Transcript n - student . vxu . se

Kap 2: Några grundläggande begrepp
Lagen om total sannolikhet
Oberoende händelser
Multiplikationssatsen
Några räkneprinciper
Multiplikation
Permutation
Kombination
1
Lagen om total sannolikhet
Låt A, B1, B2,…, Bn vara händelser sådana att B1,…, Bn delar
upp utfallsrummet, dvs. de är alla disjunkta och utgör
tillsammans hela utfallsrummet. Då gäller lagen om total
sannolikhet:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + … + P(Bn)P(A|Bn)
• Ex 2.13, sid 57-58
2
Oberoende händelser
• Definition: Två händelser A och B sägs vara oberoende om
P(A och B) = P(A)P(B)
Definitionen kan generaliseras till att gälla tre eller fler händelser
Ex: 2 händelser A och B känner vi följande sannolikheter:
P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 och P(A och B) = 0.2
P(A)P(B) = 0.6 . 0.5 = 0.3 som inte lika med 0.2 = P(A och B)
Detta innebär att A och B är beroende händelser
• Exempel 2.16, sidan 64
3
Multiplikationssatsen
Från definitionen av betingad sannolikhet kan vi få
sannolikhetslärans multiplikationssats:
P(A och B) = P(A|B)P(B)
Om A och B är oberoende så kan vi beräkna
snittsannolikheten enligt följande:
P(A och B) = P(A)P(B)
4
Några räkneprinciper
• Multiplikationsprincipen: vid urval med återläggning och
med hänsyn till ordning
• Premutationsprincipen: vid urval utan återläggning och med
hänsyn till ordning
• Kombinationsprincipen: vid urval utan återläggning och utan
hänsyn till ordning
5
Multiplikation
Om vi har n möjliga sätt att utföra någonting och m sätt för att
utföra någonting annat
Antal möjliga sätt att utföra både operationerna är
n.m
kan generaliseras till att gälla tre eller fler händelser
Ex: Anders har 5 skjortor och 3 slipsar. På hur många sätt kan
Anders kombinera sin klädsel?
5.3 = 15
Exempel 2.3, sidan 43
6
Permutation
Ordna n olika element i en bestämd ordning kallas för en
permutation av objekten
En permutation av r element ur n skrivs nPr
Vid permutationer är ordningsföljden bland de r elementen
av intresse och beräknas enligt
Där n! = n(n-1)(N-2)…3.2.1
n!
n Pr =
( n − r )!
Ex: Bland 4 personer skall 2 väljas ut och rangordnas. På hur
många sätt kan detta ske? 4P2 =12
7
Kombination
En kombination av r element ur n skrivs nCr
Vid kombinationer är ordningsföljden bland de r elementen
ointressant och vi säger kort att r element kan väljas bland n
på nCr sätt
Detta beräknas enligt
n!
nC r =
r! ( n − r )!
Ex: 10 personer hälsar på varandra 2 och 2. Antalet handskakningar
är lika med antalet kombinationer av två element uttagna bland 10.
10C2
= 45
• Ex 2.4, sid 44-45
8