TENTAMEN I REGLERTEORI, TSRT09 Lycka till!

Transcript TENTAMEN I REGLERTEORI, TSRT09 Lycka till!

TENTAMEN I REGLERTEORI, TSRT09
TID: 7 mars 2012, klockan 08.00 – 12.00
ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, 013-284042, 0708-783670
BESÖKER SALEN: cirka kl. 9.00 och 11.00
TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Kursboken i Reglerteori, kursboken i Reglerteknik, miniräknare, tabeller.
LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kurshemsidan kl. 18.00.
VISNING: Den 27 mars 2012, klockan 12.30 – 13.00 i Ljungeln, B-huset,
ingång 27, A-korridoren till höger.
PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng
betyg 4 33 poäng
betyg 5 43 poäng
OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom
triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas
ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag.
Lycka till!
1. (a) Antag att en (vanlig) framhjulsstyrd cykel har överföringsfunktionen
K ·V
s + V /a
s2 − g/h
från styrvinkelutslag till cykelns lutningsvinkel vid en konstant
och given hastigheten V . Konstanten h är tyngdpunkts höjd, a
är avståndet mellan tyngdpunkt till bakhjul och g = 9.82 m/s2 .
Antag att motsvarande överföringsfunktion för en bakhjulsstyrd
cykel är
s − V /a
K ·V 2
s − g/h
En av dessa cyklar är vanligtvis svårare att styra än den andra.
Vilken och varför? I vilket hastighetsintervall (uttryckt i a, g och
h) finns det trots allt visst hopp att styra även den mer svårstyrda?
(3p)
(b) Vilken RGA har systemet
2
s+5
0
1
s+1
3
s+4
vid frekvensen ω = 0? Vilken slutsats kan man dra om reglerbarheten?
(2p)
(c) Betrakta systemet
4
s+3
1
s−7
2
(s+2)(s+3)
7
s+3
Ange var systemet har sina poler (multiplicitet behöver ej anges).
Svaret ska motiveras med räkningar för hand.
(2p)
1
(d) Din chef kommer in strålande glad och säger sig ha lovat en kund
att konstruera ett reglersystem som vid 5 rad/s har egenskaperna
att
• det dämpar störningar på utgången med 10 ggr , d.v.s. beloppet av överföringsfunktionen från störning på utgången till
reglerstorhet är maximalt 0.1 vid denna frekvens.
• en störning på mätningen högst påverkar reglerstorheten med
en tiondel av störningens amplitud, d.v.s. beloppet av överföringsfunktionen från mätstörning till reglerstorhet är maximalt 0.1
vid denna frekvens.
Till skillnad från din chef ler du inte när du hör detta, utan blir
istället djupt bekymrad. Varför? Ditt svar ska inkludera ett matematiskt uttryck innehållande absolutbeloppen av överföringsfunktionerna ovan utvärderade vid vinkelfrekvensen 5 rad/s. (3p)
2
2. Betrakta en olinjär förenklad modell av en undervattensfarkost som rör
sig längs en rät linje
b
a
x1 + (x1 + cx2 )(cx2 − x1 )
m
m
ẋ2 = −dx2 + u
ẋ1 = −
där x1 är farkostens hastighet relativt vattnet längs den räta linjen, x2
propellerns rotationshastighet och u är spänningen till motorn. Konstanterna m, a, b, c och d antas vara kända.
(a) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 2. Visa att så
är fallet genom att utföra lämpliga räkningar.
(4p)
(b) Ta fram en styrlag på formen
u = (ū − f1 (x))/f2 (x)
med potentiellt olinjära funktioner f1 (x) och f2 (x) sådana att systemet blir exakt linjäriserat och får en ny ”virtuell” insignal ū.
(2p)
(c) Ta fram en regulator som reglerar farkostens hastighet relativt
vattnet (”farthållare”) genom att använda linjär IMC-teknik. Regulatorn ska styra systemet via ū. Stigtiden för det slutna systemet
ska vara 3 s och den statiska förstärkningen 1. Din lösning ska innehålla en plot med ett stegsvar för slutna system från referens till
hastighet där det tydligt framgår att kraven på stigtid och statisk
förstärkning är uppfyllda.
(4p)
3
3. En student som precis har klarat kursen i Reglerteori har drabbats av
ett vanligt cykelproblem: fälgbromsar som tjuter kraftigt. Studenten
Bromskloss
x1, x2
Fälg
v
Däck
Figur 1: Bromsklossens position mot fälgen på cykelhjulet.
fick idén att analysera en modell av bromssystemet och med hjälp av
den försöka förstå vad som händer. En enkel modell av en bromskloss
rörelse då den har kontakt med en fälg som roterar med den konstanta
periferihastigheten v och bromsklossens tryck mot fälgen är konstant
ges av
ẋ1 = −dx1 −
1
π
π
1
tan(kx2 ) + Ff , − < kx2 <
m
m
2
2
ẋ2 = x1
där x1 är klossens hastighet längs fälgen relativt ramen och x2 är klossens avstånd längs fälgen relativt dess viloläge. Se figur 1. Ff är en
friktionskraft som antas beskrivas av följande relation


kd , x1 < v
Ff = dx1 + tan(kx2 ), x1 = v och |dx1 + tan(kx2 )| ≤ ks


−kd , x1 > v
där kd är en konstant dynamisk friktionskraft och ks den maximala
statiska friktionskraften. Bromsklossens massa är m.
4
Låt m = 1, d = 0.1, k = 1, ks = 5, kd = 1 och v = 1.
(a) Vilka jämviktspunkter finns och av vilken typ är de (entangentnod,
tvåtangentnod, sadelpunkt,...)?
(4p)
(b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med
olika dynamik som det består av.
(4p)
(c) Tjutandet som uppstår från fälgbromsar kan tänkas uppstå om
systemet inte konvergerar mot en punkt i fasplanen utan istället
hamnar i en bana (som inte är en enda punkt) som det genomlöper
gång på gång. Detta kallas för en ”limit cycle”. Rita in denna
”limit cycle”, på ett tydligt sätt, i din skiss av fasplanet.
(2p)
5
4. Systemet
G(s) =
K
s(s + 2)(s + 5)
återkopplas med en statisk olinjär länk enligt figur 2. Den olinjära
länken f har en reellvärd beskrivande funktion Yf (C) som har mätts
upp experimentellt. Resultatet visas i figur 3.
(a) För vilka K-värden (K > 0) ger beskrivande funktionsmetoden
indikation på självsvängning?
(3p)
(b) Beräkna amplitud och frekvens för de eventuella självsvängningar
som uppstår då K = 100. Blir deras amplitud stabil eller instabil?
(7p)
6
e
-
w - G(s)
f (e)
y
-1 Figur 2: Olinjärt slutet system.
Figur 3: Reellvärd beskrivande funktion Yf (C).
7
5. Du har blivit anställd av en svensk UAV-tillverkare som vill att du
utvecklar ett reglersystem för att stabilisera en trikopter. En trikopter
är en slags helikopter med tre propellrar (rotorer). Genom att reglera
de tre propellrarnas gaspådrag kan farkosten tippas och rollas. Genom
att vinkla den bakre propellern åt vänster eller höger kan farkosten
fås att rotera i horisontalplanet (gira). Målet med regleringen är att
effekten från vindstörningar ska dämpas så att farkostens roll-, tippoch girviklar inte påverkas nämnvärt av dessa. Vi kommer alltså här
bara betrakta farkostens orientering och inte dessa position. Systemet
har modellerats på linjär tillståndsform
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Bw w(t)
y(t) = Cx(t)
med tillstånden rollvinkel x1 , tippvinkel x2 , girvinkel x3 , rollvinkelhastighet x4 , tippvinkelhastighet x5 och girvinkelhastighet x6 . Styrsignalen
u består av komponenterna u1 , u2 och u3 (−100% — +100%) som är de
tre motorernas effekt kring ett nominellt gaspådrag och u4 (−100% —
+100%) som anger bakre rotorns lutning i sidled. Signalen w betecknar
vindstörningarna. Trikoptern är illustrerad i figur 4, 5 och 6.
8
u2
x3, x6
u3
u1
Figur 4: Trikopter sedd ovanifrån. Riktning framåt är snett upp åt vänster.
x1, x4
u4
Figur 5: Trikopter sedd bakifrån. Riktning framåt är in i pappret.
x2, x5
Figur 6: Trikopter sedd från sidan. Riktning framåt är snett upp åt vänster.
9
(a) Innan du kan börja jobba med uppgiften i Matlab måste du först
ändra Matlabsökvägen samt kopiera en fil. Det du ska utföra är
följande:
i. Kör kommandot addpath(’/site/edu/rt/tsrt09/tenta/’)
i Matlabs kommandofönster.
ii. Öppna ett terminalfönster, gå till din arbetskatalog och kör
kommandot cp /site/edu/rt/tsrt09/uppg5.m . (notera den
sista punkten).
iii. Kör chmod 600 uppg5.m i terminalfönstret.
Filen uppg5.m laddar alla nödvändiga data, startar en simulering
av simulink-filen tricopter.mdl där det slutna systemet utsätts för
en lagrad vindstörning, plottar tillstånd och styrsignaler från simuleringen, samt innehåller en sektion där du ska lägga till
kod som räknar fram en lämplig återkoppling L (variabeln
L används av tricopter.mdl). När uppg5.m har körts en gång
finns A-, B-, C- och D-matriserna tillgängliga i workspace. Designa med hjälp av LQ-metodik en regulator på formen u = −Lx
som uppfyller kraven
•
•
•
•
•
•
•
•
Rollvinkel: |x1 | ≤ 0.3◦
Tippvinkel: |x2 | ≤ 0.3◦
Girvinkel: |x3 | ≤ 3◦
Rollvinkelhastighet: |x4 | ≤ 0.5◦
Tippvinkelhastighet: |x5 | ≤ 0.5◦
Girvinkelhastighet: |x6 | ≤ 3◦
Motorpådrag: |u1 |, |u2 |, |u3 | ≤ 80% (för att ha viss marginal)
Bakre rotorvinkel |u4 | ≤ 80%.
under en körning av uppg5.m.
Notera att den enda fil du ska göra ändringar i är uppg5.m. Visa
att du har uppfyllt kraven genom att plotta och skriva ut samtliga
tillstånd och styrsignaler efter att filen uppg5.m har körts. Lämna
också in en utskrift av filen uppg5.m där det tydligt framgår hur
regulatorn har beräknats, ange numeriskt det L du använt samt
ange den ”valideringskod” som uppg5.m genererade i kommandofönstret.
(4p)
10
(b) Kopiera filen uppg5.m till uppg5b.m och öppna den så du kan
”leka” utan att riskera att förstöra arbetet i a-uppgiften. Försök
gör om designen från a-uppgiften, men nu helt utan straff, eller
krav, på x4 , x5 och x6 . Notera att straffet på dessa tillstånd alltså
ska vara identiskt lika med noll. Vad händer? Exakt vad är orsaken
till det (kan kräva vissa räkningar för att besvara)?
Ledning:
• Vilka är förutsättningarna i Sats 9.1 (fundera på dessa snarare
än detaljerna i Matlabs felmeddelande)?
• Notera att problemet nu har strukturen
Q̄1 0
Ā1 0
T
, M Q1 M =
A=
Ā2 0
0 0
för några nollskilda matriser Ā1 , Ā2 och Q̄1 .
• För determinanter av blocktriangulära matriser gäller
M11 0
det
= det(M11 ) · det(M22 )
M21 M22
(4p)
(c) I a-uppgiften har regulatorn designats med hjälp av en linjär modell av systemet. Trikoptern är, naturligtvis, i verkligheten olinjär.
Detta medför att det är viktigt att det slutna systemet är robust
mot modellfel. Vad kan sägas om det slutna systemets robusthetsegenskaper då det regleras med regulatorn du har designat
i a-uppgiften? Ange speciellt hur stora avvikelser i öppna systemets förstärkning och fas, jämfört med modellen som användes
vid designen, som det slutna systemet åtminstone kan klara av
och fortfarande vara garanterat stabilt.
(2p)
11

TENTAMEN I REGLERTEORI, TSRT09 Lycka till!

Transcript TENTAMEN I REGLERTEORI, TSRT09 Lycka till!

Directory