
3
• Ο χρωματισμός και οι χρωματικές κλάσεις πληρούν τις συνθήκες
του προηγούμενου Λήμματος για v=7 και λ=3
• Συγκριτικός λόγος απόδοσης = 7/3
Χρήση τυχαίων δυαδικών ψηφίων
• Πηγή τυχαιότητας: μικρός αριθμός τυχαίων δυαδικών
ψηφίων (δίκαιων νομισμάτων)
• Για κάθε ε > 0, χρησιμοποίησε t=O(log 1/ε) τυχαία δυαδικά
ψηφία
• Για 2tmod7 από τα 2t αποτελέσματα μην κάνεις τίποτα
• Για τα υπόλοιπα αποτελέσματα εκτέλεσε τον αλγόριθμο CRS-C
• το πολύ 7/3+ε:
•
•
•
•
πιθανοτικοί on –line αλγόριθμοι,
κυψελικά δίκτυα με απόσταση επαναχρησιμοποίησης 2,
αυθαίρετα πολλές συχνότητες,
O(log 1/ε) τυχαία δυαδικά ψηφία
Ο αλγόριθμος CRS-k
• Χρωματισμός για το γράφο παρεμβολών με λ=3k2-3k+1
χρώματα 0,1,… 3k2-3k και 3k2-3k+1 χρωματικές κλάσεις
ορισμένες κατάλληλα έτσι ώστε κάθε χρώμα να ανήκει σε
– v=3k2/4 χρωματικές κλάσεις , αν k άρτιος
– v=(3k2+1)/4 χρωματικές κλάσεις , αν k περιττός
3k  1 

CR  4  1 

2
3k 

αν k άρτιος
3k 

CR  4  1 

2
3k  1 

αν k περιττός
• Αλγόριθμοι με ελάχιστα χειρότερους συγκριτικούς λόγους
απόδοσης για αυθαίρετα πολλές συχνότητες
χρησιμοποιώντας O(log 1/ε+log k) τυχαία δυαδικά ψηφία
0
1
2
5
4
6
16
1
12
2
16
9
1
2
12
11
10
3
9
4
10
13
5
11
14
6
12
15
7
16
8
10
4
7
8
11
9
18
2
13
0
3
14
15
10
13
11
3
14
6
17
7
18
2
5
16
14
17
1
4
3
6
9
12
10
13
16
18
2
5
8
11
9
12
15
17
1
4
7
10
8
11
3
6
16
0
14
17
1
12
10
2
5
7
18
13
16
0
17
1
15
6
9
12
15
18
17
9
3
6
16
0
14
13
5
8
11
14
13
4
7
10
12
15
18
2
5
3
6
9
11
14
17
1
4
2
5
8
10
13
16
0
3
1
4
7
9
12
15
18
2
0
3
6
8
11
14
17
1
18
2
5
8
7
10
13
16
0
17
1
4
7
6
9
12
15
18
17
8
11
14
5
16
0
3
6
5
15
18
10
13
4
7
17
9
8
14
13
12
3
15
7
18
0
0
1
27
16
28
17
6
32
18
33
11
27
28
6
29
7
33
22
8
34
23
12
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
8
15
30
16
31
17
32
18
33
19
34
20
35
36
25
14
15
23
1
24
13
2
28
17
8
34
12
27
16
7
22
0
29
18
33
11
26
28
6
21
13
2
17
32
10
12
27
5
34
23
1
16
31
9
24
13
4
33
11
26
18
7
22
0
15
30
8
23
12
3
32
10
25
17
6
21
36
14
29
7
22
11
2
31
9
24
16
5
20
35
13
28
6
21
10
1
30
8
23
15
4
19
34
12
27
5
20
9
0
29
7
22
3
18
33
11
26
4
19
21
36
28
6
14
13
2
17
32
10
25
3
18
7
35
27
5
20
12
1
16
31
9
24
2
17
6
34
26
4
19
11
0
15
30
8
23
1
16
5
33
25
3
18
10
36
14
29
7
22
0
15
4
32
24
2
17
9
35
13
28
6
21
36
14
3
31
23
1
16
8
34
12
27
5
20
35
13
2
30
22
0
15
7
33
11
26
4
19
21
36
14
6
32
10
25
3
18
20
35
13
5
31
9
24
2
17
19
34
12
4
30
8
23
1
3
29
7
22
1
2
3
29
18
19
Κάτω φράγματα
• Με χρήση της Αρχής Minimax για κάθε πιθανοτικό
αλγόριθμο
–
–
–
–
k = 2, 3, 4: συγκριτικός λόγος απόδοσης  1,857
 επίπεδο δίκτυο: συγκριτικός λόγος απόδοσης  2,086
k  5: συγκριτικός λόγος απόδοσης  25/12
k  12: συγκριτικός λόγος απόδοσης  127/60
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Δίκτυα αυτόνομων εκπομπών
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα μοναδιαίων δίσκων
Γραφήματα δίσκων
Γραφήματα μοναδιαίων δίσκων
σ-φραγμένα γραφήματα δίσκων
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
2R
R
R/4
R/2
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
2R
R
R/4
R/2
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
2R
R
R/4
R/2
4R
Αλγόριθμος Classify
2R
R
R/4
R/2
4R
2R
R
R/4
5
15
2
6
14
1
2
13
4
1
8
3
12
9
11
σ=2
7
2
10
R/2
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
Αλγόριθμος Guess
Προσπαθεί να μαντέψει το σ
4R
2R
R
R/4
R/2
Αλγόριθμος Guess
Προσπαθεί να μαντέψει το σ
4R
2R
R
R/4
R/2
Αλγόριθμος Guess
Προσπαθεί να μαντέψει το σ
4R
2R
R
R/4
R/2
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
Κέρδος = log σ
• μπορώ να φτιάξω άσχημα στιγμιότυπα για τα οποία
κανένας πιθανοτικός αλγόριθμος να μη μπορεί να είναι
καλύτερος από Ω(min{n, logσ}) ακόμα κι αν δίνεται η
αναπαράσταση των δίσκων
Κέρδος = log σ
Ε[Κέρδους] = 2
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
Αντίπαλος
Ε1
Αντίπαλος
Ε1
Ε2
Αντίπαλος
Ε1
Ε2
Ε3
Αντίπαλος
Ε1
Ε2
Ε3
Εκ-1
Αντίπαλος
Ε1
Ε2
Ε3
Εκ-1
Εκ
Αντίπαλος
Βέλτιστος
αλγόριθμος
Ε1
Ε2
Ε3
Εκ-1
Εκ
Κέρδος = κ+1
Αντίπαλος
Βέλτιστος
αλγόριθμος
Πιθανοτικός
αλγόριθμος
Ε1
Ε2
Ε3
Εκ-1
Εκ
Κέρδος = κ+1
Ε[Κέρδους]  2
Γράφημα δίσκων για κ=Ω(min{n, σ2})
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
Αλγόριθμος Filter
• ΙΔΕΑ:
– Χρησιμοποιούμε μια γεωμετρική κατασκευή 2 διαστάσεων την
οποία τοποθετούμε ομοιόμορφα και τυχαία στο επίπεδο και
επιλέγουμε δίσκους από συγκεκριμένες περιοχές της
2 3
(x,y)
(x’,y’)
4
4
3
3
3
2
3
3
1
-
3
-2
3
-3
3
-4
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
Ο
A
3
B
C
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-4
-
3
-2
3
-3
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
3
1
-
3
-2
3
-3
3
-4
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
3
3
3
2
3
π 12

3
1
4.41
1
-
3
-2
3
-3
3
-4
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4x23
Πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων
Αναπαράσταση
Κάτω φράγμα
Άνω φράγμα
Ναι
Ω(min{n, logσ})
O(min{n, logσ})
O(min{n, Πj=1log*σ log(j)σ})
Όχι
Ω(min{n, σ2})
O(min{n, σ2})
Ναι
2.5
4,41
Όχι
3
5
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
1
2
3
4
5
Πρόβλημα ελάχιστου χρωματισμού
Ναι
Ω(min{logn, loglogσ})
O(min{logn, logσ})
σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων
O(min{logn, logσ})
Όχι
Γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
Όχι
2
5
Αλγόριθμος Layered
Το πολύ logσ+1 επίπεδα
Αλγόριθμος Layered
Το πολύ logσ+1 επίπεδα
Συνδυασμός Layered και First Fit
First Fit
Layered
Συνδυασμός Layered και First Fit
D1
First Fit
Layered
Συνδυασμός Layered και First Fit
D1
d1
First Fit
Layered
Συνδυασμός Layered και First Fit
Di
di-1
D1
d1
First Fit
Layered
Συνδυασμός Layered και First Fit
Di
di-1
D1
d1
First Fit
Layered
 logn OPT
 logσ OPT
Ανοιχτά προβλήματα
• Εξάλειψη χάσματος μεταξύ άνω και κάτω φραγμάτων
– Έλεγχος αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά δίκτυα
– Εύρεση μέγιστων ανεξάρτητων συνόλων σε γραφήματα
μοναδιαίων δίσκων
– Εύρεση μέγιστων ανεξάρτητων συνόλων σε σ-φραγμένα
γραφήματα δίσκων όταν δίνεται η αναπαράσταση των δίσκων
αλλά δε γνωρίζουμε το σ
– Ελάχιστος χρωματισμός σ-φραγμένων γραφημάτων δίσκων
Δημοσιευμένες εργασίες
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, E. Papaioannou
On-line Call Control in Cellular Networks.
Foundations of Mobile Computing (satellite workshop of
FST&TCS 99), 1999.
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, E. Papaioannou
Efficient On-line Communication in Cellular Networks.
In Proc. of the 12th Annual ACM Symposium on Parallel
Algorithms and Architectures (SPAA 00), pp. 46-53, 2000.
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, E. Papaioannou
Competitive Analysis of On-line Randomized Call Control in
Cellular Networks.
In Proc. of the 15th International Parallel and Distributed
Processing Symposium (IPDPS 01), IEEE Computer Society
Press, 2001.
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, and E. Papaioannou
Randomized Call Control in Sparse Wireless Cellular
Networks.
In Proc. of the 8th International Conference on Advances in
Communications and Control (COMCON 01), pp. 73-82, 2001.
Δημοσιευμένες εργασίες
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, E. Papaioannou
Efficient On-line Frequency Allocation and Call Control in
Cellular Networks.
Theory of Computing Systems, Vol. 35 (5), pp. 521-543,
2002.
•
I. Caragiannis, C. Kaklamanis, and E. Papaioannou
Simple on-line algorithms for call control in cellular
networks.
In Proc. of the 1st Workshop on Approximation and On-line
Algorithms (WAOA 03), LNCS 2909, Springer, pp. 67-80, 2003.
•
I. Caragiannis, A. Fishkin, C. Kaklamanis, E. Papaioannou
On-line algorithms for disk graphs.
In Proc. of the 29th International Symposium on
Mathematical Foundations of Computer Science (MFCS 04),
LNCS 3153, Springer, pp. 215-226, 2004.