Transcript FYTA12/FYTB03

Teoretisk fysik
vt 2013
FYTA12/FYTB03
Övningsblad 3
Räkneövning: Fredagen 2013 02 22
Uppgift 1: En tripp till Andromeda
Antag att du lever i 50 år till. Vilken hastighet, uttryckt som en andel av ljusets hastighet, måste
du resa med för att hinna ta dig till Andromedagalaxen ca 2.5 miljoner ljusår bort. (Vi antar att du
överlever en ögonblicklig acceleration till den sökta hastigheten!)
Lös uppgiften genom att:
(a) använda att från jordens (och Andromedas) system tycks du åldras långsamt.
(b) använda att i ditt referenssystem är avståndet till Andromeda Lorentz-kontraherat.
Om du kunde “rida på en foton”,
(c) hur långt bort skulle Andromeda ligga, sett från ditt referenssystem?
(d) hur lång tid skulle det ta dig att nå Andromeda?
Uppgift 2: Hastighetsaddition
En partikel rör sig i x′ -riktning med hastighet v ′ i ett system S ′ , vilket i sin tur rör sig med hastighet u i
x-riktning jämfört med ett system S. Visa utifrån Lorentz-transformationen att partikelns hastighet,
sedd från S-systemet är
v=
v′ + u
.
1 + v ′ u/c2
(1)
Uppgift 3: Rapiditet
Introducera hastighetsmåttet rapiditet η, definierat genom
v
η(v) = arctanh( ).
c
(2)
Betrakta samma situation som i uppgift 2 och visa att partikelns rapiditet i S helt enkelt är dess
rapiditet i S ′ plus rapiditeten för S ′ -systemet jämfört med S,
η(v) = η(v ′ ) + η(u).
(3)
Rapiditeter är alltså additiva, och spelar i denna mening samma roll för boostar (Lorentz-skjutsar)
som hastigheter gör för Galilei-transformationer, eller som vinklar gör för rotationer.
Extra: Visa detta m.h.a. ekv. (4) genom att betrakta två boostar efter varandra.
Uppgift 4: Rapiditet
Visa att Lorentz-transformationen kan uttryckas i termer av rapiditeten η = arctanh(u/c) som
ct′ = ct cosh η − x sinh(η)
x′ = −ct sinh(η) + x cosh(η).
(4)
Extra: Visa ekv. (3) genom att betrakta två Lorentz-boostar efter varandra.
Uppgift 5: En sönderfallande kärna
En radioaktiv kärna rör sig med fart 0.10c jämfört med labsystemet. Den emitterar en elektron med
relativ hastighet 0.80c. Vilken fart och riktning får elektronen jämfört med labsystemet om:
(a) den skickas ut rakt framåt.
(b) den skickas ut rakt bakåt.
(c) den skickas ut vid 90 grader, sett från kärnans system.
Uppgift 6: En krympande stång
En stång med längden L′ är i vila i S ′ som rör sig med fart u i x-riktning jämfört med ett system S.
I S ′ bildar stången vinkel θ′ jämfört med x′ -axeln. Vilken längd har stången i S, och vilken vinkel
bildar den med x-axeln?
Några potentiellt användbara relationer:
cosh2 x − sinh2 x = 1
cosh (x + y) = sinh x · sinh y + cosh x · cosh y,
sinh (x + y) = cosh x · sinh y + sinh x · cosh y,
x+y
arctanhx + arctanhy = arctanh
1 + xy
x
för − 1 < x < 1
sinh(arctanhx) = √
1 − x2
1
cosh(arctanhx) = √
för − 1 < x < 1
1 − x2
(5)
Svar:
1 (a, b) (1 − 2 × 10−10 )c, (c) 0m (d) 0s.
5 (a) 0.83 c framåt, (b) −0.76 c bakåt, (c) 0.80 c med vinkeln 83◦ .
6 Nej, den här gången får ni inte svaret. I gengäld är räkningarna betydligt kortare än på tidigare
inlämningsuppgifter.
2