Física I-A

Prof. Rodrigo B. Capaz

Instituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro

Informações Gerais

Turmas: IQG + NTA + IGM Horário: 4as. e 6as. 13-15h

Sala: A-343 (Aulas Magnas), A-327 (Aulas de Exercícios) Professores:

- Rodrigo Capaz ( [email protected]

), Atendimento: 6as. 12-13h, A-432 - Daniel Kroff ( [email protected]

), Atendimento: 3as. 15-16h, A-318-3

Monitoria:

Diversos horários (ver webpage)

Webpage:

http://omnis.if.ufrj.br/~victor/Pub_FisIA2011/Afisica/index.html

Provas: P1 – 29/09 , P2 – 29/11, PF – 13/12 , 2a. Chamada – 20/12

Livro-Texto:

Física I – Mecânica, Sears & Zemansky - Young & Freedman, 12a. Edição - Pearson Addison-Wesley

Capítulo 1 – Unidades, Grandezas Físicas e Vetores

• Introdução

•

Por que estudar Física?

A mais fundamental das ciências

Laplace (1749-1827) Universo determinístico Sonho de Laplace “Suponha-se uma inteligência que pudesse conhecer todas as forças pelas quais a natureza é animada e o estado em um instante de todos os objetos - uma inteligência suficientemente grande que pudesse submeter todos esses dados à análise -, ela englobaria na mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e também dos menores átomos: nada lhe seria incerto e o futuro, assim como o passado, estaria presente ante os seus olhos.”

• Introdução

• •

Por que estudar Física?

A mais fundamental das ciências A base de toda engenharia e tecnologia “desde uma pequena ratoeira a uma grande espaçonave”

Exemplo 1: Transistor e computadores

Bardeen, Shockley e Brattain Nobel de Física– 1956

1 o transistor (1947) 1 o “chip” (1958)

Jack Kilby Ano 2000: Pentium 4

42 milhões de transistores !!!

Nobel de Física– 2000

Exemplo 2: GPS (“global positioning system”) Albert Einstein Efeitos relativísticos na marcação do tempo

Física Básica e Física Aplicada

Michael Faraday Ao ser perguntado para que servia sua recente descoberta da indução eletromagnética, respondeu: “Para que serve um bebê recém-nascido?” Importância da ciência básica, sem compromisso com aplicações imediatas

• Introdução Por que estudar Física?

• • • A mais fundamental das ciências A base de toda engenharia e tecnologia Por prazer! • De entender e participar de uma das maiores aventuras do intelecto e do engenho humano • De apreciar a beleza contida na ordem e na regularidade da natureza

1.1 – A natureza da Física

A Física é uma ciência experimental: A “resposta” da Natureza é o veredito supremo de uma teoria física. Oposto ao idealismo de Hegel, que na sua dissertação de 1801, "As Órbitas dos Planetas", demonstrava que não podia existir mais do que sete planetas; e, se isso contrariasse os fatos, pior para os fatos...

A “arte” da Física está em: 1. O que e como perguntar à Natureza (experimento)?

2. Como interpretar suas respostas (teoria)?

O diálogo entre teoria e experimento é coordenado pelo MÉTODO CIENTÍFICO

O MÉTODO CIENTÍFICO OBSERVAÇÃO EXPERIMENTAÇÃO MODELAGEM PREVISÃO

Quando as previsões não são confirmadas pelas novas observações, a teoria está incorreta ou então as observações foram feitas fora de seu domínio de validade Exemplo: Mecânica Clássica não é válida para objetos com velocidades próximas à da luz (Relatividade) ou na escala atômica (Mecânica Quântica)

A Matemática é a linguagem da Física “A ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante de nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem apreender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática.” Galileu Galilei (1564-1642)

1.2 – Solução de problemas de Física

Entendo os conceitos, mas não consigo resolver os problemas...

Fazer Física é resolver problemas!

Estratégia: 1. IDENTIFICAR 2. PREPARAR os conceitos relevantes: modelagem o problema: escolha das equações 3. EXECUTAR 4. AVALIAR a solução: matemática se a resposta faz sentido

Modelo:

versão simplificada de um sistema físico, contendo apenas os

ingredientes essenciais

para a solução de um determinado problema

Exemplo:

Planeta Terra 1. Geofísica: Terra não-esférica 2. Estudo da rotação: Terra esférica 3. Estudo da translação: Terra como “partícula”

1.3 – Padrões e unidades

Grandeza Física: que pode ser expressa sob a forma de um número e uma referência (padrão)”. “Propriedade de um fenômeno, corpo ou substância (VIM – Vocabulário Internacional de Termos Gerais e Fundamentais de Metrologia) Exemplo: altura = 1,73 m Valor Unidade (definida através de um padrão) Sistema de unidades: “Sistema Internacional (SI)”

Grandezas e Unidades Fundamentais do S.I.

Demais unidades podem ser obtidas a partir das unidades fundamentais Exemplo: newton: N = kg.m/s 2

• •

Padrão do tempo

Até 1956, 1 s =1/86400 do dia solar médio (média sobre o ano de um dia) 1967: 1s = 9.162.631.770 períodos da radiação de uma transição atômica do Césio 133 (definição a partir do relógio atômico).

International Atomic Time

Relógio Atômico: evolução da precisão

NIST-F1: precisão de 1s em 27 milhões de anos!

NIST-F1

Escalas de Tempo

Padrão do comprimento

1791 1 metro = 10 (meridiano de Paris) 1797 Barra de platina 1960 1983 segundo.

-7 da distância do polo norte ao equador 1.650.763,73 comprimentos de onda de uma emissão do Kr Distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 de A velocidade da luz é definida como c = 299.792.458 m/s.

Escalas de Comprimento

Padrão da massa

1889: uma 1 quilograma = massa de peça de colocada no IBWM Platina-Irídio Único padrão que ainda é definido através de um artefato: deverá ser redefinido em breve

Escalas de Massa

Prefixos SI

1.4 – Coerência e conversão de unidades

Toda equação deve ter coerência dimensional e de unidades Exemplo:

d



vt

Se d está expresso em metros… … então também.

vt deve ser expresso em metros 10 m  2 m s Dica: Ao colocar os valores numéricos das grandezas físicas em uma equação, inclua sempre as unidades correspondentes!

Conversão de unidades

Exemplo 1.1 (Y&F) – O recorde mundial de velocidade no solo é de 1228 km/h. Expresse esta velocidade em m/s.

v

 1228 , 0 km h Então: Sabemos que: 1 km 

v

 1228 , 0  10 3 m 3600 s  341 , 11 m/s 10 3 m e 1 h  3600 s

Exemplo 1.2 (Y&F) – O maior diamante do mundo tem volume de 1,84 polegadas cúbicas. Qual é o seu volume em centímetros cúbicos? E em metros cúbicos?

V

 1 , 84 pol 3 Sabemos que: 1 pol  2,54 cm Então:

V

 1 , 84   2 , 54 cm  3  1 , 84   2 , 54  3 cm 3  30 , 2 cm 3 Em metros cúbicos: Sabemos que 1 cm  10 -2 m Então:

V

 30 , 2 cm 3  30 , 2  10  2 m  3  30 , 2  10  6 m 3  3 , 02  10  5 m 3

1.5 – Incerteza e algarismos significativos

Toda medida física tem uma incerteza associada e o resultado só pode ser expresso até o último algarismo significativo .

Estação de trem de Rio Grande da Serra (SP): Altitude com precisão de milímetros!

Maneiras distintas de expressar a incerteza: a. 56,47 ± 0,02 valor real entre 56,45 e 56,49 b. 1,6454(21) = 1,6454 ± 0,0021 c. Fracionária ou percentual: 47 ± 10% = 47 ± 5 d. Implícita: 2,91 = 2,91 ± 0,01 (incerteza no último significativo)

Operações matemáticas com algarismos significativos

Operações de multiplicação ou divisão: Número de A.S. do resultado é igual ao menor número de A.S. entre os fatores Exemplos: ( 0 , 745  2 , 2 ) / 3 , 885  0 , 42 ( 1 , 32578  10 7 )  ( 4 , 11  10  3 )  5 , 45  10 4 Operações de soma ou subtração: da operação Número de A.S. do resultado é determinado pela casa decimal com maior incerteza entre os termos Exemplo: 123 , 62  8 , 9  132 , 5

1.6 – Estimativas e ordens de grandeza (leitura) 1.7 – Vetores e soma vetorial

Grandezas escalares: Especificadas por um único número (com unidade).

Exemplos: massa, trabalho, energia, temperatura, carga elétrica Grandezas vetoriais: Especificadas por um módulo, direção e sentido (com unidades também).

Exemplos: deslocamento, velocidade, força, momento linear, torque, momento angular.

Vetor Deslocamento

Posição final P 2 

r

 Deslocamento 

r

 P 2 P 1 Posição inicial P 1 Deslocamento depende apenas das posições inicial e final – não da trajetória Vetores paralelos: mesma direção e sentido 

A

Vetores antiparalelos: mesma direção e sentido oposto 

B



A



C

Vetores idênticos: mesmo módulo, direção e sentido 

A



A

  

A

Vetor negativo: mesmo módulo e direção, porém sentido contrário 

A

Módulo de um vetor (notação): 

A

ou

A

Soma de dois vetores: 

C

 

A

 

B

 

B

 

A



B

  

A

Diz-se que o vetor B é o negativo do vetor A Comutativa Soma gráfica: 

A



C



B

 

A

 

B



C

 

B

 

A



B



A



A



B



C

 

A

 

B

Soma de vários vetores: 

C A

 

B A

 Subtração de vetores: 

A

 

B



A

 

B



R



A

 

B

 

A

  

B



A



A

 

B



R

 

A

 

B

 

C

  

A

 

B

  

C

 

A

  

B

 

C

 Associativa 

A

 

B



C



A

  

B



B

Multiplicação de um vetor por um escalar: 

A



F



m



a

2 

A

 0 , 5 

A

1.8 – Componentes de vetores

y



A y O



A

 

A x A x A y

 

A

cos 

A

sen 

y x



A

 

A x

 

A y

Vetores componentes de 

A



A

(escalares, podem ser negativos) 

B



B x



B y



O x B x



B

cos   0

Cálculos de vetores usando componentes

1. Módulo e direção 

A



A

 tg  

A x

2 

A y

2

A A x y

   arctg

A y A x y



A y O

Cuidado! Ambiguidade: 2 valores possíveis de de tg θ – Analisar sinais das componentes θ para um dado valor Exemplo:

A x

 2 m,

A y

  2 m 315 

A y

  2 m

y



A

 

A x

135 

A x

 2 m 

A x x

2. Multiplicação por um escalar 3. Soma vetorial: 

R

 

A

 

B

 

D

 

c A R x

 

A x D



B x

,

x



cA x

,

R y



A y D y

 

B y cA y R y y B y A y O A x R x



A



R



B B x x

Exemplo 1.8 (Y&F) – SOMA DE VETORES EM 3D – ao ponto de partida?

Depois da decolagem, um avião viaja 10,4 km do leste para oeste, 8,7 km do sul para norte e 2,1 km de baixo para cima. Qual é a sua distância altura 2 , 1 km L N 8 , 7 km S 10 , 4 km O

A



A

2

x



A

2

y



A z

2   10 , 4 km   8 , 7 km  13 , 7 km 2 , 1 km  2

1.9 – Vetores unitários

• • • Têm módulo igual a 1 Não possuem unidade Indicam uma direção e sentido 

A x



A



A y

 

A x i

ˆ  

A y A x



j

ˆ 

A y



A x i

ˆ 

A y j

ˆ Em 3D: 

A



A x i

ˆ 

A y j

ˆ 

A z k

ˆ

y



A y

ˆ

j O i

ˆ 

A



A x y k

ˆ ˆ

j i

ˆ

z x x

Soma usando vetores unitários: 

A



B



R



A x i

ˆ 

A y j

ˆ    

B x



A i

 ˆ 

A x i

ˆ  

B



B y A y j

ˆ 

A x



B x



i

ˆ

j

ˆ    

B A y x



i

ˆ 

B y B



y j

ˆ

j

ˆ  

R x i

ˆ 

R y j

ˆ

1.10 – Produtos de vetores Produto escalar



B



B

cos  

A

De maneira equivalente: Definição: 

A

 

B



A



B

cos    

A



B

cos  

A

 

B



B



A

cos  

A

cos  

B

 

A

Casos particulares: Se 0     90  , 

A

 

B

 0 , porque cos   0 .



B

 Se 90     180  , 

A

 

B

 0 , porque cos   0 .



B

 Se   90  , 

A

 

B

 0 , porque cos 90   0 .

vetores ortogonais Se   0  , 

A

 

B



AB

, porque cos 0   1 .

Se   180  vetores paralelos , 

A

 

B

 

AB

, porque cos 180    1 .

vetores antiparalelos 

B



B



B

180  

A



A



A



A



A

Produto escalar usando componentes Produto escalar entre os vetores unitários:

i

ˆ 

i

ˆ 

i

ˆ  ˆ

j

 ˆ

j



j

ˆ 

k

ˆ 

k

ˆ  ( 1 )( 1 ) cos 0  ˆ

j



k

ˆ 

i

ˆ 

k

ˆ  ( 1 )( 1 ) cos 90   1  0 Assim: 

A

 

B

 

A x i

ˆ 

A y j

ˆ 

A z k

ˆ   

B x i

ˆ 

B y j

ˆ 

B z k

ˆ  

A x i

ˆ 

B x i

ˆ 

A x i

ˆ 

B y j

ˆ 

A x i

ˆ 

B z k

ˆ 

A y j

ˆ 

B x i

ˆ 

A y j

ˆ 

B y j

ˆ 

A y j

ˆ 

B z k

ˆ 

A z k

ˆ 

B x i

ˆ 

A z k

ˆ 

B y j

ˆ 

A z k

ˆ 

B z k

ˆ 

A

 

B



A x B x



A y B y



A z B z

Aplicação: Uso do produto escalar para calcular ângulos entre vetores Problema 1.90 (Y&F): Ângulo entre ligações químicas no metano (ou no diamante, ou no silício…) Dados: Uma das ligações está ao longo da direção

i

ˆ  ˆ

j



k

ˆ

i

ˆ 

j

ˆ 

k

ˆ ,



A

 

B

cos   

AB



A

 cos

AB



B

 Calculando os módulos: 

A



B



i

ˆ  

i



j

ˆ 

k j

ˆ 

k

ˆ ˆ

A



B

 

A



B

  ( 1 ) 2  ( 1 ) 2  ( 1 ) 2  3 ( 1 ) 2  (  1 ) 2  (  1 ) 2  3 Calculando o produto escalar: 

A

 

B

 ( 1 )( 1 )  ( 1 )(  1 )  ( 1 )(  1 )  1  1  1   1 Podemos então calcular o ângulo: cos    1 3  3   1 3   arc cos 1 3  109 , 47 

Produto vetorial



C

 

A

 

B

Módulo:

C



AB

sen  Direção: Ortogonal a ambos os fatores do produto.

Sentido: Determinado pela regra da mão direita Note que o produto vetorial não é uma operação comutativa: 

A

 

B

  

B

 

A

Interpretação geométrica 

B



B

sen  

A C



AB

sen  

A



B



A

Casos particulares Se   90  , 

A

 

B



AB

, porque sen 90   1 .

vetores ortogonais Se   0  , 

A

 

B

 0 , porque sen 0   0 .

Se   vetores paralelos 180  , 

A

 

B

 0 , porque sen 180   0 .

vetores antiparalelos 

B



B



B

180  

A



A



A

Produto vetorial usando componentes Produto vetorial entre os vetores unitários:

i

ˆ 

i

ˆ  ˆ

j

 ˆ

j



k

ˆ 

k

ˆ  0

y

Pela regra da mão direita obtemos:

i

ˆ 

j

ˆ  

j

ˆ 

i

ˆ 

k

ˆ

j

ˆ 

k

ˆ  

k

ˆ 

j

ˆ 

i

ˆ

k

ˆ 

i

ˆ  

i

ˆ 

k

ˆ 

j

ˆ Lembre-se: permutações cíclicas

i

ˆ 

z k

ˆ ˆ

j



k

 

i

ˆ  ˆ

j j

ˆ ...

i

ˆ

x

Assim: 

A

 

B

 

A x i

ˆ 

A y j

ˆ 

A z k

ˆ  

B x i

ˆ 

B y j

ˆ 

B z k

ˆ  

A x i

ˆ 

B x i

ˆ 

A x i

ˆ 

B y j

ˆ 

A x i

ˆ 

B z k

ˆ 

A y j

ˆ 

B x i

ˆ 

A y j

ˆ 

B y j

ˆ 

A y j

ˆ 

B z k

ˆ 

A z k

ˆ 

B x i

ˆ 

A z k

ˆ 

B y j

ˆ 

A z k

ˆ 

B z k

ˆ 

A

 

B

 

A y B z



A z B y



i

ˆ  

A z B x



A x B z



j

ˆ  

A x B y



A y B x



k

ˆ Ou na forma de um determinante: 

A

 

B



i

ˆ

A x B x j

ˆ

A y B y k

ˆ

A z B z

Próximas aulas: 6a. Feira 12/08: Aula de Exercícios (sala A-327) 4a. Feira 17/08: Aula Magna (sala A-343)