Transcript INVESTICNI_MATEMATIKA - Vysoká škola finanční a správní

INVESTIČNÍ MATEMATIKA
VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ,
o.p.s.
DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO

DURACE
Je aritmetický průměr dob do splatnosti
jednotlivých plateb (kromě pořizovací
ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou
váženy velikostmi plateb diskontovaných
ke dni emise.


průměrná doba do splatnosti
průměrná doba pro získání příjmů
spojených s dluhopisem (Macaulayova)
1
D mac 
D mac 
C
1 y
2
C
1  y 
2
   n 
C F
1  y  n
P
1  P1  2  P2      n  Pn
P
Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%
Kuponová sazba c:
Doba do
splatnosti
5%
10%
15%
1
1,000
1,000
1,000
3
2,849
2,7355
2,6472
5
4,1699
10
6,759
20
9,3649
50
10,9063
100
10,9992
- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny
tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena
dluhopisu opačným směrem při změně výnosů
D mod  
1
P

P
y
Durace je tím nižší čím:

vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do
splatnosti

dříve platba z daného instrumentu nastává

kratší je celková doba do splatnosti


čím menší hodnota durace, tím menší jsou
změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám
tržních úrokových sazeb
vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:
1. PV ↑  y↓
2. PV ↓  y↑
Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který
má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje
výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme
a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu,
jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive
zvýší o 1%.

Při změně ve výnosech hrozí:


a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se
výnosy)
b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se
výnosy)
Investiční horizont:

krátký  utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů
(kapitálová ztráta  výnos z reinvestice)

dlouhý  utrpíme ztrátu při poklesu výnosů
(ztráta z reinvestice  kapitálový výnos)
Snaha o eliminaci obou uvedených rizik
(imunizace):

Je-li investiční horizont roven (Macaulayově)
duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem
pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů.
Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr
durací (dob do splatnosti) jednotlivých
peněžních toků reprezentovaných kupóny a
nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu
jednotlivých diskontovaných peněžních toků na
celkové ceně dluhopisu.
Durace kupónového dluhopisu je střední
(průměrná) doba života tohoto dluhopisu.
D 
D1 P1  D 2 P2  ......  D n Pn
P1  P2  ....  Pn
Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený
průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž
váhy odpovídají podílu cen jednotlivých
dluhopisů na celkové ceně portfolia.
D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn

Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3
let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy
s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem
5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme
portfolia A, B, C takto:
A…
B…
C…
n
n
n
n
n
=
=
=
=
=
3,
2,
4,
1,
5,
FV
FV
FV
FV
FV
= 1.157.625 Kč
= 551.250 Kč
= 607.753 Kč
= 525.000 Kč
=
638.141 Kč
P
C
1.000.000
B
A
5%
Y (%)
Konvexita portfolia složeného z dluhopisů
je vážený průměr konvexit jednotlivých
dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu
cen jednotlivých dluhopisů na celkové
ceně portfolia.
CX =
CX 1 P1  CX 2 P2  ...  CX n Pn
P1  P2  ...  Pn
Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o
větší výnos (korunový i procentní) než o kolik
klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%
Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč,
přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B
s následujícími parametry:
A: n = 5, c = 12%, y = 12%
B: n = 2, c = 0%, y = 10%
Jak budeme investovat na 3 roky?
AKCIOVÉ PORTFOLIO

Investiční strategie, kdy je optimalizován
výnos vzhledem k riziku investice.

Akcie – A1, A2, A3, …

Váhy – a1, a2, a3, …

Výnosové procento – rp (průměrná míra zisku)

Riziko – σp směrodatná odchylka


Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo
více proměnnými
Kovariance – statistický pojem odvozený od
běžného rozptylu, který popisuje rozsah,
v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou
měrou
N
n
rp 

a k rk
rp 

pk r (k )
k 1
k 1
n

2
p


k 1
p k ( r ( k )  rp )
2
N
 ij 
 r
ik
 ri r jk  r j  p k
k 1
 ij 
 ij
 i
j

Kovarianční koeficient – σij

Korelační koeficient – ρij

Rozptyl: součet druhých mocnin odchylek
jednotlivých hodnot od aritmetického
průměru dělený počtem hodnot (σ2).

Směrodatná odchylka: druhá odmocnina
rozptylu (σ).

Př: Je dáno portfolio P s vahami a1 = 0,7 a a2 = 0,3 a
jeho tři výnosové varianty s těmito parametry:
Varianta
Pravděpodobnost
Výnos A1
Výnos A2
1
0,1
1%
3%
2
0,2
12%
28%
3
0,3
6%
14%
4
0,4
-2%
-5%
a) nalezněte výnos a riziko portfolia P
b) nalezněte kovarianční matici
Korelační koeficient:
ρij = 1  dokonalá pozitivní korelace
ρij = - 1  dokonalá negativní korelace
ρij = 0  výnosová procenta nekorelují
Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty
akcií:
A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
3
3
-1
5
0
1
7
-2
3
1
A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
0
-2
9
-3
7
-1
-2
9
-1
4
A1
1
3
1
3
1
3
3
1
1
3
A2
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1

Riziko portfolia : Směrodatná odchylka
 p  a 1  1  2 a 1 a 2  12  a 2  2
2
2
2
2
2
Kovarianční matice:
  11


 21
 12 
 22



Př: Jsou dány kovariance σ12 = -3, σ21 = 6
a rizika σ1 = 5, σ2 = 10. Určete kovarianční
matici a riziko portfolia, jestliže a1 = 0,7 a
a2 = 0,3.
Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy
prohodí?
DERIVÁTY

Forvardové kontrakty – forvardy

Opční kontrakty – opce
termínované kontrakty – plnění
v budoucnosti
 Forvard
– „závazek“ koupit či prodat
- určitý počet akcií
- za určenou cenu
- k dohodnutému datu
 Opce
– „právo“ koupit či prodat
- určitý počet akcií
- za určenou cenu
- k dohodnutému datu
Forvard:
- mám závazek koupit – dlouhá pozice
( long position )
- mám závazek prodat – krátká pozice
( short position )





F – cena forvardu
S – obchodní cena
T – okamžik uzavření kontraktu
t - okamžik uzavření obchodu
r – spojitá roční úroková míra
Ft = St
r
(T-t)
e
Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční
forwardová cena je rovna Ft = 22.000 Kč
při roční úrokové míře 8%. Jakým
způsobem tuto situaci využijeme?

Futures kontrakty:
standardizované – všichni nakupují (prodávají)
stejný kontrakt na předem stanovený počet
akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou
garantovaný burzou či jinak
Riziko ztráty:

dlouhá pozice (koupit) – musím koupit,
i když cena akcií poklesne - ( ST – Ft )

krátká pozice (prodat) – musím prodat,
i když cena akcií stoupne - ( Ft – ST )
Zisk
Krátká
Dlouhá
Ft
ST
Opce – „právo“ koupit či prodat
Call opce (nákupní) – právo koupit
- určitý počet akcií
- za určenou cenu X
- k dohodnutému datu

Put opce (prodejní) – právo prodat
- určitý počet akcií
- za určenou cenu X
- k dohodnutému datu

dlouhá pozice – kupuje

krátká pozice – prodává


Evropská – opce může být uplatněna
pouze v čase T
Americká – opce může být uplatněna i
před časem T

Call opce uplatněna právě tehdy když
ST > X – zisk = max { ST - X ; 0}
zisk
call
X
cena

Put opce uplatněna právě tehdy když
ST < X – zisk = max { X - ST; 0}
zisk
put
X
cena
Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“
zisk
Call
long
-c
X
cena
Call short
zisk
c
X
cena
zisk
Put
long
X
-c
cena
zisk
cena
c
X
Put
short