Transcript RÄKNEÖVNINGAR

RÄKNEÖVNINGAR
utdrag ur kompendiet
VIBRATIONER
I
MEKANISKA SYSTEM
STIG SANDSTRÖM
SSM
Engineering
7
NÅGRA EXEMPEL
Vi skall här studera några exempel och bland annat jämföra noggrannheten vid
beräkning av resonansfrekvenser för diskreta system kontra kontinuerliga system. Vi
skall också se på en förenklad konstruktion/modell av en “dynamisk absorberare”.
Exempel 1
Konsolbalken i figur 7.1 som är ett 3" Sch 40-stålrör (OD=88.9 & t=5.49 mm vilket ger
ID=77.9 mm) utför vertikala svängningar. Rörets längd är 4 meter och det väger totalt
44.6 kg. Beräkna lägsta resonansfrekvensen f1 genom att placera rörets halva massa
längst ut på toppen som i figur 7.2. Ibland används benämningen egenvinkelfrekvens
som betecknas ω där ω = 2πf.
Figur 7.1
Svängande konsolbalk.
I litteraturen (t ex Åkesson B. et al, Böjsvängande balkar och ramar) fås att egenvinkelfrekvenserna kan skrivas (exakt) som
(7.1)
där βn i detta fall är talen 0.3562, 2.233, 6.251, ... för n= 1, 2, 3, ... . E är eleasticitetsmodulen (N/m2), I är balktvärsnittets tröghetsmoment (m4), m är balkens massa per
längdenhet (kg/m) och L är balkens längd.
Insättning av värden för 3"-röret i ekv (7.1) med E = 210A109 Pa, I = π(OD4-ID4)/64 =
1.26A10-6 m4, m = ρπ(OD2-ID2)/4 = 11.3 kg/m där ρ = 7850 kg/m3 och L = 4 m ger de två
lägsta resonansfrekvenserna (n=1 och 2) f1=5.32 respektive f2=33.4 Hz.
SSM
Engineering
2009
1
Lösning
Figur 7.2
Konsolbalken i figur 7.1 med approximerad massa placerad längs ut på balkens topp.
Balkens nedböjning δ kan enklast beräknas med hjälp av elementarfallstabeller, se t ex
KTH formelsamling. Genom att applicera en kraft F som i figur 7.3
Figur 7.3
Konsolbalken i figur 7.2 med kraften F placerad längs ut på balkens topp. Uppkommen
förskjutning är δ.
ser man i elementarfallstabellen att
(7.2)
som kan skrivas om enligt
(7.3)
Jämförelse med uttrycket F=kδ (“fjäderekvationen”) ger då att
SSM
Engineering
2009
2
(7.4)
Man ser vid jämförelse av figurerna 7.2 och 7.3 att kraften F=Mg. För egenvinkelfrekvensen hade vi tidigare
7.5)
Insättning av fjäderstyvheten, ekv (7.4) och massan M=mL/2 ger då lägsta egenvinkelfrekvensen
(7.6)
Vilket ger f1 = ω1 / 2π = 3.72 Hz. Jämförs detta med ekv (7.1) eller exakt beräknat f1 så
finner vi att noggrannheten är ganska dålig (30% fel). Genom att dela upp i fler massor,
vilket är detsamma som att dela upp röret i fler element, ökar noggrannheten. Skall man
beräkna f2 på detta sätt måste man ha två eller fler massklumpar.
Uppgift:
Modellera exempel 1 med hjälp av CAEPIPE (hämtas på www.sstusa.com).
Börja med ett element och öka sedan antalet element så att lägsta egenfrekvensen f1 är inom felet ±3%. Hur många element behövs? Hur många
element behövs om andra egenfrekvensen skall vara inom samma felgräns?
Egenfrekvenserna kan exakt beräknas med ekv (7.1) där βn är given.
Exempel 2
Samma data (diameter, längd etc) som i exempel 1 ovan kan göras med ett fritt upplagt
rör på två stöd enligt figur 7.4. Indelning i två element ger då massan M=mL/2 som
placeras mitt på spannet.
SSM
Engineering
2009
3
Figur 7.4
Fritt upplagd balk (rör) uppdelat i två element med punktmassan M=mL/2 mitt på
spannet. Utböjningen under punktmassan är δ.
Lösning
Elementarfallstabell ger att
(7.7)
varför
(7.8)
Insättning på samma sätt som ovan ger att egenvinkelfrekvensen är
(7.9)
vilket ger f1 = 14.9 Hz. Det exakta värdet fås med ekv (7.1) och β1=1 vilket ger f1 = 15.0
Hz. Denna approximation har alltså endast ett fel på 1% vilket är mycket bra.
För att exakt beräkna 2:a egenvinkelfrekvensen används β2 = 4 i ekv (7.1) vilket ger f2
= 60.1 Hz. För att beräkna detta krävs minst två punktmassor. För att göra matematiken
bekvämare använder man ofta då s k matrisbehandling. Vi gör därför inte denna övning
här.
SSM
Engineering
2009
4
Uppgift:
Gör beräkningen med CAEPIPE för 1 element. Därefter görs samma
beräkning med två element. Hur många element behövs för att 2:a resonansfrekvensen skall vara inom felgränsen 3%?
Exempel 3 “Vibrationsabsorberare”
En pump, inklusive motor är placerad på två IPE-120-balkar enligt figuren nedan.
Vibrationsmätningar visar på hög vibrationsnivå i vertikal riktning. Mätvärdena är
VRMS=40 mm/s vid ca 25 Hz och är konstanta utmed motor och pump (linjen A-B-C) i
figuren.
Massan 300 kg fördelar sig lika på IPE-balkarna. Motorn är en vanlig asynkronmotor
med ett varvtal på ca 1475 r/min. Eliminera eller sänk vibrationerna med hjälp av en s
k ‘dynamisk absorberare’ (Dynamic Absorber).
Lösning
Det kan vara lämpligt att undersöka var frekvensen 25 Hz har sitt upphov. Antalet
svängningar per minut blir 25@60=1500 vilket är något högre än motorns varvtal. Å
andra sidan är den uppmätta frekvensen 25 Hz bara ett ungefärligt värde eftersom
noggrannheten hos en frekvensmätning beror på storleken av uppmätt frekvensområde
etc. Vi kan alltså på goda grunder slå fast att systemet svänger med motorns varvtal.
Pump- och motoraxlarna är balanserade flera gånger men detta verkar inte hjälpa.
Låt oss först kontrollera systemets (lägsta) resonansfrekvens i vertikalled. I horisontalled
(sidled) finns en ännu lägre resonansfrekvens eftersom ramverket inte är uppstyvat med
snedstag. Lägsta resonansfrekvensen i vertikalled fås med hjälp av ekv (4.1) dvs
(7.10)
Givet var också att varje balk bär halva pumpens massa dvs m=300/2=150 kg. Från
balkarna tillkommer en del vikt som borde inkluderas i m. I detta fall är dock balkens
massa liten (ca 10 kg) jämfört med ‘massklumpen’ dvs pump och motor (150 kg).
SSM
Engineering
2009
5
Figur 7.5
Pump placerad på två balkar IPE-120. Punkten B är placerad mitt mellan A och C.
Studera nu ena balken och ersätt massan m=150 kg med kraften F. Balkens deformation
under kraften F är δ som beräknas enligt elementarfallstabeller, se t ex [1]. Tabell ger
nu
(7.11)
som skrivs om enligt
(7.12)
Jämförelse med ‘fjäderekvationen’ F=kδ ger nu att
(7.13)
Stålkatalog ger för stående balk IPE-120 att Ix=318 cm4 =318A10-8 m4. Dessutom är
arean=13.2 cm2, Iy=27.7 cm4 och vikten=10.4 kg/m samt för stål gäller ju E=210A109
N/m2. Insättning i ekv (7.13) ger då
SSM
Engineering
2009
6
vilket ger resonansfrekvensen (den lägsta)
vilket innebär resonans! (Tar man nu hänsyn till balkens halva massa, 10.4 kg, fås 25.1
Hz).
Var ska nu absorberaren placeras? Före vi bestämmer detta bör vi studera vilka övriga
svängningsformer som kan förekomma. Vibrationsmätningarna visade ju att både motor
och pump dvs hela linjen A-B-C i figur 7.5 svänger som en stelkropp eftersom samma
vibrationshastighet uppmätts utmed hela linjen.
Man skulle också kunna tänka sig att punkten A rör sig uppåt medan punkten C rör sig
nedåt. På grund av att konstruktionen är symmetrisk med avseende på mittlinjen
kommer då punkten B att stå still. Frekvensen för denna egenmod skall nu beräknas/uppskattas med hjälp av följande resonemang.
Vid denna svängningsmod står en del av pumpens massa mer eller mindre still, låt oss
gissa på halva massan. Resterande massa (150 kg) fördelar sig lika på båda IPE-balkarna
vilket då ger oss 75 kg på varje balk. Styvheten/fjäderkonstanten är dock densamma balkarna är ju oförändrade. Resonansfrekvensen blir då
(En noggrannare beräkning visar att denna resonansfrekvens är 39 Hz). Vi bör nu placera
absorberaren så att vi påverkar (=sänker) denna resonansfrekvens så lite som möjligt.
Eftersom punkten B i figur 7.5 är stilla i denna egenmod så kommer en extra massa som
placerats i punkten B inte att förändra denna resonansfrekvens. Placeringen kan då se ut
som i figur 7.6 nedan.
SSM
Engineering
2009
7
Figur 7.6
Som figur 7.5 men med absorberaren placerad i punkten B.
Den dynamiska absorberaren skall nu enligt avsnitt 4.2.4 i kompendiet avstämmas så att
dess resonansfrekvens är lika med systemets resonansfrekvens. I vår massa-fjädermodell
skulle systemet se ut som figur 7.7 nedan.
Figur 7.7
Fjäder-massa-modell av system med absorberare.
Vi hade att resonansfrekvensen var 26 Hz varför absorberaren skall avstämmas till 26
Hz, dvs
SSM
Engineering
2009
8
‘Tillverka’ nu en konsolbalk med punktmassa på toppen enligt figur 7.8.
Figur 7.8
Absorberaren i form av konsolbalk och punktmassa.
Jämförelse med elementarfallstabell ger nu
(7.14)
och
(7.15)
Börja med att pröva massan m2=1 kg. Vi får då att
vilket ger att k2=26687 N/m som nu sätts in i ekv (7.15) ovan. Med E=210A109 N/m2
(stål) fås då
(7.16)
Välj nu t ex en plattstång med bredden b och höjden h till konsolbalken enligt figur 7.9.
SSM
Engineering
2009
9
Figur 7.9
Tvärsnitt av plattstången/’konsolbalken’.
Tröghetsmomentet kring x-axeln blir då
(7.17)
Pröva nu med längden L2=0.3 m i ekv (7.16) vilket ger
dvs bh3/12=1.144A10-9 m4. Pröva nu med h=5 mm=5A10-3 m i ekv (7.17)och vi får
Enligt stålkatalog finns det en dimension, b=110 mm, h=5 mm vilken väljes med
längden=300 mm.
Massan m2=1 kg fås t ex genom att ta två plattstångsbitar 110x5 mm med längden 100
mm och bulta fast på toppen av konsolbalken. Denna massa blir något mindre än 1 kg
men detta torde kompenseras av konsolbalkens massa. Observera nu att massan m2's
tyngdpunkt skall ligga på avståndet 0.3 m från den punkt där konsolbalkens infästning
börjar. Observera också att konsolbalkens ‘infästningslängd’ inte ingår i längden 300
mm. Totala längden blir alltså större än 300 mm!
En test† visar nu att vibrationsnivån vid 26 Hz har sjunkit till mindre än 25% av den
ursprungliga dvs till ca 8 mm/s vilket är acceptabelt.
†
SSM
Testen är i detta fall en noggrannare dynamisk analys.
Engineering
2009
10
Att ‘dimensionera’ absorberaren kräver naturligtvis en hel del passningsräkning och
även testning på plats. Om t ex massan 2 kg väljs kan man välja plattstång 50x8 mm
med längden 300 mm etc, pröva själv.
Ett annat sätt att sänka vibrationsnivån hade varit att sätta på en massklump (adderad
massa) i B. Hur stor skulle denna behöva vara för att flytta resonansfrekvensen till 21
Hz? Pröva om CAEPIPE kan användas för denna analys.
SSM
Engineering
2009
11