Transcript Vad är KAOS ? - Matematikcentrum
Vad är KAOS ? – p.1/15
Vad är KAOS ?
Mario Natiello Matematikcentrum (LTH) Lunds Universitet
•
Innehåll
• •
Innehåll
Innehåll
• • •
Innehåll
• • • •
Exempel 2: Planeternas rörelse
Innehåll
• • • •
Exempel 2: Planeternas rörelse
•
Innehåll
• • • •
Exempel 2: Planeternas rörelse
• •
Exempel 4: Den Logistiska avbildningen
Innehåll
• • • •
Exempel 2: Planeternas rörelse
• •
Exempel 4: Den Logistiska avbildningen
•
Innehåll
• • • •
Exempel 2: Planeternas rörelse
• •
Exempel 4: Den Logistiska avbildningen
•
Vad är KAOS ? – p.2/15
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen)
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
• Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70.
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
• • Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70.
Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984).
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
• • Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70.
Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984).
• Wikipedia har många poster med rubriken “chaos”.
Intro
• Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
• • Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70.
Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984).
• Wikipedia har många poster med rubriken “chaos”.
Vad är KAOS ? – p.3/15
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
• Differentialekvationer (exempel här )
d
2
x
+ ω 2
x
= 0
dt
2
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
• Differentialekvationer (exempel här )
d
2
x
+ ω 2
x
= 0
dt
2 • Differensekvationer (exempel Burbank) här , applet från Andy
x n
+ 1 = λ
x n
(1 −
x n
)
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
• Differentialekvationer (exempel här )
d
2
x
+ ω 2
x
= 0
dt
2 • • Differensekvationer (exempel Burbank) här , applet från Andy
x n
+ 1 = λ
x n
(1 −
x n
) Startpunkt (begynnelsevillkor)
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
• Differentialekvationer (exempel här )
d
2
x
+ ω 2
x
= 0
dt
2 • • • Differensekvationer (exempel Burbank) här , applet från Andy
x n
+ 1 = λ
x n
(1 −
x n
) Startpunkt (begynnelsevillkor) Parametrar (ex: ω , λ )
Dynamik I
• Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
• Differentialekvationer (exempel här )
d
2
x
+ ω 2
x
= 0
dt
2 • • • Differensekvationer (exempel Burbank) här , applet från Andy
x n
+ 1 = λ
x n
(1 −
x n
) Startpunkt (begynnelsevillkor) Parametrar (ex: ω , λ )
Vad är KAOS ? – p.4/15
Exempel 1: Svängningar
• Fullständigt regelbunden rörelse.
Exempel 1: Svängningar
• Fullständigt regelbunden rörelse.
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 −0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 0 5 10 15 20 25 30 35
Exempel 1: Svängningar
• Fullständigt regelbunden rörelse.
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 −0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 0 5 10 15 20 25 30 35 • Frekvens (Fas)
Exempel 1: Svängningar
• Fullständigt regelbunden rörelse.
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 −0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 0 5 10 15 20 25 30 35 • • Frekvens (Fas) Stryktåligt system men... kolla här
Exempel 1: Svängningar
• Fullständigt regelbunden rörelse.
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 −0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 0 5 10 15 20 25 30 35 • • Frekvens (Fas) Stryktåligt system men... kolla här
Vad är KAOS ? – p.5/15
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet • Energi (Fas)
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet • Energi (Fas) • Rörelsemängd (rotationstakten)
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet • Energi (Fas) • • Rörelsemängd (rotationstakten) Nästan lika stryktålig (jfr satellit & komet)
Exempel 2: Planeternas rörelse
• Ganska regelbundet • Energi (Fas) • • Rörelsemängd (rotationstakten) Nästan lika stryktålig (jfr satellit & komet)
Vad är KAOS ? – p.6/15
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system • Temperatur, vind, mm
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system • • Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system • • • Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer Mycket känsliga för små avvikelser
Exempel 3: Vädret
• Ett tämligen komplicerat system • • • Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer Mycket känsliga för små avvikelser
Vad är KAOS ? – p.7/15
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American 1980-81 1 0.8
x 0.6
0.4
0.2
• 0 2.6
2.8
3 3.2
lambda 3.4
3.6
3.8
4
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American 1980-81 1 0.8
x 0.6
0.4
0.2
0 2.6
2.8
3 3.2
lambda 3.4
3.6
3.8
4 • • Utfall efter lång tid vs parameter λ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American 1980-81 1 0.8
x 0.6
0.4
0.2
0 2.6
2.8
3 3.2
lambda 3.4
3.6
3.8
4 • • • Utfall efter lång tid vs parameter λ Regelbundet för liten λ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American 1980-81 1 0.8
x 0.6
0.4
0.2
0 2.6
2.8
3 3.2
lambda 3.4
3.6
3.8
4 • • • Utfall efter lång tid vs parameter λ Regelbundet för liten λ • Icke-regelbundet för större λ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen
• “Populariserad” av Scientific American 1980-81 1 0.8
x 0.6
0.4
0.2
0 2.6
2.8
3 3.2
lambda 3.4
3.6
3.8
4 • • • Utfall efter lång tid vs parameter λ Regelbundet för liten λ • Icke-regelbundet för större λ
Vad är KAOS ? – p.8/15
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
• Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
• • Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet.
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
• • Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet.
• Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor).
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
• • Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet.
• • Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor).
Notera: Kaos bör inte blandas ihop med slumpartade processer , vilka är förvirrande och oförutsägbara, men inte av samma skäl.
Vad är kaos
• Återkommande, ej regelbundet förlopp.
• • Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet.
• • Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor).
Notera: Kaos bör inte blandas ihop med slumpartade processer , vilka är förvirrande och oförutsägbara, men inte av samma skäl.
Vidare Vad är KAOS ? – p.9/15
Varför studerar man kaos?
• Förstå när och varför det inträffar
Varför studerar man kaos?
• • Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen
Varför studerar man kaos?
• • • Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa
inom komplicerade system
Varför studerar man kaos?
• • • Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa
inom komplicerade system • Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna
Varför studerar man kaos?
• • • Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa
inom komplicerade system • • Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna Lära var gränserna för vår kunskap går
Varför studerar man kaos?
• • • Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa
inom komplicerade system • • Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna Lära var gränserna för vår kunskap går
Vad är KAOS ? – p.10/15
Regelbundna Mönster: I Fraktaler
• Självlikformighet Vad är KAOS ? – p.11/15
Regelbundna Mönster: I Fraktaler
• Självlikformighet Vad är KAOS ? – p.11/15
Regelbundna Mönster: I Fraktaler
• Självlikformighet • Inbyggd i systemet (“fingeravtryck”) Vad är KAOS ? – p.11/15
Regelbundna Mönster: I Fraktaler
• Självlikformighet • • Inbyggd i systemet (“fingeravtryck”) Användningsområde: Fractal Image Compression (utnyttjar Barnsleys collage theorem)).
Vad är KAOS ? – p.11/15
Regelbundna Mönster: I Fraktaler
• Självlikformighet • • • Inbyggd i systemet (“fingeravtryck”) Användningsområde: Fractal Image Compression (utnyttjar Barnsleys collage theorem)).
Ex: ormbunke , lönnblad , bildbibliotek (se www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/node46.html
) Vad är KAOS ? – p.11/15
Regelbundna Mönster II
• Hur förenas kaos med reproducerbarhet ?
Regelbundna Mönster II
• Hur förenas kaos med reproducerbarhet ?
• Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm.
Regelbundna Mönster II
• Hur förenas kaos med reproducerbarhet ?
• • Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm.
För 3 -d system: Klassificering av
Regelbundna Mönster II
• Hur förenas kaos med reproducerbarhet ?
• • • Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm.
För 3 -d system: Klassificering av
Kan användas till validering, kan skilja åt kaos/icke kaos, osv
Regelbundna Mönster II
• Hur förenas kaos med reproducerbarhet ?
• • • Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm.
För 3 -d system: Klassificering av
Kan användas till validering, kan skilja åt kaos/icke kaos, osv
Vad är KAOS ? – p.12/15
Underliggande periodiska mönster
0.6
0.4
0.2
0 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.2
0.4
0.6
0.8
X_1 1 "a.txt" u 2:3 1.2
1.4
1.6
X_2 0.2
0.4
0.6
0.8
X_1 1 1.2
1.4
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 -1.2
-1.4
1.6
-1.6
1.6
1.4
1.2
1 0.8
0.6
0.4
0.2
Vad är KAOS ? – p.13/15 Kaotiskt Ej kaotisk
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå • En del drag kan fås med datorbilder
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå • • En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå • • En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar • Vad lär man sig av det hela?
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå • • En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar • Vad lär man sig av det hela?
Problemen i naturen bestämmer sin egen gång. Vi kan inte styra de enbart efter vår vilja, utan samförstånd med problemens villkor.
Hur studerar man kaos?
• Ekvationer utan “elementär” lösning • Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok • • Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå • • En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar • Vad lär man sig av det hela?
Problemen i naturen bestämmer sin egen gång. Vi kan inte styra de enbart efter vår vilja, utan samförstånd med problemens villkor.
Vad är KAOS ? – p.14/15
Vad är KAOS ? – p.15/15