Bedömning och undervisning

Madeleine Löwing

Föreläsningen  behandlar  tre  olika,  men  sammanhängande,   aspekter  av  bedömning  och  undervisning   •   Den  första  gäller  hur  du  kan  studera  matema3kinnehållet   ur  e6  undervisningsperspek3v  genom  a6  göra  det  vi  kallar   en  didak3sk  ämnesanalys.     •   Den  andra  behandlar  hur  denna  analys  sedan  utny6jas  vid   planering  av  undervisningen  och     •   Den  tredje  behandlar  hur  du  med  denna  analys  som  grund   kan  bedöma  kvalitet  i  elevernas  matema3kkunnande.    

Formativ  bedömning  eller  bedömning  för   lärande  

•   Forma3v  bedömning  handlar  om  a6  bedöma  elevernas  kunskaper   och  är  e6  bra  sä6  a6  utveckla  matema3kundervisning.     •   En  förutsä6ning  för  a6  du  ska  kunna  bedöma  andra  individers   matema3kkunskaper  är  a6  du  själv  har  goda  didak3ska   ämneskunskaper  inom  matema3kens  olika  områden.       •   Med  hjälp  av  en  ”karta”,  alltså  dina  didak3ska  ämneskunskaper,   kan  du  kommunicera  vad  eleven  ska  lära  sig  och  vilka  kvaliteter   som  krävs  i  elevens  kunnande.  Den  mentala  kartan  utgör  alltså  e6   stöd  för  dig  a6  planera  din  undervisning  och  för  a6  ge  eleven   adekvat  hjälp.  

Matematikdidaktik  -­‐  en  modell  

Ämnes-­‐   Kunskaper   Didak&ska   ämneskunskaper

IUP Lek3ons   planering Undervisningsprocessen Konkre3sering Diagnoser Pedagogisk  planering Bedömning Läsårsplanering Prov Labora3oner  

Det  krävs  ämneskunskap  för  att  bedöma!  

Strukturerad  pedagogisk  planering    

Den  goda  lärare       •   Låter  eleverna  ha  inflytande   över  vad  som  händer  i   klassrummet   •   har  sam3digt  en  klar  struktur  i   planeringen  och     •   styr  verksamheten  med  fast   men  varsam  hand  mot  de  mål   som  finns  i  planeringen.   Det  gäller  a6  kombinerar  en   målmedveten  undervisning  med   stor  flexibilitet  i  såväl  planering   som  genomförande  samt  a6   reflektera  över  den  egna   undervisningen  i  rela3on  3ll   elevernas  inlärning  och  utveckling.     För  a6  möjliggöra  god  undervisning  är  det   några  faktorer  som  är  betydelsefulla.     Det  gäller  a6  din   •   tolkning  av  matema3kinnehållet  i   kursplanen,     •   planering,   •   undervisning  och   •   bedömning     är  i  linje  med  varandra.       De6a  brukar  kallas  ”alignment”  och  syMet   med  a6  göra  en  strukturerad  pedagogisk   planering  är  a6  synliggöra  denna  linje.    

Förkunskaper  

 

If  I  had  to  reduce  all  of  educa3onal  psychology  to   just  one  principle,  I  would  say  this:  

The  most  important  factor  influencing  learning  is   what  the  learner  already  knows.  Ascertain  this  and   teach  him  accordingly.  

(Ausubel,  1968)  

 Didaktisk  ämnesanalys  

Med  hjälp  av  en  didak3sk  ämnesanalys  av  olika   matema3kinnehåll  kan  vi  rita  delar  av  kartan  i   matema3klandskapet  och  därigenom  synliggöra   förkunskapsstrukturer.   Denna  typ  av  analys  av  e6  innehåll  synliggör  vad   eleverna  ska  lära  sig,  vad  de  ska  urskilja  (få  syn  på)   och  vad  du  kan  förväntas  hjälpa  dem  med.    

Didaktisk ämnesanalys

•   •   •   •   Utgå från kursplanens centrala innehåll, Lgr 11 Tolka innehållet och formulera operativa mål Bryt ner dessa mål i delmål. •   Gör kriterieuppgifter och analysera dem. •   •   Hur hänger de samman? Vilka förkunskaper krävs för att lösa dessa uppgifter? På vilket sätt ska man behärska innehållet? Hur vet man att ett mål är uppnått? Konstruera nya kriterieuppgifter. Osv ……… .

  -­‐  

Mål  för  årskurs  9:  

Geometriska  objekt  och  dess  inbördes  rela3oner.  Geometriska   egenskaper  hos  dessa  objekt       -­‐  

Mål  för  årskurs  6:  

Grundläggande  geometriska  objekt,  däribland  

polygoner

,  cirklar,  klot,   koner,  cylindrar,  pyramider  och  rätblock  samt  deras  inbördes  rela3oner.   Grundläggande  geometriska  egenskaper  hos  dessa  objekt.  

Mål  för  årskurs  3  

-­‐   Grundläggande  geometriska  objekt,  däribland  punkter,  linjer,  sträckor,  

fyrhörningar,  trianglar

deras  inbördes  rela3oner.  Grundläggande  geometriska  egenskaper  hos   dessa  objekt.  

Förskolan  

,  cirklar,  klot,  koner,  cylindrar  och  rätblock  samt   -­‐   Utvecklar  sin  förståelse  för  rum,  form,  läge,  riktning  och  grundläggande   egenskaper  hos    mängder,  antal,  ordning  och  talbegrepp  samt  för   mätning,  3d  och  förändring  

   

Mål  för  årskurs  3      

Grundläggande  geometriska  objekt,  däribland   punkter,  linjer,  sträckor,  

fyrhörningar,  trianglar

geometriska  egenskaper  hos  dessa  objekt.   ,  klot,  koner,  cylindrar   och  rätblock  samt  deras  inbördes  rela3oner.  Grundläggande   Geometriska  objekt   Egenskaper  beskrivs  med  begrepp   •   Fyrhörning     •   Sida,    hörn   •   Triangel  –  trehörning   •   Vinkel,  rät,  trubbig,  spetsig   •   Parallelltrapets   •   Parallell   •   Parallellogram   •   Kongruent   •   Romb   •   Symmetri   •   Rektangel   •   Diagonal   •   Kvadrat   •   Regelbunden,  Oregelbunden       •   Omkrets  

För  att  eleven  ska  ha  möjlighet  att  urskilja  egenskaper  bör  man  gå   från  Bigurer  med  få  egenskaper  till  Bigurer  med  många  olika   egenskaper   Löwing & Kilborn 2010

Parallelltrapetset

Begrepp som eleven bör behärska:

Parallelltrapets, Parallell, Sida, Höjd, Bas, Normal, Vinkelrät, Diagonal, Trianglar, Area, och ??

Algebra

: Uttryck , variabel Distributiva lagen, kommutativa lagen ex. 3a + 4a = a(3 + 4)

Beräkningar

Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå? Var brukar eleverna fastna?

Att  beräkna  arean  på  en  parallellogram  

Begrepp som du bör behärska är parallello gram, rektangel, sida, höjd, normal, vinkel rät, triangel, area, bas, vinkelrät, diagonal, parallell och …..   I nödvändiga förkunskaper ingår att du bör ha förstått area på ett sådant sätt att du har en utvecklingsbar tankemodell. Det är en hjälp om du kan tänka på area som rutor, cm 2 , vilka täcker ytan. Vidare bör du tidigt ha förstått att area kan konserveras (Piaget), alltså flyttas runt utan att den ändras. Parallellogrammen till vänster kan inte direkt delas upp i kvadrater. Du kan emellertid flytta den högra triangeln och placera den till vänster som syns i figuren till höger. Där syns att en parallellogram med samma bas och samma höjd som en given rektangel har lika stor area som rektangeln.

Förståelse  av  geometriska  begrepp  kan  ligga   på  olika  kognitiva  nivåer

    makarna  Van  Hiele  synliggjorde  de6a  i  sin  forskning.     När  det  gäller  parallelltrapetset  så  kan  elever  i  årskurserna  1  –  3   känna  igen  och  namnge  denna  geometriska  figur.  De  bör  även   kunna  resonera  kring  den  som  en  fyrhörning  med  egenskaper   som  två  parallella  sidor,  diagonaler,  hörn  och  vinklar  samt   diskutera  likheter  och  skillnader  i  förhållande  3ll  andra   fyrhörningar.   På  nästa  nivå  kan  eleverna  dra  höjden,  som  är  en  normal  3ll   basen  samt  diskutera  omkrets  och  area  i  specifika  fall.     Senare  kan  eleverna  tänka  kring  parallelltrapetser  i  generella   termer  på  e6  sä6  som  visats  ovan.     UppgiMer  som  eleverna  ska  lösa  kan  således  konstrueras  på   olika  sä6  och  lösas  på  olika  kogni3va  nivåer.  

Begrepp och uppfattning (förståelse)

Begrepp  nivå  A+1 F      Begrepp  nivå  A F   Under-­‐   visnings   process   Uppfa6ning  nivå  A+1,  1 Uppfa6ning  nivå  A+1,  2 F F Uppfa6ning  nivå  A+1,  3 Uppfa6ning  nivå  A,  1 Uppfa6ning  nivå  A,  2 Uppfa6ning  nivå  A,  3

  Ett  första  steg  mot  en  didaktisk  ämnesteori    

Så  här  beskrivs  en  didak3sk  ämnesteori  av  Johansson  och  Kilborn  (1986):    

Det  är  vår  uppfa@ning  a@  den  grundläggande  orsaken  All  dessa  skillnader  i   val  av  innehåll  ligger  i  det  faktum  a@   akademiska  disciplinen  matemaAk .  …   vi  saknar  en  didakAsk  ämnesteori,  en   ämnesteori  för  skolämnet  matemaAk.  Denna  teori  går  inte  a@  härleda  ur  den  

     

De  instrument  man  på  den  nivån  har  utvecklat  är  mycket  trubbiga  och   okänsliga  hjälpmedel  för  vardagsmänniskan  när  hon  skall  försöka  greppa  sin   omvärld.  En  didakAsk  ämnesteori  för  skolämnet  matemaAk  går  heller  inte  a@   härleda  från  erfarenheter  av  några  begränsade  fenomen,  som  man  oFa   arbetar  med  inom  den  pedagogiska  och  inlärningspsykologiska  forskningen….   Istället   behöver  vi  en  teori  som  innehåller  omvärldsrelaterade   kunskapsstrukturer  och  som  samAdigt  är  väl  anpassad  All  kunskaper  om  hur   lärare  och  elever  uppfa@ar  de@a  innehåll .    

Institution för pedagogik och didaktik| Madeleine Löwing 2013-04-16

    Ämneskunskaper  i  relation  till  individ  och  situation.  

 SyMet  med  en  teori  är  a6  den  skall  bidra  3ll  a6  förklara  och   systema3sera  kunskap  inom  e6  speciellt  område.  Vad  en   matema3kdidak3sk  teori  bör  förklara  och  systema3sera  är  hur   elever  på  olika  sä6  kan  lära  sig  matema3k  i  olika  åldrar  och   utgående  från  individuella  förutsä6ningar,  förmåga  och  behov.      EMersom  elever  i  olika  åldrar  såväl  lär  som  uppfa6ar  omvärlden  på   olika  sä6,  måste  det  som  lärs  utvecklas  stegvis  från  förenklade   preliminära  uppfa6ningar  3ll  allt  mer  slutgil3ga.  Hur  dessa  slutgil3ga   uppfa6ningar  ser  ut  är  beroende  på  elevens  individuella  behov  och   förmåga.   Institution för pedagogik och didaktik| Madeleine Löwing 2013-04-16

  Ball  och  Bass  beskriver  

pedagogical  content  knowledge

 ,  PCK   så  här:    

Pedagogical  content  knowledge  is  a  special  form  of  knowledge      that  bundles  knowledge  with  knowledge  of  learners,  learning  and   pedagogy.      These  bundles  offer  a  crucial  recourse  for  teaching  mathema3cs,  for  they   can  help  the  teacher  an3cipate  what  students  have  trouble  learning,  and   have  ready  alterna3ve  models  or  explana3ons  to  mediate  those   difficul3es.            A  second  problem  concerns   used  in  course  of  teaching  

how

 subject  ma6er  must  be  understood  in   order  to  be  usable  in  teaching.  We  need  to  probe  not  just  

what

 teachers   need  to  know,  but  to  learn  also  how  that  knowledge  need  to  be  held  and   Institution för pedagogik och didaktik| Madeleine Löwing 2013-04-16

Läraren,  innehållet  och  eleven    

  Goda  ämneskunskaper  är  en  förutsä@ning  för  a@  lärarna  skall   kunna  ta  utgångspunkt  i  e@  tänkt  innehåll.  Skall  All  exempel  en   uppfa@ning  om  e@  specifikt  innehåll  urskiljas  eller  fokuseras  hos   eleven,  måste  läraren  själv  ha  Allräckliga  kunskaper  om  ämnet.   Först  då  kan  han  eller  hon  veta  vad  som  skall  urskiljas,  vad  som  är   perifert,  hur  olika  principer  inom  ämnet  är  relaterade  All  varandra   och  hur  dessa  grundläggande  principer  kan  presenteras.      Genom  en  djupare  ämneskunskap  kan  läraren  förklara  och  skapa   analogier  när  e@  specifikt  innehåll  diskuteras  och  skall  förmedlas.   Men  varken  gedigna  ämneskunskaper  i  sig  eller  väl  utvecklad   metodisk  förmåga  är  Allräckliga.  Det  är  hur  dessa  två  aspekter  av   undervisning  förenas  som  är  central,  vilket  denna  studie  visar

.     (

Alexandersson

)  

Lärare  visar  en  hög  social  kompetens,  alla  elever   uppmärksammas  

•   Lärare  fokuserar  oMa  på  a6  alla  elever  ska  bli  sedda  och  få   komma  3ll  tals  och  våga  prata,  istället  för  på  vad  eleverna   fak3skt  säger  och  vilken  matema3sk  förståelse  som  kommer  3ll   u6ryck  i  redovisningarna.     •   En  konsekvens  av  de6a  blir  a6  felak3ga  redovisningar  och   lösningar  inte  uppmärksammas  och  tas  upp  3ll  diskussion  och   korrigeras,  utan  får  stå  kvar  oemotsagda  på  tavlan,  något  som  i   sin  tur  skapar  förvirring  bland  eleverna.  De  kan  ju  inte  all3d   avgöra  om  det  kan  vara  så  –  kanske  är  det  e6  annat  sä6  a6   tänka?    

Framgångsfaktorer

•   Läraren  har  tydliga  mål  för  lek3onen  :  

Månghörningar  och  dess  egenskaper  

•   Lek3onen  är  e6  led  i  en  välplanerad   sekvens  av  geometrilek3oner       •   •     •   Eleverna  arbetar  3llsammans,    pratar  om  begrepp  och  illustrerar  dem   Läraren  går  runt  och  stödjer  deras   arbete  genom  a6  ställa  utmanande   frågor  samt  korrigerar  om  något  blir  fel   Läraren  samlar  klassen  för  en   gemensam  sammanfa6ning       •   Eleverna  arbetar  individuellt  vilket   befäster  kunskaperna  

Bild  L5.4

Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Vanligaste  målen  i  projektansökningarna  

•   Bort  från  läromedlens  styrning   •   Mer  varia3on  i  undervisningen   •   Arbeta  med  förmågor   •   Bygga  upp  en  Matema3kverkstad   Madeleine Löwing,

Formativ  bedömning  eller  bedömning  för   lärande  

Bygger  enligt  Hogden  och  Wiliam  (2006)  på  på  fem   principer  .     •   •   •   •   •   Undervisningen  måste  utgå  från  var  eleverna  är   Eleverna  måste  känna  3ll  avsikten  (mål  och  syMe)  med   undervisningen   Eleverna  ska  vara  ak3va  i  inlärningsprocessen   Eleverna  måste  få  diskutera  (utrycka)  sina  idéer   Feedback  3ll  eleverna  är  en  förutsä6ning  för  förbä6ring.  

Ett  formativt  arbetssätt  

•   Läraren  lyssnar  på  elevernas  svar  och  frågor  i  samband   med  genomgångar,  labora3oner  m.m.   •   Läraren  måste  med  frågor  och  kommentarer  skapa   konflikter  i  felak3ga  resonemang  som  elever  bygger  upp   och  på  så  sä6  synliggörande  matema3ken.     •   Om  man  inte  tar  upp  och  diskuterar  felak3ga  lösningar   eller  icke  utvecklingsbara  strategier,  och  förklarar  varför   de  inte  fungerar  eller  är  utvecklingsbara,  uteblir  det   forma3va  arbetssä6  lärare  oMa  säger  sig  vilja  arbeta  med    

Feedback  and  Feedforward  

•   En  av  de  vik3gaste  aspekterna  för  forma3v  bedömning  är  a6  ge   feedback  3ll  eleverna  utgående  från  uppställda  mål  och  i  rela3on  3ll   deras  presta3oner.    Rela3onen  mellan  feedback  och  målrelaterade   utmaningar  är  komplex.     •   Feedbacken  ska  vara  relaterad  3ll  kri3ska  aspekter  av  de  innehållsliga   målen     •   Det  är  främst  uppgiMsrelaterad  feedback  som  visat  sig  vara   avgörande  för  inre  mo3va3on.  Feedback  på  uppgiMsnivå  är  också   mest  effek3v  om  den  inte  är  för  specifik  utan  ger  kunskap  som  kan   användas  utöver  den  specifika  uppgiMen.     •   Feedback  på  personlig  nivå,  värderande  feedback  3ll  eleven  alltså   beröm  på  personnivå,  utan  koppling  3ll  själva  uppgiMen  eller   innehållet,  är  den  typ  av  feedback  som  har  minst  effekt  på  lärandet.   (Hake  &  Timperley,  2007)    

Vilken  lärarkunskap  krävs?  

  Om  de6a  skriver  Ma  (1999)    These  principles  make  substan3al  demands  on  teachers’   subject  knowledge  not  only  to  make  sense  of  what  pupils   say  but  also  to  be  able  to  determine  what  would  be  the   most  appropriate  next  steps  for  the  pupil.  This  is  not  the   abstract  knowledge  gained  from  advanced  mathema3cs,   but  rather  a  profound  understanding  of  fundamental   mathema3cs.    

Mål och fokus.

Ex från innehåll-och delningsdivision .

1        4/20  =  5    (20  delat  på  4)          24/8  =  3

 

 (24  delas  på  3  blir  8)          16/3  =  5

   

         27  kr/  9  kr  (27  kr  delas  på      3  barn  =  9  kr)            Demonstra3on:  15/3     2.  Redovisa  färdiga  u6ryck  i  fyrfältsblad.     Alla  grupper  utom  en  gör  delningsdivision.   Innehållsexemplet  ändras  3ll  delning.         Elevfråga:  ”Varför  får  vi  så  lä6a  tal,  kan  vi   inte  få  lite  större?”  

1/2 = 50% = 0,5

Att jämföra ½ , 50% och 0,5 är olyckligt, Talen 0,5 och ½ uppfattas som tal. Talet ½ kan också tolkas som en andel, nämligen 1 av 2 eller 50 av 100 dvs. 50/100. 50% är däremot inte ett tal utan enbart en andel och ger ett tal först när man tar 50% av något. 50% av en hel är lika med ½ 50% av 4 är lika med 2.

•    

Variation  men….     Vad  är  det  som  ska  varieras?    

Arbetsform  och  arbetssä6:   argumentera  och  kommunicera  

   

  •   Undervisningens  innehåll:      a6  variera  aspekter  av  innehållet  i  undervisningen,      a6  variera  graden  av  konkre3sering,  så  a6  den  anpassas  3ll  olika  individuella   behov    a6  variera  representa3onsform       •   Frågor  3ll  eleverna  i  avsikt:    a6  individualisera    genom  a6  med  flexibilitet  följa  upp  nya  idéer  från  eleverna,   utmana  olika  elever  eller  med  hjälp  av  frågor  synliggöra  missuppfa6ningar  och   3llrä6alägga  dessa.       Det  är  alltså  inte  varia3onen  i  sig  som  är  det  primära  det  är  syMet  med  varia3on.     Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Variation av vad?

Utvecklingsbart  och  generaliserbart.    

     Men……    Materialet  begränsar  möjligheten  3ll  varia3on  av  e6    antal  aspekter  av  bråkbegreppet.   Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Förmåga? Redovisning/uppföljning? Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

 

Formativ  bedömning  och  variation  i  tankeformer.  

 

UppgiB    

(Åk  7)

:     Av  talen  6,  9  och  15  kan  man  bilda  sex   olika  bråk,  vilket  är  

 

 a)  minst                  b)  störst  

En  elevgrupp  redovisar  vid  tavlan  och   beskriver  a6  de  hade  tänkt  via  tal  i   decimalform.     En  annan  elev:  15  är  minsta  delen  och  ju   mindre  delar  där  nere  (nämnaren),  desto   mindre  är  bråket.  Alltså  femtondelar.  Har   man  då  få  sådana  bitar  (täljaren)  så  måste   det  vara  minst.  Och  då  är  sex  femtondelar   minst  eMersom  det  är  färre  än  nio   femtondelar.  Ju  större  delar  (nämnaren)   och  ju  fler  av  dessa  man  tar  desto  större   blir  talet.  Alltså  femton  sjä6edelar  är   störst.     Läraren  säger  så  kan  man  också  tänka  och   går  vidare.     Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Hur kan undervisningen utvecklas?

•   •   •   •   •   Läraren utvecklar och fördjupar sina didaktiska ämneskunskaper Undervisningsprocessens delar förtydligas Målbeskrivning som är operativa Innehållslig progression årskurs F- 9 Materialets syfte: Konkretisering, Laboration eller Färdighetsträning Individualisering Bedömning Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Klassrumsstudier   Insamling  och  analys  av  material  utifrån:  

•   Ramfaktormodellen •   Didaktisk ämnesteori Teori för: •   utvärdering •   bedömning •   klassrumsstudier Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö

Ramfaktormodellen

Politiska mål Syfte och mål enligt Styrdokumenten Pedagogisk planering Givna (fasta) Ramar Av läraren valda ramar Undervisningsprocessen Undervisningens resultat [email protected]

Lektion i årskurs 8

E L E L E L E L E L E L E L Uppgiften:

Skriv i 7/4 som procent

. L E L Kan du skriva den som blandad form? Ääh, …en hel och tre fjärdedelar. Ja, en hel och tre fjärdedelar. Kan du skriva den som decimal form nu? En komma tre………. Tre fjärdedelar hur mycket blir det? Ääh. Hm… Vad ser du här? Att hundra delat på fem är 20 gånger. Om du skall göra samma sak här? Hundra delat på fyra? Hur mycket är det? Ääh…tr………….. Hälften av hundra hur mycket är det? 50. Och hälften av 50? Ja vänta nu, öh …. vad heter det …… 25. Ja och den gånger den?

       

E L E L E L E L E L E L E L E L E --- Nej, kom igen nu! Ja men……… Det är cirka tjugofemöringar och tjugofem vad som helst. 25 plus 25 hur mycket är det? 25 plus 25? Hm. 50. ….och 25? Va? Plus 25. Jaha, är 75 Ja alltså det här blir lika med? 75. 75 … Tänk så här först, vi har en hel. … sen 75,….,och om du skriver den i procent, hur mycket blir det? 175 Har du fattat? Ja.

Den sista frågan är retorisk och kan enligt skolans lektionsnormer bara besvaras med ja. Fråga är emellertid

vad

eleven hade fattat: Hade hon till exempel förstått att eftersom 1/4 = 25% så kan 3/4 skrivas som 3 ⋅ 25%? Hade hon som ett alternativ förstått att 3/4 = 0,75, vilket enligt bokens strategi kan skrivas som 75% ?

Ett  uppgift  och  dess  lösning  

       

En  cirkel  C  är  given.  A  är  en   kvadrat  som  är  omskriven   cirkeln  C  och  B  är  en  kvadrat   som  är  inskriven  i  cirkeln  C:  

             

       

 

Hur  stor  är  den  större   kvadraten  jämfört  med  den   mindre?  

Den större kvadratens sida är densamma som cirkelns diameter,

d

. Denna har alltså arean sida är

s d 2

. För att beräkna den mindre kvadratens area, beräknar vi först dess sida. Den mindre kvadraten har diagonal gemensam med cirkeln. Om dess ger det, med Pythagoras sats,

s

= ,vilket i sin tur ger kvadraten arean Den större kvadraten är alltså dubbels så stor som den mindre.  

.

Alternativ

 

lösning  

Figur  2     Eleven  vrider  den  inre  kvadraten  i   figur  1  så  a6  hon  får  figur  2.  I  figuren   bildas  fyra  likbenta  och  rätvinkliga   trianglar  med  den  inre  kvadratens   sida  som  hypotenusa  och  halva  den   y6re  kvadratens  sida  som  katetrar.   HälMen  av  den  större  kvadratens  sida   utgörs  av  halva  diametern  för   cirkeln.  Det  är      .  Pytagoras  sats  ger  då                        =              ,  vilket  direkt  innebär  a6  den   mindre  kvadratens  area  är  hälMen  så   stor  som  den  störres .  

 

Ytterligare  en  lösning  

Figur  3 Eleven utgår från den andra figuren ovan och ritar in två symmetri linjer. Alternativt ges eleverna denna figur att utgå ifrån. Nu är de fyra yttre trianglarna spegelbilden av respektive inre trianglar i den inre kvadratens sidor. Dessa är alltså kongruenta och har därmed samma area. Den större kvadraten består av åtta sådana trianglar och den mindre av fyra, varför den större kvadraten är dubbelt så stor som den mindre.  

En  annan  uppgift  och  dess  lösning  

Du  har  en  cylinder.  Hur   mycket  större  blir  volymen   om  diametern  och  höjden  blir   dubbelt  så  långa?   Många elever tycker att det verkar svårt att lösa denna uppgift när de inte vet hur stor radien eller höjden är. Du ger dem kanske rådet att anta några värden. Antag att radien är 10 cm och höjden 10 cm. Cylinderns volm beräknas med hjälp av formeln  V  =                      .     Cylinder  1  har  radien  10  cm  och  höjden  10   cm.   Cylinder  2  har  radien  20  cm  och  höjden  20   cm.   Förhållandet  mellan  de  båda  volymerna  är

Två  alternativa  lösningar  

Du  har  en  cylinder.  Hur   mycket  större  blir  volymen   om  diametern  och  höjden  blir   dubbelt  så  långa?       Elever  som  kommit  lite  längre  i  si6   matema3ska  tänkande  kan  använda  formler   och  resonera  u3från  dessa.   8 Några elever kanske använder förhållandet mellan längdskala och volymskala och ser då direkt att svaret blir 8 gånger.

En  välgjord,  strukturerad  pedagogisk  planering   fungerar  som  e6  stöd  för  dig  och  dina  elever  i  det   dagliga  arbetet  och  möjliggör  en  forma3v   undervisningsprocess.      

När  du  planerar  din  undervisning  bör  du  ha  e6   systemtänkande

.  Utgå  från  det  matema3kinnehåll   som  ska  behandlas,  välj  sedan  uppgiMer,   arbetssä6,  etcetera  så  a6  elevens  lärande   främjas.     Tänk  själv  igenom  vad  du  vill  a6  eleverna  ska   förstå.  Gå  däreMer  igenom  mål  och  kunskapskrav   3llsammans  med  eleverna  

Frågor för dig att besvara vid planering inför en lektion eller en svit av lektioner •   Vad ska du undervisa om nästa lektion/område? •   •   Vilka mål har du för elevens lärande? Vad behöver eleven ha förstått för att ha möjlighet att förstå det du avser? •   •   •   •   •   •   Hur vet du om eleven har dessa kunskaper? Vilken/Vilka förklaringsmodell/er kommer du att använda för att beskriva innehåller (begreppet, modellen, metoden)? Vilka uppgifter avser du att använda i undervisningen? (kvalitet, sekvensering etc.) Hur kommer du att individualisera undervisningen? Vilket arbetssätt är lämpligt för att behandla det aktuella innehållet? Hur vet du att eleverna efter lektionen/lektionerna har nått målet?

Arbeta  språkutvecklande    

Det  innebär  a6  du  hjälper  eleven  a6  använda  en  korrekt   terminologi  och  a6  du  på  e6  adekvat  sä6  talar  om  olika   begrepp,  egenskaper  eller  modeller  inom  matema3ken.     Du  ska  korrigera  och  ställa  frågor  så  a6  du  kan  vara  säker  på  a6   eleven  förstå6  begreppen,  sambanden  etcetera  på  e6  korrekt   sä6  och  a6  hon  u6rycker  sig  tydligt.     Lärande  samtal  och  reflekterande  diskussioner  med  eleverna   som  effek3va  och  dynamiska  klassrumsak3viteter  som  synliggör   lärandet.     Hajer,  &  Meestringa,  Theun,  2010   Wiliam,  2007     Gibbons,  2006    

Vad står det i kursplanen?

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att •   formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, •   använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, •   välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, •   föra och följa matematiska resonemang, och •   använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Att bedöma förmågor

Möjligheterna att bedöma dessa förmågor är helt beroende av det centrala innehållet. •   •   •   •   •   Eleverna kan inte

värdera strategier

de inte har, eller analysera

begrepp och samband

som de inte känner till. De kan inte heller använda

metoder

de inte behärskar,

resonera

om dem eller

uttrycka

dem. Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är en förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva sina förmågor. Kunskaperna som testas med Diamant skapar förutsättningar för eleverna att utveckla sina förmågor.

Förmågorna är inte heller statiska utan måste hela tiden utvecklas parallellt med att innehållet i det matematiska kunnandet utvecklas. Eleven behöver således successivt tillägna sig •   ett mer utvecklat språk, •   •   nya uttrycksformer och förmåga att föra logiska resonemang i nya situationer och inom nya områden.

    Madeleine  Löwing   [email protected]