Transcript MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET

MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Karl R¨
okaeus
Tentamenskrivning i
Algebra, probleml¨osning, 7.5 hp
Matematik I
den 11 december 2014, kl 9.00-14.00
Inga hj¨
alpmedel till˚
atna. 15 po¨
ang (inklusive bonuspo¨
ang) ger s¨
akert godk¨
ant.
Samtliga svar m˚
aste motiveras ordentligt!
Bonuspo¨
ang fr˚
an HT-14 adderas automatiskt till ditt resultat. (Bonus fr˚
an tidigare
terminer ¨
ar ej l¨
angre giltig.)
1. F¨
orkorta s˚
a l˚
angt som m¨
ojligt br˚
aket
2873
4199 .
5p
2. Rita grafen till y = ||x| − 1| + |x + 2|. Finn ¨aven alla x ∈ R s˚
adana att ||x| − 1| + |x + 2| = 3.
5p
3. P˚
a tentan i Algebra, probleml¨
osning (7,5 hp) p˚
a Matematik I f¨or HT-13 deltog 190 skrivande.
Av dessa hade 161 klarat alla tre e-tentor; 107 hade gjort problemsamling 4-6 och hade full
bonus; och 75 blev godk¨
anda (betyg E eller h¨ogre). Av dem med tre avklarade e-tentor blev
74 godk¨
anda; av dem med full bonus blev 63 godk¨anda; och 99 personer hade b˚
ade gjort tre
e-tentor samt hade full bonus. Av dem som inte uppn˚
att full bonus samt dessutom saknade
minst en e-tenta blev 21 underk¨
anda. Hur m˚
anga av dem med full bonus och tre avklarade
e-tentor blev godk¨
anda p˚
a algebratentan?
5p
I uppgift 4-6 ¨
ar samtliga koordinater angivna i en positivt orienterad ON-bas:
a
4. Finn en ortogonal bas (w1 , w2 ) f¨or planet Π : x + 3y + 2z = 0. (Med andra ord, finn tv˚
ortogonala vektorer w1 och w2 som b¨agge ¨ar parallella med Π.) Finn sedan en tredje vektor
w3 s˚
adan att (w1 , w2 , w3 ) bildar en ortogonal bas f¨or rummet.
5p
5. Best¨
am avst˚
andet fr˚
an planet Π : 2x + 3y + z = 2 till linjen ` : (1, 0, 1) + t(1, −1, 1),
5p
t ∈ R.
an rummet till rummet.
6. Projektion p˚
a en given vektor n ger en linj¨ar avbildning P (v) = v n fr˚
Best¨
am matrisen f¨
or denna avbildning n¨ar n = (1, 7, 3). Best¨am sedan matrisen f¨or P ◦ P
samt ber¨
akna P n och P (3, 8, 1).
5p
Tid och plats f¨
or skrivnings˚
aterl¨
amning meddelas senare. Efter ˚
aterl¨
amningen kommer tentorna
finnas att h¨
amta hos studentexpeditionen, hus 6, rum 204.