Transcript Högstadieelevers problemlösningsförmåga

Högstadieelevers
problemlösningsförmåga
En studie inom algebra, geometri och
sannolikhetslära
Erik Linnér
Eskil Jarlskog
Ylva Wahlquist
NA3F
Polhemskolan 13/14
Handledare Klas Nilson
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
1
Tack till
Lunds Montessorigrundskola, lärare Sven Marling
Svaneskolan, lärare Cecilia Leide
Tunaskolan, lärare Petra Alvin
Handledare Klas Nilson
och inte minst till alla elever som deltagit
2014-04-22
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
2
2014-04-22
Abstract
The level of mathematical knowledge among Swedish students is inadequate compared to the
surrounding world, this have been stated in several contemporary surveys. This is a serious
situation which we, three students from Polhemskolan, Lund, chose to investigate in our high
school project. Our ambition was to discover what recurring mistakes Swedish secondary
school year 7 to year 9 students usually do and what their major issues are when they solve
mathematical problems. In our research we chose to focus on four different parts of
mathematics, these were algebra, geometry, calculus of probability and problem solving. To
get the best basis to investigate, we created our own problems which were adapted for our
research. To receive our substance, we acted as teachers. The classes were disposed in a way
that would make us acquire a complex picture of the students’ ways of thinking and to make
out what is especially hard for them. We have gain answers to the questions we asked, but
some of the discoveries were not things we usually connect with mathematics. Our result did
show, for instance, that students frequently read exercises incorrectly, and therefore they often
solve the wrong problems and not the ones they were given. The more expected part of the
result was that students in general make enormous amounts of careless mistakes and that they
had serious problems to calculate a bit more advanced algebra, which is the fundamental part
of mathematics. Why we believe this situation has appeared is because the demands from the
schools in Sweden are way too low.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
3
2014-04-22
Innehållsförteckning
1. Introduktion ............................................................................................................................ 4
1.1 Inledning ........................................................................................................................... 4
1.2 Bakgrund .......................................................................................................................... 5
1.3 Syfte med frågeställning ................................................................................................... 7
1.4 Metod ................................................................................................................................ 8
1.5 Avgränsningar .................................................................................................................. 9
2. Algebra ................................................................................................................................. 10
2.1 Teori................................................................................................................................ 10
2.2 Uppgifter och målsättning .............................................................................................. 11
2.3 Resultat ........................................................................................................................... 12
2.4 Diskussion ...................................................................................................................... 14
3. Geometri ............................................................................................................................... 16
3.1 Teori................................................................................................................................ 16
3.2 Uppgifter och målsättning .............................................................................................. 17
3.3 Resultat ........................................................................................................................... 17
3.4 Diskussion ...................................................................................................................... 19
4. Sannolikhetslära ................................................................................................................... 21
4.1 Teori................................................................................................................................ 21
4.2 Uppgifter och målsättning .............................................................................................. 21
4.3 Resultat ........................................................................................................................... 22
4.4 Diskussion ...................................................................................................................... 23
5. Problemlösning..................................................................................................................... 24
5.1 Teori................................................................................................................................ 24
5.2 Uppgifter och målsättning .............................................................................................. 24
5.3 Resultat ........................................................................................................................... 25
5.4 Diskussion ...................................................................................................................... 25
6. Elevomdömen och elevernas intresse för matematik ........................................................... 27
7. Slutsats ................................................................................................................................. 29
8. Källförteckning..................................................................................................................... 32
9. Appendix ................................................................................................................................. I
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
4
2014-04-22
1. Introduktion
1.1 Inledning
Nyligen har det skrivits och omdebatterats i media om svenska grundskoleelevers försämrade
kunskaper i matematik. Deras kunskapsnivå sjunker enligt en undersökning som gjorts och
kunskaperna är dåliga i jämförelse med de andra länderna som ingår i den internationella
organisationen OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development).
Undersökningen gjordes 2012 och heter PISA. Varför undersökningen är intressant är för att
provuppgifterna som testas utgår från vardagsnära problem som inte har en direkt koppling till
skolan.1 PISA-undersökningen gjorde att många fick upp ögonen för problemen som den
svenska skolan brottas med. De matematiska kunskaperna som berör vardagliga problem är
viktiga, både idag och i framtiden.
I den svenska skolan läggs det inom matematiken fokus på algebra, geometri, problemlösning,
samband och förändring, sannolikhet och statistik samt taluppfattning och tals användning.2
Det är oroande att matematikkunskaperna sjunker i Sverige och med detta i åtanke så har vi
valt att göra vårt gymnasiearbete med högstadieelevers matematikkunskaper som
utgångspunkt. Av de ovan nämnda matematiska områdena så har vi valt att lägga
tyngdpunkten på algebra, geometri, sannolikhet och problemlösning.
1
2
Skolverket, PISA 2012.
Skolverket, Kursplan - Matematik
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
5
2014-04-22
1.2 Bakgrund
Matematik är någonting som har fascinerat människor världen över i tusentals år. Den har sin
grund i praktiska behov och detta är även en anledning till varför matematiken har fått en
fortsatt utveckling. Den kanske främsta orsaken till varför matematik fortsätter att utvecklas är
människans nyfikenhet att utforska matematiken som sådan.
Många kulturer har historiskt sett på olika sätt bidragit till matematikens utveckling. Ett
exempel är gammalbabylonierna (ca 2000-1600 f.Kr) som använde sig av algebraiska,
aritmetiska och geometriska metoder för att lösa en mängd problem av praktisk och teoretisk
natur, till exempel vektorprodukt som betecknar area. Ett annat exempel är grekerna (ca
550 f.Kr.– 400 e.Kr) med Euklides och Pythagoras i spetsen. De kombinerade algebra och
geometri och mycket av deras upptäckter ligger till grunden för dagens geometri och talteori.3
Inom matematiken används olika matematiska teorier, vilka härleds ur ett antal ej bevisbara
påståenden, axiom. Nya problem tillkommer ständigt och nya bevis åstadkoms. Ett exempel
på detta är Fermats stora sats (även kallad Fermats förmodan) som Pierre de Fermat
formulerade på 1600-talet och detta problem löstes inte förrän år 1993.4 I och med att
matematiken utvecklas, kan en rad problem lösas. En del av dessa problem är praktiska, en
del inte. Matematiken är ett forskningsområde som fortsätter att utvecklas.
Inom svenska skolan idag existerar som nämnts tidigare i inledningen en del problem. I den
senaste PISA-undersökningen från 2012 har information om att Sverige tappar placeringar i
matematikkunskaper i den internationella jämförelsen som har gjorts.5 I bilaga 7 i Appendix
så kan Sveriges elevers kunskaper ses i en jämförelse med några andra länder som deltagit i
undersökningen. Jämfört med senaste gången PISA-undersökningen genomfördes så har
också resultaten försämrats (se figur 1 på nästa sida). De olika nivåerna beskriver elevernas
kunskaper, där nivå 6 är den bästa och under nivå 1 den sämsta. Undersökningen gjordes på
15-åringar under 2013 i 44 olika länder. Ett av de största problemen hos eleverna var
läsförståelsen inom matematik. Andelen svenska elever som läste fel och senare även löste fel
uppgift var betydligt större än andelen av eleverna i många andra länder.6
3
Nationalencyklopedin, Roos, Jan-Erik et al, matematik
Ibid
5
Skolverket, PISA 2012, s.8
6
Ibid, s.9-10
4
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
6
2014-04-22
Figur 1. Andel svenska elever (%) på olika prestationsnivåer i matematik 2003 och 2012 från PISAundersökningen 2012.
En annan undersökning inom matematik för grundskoleelever är TIMSS 2007. TIMSS 2007
(Trends in International Mathematics and Science Study) är en internationell undersökning
som Sverige deltagit i och den behandlar matematik- och naturvetenskapskunskaper hos
elever i grundskolans årskurs 4 och 8. Rapporten behandlade de matematiska områdena
aritmetik, taluppfattning, geometri och algebra. I rapporten konstaterades det att: ”Svenska
elever har en mer procedurell än konceptuell kunskap i matematik vilket gör att eleverna kan
lösa de uppgifter de är vana vid, men har svårigheter att använda sina kunskaper i nya
situationer.”.7
Matematiken bidrar på många sätt till en ökad problemlösningsförmåga, som vi drar nytta av i
vardagslivet där vi ständigt fattar beslut. Även vår kreativitet främjas då vi tvingas hitta
påhittiga lösningar för att lösa de matematiska problem vi ställs inför. Förutom dessa
nyttoargument är matematiken stimulerande och ökar vår självkänsla när vi klarat av ett svårt
problem. Eftersom att matematiken är mångsidig så kan den tillämpas inom många olika
områden, främst inom astronomi, fysik, kemi, statistik och de tekniska vetenskaperna.
Nationalencyklopedin beskriver matematiken över historien: ”Matematikens historia har en
enastående förmåga att överbrygga avståndet i tid, rum och världsåskådning mellan
nutidsmänniskor och forna tiders kulturer. Matematikens språk är i princip universellt.”8
7
8
Skolverket, TIMSS 2007, s.3.
Nationalencyklopedin, Roos, Jan-Erik, matematik.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
7
2014-04-22
1.3 Syfte med frågeställning
Syftet med detta gymnasiearbete är att undersöka problemlösningsförmågan inom matematik
hos högstadieelever i Lund. Målet med undersökningen är att belysa återkommande problem
som uppstår hos elever inom algebra, geometri, sannolikhetslära och problemlösning.
Samtidigt kommer elevernas anpassningsförmåga inom de olika matematikförgreningarna
även att undersökas.
Frågeställningarna är följande:

Vilka är de återkommande fel högstadieelever gör och varför är just dessa
återkommande fel?

Vilken sorts matematik har högstadieelever svårt för och varför?

Var ligger högstadieelever till inom problemlösning och hur utvecklas
problemlösningsförmågan i denna ålder?
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
8
2014-04-22
1.4 Metod
Undersökningen genomfördes kvalitativt via problemlösningskurser för ett mindre antal
elever på tre skolor i Lund; Lunds Montessorigrundskola, Tunaskolan och Svaneskolan.
Under lektionerna som vi genomförde på de olika skolorna fanns ett varierande antal elever
som till majoritet gick i årskurs 8 och 9. Antalet elever var omkring 9-10 stycken. Det krav vi
ställde på eleverna var att de hade ett intresse för matematik. Problemlösningslektionerna
varade 40-50 minuter och var uppdelade i två delar. Första delen innebar ett övningsblad inom
endast ett område där området varierade från lektion till lektion och som i kronologisk
ordning var följande: algebra, geometri och sannolikhetslära. Andra delen var ett uppgiftsblad
som innefattade fyra olika uppgifter, där det fanns en uppgift inom de olika områdena algebra,
geometri, sannolikhetslära och problemlösning.
Lektionerna inleddes med en uppdelning av eleverna i tre grupper, en för var medlem i vår
arbetsgrupp och sedan en snabb genomgång av de kunskaper som eleverna sedan innan inte
hade erfarenhet av och krävdes för de specifika uppgifterna. Eleverna skulle sedan samarbeta
för att lösa så många uppgifter som möjligt på det tidsspann vi gav på den första delen av
lektionerna. Att eleverna inte hade möjlighet till att lösa alla uppgifter var inte av samma
betydelse som att de skulle klara av uppgiftsbladets uppgifter. De var viktigare eftersom att vi
ville utföra en jämförelse mellan ämnen över tiden. På grund av detta gav vi därför eleverna
gott med tid på uppgiftsbladet. Vi förespråkade samarbete mellan gruppens medlemmar för att
få en muntlig diskussion, vilket vi utnyttjade för att undersöka elevernas tankesätt.
Ifall eleverna fastnade gavs ledtrådar för att förenkla lösandet av uppgifter som utgjorde
problem för högstadieeleverna. För att samla så mycket information som möjligt antecknade
vi under lektionen och samtalade med varandra och sammanfattade lektionerna. Dessutom
försökte vi samla information via tidigare forskning som genomförts. Lektionerna spelades
även in via ljudupptagning.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
9
2014-04-22
1.5 Avgränsningar
Avgränsningar som påverkade vårt val av metod beror på ett flertal faktorer. Vi hade
begränsad tid att genomföra uppgiften vilket ledde till att vi endast kunde genomföra ett
mindre antal lektioner på ett begränsat antal skolor. Tidsbristen påverkade även möjligheter
till att schemalägga passande tider för vår arbetsgrupp och på de skolor studien genomfördes
men även hur ingående vi kunde undersöka elevernas kunskaper, utveckling och förmågor.
Geologiska begränsningar existerade även, vi kunde därför endast genomföra experimentet i
sydvästra Skåne och valde därför skolor i Lunds kommun. Som vi nämnt i metoden så ställde
vi krav på antalet elever på grund av att vi inte är vana vid att lära ut matematik till elever och
för att vi endast är tre stycken. Vi har valt att lägga mer tid på varje enskild elev för att kunna
få ut så mycket som möjligt av studien.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
10
2014-04-22
2. Algebra
2.1 Teori
Algebra är en gren inom matematiken som fram till 1600-talet har varit benämning på det vi
idag kallar ekvationslösning.9 Den bör ej förväxlas med aritmetiken, som handlar om rent
räknande. Algebran kan även sägas handla om ett ändligt antal räkneoperationer som utförs på
en ändlig mängd tal.10 Under 1900-talet blev algebra mer och mer sammanlänkat med andra
matematiska områden; såsom aritmetik, geometri, logik, matematisk analys och topologi.11
Algebra ligger till grund för många saker och det finns många skäl till varför man bör lära sig
algebra.

Algebra är en nödvändig del av den gemensamma kunskapen hos medborgare i ett
utbildat och demokratiskt samhälle.

Algebra utgör en grundförutsättning för vidare studier i matematik, vissa kurser på
högre nivå och inom många yrkesområden.

Algebra är en central komponent i matematisk bildning, vilken utgör en grund för en
nations teknologiska framtid och ekonomiska framåtskridande.

Algebra ger en effektiv väg till att lösa vissa typer av problem.

Algebra främjar intellektuella aktiviteter med generalisering, organiserat tänkande och
deduktiva resonemang.12
Skolverkets kursplan för grundskolan innehåller ett antal kunskaper som eleverna ska ha när
de gått ut grundskolan. Dessa är:

Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler
och ekvationer.

Algebraiska uttryck, formler och ekvationer i situationer som är relevanta för
eleven.

9
Metoder för ekvationslösning.13
Persson, Per-Eskil (2010) Räkna med bokstäver!, s.33
Nordisk Familjebok (1904) Uppslagsord: Algebra
11
Nationalencyklopedin, Roos, Jan-Erik, algebra
12
Persson, Per-Eskil (2010) Räkna med bokstäver!, s.2
13
Skolverket, Kursplan – Matematik
10
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
11
2014-04-22
Inom området algebra finns sedan tidigare forskning på svårigheter hos elever. TIMSS 2007
är en undersökning som undersökt olika problem eleverna haft. Förenkling av uttryck var det
många elever som hade problem med.
En uppgift de testade var
14
,
Endast
% av de svenska eleverna hade en korrekt lösning.
Ett annat exempel på uppgift var:
Endast 10,9 %
av de svenska åttondeklassarna löste uppgiften.
En annan uppgift undersökte insättning av tal i en andragradsekvation. Ett antal tal var givna
och frågan var vilka tal som var nollställen till andragradsekvationen. Då gjorde 16 % av
eleverna misstaget att
15
2.2 Uppgifter och målsättning
Under den första lektionen med eleverna lärdes roten ur
√
ut, och några olika rotregler som normalt lärs ut under de
√
första matematikkurserna på gymnasiet, se figur 2. Om
√
√
√
√
Figur 2. Rotregler
eleverna inte kände till roten ur sedan tidigare, fick först
begreppet förklaras och därefter enklare
beräkningsuppgifter leda till de uppgifter som finns på
bilaga 1 i Appendix. Målet med lektionen var även att
Figur 3. Uppgift 1 i bilaga 2 i Appendix.
lära eleverna att utnyttja förkortning så mycket som
möjligt och att undersöka deras förmåga att se mönster. De in ledande algebrauppgifterna
mynnade ut i en sammanfattande uppgift som berörde allt de lärt sig tidigare under lektionen,
se figur 3.
14
15
Skolverket, TIMSS 2007, s.104
Skolverket, TIMSS 2007, s.103-104
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
12
2014-04-22
Under andra lektionen låg fokus på
geometri och endast en algebrauppgift
testades, se figur 4. Den byggde på
förra lektionens uppgifter för att se om
Figur 4. Uppgift 1 i bilaga 4 i Appendix.
eleverna lärt sig något. I uppgiften
testades flera av de saker som eleverna
tidigare haft problem med, se resultat
Figur 5. Uppgift 1 i bilaga 6 i Appendix.
nedan.
Under den tredje lektionen lärdes fakultetsbegreppet ut samt beräkningar med detta. Därför
byggde algebrauppgiften på lektion tre på fakultetsberäkningar, förkortningar samt
subtraktion med kvadratrötter, se figur 5. Uppgiften var uppbyggd på sådant sätt att
uträkningar kan undvikas, då man genom att endast studera uppgiften kan se att svaret blir 0.
Vi ville undersöka huruvida eleverna såg denna lösning eller ej. Alla undersökta
algebrauppgifter hittas i bilaga 1,2,4 och 6.
2.3 Resultat
Under lektion ett såg vi ett antal svårigheter som de flesta eleverna brottades med. De elever
som gick i nionde klass kände alla till roten ur och kunde även utföra enklare beräkningar som
till exempel √
√
. Några av eleverna i åttonde klass hade mycket svårt att förstå sig
på vad roten ur var, samt när det skulle användas. Det ledde till att roten ofta försvann och att
√ blev endast . För vissa var det mycket svårt att förstå vid vilka tillfällen rotreglerna
skulle användas och vi förstod snabbt att det var väldigt mycket svårare att använda
rotreglerna ”baklänges”. De klarade till exempel enkelt av att räkna ut √
att använda en regel men att gå från √ till √
√
√
genom
√ var betydligt svårare. För att göra det så
behövde eleverna förstå och använda sig av faktorisering, vilket många hade problem med.
Det som vållade absolut mest problem med roten ur var addition och subtraktion av enkla
rötter, så som √
enstaka fall √
√
eller √ – √ . √
√
blev i nästan alla fall √
. Eleverna observerade inte att det senare är ekvivalent med
och i något
. Vid
addition lades mycket tid för att förstå varför svaret blev som det blev. Exempel om att
användes och slutligen förstod de flesta av eleverna.
Lektionen berörde förutom roten ur även bråkräkning och förkortning. Många elever ville
hellre skriva talen i decimalform än bråkform och uppskattade då på ett ungefär dess värde.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
13
2014-04-22
På en uppgift där eleverna skulle öva på att förkorta så skrev i princip alla elever samman
talen på ett gemensamt bråkstreck och började beräkna täljare och nämnare var för sig. När de
sedan skulle dela talet var de tvungna att förkorta, vilket de flesta behärskade. När vi
förklarade att man kan förkorta direkt i täljaren och nämnaren, klarade de flesta av följande
uppgifter som bygger på samma princip utan större problem. Vid förkortning av
√
√
√
trodde
de flesta elever att de kunde förkorta bort en √ och då få svaret √ kvar. Multiplikation med
bråk var inga problem för eleverna.
Några saker som ledde till en del bekymmer var enkla beräkningar med addition och
multiplikation där de blandade ihop räknesätten och därmed fick fel svar. Dessutom var det
för många svårt att multiplicera positiva och negativa tal. Generellt så hade eleverna mycket
svårt för att påbörja uppgifterna, och behövde ofta lite ledning i början av uppgiften. Ganska
ofta fick eleverna påminnas om att de löst liknande uppgifter tidigare under lektionen, ibland
till och med exakt likadana. En sak som generellt eleverna var mycket duktiga på var att se
mönster (se figur 3), så att de inte behövde räkna ut varje del av uppgiften.
Eleverna hade generellt problem med att komma ihåg vad som står i täljare respektive
nämnare när de har förkortat eller dragit roten ur. Om det står en etta i täljaren försvinner den
oftast så att det som ska vara blir .
Att uppgiften i lektion tre innehöll två på varandra följande kvadratrötter (se figur 5)
förvirrade flertalet av eleverna men de hade ganska klart för sig vart de skulle börja.
Beräkning av fakulteter gick bra så när som på några räknefel. När eleverna såg √
√
tänkte flera elever att roten ur och kvadraten tog ut varandra så att det blev
. Svaret blev visserligen rätt men tankemässigt så var det fel. När vi hade sagt detta
hade många elever problem med vad √
√ var. Oftast kom någon i gruppen på svaret till
slut. Endast en elev totalt började beräkna den delen av uppgiften som blev noll först och
slapp därmed räkna ut resten.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
14
2014-04-22
2.4 Diskussion
Vi förväntade oss att eleverna skulle ha en viss förkunskap för roten ur sedan tidigare då de
bör ha lärt sig om cirkelns area i årskurs 8. Kanske är det så att endast beräkningar görs av
cirkelns area då man har radien, och ej tvärtom. Då slipper eleverna dra roten ur. Något som
vi inte förväntade oss att eleverna skulle kunna sedan tidigare var rotreglerna, eftersom att det
var målet med lektionerna att lära dem det. Vi trodde dock inte att de skulle ha så mycket
problem med det som de faktiskt hade. Särskilt förvånande var att användandet av rotreglerna
”baklänges” var mycket svårare att förstå när de skulle tillämpas.
Förkortning gick väldigt enkelt för det flesta, och eleverna såg fort mönster i uppgifterna där
detta skulle göras (se figur 3 på förra sidan). Dock klarade eleverna inte av att förkorta när det
handlade om kvadratrötter, men de klarade av det utan problem vid heltalsberäkningar. Ett
förtydligande exempel är
√
√
Motsvarande gällde för addition och subtraktion av
rotuttryck. Trots många (och långa) förklaringar så var det många som inte förstod varför
√
√
√ eller varför √
√
. Vi tror inte att eleverna alltid tänkte till riktigt
eftersom att de fastnade på enkla tal som ovan eller som roten ur enkla tal, till exempel √
eller √
.
När eleverna blandade ihop räknesätten blev vi lite konfunderade, eftersom att det är något
som eleverna borde kunna sedan tidigare och detta fel inträffade ganska ofta. Vi trodde också
att eleverna skulle ha enkelt för att förenkla uttryck. En parallell kan dras till TIMSSundersökningen där samma slutsats drogs, se teori ovan. Troligtvis beror det främst på slarv,
och på att eleverna inte läst uppgiften ordentligt. Vi märkte vid flera tillfällen att eleverna inte
läst och förstått uppgifterna innan de började räkna och vi tror att det endast beror på slarv.
PISA-undersökningen som omnämndes i bakgrunden tar upp samma dilemma och vi tror att
läsförståelse är något som svenska elever måste bli bättre på. Ett problem som vi inte visste
skulle uppkomma var problemet med att komma ihåg vad som står i täljaren respektive
nämnaren efter att ha förkortat. Många elever gjorde felet som nämndes i resultat ovan och vi
trodde inte att detta skulle vara ett så stort problem. En anledning till detta kan vara att
eleverna inte har arbetat med bråktal som är mindre än ett och får då, efter att ha förkortat och
eliminerat nämnaren, alltid ett svar större än ett.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
15
2014-04-22
Tanken att kvadratrötter och kvadrater tar ut varandra är korrekt, men fungerar ej vid
subtraktion. Det har vissa likheter med ett problem som TIMSS undersökte, se teori ovan. Där
gjorde många elever fel och tänkte att
.16 Eleverna hade sammantaget inte så bra
koll på räkning med kvadrater. Att kvadratrötter och kvadrater tar ut varandra var något som
de flesta elever inte hade koll på, vilket är fullt förståeligt. Eftersom att roten ur, samt hur man
räknar med roten ur, inte är något som tas upp mer än ytligt under grundskolan så kan detta
heller inte krävas av eleverna.
16
Skolverket, TIMSS 2007, s.103
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
16
2014-04-22
3. Geometri
3.1 Teori
Geometri är ett område inom matematik där figurers egenskaper i ett rum studeras från
uppsättningar av grundläggande geometriska objekt, axiom och definitioner.17 Inom
kursplanen för högstadiet på grundskolan existerar visa kunskapskrav inom geometri.

Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa
objekt.

Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Skala vid förminskning och
förstoring av två- och tredimensionella objekt.

Likformighet och symmetri i planet.

Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt
enhetsbyten i samband med detta.

Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet. 18
Inom geometri finns redan dokumenterad forskning på svårigheter för högstadieelever. 11,8%
av eleverna som gick årskurs 8 i Sverige 2007 klarade de tre geometriska uppgifter som gavs
inom undersökningen TIMSS 2007 vilket kan jämföras med 32,9% för Taiwan och 29,7% för
Hong Kong samma år. Problematiken för eleverna var att handskas med areabegreppet och
omkretsbegreppet men även om eleverna behärskar begreppens betydelse, kunde de ha en
egen uppfattning hur begreppen skulle utnyttjas. Detta tyder på svenska elevers utveckling
inom geometri inte är linjärt hierarkisk. 73,5% av eleverna som gick årskurs 4 i Sverige 2007
kunde beräkna omkretsen av en rektangel med kända sidor och kunde därför urskilja
areabegreppet och omkretsbegreppet. Areabegreppets additivitet hade inte elever som gick
årskurs 8 i Sverige 2007 erfarit tillräckligt. Då deras lösningsfrekvens sjönk med uppgifter där
den kunskapen krävdes.19
17
Nationalencyklopedin, Erlandsson Thomas, sökord: geometri.
Skolverket, Kursplan matematik
19
Skolverket, Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007, s.84,s.99,s.100
18
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
17
2014-04-22
3.2 Uppgifter och målsättning
Uppgifterna inom den matematiska förgreningen geometri var konstruerade för att undersöka
högstadieelevernas förmågor och färdigheter inom ämnet. Uppgifter anpassades efter de
förmågor en högstadieelev ska besitta och kunskap som var möjlig att lära dem med en kort
genomgång. Påverkan av att geometriska figurer var skalenliga eller inte undersöktes. I detta
fall krävdes jämförelse mellan skalenliga figurer, se figur 6, och icke-skalenliga figurer, se
figur 7. Elevernas färdigheter och förståelse av enklare geometriska formler undersöktes via
uppgifter som krävde användning av Pythagoras sats och area formlerna för en cirkel, en
triangel respektive en rektangel. Erfarenheten av variabelhantering i geometriska problem
undersöktes även. Hur eleverna läser geometriuppgifter undersöktes genom att använda
matematisk termologi, med ord som hypotenusa, katet och tangera. Värt att nämna är att
uppgift 5 i bilaga 3 i Appendix är tagen från tävlingen Pythagoras Quest 2010.
Figur 6. Skalenlig figur (se bilaga 2 i Appendix).
Figur 7. Icke-skalenlig figur (se bilaga 3 i Appendix).
3.3 Resultat
Högstadieelevers förmågor och erfarenheter inom geometri var ytterst egenartad från elev till
elev. Skalenlighet är något som majoriteten förväntar sig, dock inget de behöver för att lösa
uppgiften. Ett exempel är när elever börjar mäta med linjal då de inte kan finna ett direkt svar.
När en geometrisk figur har vinklar och sträckor som inte är skalenliga lägger de flesta märke
till det. Skalenlighet blir en förenklande faktor för eleverna och majoriteten utnyttjar det i stor
omfattning, vilket leder till problem inom uppgifter där icke-skalenliga figurer används. Ett
problem de flesta av högstadieeleverna hade var att tänka sig en icke-skalenlig vinkel som till
utseende var en rät vinkel, se figur 8, respektive då en vinkel till utseende inte såg ut att vara
en rät vinkel, faktiskt var
(se figur 9).
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
Figur 8. Icke-skalenlig, x är inte
18
2014-04-22
(se bilaga 3 i Appendix).
Figur 9. Icke-skalenlig. Höjden h är en normal till basen 2b+1. (se bilaga 6 i Appendix).
Formeln för arean av en cirkel, en triangel respektive en rektangel var enkelt för de flesta.
Svårigheter uppstod hos ett fåtal att utnyttja formeln för arean hos en cirkel då radien för
cirkeln var känd och arean skulle beräknas, däremot i motsatt led med en okänd radie och en
känd area kunde de inte lösa uppgiften. Formeln för Pythagoras sats innebar mindre
svårigheter för majoriteten, endast ett fåtal ansåg att den var enkel. Längden på två kända
kateter och en längden på hypotenusan som är okänd ska beräknas medför ingen problematik,
dock uppkommer svårigheter med Pythagoras sats då längden av en hypotenusa och en katet
är känd och den okända katetens längd ska beräknas. Andelar av är för vissa enkelt, och för
vissa svårt. Matematisk terminologi verkar var ett problem för högstadieelever. Ett exempel är
när elever ska ange vilken av sidorna i en rätvinklig triangel som är hypotenusan respektive
vilka sidor som är kateterna.
Majoriteten läser inte uppgiftstexten exakt utan ”slarvläser” ofta uppgifterna, därför är det inte
ovanligt att eleverna svarar med en area av ett objekt då svaret som söks är en omkrets. Att
elever ”slarvläser” märks i en uppgift där ordet tangera används, vilket logiskt sett borde vara
problem för majoriteten av eleverna, dock ifrågasätter eleverna inte ordvalet utan litar blint på
de geometriska figurerna. Elever ”slarvräknar” också syns i situationer där elever till exempel
adderar ihop en liksidig triangels sidor fyra gånger för att räkna ut omkretsen. Konstanten
är
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
för en del
19
2014-04-22
eller 3, vilket försvårar tankesättet då svaren bör innehålla konstanten . Att
använda variabler var för högstadieelever överraskande nog väldigt enkelt, dock gav variabler
som h respektive b inte en indikation om att det kunde vara basen respektive höjden för
högstadieeleverna. Utvecklingen inom geometri var markant under lektioner då vi
koncentrerade oss på geometri, utvecklingen under de två andra lektionerna var inte märkbar.
3.4 Diskussion
Återkommande problem var det främst i uppgifterna med skalenlighet och då de
”slarvläsande”. Att skalenlighet skulle medföra problem var förväntat, dock att det skulle leda
till problem inom uppgifter med användning av Pythagoras sats var inte väntat. Inom
kursplanen för geometri som tidigare nämndes krävs det att elever ska kunna argumentera för
deras giltighet och i fallet av Pythagoras sats är giltigheten att triangeln är rätvinklig. När en
vinkel som var
inte såg ut som det eller när en vinkel inte var
och såg ut att var det
var det ofta svårt för eleverna att förstå, vilket leder till problem som tidigare nämnts. Detta
bidrar till att elever inte använder Pythagoras sats när en vinkel är rät, vilket är ett tydligt krav
på att Pythagoras sats kan användas. Felet kommer troligen från skolans sätt att lära ut, oftast
används skalenliga trianglar för att förenkla elevernas inlärning, dock skapar detta problem
likt med att
inte är 3,14 eller 3 när uppgifter inte följer det ramverket. Problem uppstår även
eftersom elever försöker via ögonmått, uppskatta eller använda linjal för att mäta en sträcka i
situationer de upplever som hopplösa, vilket inte är en fungerande strategi.
Förväxling mellan area och omkrets som TIMSS 2007-undersökningen tar upp tyder på att
högstadieelever inte har problem med det. Detta antagande kan göras då inom samma
undersökning visade elever som går i årskurs 4 att de inte har problem med att skilja på areaoch omkretsbegreppen. De fall där elever beräknar area istället för omkrets kan troligen bero
på ”slarvläsande”, vilket är ett allvarligt problem. Anledning till varför detta kan vara ett mer
markant problem inom geometri än i algebra, sannolikhet och problemlösning är troligen för
att geometri är mer figurbaserad och då kan elever gissa på vad uppgiften frågar efter för svar.
”Slarvläsande” och ”slarvräknande” som tidigare nämndes tyder på en lathet hos svenska
högstadieelever vilket är jämförbart med TIMSS 2007-undersökningen som visar på att
svenska elever är långt efter kunskapsmässigt och att skolan i Sydostasien har allmänt ett
högre tempo än det som existerar i Sverige, vilket ger mindre rum för elever att vara lata.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
20
2014-04-22
Eleverna använde de formler som krävdes i största grad felfritt. Majoriteten visste när de
skulle använda de olika formlerna och vad de kunde få ut för information ur dem, däremot är
den del som faktiskt har en förståelse för formlerna i minoritet. Speciellt Pythagoras sats där
elever ofta blandar ihop vilka sidor som är kateter och vilken som är hypotenusan vilket leder
till en osäkerhet som tyder på en ovana med att använda formeln. Även att en stor del endast
kan utnyttja formeln på specifika sätt är problemartat, att inte kunna räkna ut en katet då
hypotenusan och en katet är kända tyder på en dålig förståelse av formeln. Att elever inte kan
använda sina kunskaper i nya problem utan endast i problem de är vana vid är ett stort
problem för svenska grundstadieelever vilket observerades i TIMSS 2007-rapporten (se
bakgrund s.6). Utvecklingen eleverna genomgick under lektionen som var mer koncentrerad
på geometri var anmärkningsvärd. Från att en del inte använda Pythagoras sats till att faktiskt
utnyttja den gick otroligt snabbt vilket kan bero på att svenska högstadieelever har god
utvecklingsförmåga. Elever vi undersökte hade även ett intresse för matematik även om det
som innan nämnts faktiskt existerar en brist på anpassningsförmåga.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
21
2014-04-22
4. Sannolikhetslära
4.1 Teori
Sannolikhetslära definieras som: ”Läran om modeller av slumpmässiga försök och om hur
modellerna används”. Denna lära är en yngre del av matematiken vars historia har sin början
på 1500-talet. Pierre de Fermat var en av de första som skrev arbeten om denna del av
matematiken, detta gjorde han på mitten av 1600-talet. Sannolikhetslärans fader och dess
grundläggare brukar annars anses vara Pierre Simon de Laplace, men denne man var verksam
under de senare delarna av 1700-talet, alltså betydligt senare än bland annat Fermat.20
Detta område av matematiken är en del som används frekvent i vardagen. Spel som poker,
vadslagning och lotteri är exempel då denna lära nyttjas. Det är viktigt för människor att lära
sig grunderna inom sannolikhetslära för att kunna inse vilka risker det finns med spel, och se
till att de inte förlorar pengar på grund av okunnighet. Sannolikhetslära är därför en viktig del
inom skolmatematiken, och det är bland annat därför den lärs ut. Vad elever ska känna till och
räkna på inom sannolikhetslära i högstadiet, enligt Skolverket, är följande:
•
Likformig sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikheten i vardagliga
situationer.
•
Hur kombinatoriska principer kan användas i enkla vardagliga och matematiska
problem.
•
Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva
resultat av egna och andras undersökningar, till exempel med hjälp av digitala verktyg.
Hur lägesmått och spridningsmått kan användas för bedömning av resultat vid
statistiska undersökningar.
•
Bedömningar av risker och chanser utifrån statistiskt material.21
4.2 Uppgifter och målsättning
Målsättningen med sannolikhetsläran var att få en uppfattning om hur bra svenska
högstadieelever är på att räkna med sannolikheter och hur bra deras tankesätt och intuitiva
förmåga är. Våra uppgifter byggde på vardagliga problem, och det krävdes endast simpla
metoder för att lösa dessa. En kort beskrivning av vad som krävdes med våra uppgifter och
målet med dessa finns här nedan.
20
21
NCM, Statistik och sannolikhet, s. 193.
Skolverket, Kursplan Matematik
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
22
2014-04-22
Under den inledande lektionen testades elevernas tankegång inom sannolikhetslära, då den
uppgift som gavs inte krävde några förkunskaper, se figur 10 på nästa sida. Målet med denna
uppgift var att testa elevernas analysförmåga, uppgiften är begränsad och därför enkel att
genomföra en analys på. Sannolikhetsuppgiften på den efterföljande lektionen krävde inte
heller några förkunskaper, denna var en annan version av en uppgift tagen från kvalet i
matematiktävlingen Pythagoras Quest 2011. Målsättningen för denna uppgift var att eleverna
skulle kunna undersöka olika möjligheter, detta var ganska enkelt då problemet var av en
begränsad karaktär. Den sista lektionen handlade om sannolikhetslära och innan uppgiftbladet
gavs till eleverna testades eleverna på kombinatorik, lik den som lärs ut i Matematik 5 i
gymnasiet, fast i enklare form. Uppgiften på uppgiftsbladet var därefter enkel och handlade
mest om logisk tankegång, eleverna förväntades inte ha stora svårigheter med denna uppgift.
Denna uppgift var en mycket förenklad version av en uppgift tagen ur distriktsfinalen i
Pythagoras Quest 2011. Samtliga uppgifter i fråga kan ses i Appendix i bilagorna 2, 3, 5
respektive 6.
4.3 Resultat
Inom området sannolikhetslära blev resultaten inte så varierande. Eleverna hade stora problem
att tolka vissa uppgifter, de blandade ihop begreppen ”av varje färg” och ”av en färg”. Deras
analysförmåga är inte alltid optimal, till exempel när de genomförde sannolikhetsläran på
lektion två var det enkelt att kontrollera om deras svar var korrekt, men detta gjordes inte av
de flesta. Deras tankesätt är däremot väldigt bra, bara de förstår uppgiften går det inom detta
område bra. Detta visade sig bäst i uppgiften som vi hade på den inledande lektionen. Då de
kom till gymnasiekombinatoriken var de för fokuserade på fakulteter då detta hade gåtts
igenom tidigare samma lektion, den första uppgiften då fakulteter inte skulle användas var
därför extremt svår för dem. Det märktes att då fakultetsbegreppet förklarades i samband med
tillämpningar var det enklare för eleverna att använda det, om inte detta gjordes var det
mycket svårt för dem.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
23
2014-04-22
4.4 Diskussion
Det kanske mest intressanta var att se hur svårt eleverna hade för konsekutiva uppgifter inom
sannolikhetslära som skulle lösas på olika sätt. Detta beror antagligen på hur skolmatematiken
är konstruerad. Matteböckerna i skolan är uppbyggda på så sätt att konsekutiva problem löses
med samma metod flera gånger om, därför behöver eleverna i skolmatematiken inte tänka till
så mycket, de kan använda precis samma metod som de gjorde på den föregående uppgiften.
Om två olika uppgifter är olika men formulerade på samma sätt får därför eleverna mycket
stora problem med att lösa dessa, det märktes tydligt. Som nämndes i resultatet hade eleverna
mycket svårt att applicera fakulteter direkt på verkliga problem. Då förklaringar hade getts i
samband med begreppet hade eleverna det betydligt enklare att använda fakulteter på de
uppgifter som gavs. Detta tyder på att det är svårt att applicera nyvunnen kunskap på nya
problem, vilket skulle kunna anses vara ren problemlösning.
Något som också var intressant var deras feltolkningar i vissa uppgifter. Det är inte ofta
eleverna tolkar uppgiften korrekt första gången de läser den, detta var förvånande.
Läsförståelse är enligt den senaste PISA-undersökningen, som beskrevs tidigare i arbetet, (se
bakgrund s.7), något som svenska skolelever har stora
problem med, och detta märkte vi av på våra lektioner.
Lektion 1: Uppgift 3 (Sannolikhetslära)
däremot kan saker som okoncentration eller oförståelse av
I en påse finns röda, gula och gröna
kulor. Det finns 10 kulor av varje färg,
de är blandade.
a) Hur många kulor måste man ta utan
att titta om man ska vara säker på att
man får tre kulor av samma färg?
Förklara!
b) Hur många kulor måste man ta utan
att titta om man ska vara säker på att få
tre gula kulor? Förklara!
matematiken i sig även vara bidragande faktorer. Feltolkning
Figur 10. Se bilaga 2 i Appendix.
Läsförståelse är något mycket viktigt och om inte elever kan
förstå vad de läser går detta ut över samtliga ämnen, och
detta tyckte vi oss märka av. Det är inte så att kopplingen
mellan matematik och läsförståelse är helt trivial, men detta
är definitivt en av anledningarna till feltolkningarna i fråga,
av uppgiften, som kan ses i figur 10, var att de misstog auppgiften för b-uppgiften, de trodde alltså att de skulle behöva tre kulor av varje färg istället
för av endast en färg. Vi fick av den anledningen ofta höra svaret ”23” omgående då uppgiften
hade lästs, de löste alltså b-uppgiften på ett galant sätt, men problemet var att det just då var
a-uppgiften som skulle lösas. Just med uppgiften i fråga hade de ofta ett mycket framgångsrikt
tankesätt, när de väl förstått uppgiften. Detta imponerade på oss då denna uppgift inte krävde
så mycket matematikkunskaper i sig, utan just en analysförmåga och ett logiskt tankesätt.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
24
2014-04-22
5. Problemlösning
5.1 Teori
Varje människa kommer under sin levnadstid att ha nytta för problemlösning.
Matematikuppgifter inom problemlösningsområdet kan ofta konstrueras så att det blir lättare
för en vanlig person att relatera till. Det krävs ofta inte så mycket matematik i sig för att lösa
dessa typer av problem, det gäller att tänka på rätt sätt och det handlar ofta om att skapa en
egen metod som fungerar för att lösa uppgiften. Begreppet ”kreativitet” är något som är
vanligt inom detta område och många uppgifter kräver just kreativitet för att lösas.
Problemlösning finns inom alla områden i matematiken, men för att kunna lösa vissa problem
behövs bland annat verktyg som exempelvis algebra. Vad högstadieelever skall kunna inom
problemlösning enligt Skolverkets kursplan är det som följer nedan.
•
Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden
samt värdering av valda strategier och metoder.
•
Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika
ämnesområden.
•
Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.22
5.2 Uppgifter och målsättning
De renodlade problemlösningsuppgifterna var totalt endast tre stycken. För att få eleverna att
tycka problemen var mer intressanta satte vi in dem i vardagliga sammanhang och försökte
konstruera roliga problemtexter. Speciellt en uppgift var mycket uppskattad, och som roade
eleverna handlade om Zlatans resa till och från kebabstället.
Under den inledande lektionen hade vi en uppgift som inte krävde mer matematisk kunskap
än addition, målet med denna var att se vilken nivå elevernas kreativitet har. Den andra
lektionens uppgift var däremot ett försök att lura eleverna lite, här gällde det att inte gå i fällan
och försöka ta den snabbaste vägen. Uppgiften på den sista lektionen var däremot svår, vi
trodde att de flesta grupperna skulle ha problem med denna. I uppgiften gällde det att se enkla
vägar och samband, målet med uppgiften var att se hur bra eleverna var på att göra just detta.
Samtliga uppgifter i fråga kan ses i Appendix i bilaga 2, 4 respektive 6.
22
Skolverket, Kursplan Matematik
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
25
2014-04-22
5.3 Resultat
Resultaten var väldigt varierande från uppgift till uppgift, men alla grupper hade problem med
ungefär samma saker. Var uppgift för sig krävde generellt ungefär lika mycket tid och
ledtrådar för eleverna. Rätt metod hittade eleverna själva i två av tre fall. När de inte kan hitta
en metod som fungerar, tänker de ofta kreativt för att hitta nya sätt att lösa problemen på,
ibland lite väl abstrakta sådana. De gick inte på de utplacerade fällorna som skulle verka vara
logiskt korrekta, i flesta fall verkade inte ens eleverna ha en tanke på de falska genvägar som
fanns. Exemplet ifråga är att om en person går
sträcka och
, då
under den första halvan av en specifik
under den andra halvan, skulle det kunna tänkas att medelhastigheten är
är medelvärdet av
och . En av uppgifterna visade sig vara en bit över
deras nivå, en del elever förstod inte hur uppgiften skulle lösas, inte ens med diverse ledtrådar
och förklaringar. Några av dessa förstod inte ens själva lösningen, det huvudsakliga problemet
för dessa elever var att de hade mycket svårt för tanken att addera och subtrahera hastigheter
från varandra.
5.4 Diskussion
Ett av de mest intressant fenomenen, då eleverna löste
uppgifter, var deras kreativa förmåga i form av att hitta
andra sätt att lösa uppgiften på. Uppgiften där de flesta
resonemang kring detta gjordes ses i figur 11. När
Lektion 1: Uppgift 4 (Problemlösning)
Du har två kannor, en som rymmer exakt
3 liter och en rymmer exakt 5 liter. Du
har även obegränsad tillgång till vatten.
Kan du med hjälp av detta skapa exakt 4
liter vatten?
Figur 11. Bilaga 2 i Appendix.
eleverna inte hade hittat en fungerande metod kom de
med förslag som exempelvis att då två liter hade skapats skulle denna mängd hällas i en
extern behållare. Detta kan anses dumt då det är ganska uppenbart att en sådan behållare inte
existerar i denna uppgift. Vi anser ändå att det är positivt att de tänker kreativt, dock kan det
ibland gå till överdrift, då vissa idéer inte fungerar utifrån de förutsättningar som gavs i
uppgiften. Senare i verkliga livet finns det ofta fler tillgångar än vad som ges i våra uppgifter,
därför kan kanske problem som dessa lösas på deras sätt i det verkliga livet. Annars fick de i
många fall tänka några minuter innan de kom på en korrekt lösning. I vissa fall krävdes
ledtrådar, men vi vill poängtera att detta inte utesluter att eleverna hade löst uppgiften med lite
längre betänketid.
En sak som förvånade oss var att eleverna klarade en uppgift utan att tänka på ett sätt som
skulle kunna vara logiskt korrekt, som nämndes i resultatet. Eleverna verkade inte ens
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
26
2014-04-22
medvetna om detta tankesätt vilket är i detta fall var positivt, men i många andra kan vara
negativt. Detta skulle vi anse vara negativt då det som matematikstuderande är viktigt att ha
ett tänkesätt som utesluter långa lösningar och diverse omvägar i en lösning.
En uppgift var som sagt mycket svårare än förväntat. Flera
personer förstod sig inte ens på lösningen fastän denna var
relativt simpel. Uppgiften i sig, se figur 12, krävde inte mer
än enkel addition, subtraktion och multiplikation, vilket alla
kan, men att applicera dessa verktyg på denna uppgift var
inte helt enkelt. En enkel lösning bygger på att anta deras
gemensamma hastighet är , och därifrån inse att tysken har
en resulterande hastighet ⁄ och vidare inse att rulltrappans
Lektion 3: Uppgift 4 (Problemlösning)
En ryss, en tysk och Bellman är i
Shanghai (100 våningar) och åker
rulltrappa. När rulltrappan är avstängd
går ryssen upp för den på 1 minut. När
rulltrappan går på ”fel” håll, går
tysken upp för den på 2 minuter. Hur
lång tid tar det för Bellman att gå upp
för rulltrappan när den är igång åt
”rätt” håll? (Förutsatt att alla går lika
fort)
Figur 12. Se bilaga 6 i Appendix.
hastighet är differensen mellan dessa. En liknande och
godtagbar lösning lyckades endast en person att genomföra på egen hand. Det var inte heller
ovanligt att eleverna ville anta att sträckan hade ett visst värde. Men detta antagande
resulterade ofta inte i en lösning, men i många fall förenklade det förståelsen av problemet
avsevärt.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
27
2014-04-22
6. Elevomdömen och elevernas intresse för matematik
Eleverna hade en positiv inställning till problemen och det märktes att de försökte sitt yttersta,
detta var väldigt glädjande då vi agerade lärare. I slutet av varje lektion gav vi eleverna frågor
om vad de tyckte om kursen i helhet, vad de tyckte var lättast respektive svårast och om de
skulle vilja lära sig mer om problemlösning i skolan. Frågorna innefattade även om deras
intresse för matematik skulle öka om de skulle få möjlighet att medverka på
problemlösningslektioner som våra, mer frekvent. Omdömena och kommentarerna vi fick var
för oss väldigt glädjande, men för skolmatematiken var vissa mycket oroande. Ett exempel på
detta var en elev som ordagrant skrev: ”Mycket unikt och väldigt intressant, och jag lärde mig
mer om matte på en lektion än vad jag lärt mig på en månad”. För många elever är
matematiken i skolan inte speciellt utmanande, och om de kunde haft mer individanpassad
inlärning är vi säkra på att nivån för den svenska skolmatematiken skulle stiga. Viljan hos
eleverna finns där, de visade som sagt väldigt bra inställning på lektionerna, men det är
utmaningarna i skolan som saknas.
I slutet av den sista lektionen ställde vi frågan: ”Skulle du vilja lära dig mer om
problemlösning i skolan?”, samtliga elever svarade ja på denna fråga, detta var tjugo av tjugo
möjliga. Frågan därefter behandlade om elevernas intresse för matematik skulle öka om de
fick hålla på mer med problemlösning, här svarade
ja eller jag tror det, och de
resterande svarade kanske. Med denna statistik i åtanke går det att ifrågasätta hur den svenska
skolmatematiken är upplagd, för de bästa eleverna är matematiken i skolan väldigt enkel och
för att utvecklas skulle de behöva nya utmaningar.
Med resultatet vi erhållt i åtanke
Elevomdömen (avslutande
lektion)
är det lätt att fråga sig varför
matematikuppgifter på en lite
svårare nivå, ett svar till detta kan
ligga i de elevomdömen vi fått (se
figur 13). I kommentarerna fick
vi ofta läsa ”Betyg 8: Ibland blev
Kvantitet (Antal elever)
elever inte får
det en aning svårt men oftast var
det lagom.”, detta skulle kunna
bero på att svenska elever inte vill sätta
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Elevomdöme (1-10)
Figur 13. Elevomdömen från den avslutande lektionen på
kursen i helhet (1 är dåligt, 10 är mycket bra).
9
10
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
28
2014-04-22
tänderna i svåra uppgifter, vilket är ett måste för att utveckla sin matematik. Det är däremot
viktigt att understryka att inte mer än fem elever skrev så.
På de inledande två lektionerna fick vi ungefär liknande omdömen som i figur 13. De flesta
kommentarerna löd ungefärligt: ”Intressanta och roliga uppgifter”, och medelbetyget totalt
blev 8,65. Även vi som lärare fick komplimanger av eleverna, exempelvis erhölls denna
kommentar efter den första lektionen på Svaneskolan: ”Mycket intressant. Jag fattade lite
långsamt så det var över min nivå. Jag förstod efter förklaringar av ledaren. (Betyg 10)”.
Eleverna gjorde vår undersökning mycket lärorik, men även väldigt rolig.
Efter den tredje lektionen bad vi eleverna att bedöma vad de tyckte var lättast respektive
svårast. Alla elever besvarade inte enkäten, några svarade allt och några inget på vad som var
lättast och svårast (se tabell 1).
Algebra
Geometri
Sannolikhetslära
Problemlösning
Resultat
Lättast
IIIIII
III
IIIIII
I
Algebra och sannolikhetslära
lättast
Svårast
IIIIIIII
I
III
IIII
Algebra svårast
Tabell 1. Vad eleverna tyckte var lättast respektive svårast efter den tredje lektionen. På Svaneskolan
genomfördes inte den tredje lektionen.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
29
2014-04-22
7. Slutsats
Problem finns för eleverna inom de matematiska områdena algebra, geometri,
sannolikhetslära och problemlösning. Ett av de största problemen var den matematiska
läsförståelsen, vilket generellt är ett stort problem inom skolan då många har svårt att tolka
och förstå uppgifter. Resultatet styrks av TIMSS 2007-undersökningen. Att detta problem
finns inom alla områden tyder på att det är ett allmänt problem som vi tror beror på brist på
disciplin i den svenska skolan.
I Sverige har eleverna en stor frihet och skolan ställer inte lika höga krav som det görs i
många andra länder. Detta medför både positiva och negativa effekter. Som positiv effekt kan
bland annat elevernas kreativitet tas upp, vilket har märkts tydligt på problemlösningsuppgifterna. Eleverna har ofta gett flera förslag på hur en uppgift kan lösas, även om inte alla
sätt är möjliga. Dock kan de behöva lite hjälp från första början med att förstå själva
uppgiften. Detta leder oss in på en negativ effekt, disciplinen. Eleverna tvingas inte själva
förstå matematikuppgifterna de ska lösa, utan gärna ber om hjälp så fort de stöter på problem.
Vi tror att eleverna behöver ”tänka till” lite mer själva och att skolan ska ge mer tid till detta. I
slutändan är det inte antalet avklarade uppgifter som är av betydelse, utan vad eleverna
faktiskt lär sig av det. Om eleverna klarar uppgiften själva efter ett tag ökar deras förståelse
och eleverna klarar av att lösa liknande uppgifter. Dessutom förbättras deras
problemlösningsförmåga. Samtidigt tror vi att det är viktigt att varje elev känner sig sedd av
läraren. Vi märkte att alla elever, mer eller mindre duktiga, ansträngde sig hårt och försökte
förstå. Detta kan bero på att vi hade möjlighet att hjälpa var och en av eleverna.
Teorin om den bristfälliga disciplinen styrks av det slarv många elever gör under uträkningar.
Problem som förekommer både i problemlösning och geometri är att de uppskattar till
exempel längder och vinklar. De gör det ibland när figurer inte är skalenliga och även om
uppgiften i sig inte kräver något uppskattande. Detta tyder på att elever undviker att räkna
med variabler. Dock verkade eleverna inom geometrin ha enkelt för variabler i sammanhang
då variablerna redan var utmarkerade. Räknefel som högstadieeleverna gjorde påverkar alla
områden vilket är logiskt då en viss grund av algebra finns i majoriteten av uppgifterna.
Förståelse av formler skiljer sig väldigt mellan högstadieeleverna. Formler för cirkelns,
triangelns och rektangelns area verkar lättare för majoriteten än den svårare, Pythagoras sats.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
30
2014-04-22
En riktig förståelse existerar dock inte då en stor del elever endast kan räkna med formler med
specifik känd kunskap, ett exempel som gav innan är den för arean för en cirkel. Anledning
till detta beror troligen på att i formelns beskrivs arean av radien och inte tvärtom.
Användning av Pythagoras sats anses troligen svårare på grund av den matematiska
terminologin kräver mer av eleverna, vilket är märkbart då de är osäkra på hypotenusa och
katet. En stor del av eleverna tycker även att svårighetsgraden på vad som beräknas beror
vilken av sidorna som är okänd. Då eleverna endast kan utnyttja formler på det sätt som
formeln är given tyder det på att eleverna inte har fått en fullständig förståelse. Brist på
förståelse är högst märkbart i sannolikhetsläran då elever ofta inte förstår varför antalet
kombinationer kan beskrivas via till exempel ett tal i fakultet utan använder det endast på
grund av att de vet att det är så det beräknas.
Elevernas åsikter om vad som är svårast respektive enklast var väldigt varierande, som tydligt
kan uthämtas ur tabell 1 i avsnittet Elevomdöme och elevernas intresse för matematik.
Algebra var mest anmärkningsvärt då de ansåg att det var både lättast, tillsammans med
sannolikhetslära, och svårast. Det tyder på att de tidigare kunskaper högstadieeleverna har och
har haft både i skolan och på fritiden troligen har stor påverkan beträffande deras attityd till
ämnet. Geometri och sannolikhetslära ansågs lättare av eleverna medan problemlösning
ansågs svårare. För geometri- och sannolikhetuppgifterna är troligen mindre abstrakta än
algebrauppgifterna samt mer logiska och vardagliga, vilket leder till att högstadieeleverna har
enklare att förstå problemen i fråga. Vi tror att många tyckte problemlösningen var svår
eftersom att problemens lösningsmetod kan variera mycket från problem till problem, detta
kan leda till en viss osäkerhet. Resultatet förvånade oss eftersom att algebra var det som
eleverna hade absolut mest problem med. En möjlighet är att eleverna inte riktigt förstod vad
vi menade med ordet algebra. De kan ha tolkat algebra som enbart räknande (aritmetik) och
kan därmed vara en anledning till varför eleverna satte algebra som det lättaste.
Utvecklingen från lektion till lektion har varit väldigt tydlig, på grund av den begränsade tiden
var det dock inte möjligt genomföra undersökningen under en längre tid, utan endast under en
kortare tidsperiod. På en lektion med fokus på ett specifikt ämne utvecklades elever otroligt
snabbt och kunde i slutet av lektionerna använda de flesta av de regler, formler och satser de
lärt sig under lektionerna. Däremot var detta inte fallet i början av lektionerna då elever hade
svårt att använda den nyfunna kunskapen på rätt sätt. Ofta innebar det ofta två extremfall där
elever antingen inte använde kunskapen de fått på grund av brist på förståelse eller istället
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
31
2014-04-22
använde det konstant även vid uppgifter som inte var kompatibla med det de lärt sig vilket
även tyder på brist på förståelse. Fakultet var ett exempel och det användes av de flesta i
kombinatorikuppgifterna som inte behövde det. Vid genomgång klarade oftast eleverna
uppgifterna vilket troligen tyder på att elever behöver ett flertal genomgångar för att verkligen
förstå sig på och ta till sig ny kunskap. Det som precis nämndes kan till viss del bero på att
elevernas inlärningskapacitet inte är speciellt utvecklad på grund av brist på disciplin i den
svenska skolan.
Under de lektioner som ämnet inte var i fokus existerade ingen större utveckling. Även om ett
stort intresse fanns från många elever tyder det på att en viss brist på disciplin existerar som vi
har berättat innan och att elever har svårt för att faktiskt försöka sig på problem även om de
endast verkar lite svåra. Uppgifter där informationen verkar knapp försöker elever ofta tänka
lite väl mycket utanför ramarna och istället ”fuska” fram nya möjligheter då de inte tror
uppgiften är möjlig att genomföra annars. Detta kan vara ett argument till varför
problemlösning anses som svårt då det krävs en längre tid att förstå sig på problemen i fråga,
vilket högstadieelever inte alltid ”orkar” eller tror att de kan.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
32
2014-04-22
8. Källförteckning
Skriftliga källor
Bergius, Berit et al. 2011. Matematik – ett grundämne. Göteborg: Göteborgs Universitet
NCM.
Nordisk Familjebok. 1904. FÖRSTA BANDET A-ARMATI. Stockholm: Iduns Kungl.
Hofboktryckeri. Uppslagsord: Algebra.
Persson Per-Eskil. 2010. Räkna med bokstäver!. Luleå, Universitetstryckeriet.
Elektroniska källor
Nationalencyklopedin Algebra
http://www.ne.se/lang/algebra
Nationalencyklopedin. Roos, Jan-Erik. Sökord: Algebra. Hämtdatum: 2014-04-05.
Nationalencyklopedin Geometri
http://www.ne.se/lang/geometri
Nationalencyklopedin. Erlandsson, Thomas. Sökord: geometri. Hämtdatum: 2014-04-09.
Nationalencyklopedin Matematik
http://www.ne.se/lang/matematik
Nationalencyklopedin. Roos, Jan-Erik. Sökord: Matematik. Hämtdatum: 2014-04-05.
PISA 2012
http://www.skolverket.se/publikationer?id=3127
Skolverket. 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och naturvetenskap. PISA
(Programme for International Student Assessment) 2012. Sammanfattning av rapport 398,
2013. Hämtdatum: 2014-04-22
Skolverket Kursplan
http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/grundskoleutbildning/grundskola/matematik
Skolverket. Kursplan matematik. Hämtdatum: 2014-04-13.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
33
TIMSS 2007 (publicerad 2008)
http://www.skolverket.se/publikationer?id=2126
Skolverket. Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS(Trends in International
Mathematics and Science Study) 2007. Analysrapport till rapport 323, 2008.
Hämtdatum: 2014-04-21.
TIMSS 2007 (publicerad 2010)
http://www.skolverket.se/publikationer?id=2306
Skolverket. Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS(Trends in International
Mathematics and Science Study) 2007. Analysrapport till rapport 323, 2010.
Hämtdatum: 2014-04-14.
2014-04-22
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
I
9. Appendix
Bilaga 1.
Övningsuppgifter algebra (28/2 – 2014)
Förenkla så långt som möjligt:
√ √
√
√
√
√
√
√
(√
√ )
(√
√ )
√
√ √
√
√
√
√
(
√
√
√
√
)
2014-04-22
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
II
2014-04-22
Bilaga 2.
Uppgiftsblad 1
1. (Algebra) Förenkla bråket. Förklara!
√
√
√
√
√
2. (Geometri)
Vad är triangelns omkrets? Förklara!
3. (Sannolikhetslära) I en påse finns röda, gula och gröna kulor. Det finns 10
kulor av varje färg, de är blandade.
a) Hur många kulor måste man ta utan att titta om man ska vara säker på
att man får tre kulor av samma färg? Förklara!
b) Hur många kulor måste man ta utan att titta om man ska vara säker på
att få tre gula kulor? Förklara!
4. (Problemlösning) Du har två kannor, en som rymmer exakt 3 liter och
en rymmer exakt 5 liter. Du har även obegränsad
tillgång till vatten.
Kan du med hjälp av detta skapa exakt 4 liter
3
vatten?
5
Omdöme:
Från 1-10, där 1 är dåligt och 10 mycket bra, kryssa i din åsikt om problemlösningskursen.
1
2
Varför? Motivera!
3
4
5
6
7
8
9
10
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
III
2014-04-22
Bilaga 3.
Övningsuppgifter geometri
1. a) Cirkelns area är
kvadratcentimeter. Vilken är cirkelns radie?
b) Hypotenusan respektive ena kateten på en rätvinklig triangel är 5 centimeter respektive 4
centimeter. Vilken längd har den andra kateten?
2. Vi har två likadana cirklar med radien r i en större cirkel där de två mindre cirklarna både
tangerar varandra och den större cirkeln.
a) Radien r är en centimeter. Hur stor är arean av den skuggade delen av den större cirkeln?
b) Hur stor andel av cirkelns är skuggad?
3. Vilken är den okända vinkeln x?
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
IV
2014-04-22
4. Vi har en cirkel med radien r inuti en kvadrat som tangerar varandra i fyra punkter.
a) Radien r är en centimeter. Hur stor andel av kvadraten är skuggad?
b) Hur stor andel av kvadraten är skuggad?
5. Vad är formens omkrets?
Vilken är den okända vinkeln x? (Svår)
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
V
2014-04-22
Bilaga 4.
Uppgiftsblad 2
√
√
√
√
√
√
√
√
2. (Geometri) En cirkel är ritad inuti en kvadrat, som i sin tur är ritad inuti en större cirkel. Vad är den
stora cirkelns area om den lilla cirkelns area är 4π cm2? (Se figur)
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
VI
2014-04-22
3.(Sannolikhetslära) I en påse finns kulor i fem olika färger. Om man slumpmässigt tar ut 11 kulor från
påsen finns en chans att man får 5 av en färg och 6 av en annan färg. Det finns lika många av varje
färg förutom blåa som det finns två mer av än av de andra färgerna. Hur många kulor finns minst i
påsen?
4. (Problemlösning) Zlatan går hemifrån till kebabstället. Det är 60 meter dit och 60 meter tillbaka. På
vägen dit går han i 3 m/s och när han ätit en X-stor kebabrulle har han energi att gå i 6 m/s. Vilken är
Zlatans medelhastighet under resan? (vi räknar inte med tiden då han köper och äter kebaben)
Var lektionen idag roligare än förra veckans lektion?
Ja ⃝
Nej ⃝
Lärde du dig mer idag än förra veckan?
Ja ⃝
Nej ⃝
Kommentarer:
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
VII
2014-04-22
Bilaga 5.
Övningsuppgifter sannolikhetslära
Beräkna:
1)
2) √
3)
!
4) På hur många sätt kan en fyrsiffrig kod bildas om bara siffrorna 1 till 4 får användas och exakt
en gång var?
5) På hur många sätt kan en tresiffrig kod bildas om bara siffrorna 1 till 3 får användas?
6) På en restaurang finns 3 olika förrätter, 7 olika huvudrätter och 4 olika efterrätter, på hur
många sätt kan man välja en hel middag (förrätt, huvudrätt och efterrätt)?
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
VIII
2014-04-22
Bilaga 6.
Uppgiftsblad 3
√√
√
√
√
√
2. (Geometri) Två trianglar med en gemensam
sida h bildar en större triangel. Vilken area har
den större triangeln, som är skapade av de två
mindre?
h = 2 Räkna ut arean!
3. (Sannolikhetslära) Du har fyra kulor, två svarta och två vita. Du ska välja en påse och dra en av
kulorna slumpmässigt. Hur ska kulorna placeras för att sannolikheten att dra en vit kula ska bli så stor
som möjligt?
4. (Problemlösning) En ryss, en tysk och Bellman är i Shanghai
(100 våningar) och åker rulltrappa. När rulltrappan är avstängd
går ryssen upp för den på 1 minut. När rulltrappan går på ”fel”
håll, går tysken upp för den på 2 minuter. Hur lång tid tar det för
Bellman att gå upp för rulltrappan när den är igång åt ”rätt”
håll?
Tycker du att du har lärt dig något under problemlösningskursen?
Ja ⃝
Nej ⃝
Vad hade du lättast respektive svårast för under kursens gång?
Skulle du vilja lära dig mer om problemlösning i skolan?
Skulle ditt intresse för matematik öka om du fick hålla på mer med problemlösning i skolan?
Från 1-10, där 1 är dåligt och 10 mycket bra, skriv din åsikt om problemlösningskursen i sin helhet
och skriv gärna kommentarer.
Erik Linnér, Eskil Jarlskog, Ylva Wahlquist
Bilaga 7.
IX
2014-04-22