Transcript Strömning och varmetransport/ varmeoverføring

Lektion 7: Värmetransport
TKP4100/TMT4206
Strömning och
varmetransport/
varmeoverføring
Reynolds tal är ett dimensionslöst tal som
beskriver flödesegenskaperna hos en fluid. Ett
lågt värde på Reynolds tal (värden mindre än
2300) kallas ett laminärt flöde och beskriver en
låg hastighet på flödet. Turbulent flöde beskrivs av
Reynolds tal högre än 2300 och har hög
hastighet.
© Ragnhild E. Aune ([email protected])
1
Värmetransport i form av konvetion
Vad som händer i ett material då värme transporteras genom
materialet har redan behandlats (värmetransport i fasta kroppar
och stillastående fluider – konduktiv värmeöverförning).
I många fall kommer fasta material (kroppar) att avkylas/
uppvärmas av en omgivande fluid i rörelse. Denna typ av
värmetransport benämnas konvektiv värmeöverförning.
Värmeöverföring mellan två olika faser
sker genom strömning.
2
Värmetransport i form av konvetion
•
Den konvektiva värmeöverförningen antas ske genom
ett tänkt gränsskikt mellan de två
aktuella faserna.
•
För att illustrera att
värmeöverförningen antas ske
genom ett tänkt gränsskikt
mellan de två aktuella faserna
studeras en horisontell plan platta
av temperatur T0 och en
strömmande fluid av temperaturen
T∞.
3
Värmetransport i form av konvetion
•
Fluidens uppgift är att antingen värma/kyla plattan, och antas
strömma över plattan från vänster till höger.
4
Värmetransport i form av konvetion
•
•
Om en temperaturskillnad existerar
mellan två faser kommer en viss
värmeöverföring att ske mellan
dessa faser (i detta fall mellan den
horisontella
plattan
och
den
strömmande fluiden).
Hastighetsgränsskikt
Temperaturgränsskikt
Som ett resultat av denna värmeöverförning kommer ett termiskt
gränsskikt tillsammans med ett hastighetsgränsskikt att bildas
ovanför plattan (det antas att all värmeöverföring sker i
temperaturgränsskiktet).
5
Värmetransport i form av konvetion
•
Gränsskiktets tjocklek kan i vissa enkla fall beräknas, men i
verkligheten är det dock betydligt svårare att få fram ett värde.
•
Temperaturen i gränsskiktet är inte konstant, och den sätts ofta
till ett värde som representeras av medeltemperaturen mellan
den fasta kroppen och fluiden.
Hastighetsgränsskikt
Temperaturgränsskikt
6
Värmetransport i form av konvetion
•
Vid beräkning av den konvektiva värmeöverförningen görs
först en indelning av hur fluiden har satts i rörelse:
″Naturlig konvektion″, ″fri konvektion″ eller ″egenkonvektion″
Fluidens rörelse uppkommer till följd av olikhet i densitet mellan de
två betraktade medierna. Denna densitetsskillnad uppkommer i sin
tur till följd av den temperaturdifferens som existerar mellan
de två medierna.
″Påtvingad konvektion″ eller ″forserad konvektion″
Fluidens rörelse åstadkommes av yttre påverkan såsom pumpar,
fläktar, vind etc.
7
Dimensionslösa tal
•
Det är extremt svårt att lösa de
ekvationer som beskriver den
konvektiva värmetransporten.
•
Den konvektiva värmeövergången
studerats därför ofta experimentellt
och resultaten återgivits i form av
empiriska ekvationer (vilka
innehåller dimensionslösa grupper).
•
Fördelen med att använda
dimensionslösa grupper är att ett
stort antal variabler kan kombineras
till ett fåtal dimensionslösa tal.
8
Dimensionslösa tal mer ingående
Kommer inte att krävas på examen (s.9 - s. 13)
•
De flesta fenomen beror av många variabler och om man utan att
göra begränsningar försöker att experimentellt analysera
beroendet blir antalet mätningar och mängden resultat lätt
oöverskådliga.
•
En vätskas stighöjd i en kapillär berodde t.ex. av fem variabler.
Utan reduktion av antalet variabler behövs fem
experimentserier där var enskild variabel varieras
med de övriga fixerade.
9
Dimensionslösa tal mer ingående
•
Det kan ibland vara omöjligt att genomföra fem experimentellaserier med tillräcklig noggrannhet, och det ger alltid en
svåröverskådlig mängd resultat.
•
Genom en enkel dimensionsanalys reduceras både det
experimentella arbetet och den följande analysen.
•
Ett sätt att angripa ett problem med många
variabler är att arrangera variablerna i
dimensionslösa grupper.
•
Antalet sådana grupper blir mindre än
antalet ursprungliga variabler.
•
Varje grupp betraktas sedan som en
variabel.
10
Dimensionslösa tal
- Exempel som illustrera tekniken
l
r
Arean av en rät cirkulär kon:
•
Konens yttre begränsningsyta är:
•
Exemplet har tre variabler A, r och l. Grafiskt, vilket är det mest
överskådliga sättet att framställa ett experimentellt resultat, kan
arean framställas som en kurvfamilj enligt följande figurer:
A = π 2+ p rl
11
Dimensionslösa tal
- Exempel som illustrera tekniken
•
Om man "avdimensionerar" sambandet mellan A, r och l
t.ex genom division med p·r2 (eller p·r·l, r·l, l2, A) blir sambandet:
A / ( π·r2 ) = 1 + l /eller
r
•
A / (π·r·l) = r / l + 1
Grafiskt kan det framställas:
12
Dimensionslösa tal
- Exempel som illustrera tekniken
•
Kurvfamiljen har ersatts med en enda rät
linje som kan beskriva alla typer av koner.
Känner man l och r kan l/r beräknas och
A/π·r2 avläsas  därefter kan A
beräknas.
•
Observera också att alla koner med
samma kvot l/r representeras av samma
punkt på den räta linjen.
•
För att det skall vara en kon så måste l
vara större än r  l/r varierar mellan 1
och oändligheten för olika koner medan
r/l varierar mellan 0 och 1 för att täcka olika koner.
13
Dimensionslösa tal
•
Reynoldstal (Re) – beskriver förhållandet mellan inerta och
viskösa krafter i ett system vid påtvingad konvektion, d.v.s. Re
bestämmer om flödet är laminärt eller turbulent.
•
Nusseltstal (Nu) – beskriver förhållandet mellan konduktion och
konvektion i en fluid. Nusselstal är en funktion av
värmeöverförningstalet h.
•
Prandtls tal (Pr) – beskriver förhållandet mellan transporttermen
för kinetisk energi respektive värme, d.v.s. Pr beskriver om
hastighetsgränsskiktet är större än det termiska gränsskiktet.
•
Grashofs tal (Gr) – motsvarar Re för naturlig konvektion.
14
Reynoldstal (Re)
Enligt Reynolds likformighetslag beror strömningsfältets utseende
enbart på Reynoldstal, vilket även innebär att strömningar vid
likformiga kroppar blir lika om Reynoldstal är lika.
•
Reynoldstal förutsätter en påtvingad konvektion och ges av
följande samband:
Re =
L ⋅u⋅ρ
μ
där L = karakteristiska längd, t.ex. inner diametern i ett rör
eller i en kanal, längden på en platta eller ytterrörets
halva omkrets [m]
u = genomsnittliga hastigheten i mediet [m/s]
ρ = densitet [kg/m3]
μ = dynamisk viskositet [kg/m⋅s]
15
Reynoldstal (Re)
Re =
L ⋅u⋅ρ
μ
 Enhetsanalys:
m⋅
m kg m ⋅ s
⋅ 3⋅
=1
s m kg
Med hjälp av Raynoldstal kan det avgöras om
den påtvingade strömningen är laminär eller
turbulent.
16
Nusseltstal (Nu)
•
Ett annat dimensionslöst tal som definierar temperaturfältet i det
strömmande mediet kallas Nusselstal (Nu) och ges av följande
samband:
Nu =
där
•
h ⋅L
k
h = värmeövergångstalet [W/m2⋅K]
L = karakteristiska längd, t.ex. inner diametern i ett rör
eller i en kanal, längden på en platta eller
ytterrörets halva omkrets [m]
k = värmeöverförningskoefficienten [W/m⋅K]
Enhetsanalysen ger:
W
m ⋅K
⋅m⋅
=1
2
m ⋅K
W
17
Prandtls tal (Pr)
•
Prandtlstal (Pr) karakteriserar mediet som strömmar och ges av
följande samband:
Pr =
där
Cp = specifika värmekapacitet vid konstant tryck
[J/kg⋅K = W⋅s/kg⋅K]
μ = dynamisk viskositet [kg/m⋅s]
k
•
Cp ⋅ μ
k
= värmeöverförningskoefficienten [W/m⋅K]
Enhetsanalysen ger:
W ⋅ s kg m ⋅ K
⋅
⋅
=1
kg ⋅ K m ⋅ s W
18
Prandtls tal (Pr)
•
Prandtlstal kan även skrivas som följande:
Pr =
ν
α
där ν = kinematisk viskositet [m2/s]
α = värmediffusiviteten [m2/s]
•
Värmediffusiviteten är en mycket viktig parameter då det gäller
icke-stationär värmeströmning och definieras av materialegenskaperna k, ρ och Cp enligt följande:
α=
där
k
ρ ⋅ Cp
k = värmeöverförningskoefficienten [W/m⋅K]
ρ = densitet [kg/m3]
Cp = specifik värmekapacitet (för fluider (vätskor och
gaser) skall Cp användas) [J/kg⋅K]
19
Viskositet
•
•
Dynamisk viskositet är en fysikalisk
egenskap hos vätskor och gaser som
betecknar deras "tjockhet" eller interna
motstånd mot flöden, och kan ses som
ett mått på friktion i vätskor.
Kinematiska viskositeten anger hur
snabbt en vätska sprider sig i
förhållande till sin massa om den hälls
ut på en plan yta.
Pr =
Cp ⋅ μ
k
Pr =
ν
α
20
Grashofs tal (Gr)
Grashoftal definierar strömningsfältet vid naturlig konvektion där
temperaturdifferensen mellan mediet och ytan ger upphov till en
strömning som grundar sig i Archimedes princip (ett lättare media
lägger sig ovanför ett tyngre media).
•
Grashoftal ges av följande samband:
där
L3 ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
Gr =
μ2
L =
ρ =
g =
β =
ΔT =
karakteristiska längd [m]
densitet [kg/m3]
jordgravidationen (9.81 [m/s2])
volymutvidgningskoefficient [1/K]
temperaturdifferensen mellan mediet och den
betraktade formationen [K]
μ = dynamisk viskositet [kg/m⋅s]
21
Grashofs tal (Gr)
L3 ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
Gr =
μ2
 Enhetsanalys:
2
m 1
m2 ⋅ s 2
3  kg 
m ⋅  3  ⋅ 2 ⋅ ⋅K ⋅
=1
2
m
s
K
kg


Man kan lätt förvissa sig om att Grashofstal är dimensionslöst
eftersom det är uppbyggt som ett Reynolds tal i kvadrat där man i
stället för den genomsnittliga hastigheten i mediet (u) i Reynoldstal
använder tyngdkraftens ″arbete″ (L⋅g⋅β⋅ΔT) i Grashofstal.
2
L ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT  L ⋅ u ⋅ ρ  L ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
=
 ⋅
2
u
u2
 μ 
L3 ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
=
μ2
Gr = Re2 ⋅
22
Sammanfattning – Dimensionslösa tal
•
En dimensionslös storhet är en skalär storhet som saknar enhet
och därför är ett rent tal.
•
Vanligtvis är ett dimensionslöst tal en kvot/produkt av andra
storheter med dimension där enheterna tar ut varandra.
23
Sammanfattning – Dimensionslösa tal
Reynoldstal:

Nu =
h ⋅L
k
WILHELM NUSSELT
1882-1957
Cp ⋅ μ
Pr =
k
;
Pr =
ν
α
LUDWIG PRANDTL
1875-1953
Mediekriterium
Grashofstal:

OSBOURNE REYNOLDS
1842-1912
Temperaturfältskriterium
Prandtltal:

L ⋅u⋅ρ
μ
Strömningskriterium vid påtvingad konvektion
Nusseltstal:

Re =
L3 ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
Gr =
μ2
FRANZ GRASHOF
1826-1893
Drivkraftkriterium vid naturlig konvektion
24
Frågor?
25
Formelsamling  Dimentionslösa tal
•
Följande samband är tillgängliga i formelsamlingen:
26
Rayleighs tal (Ra)
•
•
I strömningsmekaniken är Rayleighs tal ett
dimensionslöst tal som beskriver övergången mellan
konduktion och konvektion vid naturlig konvektion.
Under ett visst kritiskt värde på Rayleights tal så är
värmeöverföringen främst i form av konduktion, när det
överstiger det kritiska värdet är värmeöverföringen
främst i form av konvektion (det kritiska värdet beror
på den aktuella geometrien som beaktas).
LORD RAYLEIGH
1842-1919
Ra = Gr ⋅ Pr
27
Rayleighs tal (Ra)
L3 ⋅ g ⋅ β ⋅ ΔT
Ra = Gr ⋅ Pr =
ν⋅α
där
L = karakteristiska längd [m]
LORD RAYLEIGH
1842-1919
g = jordgravidationen [m/s2]
β = volymutvidgningskoefficient [1/K]
ΔT = temperaturdifferensen [K]
ν = kinematisk viskositet [m2/s]
α = värmediffusiviteten [m2/s]
•
Enhetsanalys:
m3 ⋅
m 1
s s
K
⋅
⋅
⋅
⋅ 2 =1
2
2
s K
m m
28
Biots tal (Bi)
•
Biots tal är ett dimensionslöst tal som används vid
icke-stationär värmeledning från ytan på ett fast
material och ut i den omgivande fluiden.
JEAN BAPTISTE BIOT
1774-1862
h⋅L
Bi =
k
•
där
Enhetsanalysen ger:
h = värmeövergångstalet [W/m2⋅K]
L = karakteristiska längd [m]
k = värmeöverförningskoefficienten [W/m⋅K]
W
m ⋅K
⋅m⋅
=1
2
m ⋅K
W
29
Skillnaden - Nusseltstal (Nu) och Biots tal (Bi)
h ⋅L
Nu =
k
h ⋅L
Bi =
k
Både Nusselts tal och Biots tal har samma form.
Vad är skillnaden på dem m.a.p.
deras fysikaliska betydelse?
•
Biots tal är ett mått på förhållandet mellan temperaturminskningen
i det fasta materialet, och i det fasta materialet och fluiden (i gränsskiktet).
•
Nusselts tal beskriver temperaturgradienten på ytan mellan
fluiden och det fasta materialet  är ett mått på konvektionen
från ytan.
30
Frågor?
31
Värmeövergång vid påtvingad konvektion
För geometriskt likformiga system ger grundekvationerna som
beskriver temperatur- och hastighetsfältet vid påtvingad konvektion
att temperaturfältet kan uttryckas som en funktion av de två
storheterna Reynolds tal (Re) och Prandtls tal (Pr).
•
Det värmeövergångstal som är förknippat med temperaturfältet
kring en yta kan således beskrivas med ett funktionssamband av
typen:
Nu = f (Re, Pr)
där funktionen gäller för alla geometriskt likformiga system.
32
Värmeövergång vid naturlig konvektion
Vid naturlig konvektion modifieras likformighetslagarna för
påtvingad konvektion (Nu = f(Re,Pr)) så att strömningssättet
lämpligen kan karakteriseras med hjälp av Grashofs tal (Gr).
•
Vid naturlig konvektion gäller således att värmeövergången kan
beskrivas med ett funktionssamband av typen:
Nu = f (Gr, Pr)
där funktionen gäller för alla geometriskt likformiga system.
•
Den väsentligaste skillnaden i mekanismen mellan värmeövergång vid naturlig konvektion och vid påtvingad konvektion
är att ″drivkraften″ för strömningen är olika.
33
Värmeövergång vid påtvungen/naturlig
konvektion
Likformighetslagarna
•
Vid fullständig likformighet kan alla variabler i ett strömningsfall
sättas i direkt samband med motsvarande variabler i ett annat
strömningsfall.
Både geometrisk likformighet (samma geometriska form
och vinklar gentemot omgivningen t.ex. tyngdkraftsfältet,
strömningsriktning) och dynamisk likformighet (samma
utseende på kraftpolygoner i homologa punkter vid
homologa tider) krävs.
34
Beräkning av Nusselts tal
Om en yta har 0.1°C övertemperatur kan ett vist medium strömma
laminärt förbi ytan, men om övertemperaturen är 200°C blir
strömningen turbulent trots att det i båda fallen rör sig om naturlig
konvektion.
•
•
Det har visats att vid naturlig/påtvingad konvektion gäller
följande två likformighetslagar:
Naturlig konvektion:
Nu = f(Gr, Pr)
Påtvingad konvektion:
Nu = f(Re, Pr)
Med utgångspunkt i detta har man teoretiskt och experimentellt
fastställt samband för Nusselts tal för olika geometrier.
35
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några samband som gäller för påtvingad konvektion (turbulent
då Re > 2300):
36
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några samband som gäller för naturlig konvektion (turbulent då
(Gr·Pr > 109):
37
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några approximativa formler som KUNN skall användas då inga
andra formler passar den aktuella geometrin:
Sambanden kan finnas i ett flertal olika
varianter för en och samma geometri.
38
Beräkning av värmeövergångstalet
•
Eftersom värmeövergångstalet ingår i
ekvationen för
Nusselts tal inses att:
k
h = Nu ⋅
L
•
Värmeöverförningstalet
kan beräknas med
hjälp av dimensionslösa tal enligt
beräkningsgången 1-7
(se nästa sida)
39
Beräkningsgång för värmeövergångstalet
1) Bestäm vilken geometri som beskriver ditt system på bästa möjliga
sätt.
2) Beräkna medeltemperaturen för systemet och ta fram nödvendig
information om det aktuella materialet och/eller fluiden vid denna
temperatur (använd formelsamlingen).
3) Avgöra om det är påtvingad eller naturlig konvektion.
4) Beräkna om det är turbulent eller laminärt flöde (påtvingad konvektion
med hjälp av Re och naturlig konvektion med hjälp av Gr·Pr)
5) Gå in i formelsamlingen på rätt geometri och hämta ekvationen för Nu
6) Beräkna Nu (för påtvingad konvektion är Nu = f(Re,Pr) och för
naturlig konvektion är Nu = f(Gr,Pr))
7) Beräkna h
40
Flödesschema
för beräkning
av värmeövergångstalet h
vid naturligoch påtvingad
konvektion.
Konvektion
Påtvingad konvektion
Medium, geometri, temperatur
Re
Laminär
strömning
Naturlig konvektion
Medium, geometri, temperatur
Pr
Turbulent
strömning
Pr ⋅Gr
Geometri
Geometri
Nu =
h⋅L
= f (Re, Pr)
k
Turbulent
strömning
Laminär
strömning
Nu =
h ⋅L
= f ( Gr , Pr)
k
Värmeövergångskoefficient (h)
41
Värmeövergång vid naturlig/påtvingad
konvektion
Övning 9
En tunn plåt kyls i ett vattenbad genom att sänkas lodrätt ned i det.
Beräkna vilken lufthastighet som behövs för att få samma kyleffekt
med luft som med vattenbadet.
Tvatten = 20°C, Tluft = 0°C, Tplåt = 80°C, xvatten = 0.4 m.
Svar: u = 405 m/s
42
Värmeövergång vid naturlig/påtvingad
konvektion
Övning 10
Ett värmeväxlarrör har diametern 5 cm och längden 1 m.
Yttemperaturen är 90°C. Röret är placerat i ett strömmande
vattenbad vars temperatur är 30°C och strömningshastighet 2 m/s.
Röret kan placeras på två sätt, tvärs eller parallellt med
strömriktningen.
Beräkna kvoten
placeringarna.
mellan
värmeövergångstalen
för
de
båda
Svar: h1/h0 = 1.4
43
Värmeövergång vid naturlig/påtvingad
konvektion
Övning 11
Hur kyler man en pilsner på bästa sätt? Jämför kylning i en hink och
en kylväska. Beräkna kyleffekten P för de olika fallen och beräkna
kvoten qvatten/qkylvaska.
Burkens diameter är 65 mm och höjd 165 mm. Burken står upp och
påverkas inte av andra burkar.
Tburk = 22°C, Tkyl = - 2°C, Tvatten = 8°C.
Svar: qvatten/qkylvaska = 38.6
44
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några samband som gäller för påtvingad konvektion (turbulent
då Re > 2300):
45
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några samband som gäller för naturlig konvektion (turbulent då
(Gr·Pr > 109):
46
Formler för beräkning av Nusselts tal
•
Några approximativa formler som KUNN skall användas då inga
andra formler passar den aktuella geometrin:
47
Frågor?
48