Transcript Inlämningsuppgift 1

Inlämningsuppgift 1
TSTE05 Elektronik & mätteknik, HT2011
Linköpings Universitet
David E Larsson 1
(800228-6675)
[email protected]
17 september 2011
1
Producerad i LaTEX
FIGURER
Innehåll
1 Hur det gjordes
2
2 Tomgångsspänningen
2
3 Kortslutningsströmmen
3
4 Inre resistansen
5
Figurer
1
2
3
Nät för beräkning av tomgångsspänningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nät för beräkning av kortslutningsströmmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Den eftersökta théveninekvivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4
5
2
TOMGÅNGSSPÄNNINGEN
I02 = 2mA
R1 = 2, 5Ω
R6 = 4, 5Ω
R2 = 4Ω
b
b
V1
b
A
b
V2
V3
R10 = 4Ω
R9 = 4Ω I01 = 1mA
R3 = 5Ω
E2 = 6V
b
b
b
E3 = 9V
R7 = 2Ω
b
B
V4
b
R8 = 2Ω
Figur 1: Nät för beräkning av tomgångsspänningen
1
Hur det gjordes
Tre nya nät har framtagits. Det första, Figur 1, för att beräkna tomgångsspänningen och det andra
för att beräkna kortslutningsströmmen. Det tredje är den sökta Théveninekvivalenten. Här följer en
redovisning av hur dessa nät uppstått.
Beteckningar och symboler som används är desamma som i uppgiftsbladet och alla resistanser
anges i kΩ (kiloohm), strömmar i mA (milliampere) och spänningar i V (volt).
2 Beräkning av tomgångsspänningen
Följande förenklingar har gjorts av det första nätet:
• Eliminerat R5 , då den sitter i serie med en strömkälla och därmed inte påverkar spänningar eller
strömmar i systemet.
• Eliminerat R4 , då den sitter parallellt med en spänningskälla och därmed inte heller påverkar
spänningar eller strömmar i systemet.
• Eliminerat den i sin gren ensamma spänningskällan E2 genom att skjuta in den i alla grenar i
negativ riktning, alltså nedåt i figuren.
• Ersatt E1 med en ny spänningskälla E3 vars spänning fåtts genom att addera den spänning E1
genererar med den spänning som inskjutna E2 genererar.
• Jordning av nod till vänster om R8 enligt figuren.
• Införandet av nodpotentialer i resterande noder enligt figur.
• Införandet av strömriktningar enligt figur.
Vi noterar att R10 inte eliminerats, trots att den sitter i serie med en strömkälla, då vi behöver känna
till spänningen över den för att kunna räkna ut potentialen i A.
3
KORTSLUTNINGSSTRÖMMEN
Sedan har uträkningar av nodpontentialer gjorts medelst nodanalys enligt följande:
Nod 1:
0 − V1
V1 − V2
− I02 −
=0
R1
R2
Nod 2:
V1 − V2
V2 − V3
0 − V2 + E3
V4 − V2 + E2
−
+
+
=0
R2
R6
R3
R7
Nod 3: I02 +
Nod 4:
V2 − V3
V3 − V4
−
+ I01 = 0
R6
R9
V3 − V4
V4 − V2 + E2
V4 − 0
−
−
− I01 = 0
R9
R7
R8
Vi skriver om ovanstående fyra ekvationer enligt följande:
− R11 V1
− R12 V1
+ R12 V2
+(− R12 −
1
R6
−
1
R3
−
= I02
1
R7 )V2
1
R6 V2
+ R16 V3
+(− R16 −
1
R7 V2
1
R9 )V3
Det i sin tur ger oss följande linjära ekvationssystem:

1
0
(− R11 − R12 )
R2

1
1
1
1
1
1
(− R2 − R6 − R3 − R7 )

R2
R6


1
(− R16 − R19 )
0

R6

1
1
0
R7
R9
Med insatta siffror har vi:

1
1
− 14 )
(− 2,5
4

1
1
1
(−
−

4
4
4,5 −


1
0

4,5

1
0
2
0
1
5
− 12 )
+(− R19 −
+ R19 V3
1
4,5
1
(− 4,5
− 14 )
1
4
1
R7
1
R7
1
R9
(− R19 − R17
1
2
1
4
(− 14 − 12
+ R19 V4
= −I02 − I01
−
1
R8 )V4
V1
= I01 +

E2
R7
E2
R7
I02

  E

 V2   − 3 − E2 
R7 
    R3
 

 V3  −I02 − I01 
 

E2
− R18 )
V4
I01 + R7
2
− 12 )
E3
= −R
−
3

0
0
+ R17 V4


− 95 − 62 


−2 − 1 

1 + 26
Vilket efter lösning medelst miniräknare ger oss:
V1 = − 1770
3113 , V2 =
20302
3113 , V3
=
31714
3113 , V4
=
4502
3113
Potentialen i B är densamma som i V4 , medan potentialen i A bestäms av potentialen i V3 plus den spänning
som ligger över R10 .
Spänningen över R10 bestäms endast av den ström som I01 matar genom resistansen enligt Ohms lag.
Således har vi potentialerna i punkterna A och B enligt:
B = V4 =
4502
3113
A = V3 + I01 R10 =
31714
3113
+1·4=
44166
3113
Så tomgångsspänningen U0 , alltså spänningen över A och B är ungefär:
A−B =
3
44166
3113
−
4502
3113
≈ 12, 74 Volt
Beräkning av kortslutningsströmmen
Så för att få fram kortslutningsströmmen, så har i det andra nätet, Figur 2, polerna A och B kortslutits och en
ny omgång nodanalys har används för att först beräkna de nya nodpotentialerna.
Vi börjar med att konstatera att källan I01 är kortsluten och därför inte påverkar spänningarna i nätet, så
den kan således bortses från vid nodanalysen. En konsekvens av detta är att R9 och R10 därför kan ses som två
3
KORTSLUTNINGSSTRÖMMEN
I02 = 2mA
R1 = 2, 5Ω
R6 = 4, 5Ω
R2 = 4Ω
b
b
R10 = 4Ω
V1
b
V2
A
b
V3
R9 = 4Ω I01 = 1mA
R3 = 5Ω
E2 = 6V
b
b
b
E3 = 9V
R7 = 2Ω
B
b
V4
b
R8 = 2Ω
Figur 2: Nät för beräkning av kortslutningsströmmen
parallella resistanser som kan ersättas med en resistans på 2 kΩ enligt formeln:
R9 k R10 =
R9 R10
R9 +R10
=
4·4
4+4
=2
Dåså, nodanalys ånyo:
Nod 1:
0 − V1
V1 − V2
− I02 −
=0
R1
R2
Nod 2:
V1 − V2
V2 − V3
0 − V2 + E3
V4 − V2 + E2
−
+
+
=0
R2
R6
R3
R7
Nod 3: I02 +
Nod 4:
V2 − V3
V3 − V4
−
=0
R6
R9 k R10
V3 − V4
V4 − V2 + E2
V4 − 0
−
−
=0
R9 k R10
R7
R8
Vilket vi ser direkt ger oss ekvationssystemet:

1
0
0
(− R11 − R12 )
R2

1
1
1
(− R12 − R16 − R13 − R17 )

R2
R6
R7


1
1
1
(− R16 − R9 kR
)
0

R6
R9 kR10
10

1
1
1
0
(− R9 kR
− R17 −
R7
R9 kR10
10
Som med insatta siffror ger:

 13
1
0
0 2
− 20
4

 1
2
1
− 24
− 211
 4
180
9
2
5 




13
1
2
−
−2

 0
9
18
2


1
1
3
0
−2 3
2
2
Potentialerna är således:
V1 = − 410
497 , V2 =
2910
497 , V3
=
2094
355 , V4
=
4766
2485
Och vår kortslutningsström Ik är alltså:
1
R8 )
 

I02
V1
  E

 V2  − 3 − E2 
R7 
    R3
 

 V3   −I02 
 

V4
E2
R7
4
INRE RESISTANSEN
U0 = 12, 74V
b
+A
b
-B
Ri = 6, 396Ω
Figur 3: Den eftersökta théveninekvivalent
2094
4766
355 − 2485
Ik =
V3 −V4
R10
4
Inre resistansen
+ I01 =
4
+ 1 ≈ 1, 995mA
Den inre resistansen Ri får vi enligt:
Ri =
U0
I0
≈
12,74
1,995
≈ 6, 396kΩ
Utifrån dessa värden konstrueras en Théveninekvivalent enligt Figur 3,.