Transcript τzx γ τzx τxz τxz

Del D: Jordmekanik
Kap 9.
Spännings- och deformationstillstånd i torr jord
Kap 10. Spänningstillstånd i vattenmättad jord
Kap 11. Kompression av jord
Kap 12. Skjuvning av jord
Kap 13.
13 Brott i jord
Kap 14. Odränerad skjuvning och odränerad skjuvhållfasthet
Skjuvning
*)
Skjuvspänningen = τxz = τzx
Skjuvtöjningen = skjuvvinkeln = γ
τzx
x
z
τxz
τxz
γ
τzx
För linjärelastiskt material är τ = G γ
viktigt i geoteknik där G är materialets skjuvmodul.
eftersom skjuvning
kan orsaka
Vid olinjärt materialbeteende är dτ = G dγ
BROTT i jorden.
där G är materialets tangentskjuvmodul.
*)) Skjuvning är
1
Provning av jords skjuvegenskaper
kan i laboratorium göras med:
• Skjuvapparat
och med
• Triaxialapparat
Skjuvapparat
εa
2
Triaxialapparat
Triaxialapparat
Spänningar vid triaxialappartprovning
Triaxiellt spänningstillstånd
Spänningstillägg σ a′ , add
i axiell riktning
Hydrostatisk last
= radialspänningen σ r′
σ a′ = σ a′ , add + σ r′
τ
betecknar här max skjuvspänning. Den uppträder på
ett plan som lutar 45o.
Skjuvspänningen:
τ = σ′a ,add / 2
3
Spänningar vid triaxialapparatprovning
Triaxiellt spänningstillstånd
Spänningstillägg σ´a,add
i axiell riktning
Hydrostatisk
H
d t ti k llastt
= radialspänningen σ´r
σ′
σ′
τ
τ
τ
σ′
τ = σ′a ,add / 2
σ′ = σ′a ,add / 2 + σ′r
τ
σ′
45o
Typiska provresultat från:
Skjuvapparatprovning
Triaxialapparatprovning
Skjuvspänning, τ
Deviatorspänning, q ((=2
2τ)
τmax
qmax
Skjuvtöjning, γ
Axialtöjning, εa
4
Större partiklar ger styvare och starkare jord:
Större normalspänning ger styvare och starkare jord:
Skjuvspänning, τ
τmax
τmax
σ a′ >> 0
σ a′ > 0
Skjuvtöjning, γ
5
Sambandet mellan skjuvbrottspänningen τmax och normalspänningen σ´ för kontraktanta* friktionsjordar.
Brottskjuvspänning, τmax
Skjuvspänning, τ
σ ′ = σ ′2
τmax2
*
σ ′ = σ 1′
τmax1
*
”Coulombs
brottlag”
σ 1′
σ ′2
φ´
Skjuvtöjning, γ
τmax = σ´ tan( φ´ )
Normalspänning, σ´
φ´ kallas materialets inre friktionsvinkel
*Normalkonsoliderad (opackad) jord kontraherar vid skjuvning.
Sambandet mellan skjuvbrottspänningen τmax och normalspänningen σ´ för jordar med kohesion, bl.a dilatanta* jordar.
Brottskjuvspänning, τmax
Skjuvspänning, τ
τmax
τmax
σ ′ = σ ′2
*
σ ′ = σ 1′
*
c
Skjuvtöjning, γ
τmax = c + σ´ tan( φ´ )
φ´
”Coulombs
brottlag
med
kohesion”
σ ′2
σ 1′
Normalspänning, σ´a
c är materialets kohesion
*Överkonsoliderad (packad) jord dilaterar vid skjuvning.
6
Kontraktion och dilatation vid skjuvtöjning,
en enkel förklaringsmodel:
Konsolidering
γ=0
Kontraktion
γ>0
Dilatation*)
γ >> 0
*) Endast för överkonsoliderad (packad) jord.
Del D: Jordmekanik
Kap 9.
Spännings- och deformationstillstånd i jord (torr jord)
Kap 10. Spänningstillstånd i vattenmättad jord
Kap 11. Kompression av jord
Kap 12. Skjuvning av jord
Kap 13.
13 Brott i jord
Kap 14. Odränerad skjuvning och odränerad skjuvhållfasthet
7
Skjuvspänning,
τ
Skjuvspänning,
τ
τmax
τres
τmax
Skjuvtöjning,
γ
Skjuvtöjning,
Normalkonsoliderad jord
γ
Överkonsoliderad jord
Skjuvhållfastheten, τf , definieras oftast som den maximala
registrerade skjuvspänningen τmax vid ökande skjuvtöjning, γ.
τf
beror av effektiva normalspänningens storlek och av jordens
egenskaper.
Brott uppkommer när skjuvspänningen, τ,
uppnår skjuvhållfastheten τf.
z
Snittyta med ”farligaste”
orienteringen.
x
σz´
σn´
τ
σx´
τxy
Spänning
Spänningarna i en
”punkt”
Normalkonsoliderad (opackad) friktionsjord:
τf = σn´ tan(φ´)
Överkonsoliderad (packad) jord o kohesionsjord:
τf = c + σn´ tan(φ´)
8
Grafisk representation av brottkriterium
Jord med kohesion
och friktion:
τ
τf = c + σn´ tan(φ´)
Jord med bara friktion:
τf = σn´ tan(φ´)
φ´
φ´
c
σn´
Ej brott om | τ | < τf
Brott om
| τ | = τf
Två materialparameterar:
o
o
ƒ Inre friktionsvinkeln φ´ ≈ 25 - 45
ƒ Kohesionen c ≈ 0 – 100 kPa
o
o
Inre friktionsvinkeln φ´ ≈ 25 - 45
φ´ är låg (≈ 25 ) för löst packade ensgraderade jordar med
små runda jjordpartiklar.
p
Exempel:
p opackad
p
silt och sand.
o
φ´ är hög (≈ 45 ) för hårt packade månggraderade jordar med
stora spetsiga jordpartiklar. Exempel: hårt packad morän.
o
φ är skenbart ≈ 0 för en helt odränerad vattenmättad jord
φ´
eftersom ökad total normalspänning tas upp nästan helt av
vattnet genom ökat porvattentryck, dvs σn´ förblir konstant.
o
9
Brott uppkommer när skjuvspänningen, τ,
uppnår skjuvhållfastheten τf.
z
Snittyta med ”farligaste”
orienteringen.
x
σn
τ
Spänningarna i en
”punkt”
Hur hitta den farligaste orienteringen,
och hur beräkna τ och σn för denna
orientering?
Mohrs cirkel är ett sätt att grafiskt
redovisa spänningstillståndet i en punkt.
Används mycket inom geoteknik.
10
Mohrs cirkel visar spänningstillståndet som en
cirkel i ett σn -τ diagram. Exempel 1:
x
z
τ
σz=3.0
Punkten (σz, τxz)=(3.0, 0.75)
σx=1.0
σn
τxz=0.75
Punkten (σx, -τxz)=(1.0, -0.75)
1) Rita in de två punkterna i diagrammet!
2) Rita diagonalen!
3) Rita cirkeln!
Mohrs cirkel ger σn och τ för valfritt orienterat plan.
x
z
τ
τ
σn
α
σx=1.0
τxz=0.75
Punkten (σz, τxz)=(3.0, 0.75)
(σn,τ)
2α
σn
σz=3.0
Punkten (σx, -τxz)=(1.0, -0.75)
11
Mohrs cirkel visar spänningstillståndet som en
cirkel i ett σn -τ diagram. Exempel 2:
x
z
τ
σz = σ´a = σ´1 =3.0
(σz, τxz)=(σ´1, 0) )=(3, 0)
σx= σ´r =
σ´3 =1.0
σn
τxz=0
(σx, -τxz)= (σ´3, 0) =(1, 0)
1) Rita in de två punkterna i diagrammet!
2) Rita diagonalen!
3) Rita cirkeln!
Mohrs cirkel ger σn och τ i t.ex 45o riktning:
z
τ
x
σn
τ
45
o
σx= σ´r =
σ´3 =1.0
(σz, τxz)=(σ´1, 0 )=(3, 0)
((σn,τ))=(2.0,
( , 1.0))
o
90
τxz=0
σz= σ´a = σ
σ´1 =3.0
=3 0
σn
(σx, -τxz)= (σ´3, 0) )=(1, 0)
12
Grafisk representation av brottkriterium
Jord med kohesion
och friktion:
.
τ
τf = c + σn´ tan(φ´)
Friktionsjord:
τf = σn´ tan(φ´)
φ´
c
φ´
σn´
Ej brott om | τ | < τf
Brott om
| τ | = τf
Två materialparameterar:
ƒ Inre friktionsvinkeln φ´ ≈ 25 - 45
ƒ Kohesionen c ≈ 0 – 100 MPa
o
o
Grafisk representation av brottkriterium
Friktionsjord:
τf = σn´ tan(φ´)
τ
”M h C l b
”Mohr-Coulombs
brottkriterium”
φ´
σn´
Ej brott om | τ | < τf
Brott om
| τ | = τf
Brott när Mohrs cirkel för det aktuella
spänningstillståndet tangerar Coulombs
brottlinje.
13
Grafisk representation av brottkriterium
Friktionsjord:
τf = σn´ tan(φ´)
τ
”Mohr
Mohr-Coulombs
Coulombs
brottkriterium”
τf
2α
φ´
σ3´
σn´
τf
α
σ3´
σ1´
σn´
σ1´
σn´
Om φ´ är känd kan brottytans orientering, α,
beräknas. Och även σn och τf.
Coulombs friktionsbrottkriterium:
τf = σn´tan(φ´)
är lämpligt för normalkonsoliderad (ej packad) jord.
Typiskt är att sådan jord uppvisar kontraktion vid skjuvning.
Exempel: löst packad sand och morän, och normalkonsoliderad dränerad finjord.
Brottkriteriet med kohesion *) :
τf = c + σn´ tan(φ´)
(φ )
är lämpligt för överkonsoliderad (packad) jord.
Typiskt är att sådan jord uppvisar dilatation vid skjuvning.
Exempel: hårt packad morän, packad finjord, odränerad lera.
*) sammanhållning
14
Del D: Jordmekanik
Kap 9.
Spännings- och deformationstillstånd i jord (torr jord)
Kap 10. Spänningstillstånd i vattenmättad jord
Kap 11. Kompression av jord
Kap 12. Skjuvning av jord
Kap 13.
13 Brott i jord
Kap 14. Odränerad skjuvning och odränerad skjuvhållfasthet
Vid odränerad skjuvning är porvattnet förhindrat att rinna
eller pressas ut ur den aktuella provkroppen eller jordvolymen
jordvolymen.
I vattenmättad lera är vattenflödet mycket långsamt.
Vid ”kortvarig”
kortvarig belastning beter sig vattenmättad lera
därför som en odränerad jord.
15