Transcript Lektion 1 Mängdlära (pdf)

Matematik 5
Mängdlära
Gonville and Caius
College, Cambridge,
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Begreppet mängd, operationer på
mängder, mängdlärans notationer och
venndiagram.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Mängdlära till vad?
Agenda 21 är ett avtal som många länder anslutit
sig till och handlar om hur vi ska få ett hållbart
samhälle att fungera. Den består av tre stora
kategorier social, ekonomiska och ekologiska.
Social
Ekonomisk
I varje kategori finns
det olika Faktorer
som påverkar hållbar
utveckling.
Ekologisk
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Mängdlära i matematiken?
Mängdläran(set theory) kallar kategorierna
för mängder och faktorerna för element.
A
B
BMW
12
-4
1
-1
Volvo
2
FIAT
 4 B
 (tillhör / är ) och  (tillhör/är inte)  4  A
Vi inför två symboler
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talens indelning
ℕ = Naturliga tal
ℤ = Heltal
ℚ = Rationella tal (Bråk med upprepad decimalföljd)
ℝ = Reella tal
ℂ= Komplexa tal
ℂ
ℝ
ℚ ℤ ℕ0
231 43
-8
-9990
-31
−
-7i
3
7
1
2
π
− 10
2
2i
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Att skriva mängder
A
Vi har två sätt att skriva mängder på
1.
A  1, 2, 3, 4, 5, 6
4 2
3
1
6
 x : 1  x  6 där x är ett heltal
A  x  Z : 1  x  6 
2. A
”Mängden av alla x, sådana att x ligger mellan 1
och 6 och där x är ett heltal”
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
5
Fler begrepp
Om vi har en mängd som inte
innehåller några element kallar vi
den för tomma mängden och
betecknas Ø eller { }
Om en mängd består av alla
element som förekommer i en
viss situation kallas det för
grundmängd och betecknas U.
Om elementen är naturliga tal så är U= ℕ
grundmängden
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
A
U
ℕ
Fler begrepp
Om alla begrepp som finns i
mängden A också finns i
mängden B, är A en
delmängd av B.
Det betecknas
A B
A
4
3
2
B
ℕ
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Venndiagram
För att mängdläran ska bli tydlig har
matematiker försökt att illustrera det
med hjälp av cirklar och en rektangel.
Venn var en engelsk matematiker.
Grundmängden, U =rektangel
Delmängder = cirklar
A
U
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
B
Venndiagram – Disjunkta
A
B
Om mängderna inte har några
gemensamma element kallar vi
dem disjunkta.
U
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Venndiagram – delmängd
B
A
U
B A
A
B
U
Om alla begrepp som finns
i mängden B också finns i
mängden A, är B en
delmängd av A.
Om alla begrepp som finns
i mängden A också finns i
mängden B, är A en
delmängd av B.
A B
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Venndiagram – Disjunkta
A
U
B
Det finns element, som finns i A
och B men det finns också
element i A som inte finns i B
och det finns element i B som
inte finns i A.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Snittet (skärningsmängd)
A
Om vi har två mängder:
A   2, 3, 4
B
B   4, 5
U
Snittet
Vi ser att det är ett element som är
gemensamt för båda mängderna är 4.
Vi säger då att snittet av A och B är 4.
Detta skrivs:
A B  4

Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Unionen (Föreningsmängden)
A
Om vi har två mängder:
A   2, 3, 4
B
B   4, 5
U
Unionen är alla element som ingår i
mängden A och B. Vi säger då att unionen
av A och B är 2,3,4 och 5.
Detta skrivs: A  B  2, 3, 4, 5

Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net

Differensen
A
Om vi har två mängder:
A   2, 3, 4
B
B   4, 5
U
Differensen är alla element som ingår i
mängden A som inte tillhör B. Det betyder i
vårt fall 2 och 3.
Detta skrivs: A B  2, 3
 
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Komplementmängd
Om A  U är alla element A
som inte tillhör A då
komplementet till A,
U
komplementmängden.
Betecknas AC eller ∁𝐴
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
AC
Barberarens paradox (Russel)
A
AC
U
I en stad finns bara en barberare.
Han rakar alla dem som inte rakar
sig själva (men han rakar inga
andra). Rakar barberaren sig själv?
(1901)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Företaget
På ett företag fanns det tre projekt
igång samtidigt. 28 medarbetare
jobbade med produktion, 12 st
med administration och 10 st med
försäljning. Man vet också att:
• 5 st jobbade både med produktion och
försäljning.
• 3 st jobbade med både försäljning
och administration
• 4 st jobbade med produktion och
administration.
• Dessutom var chefen inblandad i alla
grupperna.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Teckna mängden för av arbetare
som:
a) Jobbar i administration och
produktion.
b) Arbetar enbart med
produktion.
c) Arbetar inom alla projekten
d) Hur många arbetar på
företaget?
Öva dig på Venndiagram
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions
https://www.lucidchart.com/pages/examples/venn_diagram_maker
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net