Transcript F6. Brott- och flytvillkor

F6. Brott- och flytvillkor
æ Egenbaser för spänningen, spänningsinvarianter (forts). [1]: 1.4-1.5, 6.1-6.3.
æ Formulering av medelspännings och medelspänningsoberoende flytvillkor.
æ Effektiv spänningen enligt von Mises hypotes.
Duggafrågor
1) Visa hur spänningen σ kan representeras med egenbaserna m = ni nti .
2) Motivera uttrycken för von Mises och Tresca's flytvillkor.
Representation av spänningen i egenbaser
à Etablera spänningen uppdelad i egenbaser och dess geometriska
tolkning
Vi har
σ = ‚ σi mi , mi = ni nit = 8skrivs ibland< = ni ⊗ ni
3
i=1
fl Geometrisk tolkning!
fl Def. av skalärprodukt, t ex » σ » = Hσ12 + σ22 + σ32 L 2 . Hur formulera? Studera geometrin
Figure 1
1
Notes_F6.nb
2
3
y
i 3
i
y
j
z
z
j‚ σ m z
z:j
z
» σ »2 = σ : σ = j
j
j
j
z
j
j‚ σi mi z
z j
j
z=
ki=1
{ kj=1
{
= ‚ ‚ Hσi mi L : Hσj mj L = ‚ ‚ σi σj mi : mj ⇒
3
3
3
i=1 j=1
3
i=1 j=1
Def. av skalärprodukten mi : mj
mi : mj = Hni nit L : Hnj njt L
def.
=
Hnjt ni L Hnit nj L
orto.
=
9
1 om i = j
0 om i ≠ j
fl
» σ »2 = ‚ ‚ σi σj mi : mj = ‚ σi2 OK !
3
3
3
i=1 j=1
i=1
à Etablera medelspänningen σm
Egenskap hos egenbaserna! Studera specialfallet med (allsidigt) hydrostatiskt tryck p fl
p = −σ1 = −σ2 = −σ3 ⇒ σ = −p δ = ‚ σi mi = −p ‚ mi ⇒
3
3
i=1
i=1
∴ ‚ mi = δ
3
OBS! gäller för alla ortogonala triader 8mi <i=1,2,3 då alla riktningar blir huvudspänningsaxlar i detta fall.
i=1
OBS! Vi kan tolka δ = ⁄3i=1 mi geometriskt fl Medelspänningsaxeln!
Def. medelspänningen: "projektionen av spänningen σ på medelsänningsaxeln δ"
σm =
3
3
3
i 3
y 3
1
1
1
1
j
z
σ:δ=j
I
j
z
‚ ‚ σi mi : mj =
‚ σi =
‚ σi mi z
‚ mj =
j
z
3
3
3
3 1
i=1 j=1
i=1
ki=1
{ j=1
Figure 2
Notes_F6.nb
3
à Etablera deviatorspänningen s
Dela upp spänningen:
σ = s + σm δ ⇒ deviatorspänningen ∴ s = σ − σm δ
› OBS! Vi har
−
σ¯¯
L¯ mi = ‚ si mi ⇒
s = σ − σm δ = ‚ σi mi − σm ‚ mi = „ ¯Hσ
i¯¯
m¯¯
¯¯¯¯¯
¯¯¯¯
3
3
i=1
i=1
3
i=1
3
si
∴ s = ‚ si mi ⇒ s : s = » s »2 = ‚ s2i = s21 + s22 + s23
3
3
i=1
i=1
› OBS! Studera
∴ δ : s = ‚ Hσi − σm L ¯δ¯¯¯:
i¯ = ‚ σi − 3 σm = 0 OK !
¯¯¯m
¯¯¯
3
i=1
3
1
i=1
fl d och s är ortogonala, jmfr fig. ovan!
Formulering av flyt(brott)villkor, kap 2.2
à Karaktärisera
ü Medelspänningsberoende material
Figure 3
i=1
Notes_F6.nb
4
ü Medelspänningsoberoende material
Figure 4
à Medelspänningsoberoende villkor för metaller!
ü Von Mises flytvillkor
Studera en provstav av kolstål!
Formulera flytvillkor: F = σ − σy (flytfunktion)
F ≤ 0 ⇒ tillåten spänning
F > 0 ⇒ Flytning
Generalisera till fleraxligt tillstånd fl F@σD
Från experiment vet vi: F@σD oberoende av medelspänningen σm för metaller! fl Förslagsvis F@sD eller:
F@ » s »D ≤ 0 ⇒ von Mises flytvillkor!
\ Flytning inträffar då spänningen ligger på en cylinder med sin medelinje längs medelspänningsaxeln i
rummet!
Kalibrering: Vi har vid flytning F = » s » −R = 0 ; Studera enaxligt dragprov vid begynnande flytning fl
Figure 5
Notes_F6.nb
5
σy
1
⇒
‚ σi =
3
3
3
σ1 = σy , σ2 = σ3
0 ⇒ σm =
i=1
s1 =
2 σy
, s2 = s3
3
−
σy
⇒
3
σ 2y 2
i 2 σy 2
4
1 2
2
jJ
z = σy J + 2 N = σy $%%%%%% ⇒
»s»=j
N + 2 I− y M z
3
3
9
9
3
k
{
1
1
Vid flytning:
è!!!!!!!!!!
3 ê 2 … s … −σy = σe,von Mises − σy = 0
è!!!!!!!!!!
med σe,von Mises = 3 ê 2 … s …
F=
› OBS! Vid enaxlig spänning fås tryckoberoende
σ 2y 2
2
i 2σ 2
N + 2 I− M z
0 ⇒ ... » s » = j
jJ
z = Abs@σD $%%%%%% ⇒
3 {
3
k 3
1
σ1 = σ, σ2 = σ3
σe,von Mises =
è!!!!!!!!!!
3 ê 2 … s … = Abs@σD ⇒
F = Abs@σD − σy = 0 Hoberoende av tryckL
ü Trescas flytvillkor (Skjuvspänningshypotesen)
Etablera effektivspänningen ur
1
Hσ1 − σ3 L med σ1 > σ2 > σ3
2
Flytning sker på den yta där τ maximeras enl. Mohrs cirklar; Vi kan skriva villkoret försöksmässigt som
τmax =
F = τmax − k = 0
Figure 6
Kalibrering: Studera enaxligt test fl Mohrs cirkel
Notes_F6.nb
6
Figure 7
Ur Fig fås vid flytning:
F=
σ
1
Hσy − 0L − k = 0 ⇒ k = y ⇒
2
2
eller
F = σ1 − σ3 − σy = σe,Tresca − σy med σe,Tresca = σ1 − σ3
› OBS! σe,Tresca är medelspänningsoberoende!
σe,Tresca = σ1 − σ3 = s1 + σm − Hs3 + σm L = s1 − s3
› OBS! Man kan visa att Trescas villkor kan ritas i huvudspänningsrummet som:
Figure 8