Transcript OMGÅNG 2
TSDT15 Signaler och System – DATORUPPGIFTER V˚ AREN 2013 – OMG˚ ANG 2 – Mikael Olofsson, [email protected] Efter en f¨orlaga av Lasse Alfredsson February 11, 2013 I allt v¨ asentligt ¨ ar detta samma labuppgift 2 som v˚ aren 2012. Av olika anledningar ¨ ar det vanligt att signalbehandling/filtrering av tidskontinuerliga signaler utf¨ors genom att filtrera (eller kanske bara studera frekvensegenskaperna f¨or) en samplad version av den tidskontinuerliga signalen. I den h¨ ar uppgiftsomg˚ angen skall ni studera vikningseffekter vid sampling samt frekvensegenskaper f¨or n˚ agra olika typer av tidsdiskreta filter. F¨oljande figur illustrerar hur ett tidskontinuerligt filter kan realiseras som en samplare f¨oljd av ett tidsdiskret filter och en rekonstruktionskrets: Tidskontinuerligt LTI-filter (n˚ aja) – systemfunktion H(s) Tidsdiskret LTI-filter sampling x(t) x ˜[n] nT ˜ H[z] Rekonstruktion y˜[n] y(t) PAM Sampling & vikningseffekter Inledningsvis skall ni studera vikningseffekter vid likformig sampling av tidskontinuerliga signaler. F¨orh˚ allandet mellan frekvensspektrum X(ω) (alt. X(f )) f¨or en tidskontinuerlig signal x(t) och ˜ ˜ frekvensspektrum X[Ω] (alt. X[θ]) f¨ or den samplade signalen x ˜[n] = x(nT ) ges av Poissons summationsformel, 1X Ω + k · 2π θ+k 1X ˜ ˜ alternativt X[θ] = X X X[Ω] = T T T T k k Var, vid anv¨andande av Kretslab, uppm¨ arksam p˚ a att frekvensspektrum ritas som funktion av frekvens f respektive normerad frekvens θ. Kretslab-funktionen vikex illustrerar vikningseffekter vid likformig sampling (med sampelfrekvens fs ) av de tv˚ a h¨ ogersidiga signalerna x1 (t) = 16 sin(2π · 20 · t)u(t) och x2 (t) = 20e−10t sin(2π · 10 · t)u(t). 1 Funktionsbeskrivning, vikex i) Funktionen anropas generellt utan inargument, dvs. skriv bara vikex i Matlab. ii) F¨orstora g¨ arna det uppkomna figurf¨ onstret, s˚ a att det fyller sk¨ armen! iii) Halva sampelfrekvensen, dvs. fs /2, kan justeras mellan 4 Hz och 40 Hz med regeln nere till v¨anster. Aktuell fs /2 ¨ ar angiven till v¨anster om regeln, samt ¨ar inritad tillsammans med den valda tidskontinuerliga signalens amplitudspektrum. iv) Man kan ¨ aven v¨alja vissa specifika sampelfrekvenser under menyn “V¨alj specifika sampelfrekvenser”. (Ni kan ¨ aven sj¨alva best¨ amma valfri sampelfrekvens, genom funktionsanropet vikex(’Valfri text’, fs2), d¨ ar fs2 ¨ar halva sampelfrekvensen. Observera dock, att d˚ a ¨andras inte texten fs/2 = ... nere till v¨anster i figurf¨ onstret!) v) Toggla mellan signalerna x1 (t) och x2 (t) (som skall samplas) i menyval “V¨alj ny signal !!”. vi) H˚ all g¨ arna konstant ned en av regelns pilar. D˚ a b¨ or sampelfrekvensen ¨andras i r¨att s˚ a lagom takt – ˚ atminstone d˚ a ingen eller lite vikning intr¨affar. vii) F¨or ¨ ovrigt handlar det nog mest om att f¨ orst˚ a vad som h¨ ander vid olika val av (halv) sampelfrekvens. . . viii) Notera texten i varningsrutan om KlabL, som presenteras vid f¨orsta anropet av vikex! Samma information erh˚ alls om ni skriver help vikex! Vid likformig sampling x ˜[n] = x(nT ) sker en avbildning i transformdom¨ anen, fr˚ an s-planet till z-planet, genom sambandet z = esT . Denna avbildning kallas ofta impulsinvariant transformation (se t.ex. kursboken, Kap. 6.13.1). Genom att betrakta s-v¨ arden l¨angs jω-axeln, kan man genom detta samband erh˚ alla Poissons summationsformel. En pol hos X(s) i s0 kommer uppenbarligen ˜ att avbildas till en pol hos X[z] i es0 T . I de pol-nollst¨ allediagram som ritas i vikex, avbildas ˜ den r¨odf¨argade polen hos X(s) p˚ a den r¨odf¨argade polen hos X[z] (och motsvarande f¨or de bl˚ aa polerna). Anm: Den impulsinvarianta transformationen avbildar varje horisontellt band, med h¨ ojden ωs = 2π/T , i s-planet p˚ a hela z-planet. Det r¨ acker d˚ a att X(s) har en pol i n˚ agot v¨ arde s0 + k · jωs ˜ (d¨ ar s0 ∈ C ¨ ar konstant och k ∈ Z godtyckligt mellan −∞ och ∞) f¨ or att X[z] skall f˚ a en pol i s0 T motsvarande avbildningspunkt e . Enligt kursboken avbildas ett nollst¨alle i s-planet generellt inte p˚ a ett nollst¨alle i z-planet ¨ a har X[z] ˜ vid impulsinvariant transformation. And˚ ett nollst¨alle i origo f¨or b˚ ada signalerna i vikex. Fundera g¨ arna p˚ a var detta nollst¨alle kommer fr˚ an (tolka sambandet ¨overst p˚ a sid. 490 i kursboken). Till att b¨ orja med skall ni studera sampling av sinussignalen x1 (t). P˚ a grund av polerna ˜ 1 [z], s˚ ˜ 1 [z] vara o¨ hos X1 (s) och X a borde X1 (s) respektive X andligt stora vid s = j40π respektive z = ej40πT (g˚ a inte vidare i uppgiftstexten f¨orr¨an ni f¨orst˚ ar detta!!). I vikex ser vi dock ¨andliga spektrumtoppar vid f = 20 Hz respektive θ = 20T = 20/fs , vilket fr¨amst beror p˚ a Kretslabs/Matlabs ber¨ akningsonoggrannhet och signalrepresentationsbegr¨ ansningar, som vi behandlat i tidigare uppgiftsomg˚ angar. 2 Obligatoriska uppgifter 1. Utg˚ a, i vikex, fr˚ an fs /2 = 40 Hz och s¨ank sedan fs /2 i sm˚ a steg till 4 Hz. Signalen x1 (t) ¨ar inte strikt bandbegr¨ ansad, men eftersom x1 (t) har st¨orsta delen av sin energi centrerad runt f = ±20 Hz, erh˚ alls endast en begr¨ ansad vikning d˚ a fs /2 > 20 Hz. a) Ange den frekvenstransformation som sker vid likformig sampling, dvs. sambandet mellan frekvenser f och normerade frekvenser θ. (Verifiera g¨ arna detta i figurerna – redovisas ej!) b) Var i z-planet finns den r¨od-markerade polen, d˚ a ingen markant vikning sker (dvs. ekvivalent med fallet “mycket begr¨ ansad vikning” ovan)? Anm: T¨ ank p˚ a att fs kan vara godtyckligt stor, den “r˚ akar” bara vara begr¨ ansad till max 80 Hz i vikex. . . c) Studera och j¨ amf¨ or erh˚ allna signaler, pol-nollst¨ allediagram och frekvensspektra f¨or specialfallen fs /2 = 40, 40/3 och 8 Hz (det finns ¨aven fler fall som ger samma samplingsresultat). i) F¨orklara likheter och skillnader f¨or de olika erh˚ allna signalerna, pol-nollst¨ allediagrammen och amplitudspektrumen! Relatera bl.a. till b˚ ade vikningseffekter (speci˜ 1 [θ]) och avbildningar fr˚ ficera frekvenser av central betydelse hos X1 (f ) och X an s-planet till z-planet! ii) Bifoga datorutskrift f¨ or tv˚ a av de tre v¨ardena p˚ a fs /2 som anges ovan! F¨or dessa tv˚ a intressanta fall, skall ni i redog¨orelsen referera till var i de bifogade figurerna man kan sk˚ ada det “intressanta”! ˜ 2 [z], 2. Byt signal i vikex, ˜2 [n], X till x2 (t). “Lek” f¨orst lite genom att justera fs /2 och se hur x X ˜ 2 [θ] och arg X ˜ 2 [θ] ¨ andras. Observera att h¨ ar har fasspektrum f¨or signalerna st¨orre betydelse ¨ an n¨ ar vi tidigare studerade sampling av x1 (t). a) F¨orklara varf¨ or den samplade signalens fasspektrum ¨andras s˚ a markant (180◦ ) d˚ a fs /2 g˚ ar under 10 Hz (¨ andra fs /2 gradvis fr˚ an 40 Hz till 5 Hz). Tips: Betrakta det analytiska ˜ 2 [z]. . . uttrycket f¨ orX ˜ 2 [θ], b) N¨ ar sampelfrekvensen minskar, s˚ a minskar maxv¨ardet hos amplitudspektrum X trots att vikningseffekten ¨ okar. Varf¨or? “K¨ or” g¨ arna samplingsteorems-demonstrationen i kretsdemo2 (skriv kretsdemo2 i Matlab och v¨alj “Samplingsteoremet”). Den kan m¨ojligen vara till kompletterande hj¨ alp i n˚ agra av ¨ ovanst˚ aende deluppgifter. Andra aven h¨ ¨ ar signaltyper genom menyval. Viktigt i deluppgifterna 1 och 2 ¨ ar att ni f˚ ar b˚ ade en bra k¨ ansla och f¨ orst˚ aelse f¨ or i) hur vikningseffekter kan uppkomma vid sampling. ii) relationen, b˚ ade i tids- och frekvensdom¨ anen, mellan den tidskontinuerliga signalen och den likformiga samplingen av densamma – speciellt vid vikning! 3 Syntes av tidsdiskreta filter Signalen x(t) i figuren p˚ a uppgiftsomg˚ angens sida 1 skall genomg˚ a en filtrering med ett frekvensselektivt filter, vars d¨ ampningsegenskaper minst motsvarar det som erh˚ alls med ett amplitudnormerat tredje ordningens tidskontinuerligt butterworthfilter av l˚ agpasstyp, med 3 dB-gr¨ansfrekvens f0 = 100 Hz. Nedan skall ni unders¨ oka olika realiseringar av ett s˚ adant tidskontinuerligt filter, d¨ ar en samplad version av x(t) filtreras genom ett motsvarande tidsdiskret filter – f¨oljt av en ideal rekonstruktion (s˚ asom visas i figuren p˚ a sidan 1). Speciellt skall ni unders¨ oka hur mycket den station¨ ara sinussignalen x(t) = sin(2π · 80 · t) d¨ ampas av det totala systemet. 3. F¨or att ha n˚ agot att j¨ amf¨ ora med, skall ni f¨orst m.h.a. Kretslab ta fram det tidskontinuerliga butterworthfiltrets systemfunktion H(s) m.h.a. funktionerna butterw och lplp. Med hur m˚ anga decibel d¨ ampar det ovan n¨ amnda tidskontinuerliga butterworthfiltret den station¨ara insignalen x(t)? Avl¨as detta i utskrift – anv¨and logspect – eller m.h.a. Kretslabfunktionen value. • Ni som endast l¨oser obligatoriska deluppgifter skall h¨ ar bifoga en utskrift av butter worthfiltrets amplitudkarakt¨aristik H(f ) i dB-skala – f¨or frekvensintervallet 0 – 200 Hz. Markera i grafen var ni hittar den efterfr˚ agade d¨ ampningsfaktorn! • Ni som ¨ aven l¨oser frivilliga deluppgifter bifogar ist¨allet amplitudkarakt¨aristiken i deluppgift 9. I f¨oljande filtreringsuppgiften antas att den tidskontinuerliga signalen x(t) samplas med sampelfrekvensen fs = 400 Hz (vilket ¨ ar mer ¨an dubbelt s˚ a mycket som sinussignalens frekvens). (Signalsampling med godtycklig sampelfrekvens utf¨ors i Kretslab m.h.a. funktionen sample.) 4. Vilken normerad frekvens θ1 har s˚ aledes den samplade station¨ara signalen x˜[n] och vilken normerad 3 dB-gr¨ansfrekvens θ0 b¨ or det erh˚ allna tidsdiskreta filtret ha? Motivera! F¨ onstermetoden (Kap. 6.12 i kursboken) Er uppgift ¨ ar nu att, genom anv¨andning av f¨onstermetoden, syntetisera ett kausalt FIR-filter av l¨angd L som s˚ a bra som m¨ojligt approximerar ett ¨onskat tidsdiskret IIR-filter. Ju st¨orre L ¨ar, desto b¨ attre ¨ overensst¨ ammelse med det ¨onskade IIR-filtrets frekvenskarakt¨aristik. Detta beror bl.a. p˚ a att FIR-filtrets ordning, dvs. dess polantal, ¨ar relaterat till dess impulssvarsl¨ angd L. P.g.a. att b˚ ade det tidskontinuerliga butterworthfiltret och det motsvarande filter som erh˚ alls genom impulsvariant transformation har ordning tre, l˚ ater vi vid denna j¨amf¨ orande filtersyntes ¨aven FIR-filtret f˚ a ordning 3. Ett FIR-filter av l¨angd L, vars impulssvar ¨ar nollskilt mellan n = m och n = m + L − 1, dvs. hFIR [n] = m+L−1 X k=m hk δ[n − k], har systemfunktion HFIR [z] = m+L−1 X k=m hk z −k = hm z L−1 + hm+1 z L−2 + · · · + hm+L−1 z m+L−1 (se ekvationen mellan Ekv. 6.54 och 6.55 i kursboken). F¨or att FIR-filtrets ordning skall vara lika med 3, g¨ aller m + L − 1 = 3. F¨or kausala system g¨ aller allm¨ ant att #poler ≥ #nollst¨allen, dvs. m ≥ 0 f¨or FIR-filtret. Uppenbarligen g¨ aller d¨ arf¨or 3 = m + L − 1 ≥ L − 1 ⇒ L ≤ 4. F¨or b¨ asta approximation av det IIR-filter som skall f¨onstras, b¨ or f¨onsterl¨ angden L v¨aljas s˚ a stor som m¨ojligt. V¨ alj allts˚ a l¨ampligen L = 4 (och f¨onstra IIR-filtret fr˚ an n = m = 0). Studera f¨ orst signal och amplitudspektrum f¨ or enbart f¨ onsterfunktionerna. Anv¨ and d˚ a demonstrationen “F¨ onsterfunktioner” i Kretslabfunktionen kretsdemo2. Observera att ritade amplitudpektra ¨ ar amplitudnormerade! Var uppm¨ arksam p˚ a de olika f¨ onstrenas frekvensegenskaper. De 4 analytiska uttrycken f¨ or de olika f¨ onstrena finns angivna i formelsamlingen, sid. 13! F¨ ors¨ ok f˚ a en bra k¨ ansla f¨ or hur respektive f¨ onsterfunktion relateras till sitt motsvarande amplitudspektrum. Ni som l¨ oste den frivilliga deluppgiften 8 i f¨ orra datoruppgiftsomg˚ angen har f¨ orhoppningsvis redan f˚ att en bra k¨ ansla f¨ or de olika f¨ onsterfunktionernas tids- och frekvensegenskaper! I den deluppgiften studerades effekten av att f¨ onstra en signal med olika f¨ onsterfunktioner. H¨ ar ¨ ar det i st¨ allet ett impulssvar som skall f¨ onstras! M.h.a. kretslabfunktionen firwin erh˚ alls ett kausalt FIR-filter av LP-typ. F¨onstermetoden anv¨ands och impulssvaret hd [n] som f¨ onstras har erh˚ allits som n o L−1 F −1 Hid [Ω]e−jΩ 2 , d¨ ar Hid [Ω] ¨ ar frekvensfunktionen f¨ or ett icke-kausalt idealt LP-filter (se b¨ orjan av Kap. 6.12.1 i kursboken). L¨ as om Kretslab-funktionen firwin i dess hj¨ alptext (skriv helpwin firwin). I hj¨ alptexten till window finns angivet de f¨ onstertyper som kan anv¨andas i firwin. 5. • V¨ alj n˚ agon av de m¨ojliga f¨ onstertyperna och anv¨and firwin f¨or att ta fram impulssvaret hFIR [n] till ett kausalt FIR-filter av l¨angd L = 4. Det resulterande LP-filtret skall ha den normerade gr¨ ansfrekvens θ0 som erh¨ olls i deluppgift 4! Observera att det ¨onskade FIR-filtret skall vara amplitudnormerat! arna direkt H fir=normal(foutr(firwin(...))); h fir=ifoutr(H fir); Tips: Skriv g¨ • Med hur m˚ anga decibel d¨ ampar ert FIR-filter, med frekvensfunktion HFIR [θ], den samplade station¨ ara insignalen x˜(t) = x(nT )? OBS! L¨ as kommentarerna nedan innan ni anropar firwin! Anm 1: F¨ or att FIR-filtret skall f˚ a normerad 3 dB-gr¨ ansfrekvens θ0 , m˚ aste det ideala LPfiltret, vars impulssvar f¨ onstras m.h.a. funktionen firwin, ha en normerad gr¨ ansfrekvens som ¨ ar h¨ ogre ¨ an θ0 (n¨ amns ¨ aven kortfattat i l¨ arobokens Exempel 6.2). Fundera g¨ arna varf¨ or detta g¨ aller (beh¨ over ej redovisas)! Ni m˚ aste pr¨ ova er fram, tills ni erh˚ aller korrekt normerad gr¨ ansfrekvens! a man plottar amplitudkarakt¨ aristiken i dB-skala ( logspect(...) ), anger Kretslab Tips: D˚ den normerade 3 dB-gr¨ ansfrekvensen i figurf¨ onstret! Anm 2: N¨ ar ni, m.h.a. firwin, f¨ onstrar impulssvaret till det ideala IIR-filtret med ett f¨ onster av s˚ a kort l¨ angd som L = 4 , s˚ a ger de olika f¨ onstertyperna ungef¨ ar samma amplitudkarakt¨ aristik. F¨ or att f˚ a st¨ orre f¨ orst˚ aelse f¨ or hur den resulterande amplitudkarakt¨ aristiken beror p˚ a det f¨ onster som anv¨ ands vid filtersyntesen, b¨ or ni ta fram och j¨ amf¨ ora n˚ agra FIRfilter med st¨ orre f¨ onsterl¨ angd ¨ an 4. Detta g¨ ors f¨ or f¨ onsterl¨ angden L = 16 i frivilliga deluppgift 11. Anm 3: Utskrift av amplitudkarakt¨ aristiken f¨ or ert FIR-filter redovisas i deluppgift 6! 5 Bilinj¨ ar Transformation (Kap. 6.13.2 i kursboken) Ofta utf¨ors syntes av tidsdiskreta IIR-filter m.h.a. bilinj¨ ar transformation i st¨allet f¨or t.ex. impulsinvariant transformation. Detta bl.a. beroende p˚ a att det tidskontinuerliga referensfiltrets frekvensegenskaper bibeh˚ alls f¨ or alla typer av frekvensselektiva filter. Vad g¨ aller f¨onstermetoden, s˚ a ¨ar den inte alls anv¨andbar vid syntes av tidsdiskreta filter utg˚ aende fr˚ an tidskontinuerliga. Den anv¨ands bara f¨or syntes av FIR-filter utg˚ aende fr˚ an IIR-filter (tidsdiskret → tidsdiskret). Det ¨onskade tidsdiskreta filtret, med systemfunktion Hb [z], kan erh˚ allas m.h.a. bilinj¨ ar transformation av det motsvarande tidskontinuerliga butterworthfiltret (av ordning 3), med systemfunk ar γ ¨ar en reell konstant som styr den aktuella tion H(s), genom sambandet Hb [z] = H γ z−1 z+1 , d¨ m¨obiusavbildningen mellan s-planet och z-planet. Bilinj¨ar transformation utf¨ors i Kretslab m.h.a. funktionen bilintr. 6. Syntetisera, m.h.a. bilinj¨ ar transformation, ett amplitudnormerat tredje ordningens tidsdiskret butterworthfilter med den normerade 3 dB-gr¨ansfrekvens θ0 som erh¨ olls i deluppgift 4. • Bifoga en datorutskrift av pol-nollst¨ allediagrammet f¨or H(s) och pol-nollst¨ allediagrammet f¨ or Hb [z] och p˚ a f¨ oljande s¨att (h¨ar antas att ni i Kretslab namnger dessa transformer som H resp. Hb): figure, subplot(2,1,1), pzmod(H), axis(’square’), title(’H(s)’), subplot(2,1,2), pzmod(Hb), axis(’square’), title(’H b[z]’) ¨ (Oka eventuellt ¨ aven fontstorlek och linjetjocklekar genom att slutligen anropa funktionen ohfig) • Varifr˚ an h¨ arstammar det tidsdiskreta butterworthfiltrets nollst¨allen (det tidskontinuerliga butterworthfiltret har ju inga nollst¨allen. . . )? Ni som l¨oser frivilliga deluppgifter b¨ or g¨ arna f¨ orklara detta extra tydligt. . . ! • Bifoga en datorutskrift av amplitudkarakt¨aristiken f¨or ert FIR-filter i deluppgift 5 resp. amplitudkarakt¨aristiken f¨or det tidsdiskreta butterworthfiltret. Plotta i dB-skala, logspect(H fir,Hb) i l¨ampligt amplitudintervall och frekvensintervall! • Med hur m˚ anga decibel d¨ ampar det tidsdiskreta butterworthfiltret den samplade station¨ara insignalen x ˜[n] = x(nT )? Markera i de tv˚ a graferna som redovisas i f¨oreg˚ aende punkt var ni hittar de efterfr˚ agade d¨ ampningsfaktorerna f¨or FIR-filtret resp. butterworthfiltret! 7. J¨amf¨ or amplitudkarakt¨aristiken f¨or de olika tidsdiskreta filtren som syntetiserats i denna datoruppgiftsomg˚ ang (och d˚ a speciellt filtrens f¨orm˚ aga att d¨ ampa den station¨ara insignalen x ˜[n] = x(nT )). Ange kortfattat n˚ agra eventuella f¨ordelar och nackdelar med de olika syntesmetoderna! Ni som l¨oser frivilliga deluppgifter b¨ or formulera en lite mer fyllig j¨amf¨orelse. . . ! Ha i er j¨ amf¨ orelse i ˚ atanke att, som n¨ amnts tidigare, den tidsdiskreta filtreringen av den samplade signalen x˜[n] skall motsvara, eller g¨ arna vara b¨ attre ¨an, den tidskontinuerliga filtreringen av x(t). 6 Frivilliga Uppgifter Sampling & vikning 8. I deluppgift 1c) unders¨ oktes konsekvenser av att sampla en signal med n˚ agra olika val av sampelfrekvensen fs . Finns det andra fall (dvs. f¨or andra v¨arden p˚ a fs /2), d¨ ar det intr¨affar intressanta samplingseffekter, t.ex. att x ˜[n] = 0 ∀ n eller man erh˚ aller liknande effekter som i 1c)? H¨ ar ¨ ar ni fria att komma med egna observationer och slutsatser! Impulsinvariant Transformation (Kap. 6.13.1 i kursboken) Det tidsdiskreta filtret i figuren p˚ a sid. 1 kan t.ex. syntetiseras m.h.a. impulsinvariant transformation, genom likformig sampling av det tidskontinuerliga butterworthfiltrets (av ordning 3) impulssvar √ √ 1 3ω0 t/2 + √ e−ω0 t/2 · sin 3ω0 t/2 u(t) h(t) = ω0 e−ω0 t − e−ω0 t/2 · cos 3 d¨ ar ω0 = 2πf0 . ˜ = h(nT ) m.h.a. Kretslab• Utf¨or sj¨alva den impulsinvarianta transformationen, dvs. bilda h[n] funktionen sample, med samma sampelfrekvens fs = 400 Hz som vid samplingen av insignalen x(t) (vilket resulterar i samma frekvenstransformation f¨or H(ω) som f¨or X(ω)). • Ni skall/b¨ or vid det h¨ ar laget ha en god f¨orst˚ aelse f¨or den vikningseffekt som uppkommit genom samplingen av det tidskontinuerliga butterworthfiltrets impulssvar. Studera frekven ˜ ˜ ˜ och arg H[θ] m.h.a. spect / logspect) och skarakt¨aristiken till h[n] (dvs. plotta H[θ] resonera med varandra om hur vikningseffekter framtr¨ader h¨ ar! Det ¨ar uppenbart att det resulterande IIR-filtret inte ¨ar amplitudnormerat. Eftersom det ¨onskade tidsdiskreta filtret skall vara amplitudnormerat, s˚ a f˚ ar ni som n¨ asta steg i filtersyntesen utf¨ora denna normering. Anv¨and d˚ a Kretslabfunktionen normal! 9. L˚ at H2 [θ] beteckna det erh˚ allna amplitudnormerade filtrets frekvensfunktion. • Med hur m˚ anga decibel d¨ ampar det amplitudnormerade tidsdiskreta filtret, med frekvensfunktion H2 [θ], den samplade station¨ara insignalen ˜[n]? x • Bifoga en utskrift av amplitudkarakt¨aristiken H(f ) (i frekvensintervallet 0 till 200 Hz), f¨ or butterworthfiltret som togs fram i deluppgift 3, och IIR-filtrets amplitudkarakt¨aris tik H2 [θ] (naturligtvis f¨ or θ ∈ [0, 0.5]). Amplitudkarakt¨aristikorna ritas i dB-skala, m.h.a. logspect (ex: logspect(H,H2,200) ), i intervallet fr˚ an −20 till +2 dB! Markera i grafen var ni hittar den efterfr˚ agade d¨ ampningsfaktorn! 10. Varf¨ or ¨ ar inte impulsinvariant transformation en l¨amplig syntesmetod om det tidskontinuerliga filtret utg¨ or ett icke bandbegr¨ ansat filter (som t.ex. ett HP- eller BS-filter)? F¨orklara! F¨ onstermetoden 11. P˚ a grund av den korta f¨ onsterl¨ angden f˚ ar man i deluppgift 5 ungef¨ ar samma FIR-filter, oavsett val av f¨ onstertyp. F¨or att f˚ a en st¨orre skillnad mellan de olika FIR-filtrena skall ni d¨ arf¨ or unders¨ oka dessa (fortfarande med normerad 3 dB-gr¨ansfrekvens θ0 ) f¨or filterl¨angden L = 16 och bland annat j¨ amf¨ ora filtrenas d¨ ampning vid den samplade signalens normerade frekvens θ1 . Bifoga amplitudkarakt¨aristiken i dB-skala f¨or ˚ atminstone tv˚ a s˚ adana FIR-filter, vars amplitudkarakt¨aristik skiljer sig ˚ at r¨att s˚ a mycket. J¨amf¨ or d¨ ampningsegenskaperna f¨or era filter och utred vilka f¨ or- och-/eller nackdelar ni upplever att de har. Bilinj¨ ar transformation 12. Kan man, vid den bilinj¨ ara transformationen i deluppgift 6, utg˚ a fr˚ an ett tidskontinuerligt butterworthfilter med annan 3dB-gr¨ansfrekvens ¨an f0 = 100 Hz? F¨orklara! 7