Transcript Untitled
Innehåll
1
2
3
Vårt talsystem
Heltal till och med en miljon
Exempel:
tre miljoner femhundraåtta tusen femhundraåttatusen elva 25 308 3 000 000 508 000 508 011 en miljon femtioåttatusen trehundraåtta 1 508 308 1 058 308 en miljon åttatusen trehundraåtta två miljoner trehundrafyrtiofemtusen tre 1 008 308 2 345 003
Kontrollera alltid genom att: 1) Läsa upp talet du skrev. Står det vad du tänkte? 2) Kontrollera att alla siffror står på rätt plats. I talet "fem miljoner åttatusen trehundrasex" ska åttan stå på tusentalsplatsen och femman på miljontalsplatsen. Gör de det? Kolla!! 4
Decimaltal
, = tjugofem hela, en tiondel, åtta hundradelar och tre tusendelar = 25,183
läses ibland slarvigt tjugofem komma etthundraåttiotre "183" är då antal tusendelar - eftersom sista siffran är en tusendelssiffra.
noll komma sex nio = sex tiondelar och nio hundradelar = 0,69
läses ibland slarvigt noll komma sextionio
siffran. Talets värde ändras inte för att vi lägger på nollor efteråt. Sexan förblir tiondelssiffra eftersom den fortfarande står på samma plats – direkt efter kommat.
heltal, utan att sätta dit ett komma. För heltal blir alla siffror i talet värda tio gånger mer för varje nolla vi sätter dit, eftersom siffrorna flyttar fram ett steg i positions systemet för varje nolla vi lägger på.
0,6 är ett större tal än 0,18
Varför? Jo, för 0,6 är sex tiondelar och 0,18 bara en tiondel och åtta hundradelar.
5
Heltal upp till en miljard
Exempel:
en miljard trehundrafem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton två miljarder åttiofem miljoner sexhundraniotusen fyrahundra arton två miljarder fem miljoner niotusenåtta fyra miljarder nittiofem fyra miljarder tvåhundratremiljoner femtiotusensex
Heltal upp till en kvadriljon
1 305 639 418 2 085 609 418 2 005 009 008 4 000 000 095 4 203 050 006 al al 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 x x = På engelska då?
Tyvärr har olika språk inte samma namn för de stora talen. På engelska heter det så här:
tiopotens svenska 10 6 10 9 10 12 10 15 10 24 miljon miljard biljon 1000 biljoner kvadriljon engelska (USA) million billion trillion quadrillion --- På engelska är användningen dessutom olika i Storbritannien och USA, även om den amerikanske betydelsen blir vanligar. Sedan är det ju så att det är väldigt sällan man behöver tala om så stora tal. Det förekommer oftast inom olika vetenskaper och då använde man andra uttryck som ni kanske kommer att stöta på så småningom. Den som är road av dessa uttryck redan nu får säga till! 6
Räknesätten
Addition och subtraktion
Tänk dig att det ligger tre katter i en korg. Sedan kommer det dit två till. Då finns där fem katter. Det här kan du beskriva så här på mattespråk: 3 + 2 = 5 Det blir förstås lika många katter om vi tänker att vi har två katter som går omkring och stöter på de tre katterna i korgen. På mattespråk: 2 + 3 = 5 Men tänk nu att någon undrar hur många katter det fanns i korgen från början. Tja, det får du ju reda på om du tar bort de två som kom dit igen. På mattespråk: 5 – 2 = 3 Någon annan kanske vet att det var tre katter från början men undrar hur många som kom dit. Det måste ju vara det som blir kvar om man tar bort det som fanns från början. På mattespråk: 5 – 3 = 2 Du ser att talen 2, 3 och 5 hänger ihop. Du kan beskriva hur de hänger ihop på fyra olika sätt: 3 + 2 = 5 2 + 3 = 5 5 – 2 = 3 251 + 111 = 362 111 + 251 = 262 362 – 111 = 251 362 – 251 = 111 5 – 3 = 2 Det här kan man använda för att kontrollera om man räknat rätt. Att 362 – 111 = 251 kan du kontrollera genom att räkna ut 251 + 111. Det ska bli 362. Annars har du räknat fel någonstans. För följande ska ju gälla: Du kan också använda det här för att lösa ekvationer. Om 367,45 +
x
= 576,99 så vet du att
x
= 576,99 – 367,45
(Eftersom x och 367,45 tillsammans blir 576,99 måste ju x vara det som blir kvar om du tar bort 367,45 från 576,99)
7
Addition och multiplikation
Om jag ska addera samma tal flera gånger så skriver jag så här: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 För att slippa skriva så mycket kan jag i stället skriva så här: 8 3 Båda uttrycken betyder samma sak. I multiplikationsuttrycket talar det första talet om hur många av det andra talet jag ska addera. Alltså: 8 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Jag ska addera åtta treor! Ritar jag det här som en bild så ser jag att jag får samma svar (24) om jag adderar tre åttor: 8 + 8 + 8 = 3 8 = 24 Jag kan addera antalet katter i varje rad tre gånger (8 + 8 + 8) eller addera antalet katter i varje kolumn 1 åtta gånger (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3). Det är lika många katter på bilden hur jag än gör. Jag kan alltså alltid byta plats på talen i en multiplikation utan att svaret ändras. Jag kan också multiplicera en del av ett tal i taget, så här: 3 13 = 3 10 + 3 3 Du ser på figuren ovan hur det fungerar. Tre rader med tretton katter i varje är lika många katter som vi får om vi först tar 3 rader med 10 katter i varje (första rutan) och sedan lägger till 3 rader med 3 katter i varje. Det här har du bland annat nytta av att förstå när du ska multiplicera med 10, 100 och 1000! 1 en kolumn är en rad ”på höjden” 8
Multiplikation och division
Tänk dig att det ligger tre högar med två enkronor i varje på ett bord: 1 1 1 1 Totalt finns där då 3 2 = 6 enkronor 1 1 Om vi i stället direkt ser att det är 6 enkronor på bordet och att det är tre högar undrar vi kanske hur många kronor det finns i varje hög. 2 Tja, då måste vi dela upp våra 6 kronor i tre högar. Vi måste dela 6 med 3 och det skriver 6/3 eller och i det här fallet vet vi ju att det är två. Alltså: 6/3 = 2
När vi delar upp det vi har i ett bestämt antal ”högar” kallas det
delningsdivision
.
Vi kanske i stället vet att det ligger två kronor i varje hög och undrar hur många högar det måste vara. Då delar vi 6 med 2 i stället och svaret blir 3 – för vi behöver ta 2 enkronor 3 gånger för att få ihop 6 enkronor. Alltså: 6/2 = 3
När vi undrar hur många gånger ett visst antal behöver tas för att vi ska får det vi har kallas det
innehållsdivision
.
Man kan säga att talet 6 innehåller tre 2:or. Med innehållsdivision blir det lätt att dividera med bråk också: ⁄ Ett delat med en halv blir naturligtvis två, eftersom vi behöver två halvor för att få en hel. Du vet också att vi kan byta plats på talen vi multiplicerar, så precis som vid addition och subtraktion kan vi beskriva hur tre tal hänger ihop på fyra olika sätt även när det handlar om multiplikation och division: 2 3 = 6 3 2 = 6 6/2 = 3 6/3 = 2 Även här kan du använda de här sambanden för att kontroller att du räknat rätt. Om du får 42/2 till 21 ska 2 21 bli 42! Och du kan förstås också använda de här sambanden för att lösa ekvationer! 2 Det verkar kanske lite löjligt med de här talen, för det syns ju! Men tänk om du visste att det fanns 4023 kronor på bordet och någon hade delat upp de här pengarna i 3 högar. Då blir det inte lika självklart. (Eller det kanske du tycker? Det blir i alla fall 4023/3 kronor i varje hög.) 9
Termer
Addition (+, ”plus”)
Räknesättet heter
addition
. När vi räknar med addition
adderar
vi. Vi beräknar
summan
av de
termer
vi adderar. 3 + 5 = 8 term 8 – 5 = 3 summa
Subtraktion (-, ”minus”)
Räknesättet heter
subtraktion
. När vi räknar med subtraktion
subtraherar
vi. Vi beräknar
differensen
mellan
termerna
. term differens
Multiplikation (
eller
, ”gånger”)
Räknesättet heter
multiplikation.
När vi räknar med multiplikation
multiplicerar
vi. Vi beräknar
produkten
av
faktorerna
. 3 8 = 24 faktor produkt
Division (/ eller , ”delat med”)
Räknesättet heter
division.
När vi räknar med division
dividerar
vi. Vi beräknar
kvoten
mellan
täljaren
och
nämnaren.
täljare nämnare kvot
Minnesregel:
t
äljaren står på
t
aket,
n
ämnaren står där
n
ere 10
Uppställning – addition och subtraktion
addition utan övergång
Exempel: 243 + 532 1.
a.
b.
c.
Ställ upp talen som ska adderas så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. Sätt också ut ett plustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. 2.
a.
b.
Addera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2)
2 4 3 + 5 3 2 2 4 3 + 5 3 2 7 7 5
Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen!
11
addition med övergång
Exempel: 567 + 785 1.
2.
Precis som vid uppställning utan övergång! Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om du får en summa med två siffor. a.
Redan vid entalen trasslar det sig. Du kan ju bara skriva en siffra i varje ruta och 5 + 7 blir ju 12. Då gör du så här: i.
skriv entalssiffran (2) i rutan för ental. ii.
b.
c.
d.
Tiotalssiffran skriver du i stället ovanför de tiotalssiffror som redan står i talet. Du får sedan räkna med den när du lägger ihop de andra tiotalen. Tiotalen blir alltså 1 + 6 + 8 = 15. Alltså 5 tiotal och ett hundratal. Femman skriver du under tiotalen och ettan över hundratalen du redan hade. Den ska ju läggas ihop med dem sedan. Nu räknar du hundratalen och får 1 + 5 + 7 = 13, alltså 3 hundratal och 1 tusental. Nu finns det ju inget mer att räkna ihop så du skriver trean under hundratalen och ettan tillvänster om hundratalssiffran, på tusentalsplatsen. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1)
5 6 7 + 7 8 5
2) 1 1
5 6 7 + 7 8 5 1 3 5 2
Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början! ! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen!
12
subtraktion utan övergång
Exempel: 543 - 231 1.
2.
a.
b.
c.
Ställ upp talen som ska subtraheras så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. Det största talet ska stå överst. Sätt också ut ett minustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. a.
b.
Subtrahera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. Tänk på att du alltid tar den övre siffran minus den undre! Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2)
- 2 3 1 5 4 3 5 4 3 - 2 3 1 3 1 2
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början!
13
subtraktion med övergång – ej växling över noll
Exempel: 523 - 347 1.
2.
Precis som vid uppställning utan övergång! Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om den nedre siffran är störst. a.
Redan vid entalen trasslar det sig. Du ska ju ta den övre siffran minus den nedre. I det här fallet 3 – 7. Men sju är ju större än tre! Vad göra? i.
Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Stryk ett streck över den övre tiotalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii.
iii.
Skriv sedan ”10” ovanför entalssiffrorna. Nu har du 13 ental och 13 – 7 = 6. Skriv dit sexan på entalsplatsen under strecket. b.
c.
d.
Nu skulle du räknat ut 2 – 4, men du har ju växlat in ett av tiotalen i det övre talet. Alltså har du bara 1 kvar. Men 1 – 4 är inte direkt bättre! i.
Nu måste du växla in ett av dina hundratal till 10 tiotal. Stryck ett streck över den övre hundratalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii.
Skriv sedan ”10” ovanför tiotalssiffrorna. Nu har du 11 tiotal och 11 – 4 = 7. iii.
Skriv dit sjuan på tiotalsplatsen under strecket. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 – 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1)
5 2 3 - 3 4 7
2) 10
5 2 - 3 4
10
3 7 1 7 6
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början!
14
subtraktion med övergång - växling över noll
Exempel: 503 – 347 1.
2.
Precis som vid uppställning utan övergång! Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om det t.ex. inte finns några tiotal när du skall växla till dig fler ental. a.
Enda skillnaden är att du då måste växla till dig tiotal från hundratalen innan du kan växla till dig ental. i.
Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Men det går ju inte – Det finns inga! ii.
iii.
iv.
Växla då till dig 10 tiotal genom att växla in ett hundratal. Stryk ett streck över hundratalssiffran som vanligt. Nu kan du växla till dig 10 ental. Då stryker du ett streck över tian ovanför tiotalen för att visa att du knyckt en av dem. Nu kan du räkna ut 13 – 7 = 6 och skriva sexan på rätt plats. b.
c.
d.
Nu har du redan 9 tiotal att dra bort fyra från. Räkna ut 9 – 4 = 5 och skriv femman på rätt plats (tiotalsplatsen under strecket). Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 – 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1)
5 0 3 - 3 4 7
2) 10 10
5 0 3 - 3 4 7 1 5 6
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början!
15
Multiplikation av flersiffriga tal
Titta på multiplikationen 15 23
Vi kan skriva om den som upprepad addition:
15 23 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 Ganska tråkigt och omständligt…
Vi kan rita en bild av den:
Tja, att rita en sådan här bild är väl heller inte något du vill göra varje gång du ska multiplicera. Men det är kanske bra att göra någon gång, för att se vad det är du egentligen gör. Om vi ska utföra multiplikationen 15 23 kan vi göra på olika sätt. Vi kan räkna med mellanled på olika sätt och vi kan använda uppställning. Vi ska börja med att räkna med mellanled med hjälp av distributiva lagen för multiplikation. Den räknelag som säger att t.ex. 4 12 = 4 (10 + 2) = 4 10 + 4 2 Hur tillämpar vi det på 15 23? Vi tar vår figur igen och delar den i två delar. Nu se vi att 15 23 = 15 20 + 15 3 Här är det ju ganska enkelt att se att 15 20 + 15 3 = 300 + 45 = 345. 15 20 Hade vi haft större tal att jobba med hade vi kanske behövt göra en uppdelning till: 15 20 + 15 3 = = 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 = = 200 + 100 + 30 + 15 = 300 + 45 = 345 10 20 5 20 15 3 10 3 16 5 3
Vi använder alltså distributiva lagen 3 och delar upp vår multiplikation i delar, tills dessa är så enkla att vi kan räkna dem i huvudet. Hela beräkningen ovan kan skrivas som nedan: 15 23 = = 15 20 + 15 3 = = 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 = = 200 + 100 + 30 + 15 = = 300 + 45 = 345 10 20 5 20 Problemet kan också lösas med hjälp av en tabell:
Skriv den multiplikation du ska beräkna i rutan högst upp till vänster Dela upp den andra faktorn i talsorter i den översta raden och den första i första kolumnen För varje ruta i mitten skriver du produkten av det tal som står överst och det tal som står till vänster. Jämför med bilderna du använde ovan! Addera dina delprodukter och skriv de summor du får i den nedersta raden. Addera talen i raden längst ned och skriv svaret på din multiplikation längst ner till höger.
15
23
10 5 20
200 100 300 Det här fungerar även med ännu större tal:
3
30 15 45
345 305
243
300 0
5 1 61 000 12 200 + 915 74 115 eller
200
60 000 0 1000 61 000
40
12 000 0 200 12 200
3
900 0 15 915 61 000 + 12 200 + 915 = 73 000 + 1 115 = 74 115
Om additionen längst ner blir svår att göra i huvudet gör du den skriftligt! 74 115
3 Distributiva lagen säger att vi kan dela upp en multiplikation och addera delresultaten, t.ex. 2 x 13 = 2 x 10 + 2 x 3 17 10 3 5 3
Uppställning- multiplikation
Om vi ska lösa samma multiplikation med uppställning blir det så här: 23 15
1
5 Börja med att multiplicera 5 3. Det blir 15. I den bild vi använde tidigare är detta prickarna längst ned till höger. Längst till höger i vår uppställning står ju entalen. I den produkt vi nyss räknade ut är 5 entalssiffra. Därför skriver du den under siffrorna längst till höger. Tiotalssiffran kan du inte skriva in på rätt plats ännu. Du kommer ju att få fler tiotal när du multiplicerar 5 och 2 (som egentligen är 5 och 20). Skriv därför ettan som minnessiffra någonstans. 23 15
1
115 Nu ska du multiplicera femman med tvåan i översta raden. Det innebär att du ska ta fem ental gånger två tiotal, alltså 5 20, rutan nedtill tillvänster i vår bild. 5 20 är 100 eller om du vill, 5 två tiotal är 10 tiotal. Nu måste du lägga till det tiotal du redan hade. 10 + 1 = 11. Stryk ettan du hade skrivit upp som minnessiffra. Tiotalssiffrorna ska ju stå på andra platsen bakifrån. Du kan skriva dit den sista ettan från dina 11 tiotal. De 10 tiotal som då blir över är ju ett hundratal. Eftersom du inte har fler siffror som ska multipliceras med fem behöver du inte skriva någon minnessiffra utan kan direkt skriva den ettan på hundratalsplatsen – tredje platsen bakifrån. 23 15
1
115 3 Nu har du gjort de multiplikationer du ska med femman. Det motsvarar summan av alla prickar i den nedre halvan av bilden vi använde ovan. Nu ska vi räkna ut summan av alla prickar i den över halvan, d.v.s. 10 23. Vi börjar med att räkna ut det finns i det översta högra hörnet. Vi förenklar genom att först tänka 1 3 = 3. Egentligen är det ju 1 tiotal vi multiplicerar med 3, så den trea vi får som produkt är ju 3 tiotal = 30. Alltså skriver vi in den på tiotalsplatsen på raden under 115. Här fick vi inga hundratal som behöver skrivas i minnet. 23 15
1
115 23 Då har vi en produkt kvar att beräkna. 1 tiotal gånger 2 tiotal (10 20) = 20 tiotal = 2 hundratal eller 200. Vi skriver en tvåa på hundratalsplatsen. Vi har nu räknat ut hur många prickar det finns i den övre vänstra halvan av vår figur. 23 15
1
115 +23 .
345 Då återstår bara att summera våra delprodukter. Vi räknar som vanlig addition. Att ”23” är betyder ”230” beror ju på att vi har bestämt var de olika talsorterna ska skrivas. Vi vet att tvåan i 23 är en hundratalssiffra.
Observera att det inte spelar någon roll vilken plats faktorernas står på i förhållande till varandra vid uppställning! Man brukar sätta de sista siffrorna under varandra oberoende av talsort. Däremot är det viktigt att talsorterna står på rätt plats i dina delprodukter, som sedan ska adderas.
18
Multiplikation av decimaltal
Det finns olika metoder du kan använda när du ska multiplicera decimaltal. Några ska du få komma på själv så småningom, med hjälp av lite olika frågor. Just nu ska du bara lära dig ett sätt att tänka på som du i princip alltid kan använda. Kom ihåg det här:
1. Multiplikation med decimaltal, allmänt
= 0,4 Du ser ovan att det är samma sak att dividera med 10 som att multiplicera med en tiondel. Du kan skriva 45,6 49,4 som 456 0,1 494 0,1 = 456 494 0,1 0,1 = 456 494 0,1/10 = = 456 494 0,01 Kan du det här kan du alltid avgöra var decimalen ska stå i en produkt av två decimaltal.
2. Börja med överslagsräkning!
Om du ska räkna ut lite krångligare produkter är det bra att börja med överslagsräkning: 0,467 23,865 ≈ 0,5 24 = 12. Ditt svar ska alltså bli ungefär 12. Nu kan du t.ex. använda uppställning. Skriv dit dina faktorer med komman o.s.v. . När du räknar låtsas du dock inte om att där står några kommatecken. 23,865 0,467 3462 3352 2231 167 055 1 431 90 + 9 546 0__ 11 144 955
Notera! Minnessiffrorna vid additionen av delprodukterna är inte utskrivna.
Var ska nu kommat skrivas? Jo, eftersom vi vet att produkten är ungefär 12 ska det skrivas efter den andra ettan. Svaret blir 11,144 955. Den här metoden kan du använda även om du t.ex. använder tabellmetoden för att multiplicera. Om du t.ex. ska multiplicera 3,45 med 4,08 så börjar du med att göra ett överslag: 3,45 4,08 ≈ 3,5 4 = 7 2 = 14. Använd tabellmetoden för att beräkna 345 408. Du får produkten 140760 Eftersom du vet att den produkt du söker ska vara ungefär 14 vet du då att 3,45 4,08 = 14,0760 19
Kort division
Kort division utan växling
Vid kort division delar du upp en talsort i taget.
Exempel: 639/3
Vi kan skriva om den här divisionen som 600/3 + 30/3 + 9/3 = 200 + 10 + 3 = 213 Det blir dock onödigt mycket att skriva. I stället tittar vi på en siffra – en talsort i taget, men skriver bara ut kvoten: Vi börjar med att titta på hundradelssiffran; Vi får 6/3. 3 går 2 gånger i tre, så i kvoten skriver vi en tvåa på hundratalsplatsen. Sedan tittar vi på tiotalen. Vi får 3/3 – och eftersom 3 går en gång i 3 får vi i kvoten en etta på tiotalsplatsen. Till sist tar vi entalen; 9/3 = 3 och vi får en trea på entalsplatsen. 20
Kort division med växling
Ibland går inte varje talsort jämt upp när man arbetar med kort division. Då får man växla även här:
Exempel: 525/3
Vi börjar med att dela upp hundratalen; 5/3. 3 går 1 gång i 5 – men då får vi två hundratal över. De hundratalen får vi växla in till 20 tiotal. Vi visar att vi gör det genom att skriva en liten två snett ovanför tvåan på tiotalsplatsen. Ettan skriver vi efter likhetstecknet. Vi vet att det är en hundratalssiffra eftersom det var 5 hundratal vi skulle dela upp.
2
Nu delar vi upp tiotalen. Vi har 22 tiotal. 3 går 7 gånger i 22 eftersom 3 x 7 = 21. Men vi får 1 tiotal över. Det växlar vi in till 10 tiotal – och visar det genom att skriva en liten etta snett ovanför femman på entalsplatsen. Sjuan skriver vi tiotalsplatsen efter likhetstecknet.
2 1
Nu har vi bara entalen kvar. Vi har 15 ental. 3 går 5 gånger i 15 eftersom 3 x 5 = 15. Nu gick det jämt upp!
2 1
Du kan kontrollera att du räknat rätt genom att multiplicera kvoten med nämnaren. Då ska du få täljaren: 3 x 175 = 300 + 210 + 15 = 525. OK! Stämmer! 21
Kort division – nämnaren är större än täljaren
Vi vill beräkna 3/11 med tre decimaler. Då måste vi räkna ut fyra decimaler för att kunna avrunda riktigt. För att hålla rätt på platserna skriver jag ut positionerna för decimalerna. 3 11 = 0,_ _ _ _ Vi kan också skriva 3 , 0000 11 = 0, _ _ _ _ Decimalerna ändrar inte talets värde, de hjälper oss att hålla koll på tiondelar och hundradelar senare i beräkningarna Vi kan ju direkt se att kvoten blir mindre än ett. Vi behöver inte ens en hel ”elva” för att få tre. Tre är ju bara en del av elva. Men vad skall vi skriva då? Vi kan inte skriva hur många gånger 11 går i 3 ental. Men vi kan växla in våra tre ental till 30 tiondelar. Vi markerar att vi gör det genom att skriva de ental vi växlar in snett framför tiondelssiffran. Vi ser att 11 går 2 gånger i 30. 2 gånger 11 är 22. Men det blir 8 tiondelar kvar (30 – 22 = 8). 3 , 3 0 0 , 2 _ _ _ 11 Nu växlar vi in de 8 tiondelar vi får över till 80 hundradelar. 11 går 7 gånger i 80. 11 gånger 7 är 77. Vi får 3 hundradelar i rest (80 – 77 = 3). 3 , 3 0 8 0 0 , 27 _ _ 11 Dessa tre hundradelar växlar vi in till 3 tusendelar. Tja, 11 gick två gånger i 30 tiondelar. 11 går två gånger i 30 hundradelar också. Och vi får förstås resten 8 nu också. Och nästa gång kommer 11 att gå 7 gånger och resten att blir tre o.s.v. 3/11 är alltså lika med 0,2727272727… Med tre decimaler blir svaret ≈ 0,273. Hade vi inte fått samma rest så snabbt hade vi fått fortsätta på samma sätt som innan. 22
Vilket tal är störst – vid multiplikation och division?
Resultat av multiplikation och division
Multiplikation av tal större än ett brukar inte vålla några problem. Om det ena talet däremot är mindre än ett – vad händer då? Under ”multiplikation av decimaltal kan du läsa om att man multiplicerar med 0,4 får man samma produkt som om man först multiplicerar med 4 och sedan delar med tio. Man kan också, om man multiplicerar ett tal med ett tal mindre än ett, se det som att man ”tar en del av det andra talet” 4 . Multiplicerar man ett tal med 0,89 tar man 89 hundradelar av talet som multipliceras. Man kan säga 8 tiondelar och 9 hundradelar om man så vill. Multiplicerar man med 2,5 tar man 2 hela och 5 tiondelar eller 25 tiondelar, alltså två hela plus hälften av det tal man multiplicerar. Ju mindre talet man multiplicerar med är, desto mindre blir produkten. Produkten blir också alltid mindre än den faktor som multipliceras med decimaltalet. Ex: 0,8 x 2 = 1,6 en tiondel av 2 är 0,2. Åtta tiondelar av 2 är 8 x 0,2 = 1,6 och 1,6 < 2. Division med tal större än ett brukar också gå bra. Om man däremot skall dividera med tal mindre än ett måste man fundera lite över vad division innebär. Vi tittar på ett exempel: Ex: 5 x 2 = 10 Vi kan också skriva 10/2 = 5 Det senare kan vi se som att vi delar upp 10 i två högar. Då får vi 5 i varje hög. Men vi kan också se det som att 2 går 5 gånger i 10. Vi kan ta två fem gånger och få 10. Division och multiplikation är varandras motsatser! Om vi multiplicerar en kvot med nämnaren får man täljaren. Vi tittar på nästa exempel: Ex: Vad blir 1/0,2 ? Vi kan lösa uppgiften genom att fråga oss ”Vad skall vi multiplicera 0,2 med för att det skall bli 1?” Vi undrar alltså hur många gånger 0,2 går i 1. Tja, 5 x 0,2 är 1 så svaret är alltså 5. Skall vi nu, utan att räkna ut svaret, se vilken kvot som är störst får vi tänka på att ju större nämnaren är, desto färre gånger går den i täljaren. Om täljaren är den samma måste vi multiplicera nämnaren med ett mindre tal om nämnaren är större. Ju mindre täljaren är, desto större kvot! Tänk också på att kvoten alltid blir större än täljaren när man dividerar med ett tal mindre än noll. Ex: 2/0,4 > 2/0,5 (2/0,4 = 5, Om nämnaren är = 1 blir kvoten alltid lika med täljaren. 2/0,5 = 4) Om nämnaren är större än 1 blir kvoten alltid mindre än täljaren. Om nämnaren är mindre än 1 blir kvoten alltid större än täljaren.
Övertyga dig själv om det riktiga i ovanstående exempel genom att titta på några enkla exempel som du hittar på själv! Om du inte lyckas: Be din lärare om hjälp i skolan!
4 Vissa pedagoger gillar inte det sättet, men jag har pratat med flera matematiker som tycker att det är helt OK. 23
Delbarhetsregler
När vi pratar om delbarhet handlar det alltid om heltal. Ett tal är delbart med ett annat om kvoten blir ett heltal.
Exempel:
10 är delbart med 2 för kvoten mellan 10 och 2 är 5 och 5 är ett heltal 5 är inte delbart med 2 för kvoten mellan 5 och 2 är 2,5 och 2,5 är inte ett heltal. Du kan undersöka om ett tal är delbart med ett annat genom att prova att dela dem – i huvudet, med någon skriftlig metod eller med miniräknare. Ofta behöver du dock inte göra det. För vissa tal kan man enkelt se om ett tal är delbara med dem eller inte. Det finns regler som beskriver hur du ser det. Det här är de enklaste delbarhetsreglerna: Alla tal som slutar på en jämn siffra är delbara med 2 – de är jämna tal. Alla tal som slutar på fem eller noll är delbara med 5. Alla tal som slutar på noll är delbara med 10. För att kunna använda några andra delbarhetsregler måste du veta vad
siffersumman
för ett tal är. Siffersumman för ett visst tal (heltal!) räknar du ut genom att addera de siffror som bygger upp talet.
Exempel:
478 har siffersumman 4 + 7 + 8 = 19 19 har siffersumman 1 + 9 = 10 315 har siffersumman 3 + 1 + 5 = 9 Nu kan du lära dig några fler delbarhetsregler: Alla tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 3. Alla jämna tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 6. Alla tal vars siffersumma är delbar med nio är delbara med 9. Om du vill veta om ett tal är delbart med fyra får du dela med två först. Om då kvoten också är delbar med två så är talet delbart med 4. Kan du dela med två ytterligare en gång var ditt första tal delbart med 8 också. När det gäller sju finns det inga regler. Du får prova dig fram. Observera att om ett tal är delbart med något jämnt tal är det också delbart med två: Ex: 88 = 8 11 – men två är en faktor i 8 (2 4) så då kan jag skriva 2 4 11 = 2 44 också. Samma sak gäller för tal i treans tabell – är ett tal t.ex. delbart med 6 är det också delbart med 3. Ex: 72 = 6 12 = 3 2 12 = 3 24 24
Bråk
För att förstå den här texten behöver du veta vad täljare och nämnare är. Om du inte är säker: titta på termer under räknesätt!
Bråk kan användas för att ange t.ex. hur stor del av en sak eller en mängd saker man pratar om. Bråket tre sjundedelar betyder lika stor del av något, som tre delar av något som har delats i sju lika stora delar eller grupper: Bråket tre sjundedelar kan skrivas så här på mattespråk: eller 3/7 Nämnaren, alltså sjuan i det här fallet, talar om hur många bitar eller delar som är en hel eller alltihop. Det blir lite som en enhet som talar om vilkens sorts bitar vi pratar om. Är det fjärdelar eller femtedelar, eller vad är det? Lite som vi vill veta vilken valuta vi pratar om när vi pratar om pengar. Är det kronor eller dollar eller?? Täljaren, alltså trean i det här fallet, talar om hur många sådana bitar eller delar vi pratar om.
Bråk som förhållande
Du kan också stöta på bråk när man anger förhållande mellan mängder. Tittar du på en flaska saft brukar man ange hur saften ska spädas på det sättet. Saften kanske ska spädas 1:4. Det betyder att du ska ha en del saft till fyra delar vatten. Du får totalt fem delar vätska. En av dem är saft och du får alltså 1/5 saft. Ett vanligt bråk (1/5 ovan) heter
fraction
på engelska. När man anger förhållanden (1:4 ovan) heter det
ratio
på engelska.
Bråkens namn
½ = en halv, därefter blir det mer logiskt. Vi har tredjedelar, fjärdedelar, femtedelar, sjättedelar, sjundedelar, åttondelar, niondelar, tiondelar, elftedelar, tolftedelar, trettondelar o.s.v.
Storleksordna bråk
¼ av en stor sak är förstås mer än ¼ av en liten sak, men när man storleksordnar bråk pratar man alltid om så stor del av samma sak eller samma antal saker.
Nämnaren lika
Om alla bråk har samma nämnare är det jättelätt att storleksorda bråk. Är nämnarna lika är det ju samma sorts bitar vi pratar om. De är lika stora. Då är bråket förstås större om vi har fler bitar; 3/7 av något är mindre än 4/7. 3/7 < 4/7 i ord: tre sjundedelar är mindre än fyra sjundedelar 25
Täljaren lika
Om alla bråk har samma täljare är det också ganska enkelt. Då har vi ju lika många bitar. Då är det bitarnas storlek som avgör. Är nämnaren liten blir det få men stora bitar. Är nämnaren stor blir det många men små bitar. Vi får ju t.ex. mindre tårtbitar om vi är många som delar på en tårta. 3/10 är alltså mindre än 3/6. 3/10 < 3/6 I ord: tre tiondelar är mindre än tre sjättedelar
Jämför med kända bråk
Om både täljare och nämnare får man ta till andra knep. Man kan börja med att titta på om det finns bråk som är större än ett – de kommer förstås att vara större än de som är mindre än ett.
Alla bråk där täljaren är lika med nämnaren är exakt ett (eftersom vi då har tagit alla bitar av den hela) Alla bråk som där täljaren är större än nämnaren är större än ett.
Vi kan också så om det är några bråk som är exakt en halv, eller större eller mindre än en halv.
Om täljaren är precis hälften av nämnaren är bråket exakt en halv. Är täljaren mindre än så är bråket mindre än en halv, är den större är det större än en halv.
Det går förstås att göra så med fler bråk; är täljaren en tredjedel av nämnaren är bråket exakt en tredjedel, är den mindre är den mindre än en tredjedel o.s.v.
Hur mycket mindre än…?
Det finns lite andra sätt man också kan prova. Du kan tänka ut en del själv. Du får ett exempel till här: Bråk som 8/9, 7/8 och 6/7 kan du storleksordna genom att titta på hur mycket det fattas till en hel. I det första fallet fattas 1/9, i det andra 1/8 och i det tredje 1/7. 8/9 är alltså störst och 6/7 minst.
Omvandla till decimalform
Om man inte lyckas storleksordna bråken på något annat sätt kan man alltid omvandla dem till decimalform först. Skall du t.ex. omvandla 3/7 till decimalform dividerar du helt enkelt 3 med 7. Vet du inte hur man gör det; titta på avsnittet om kort division! OBS! Tänk på att om nämnaren är 10, 100, 1000 eller likanande är det bara att skriva in täljaren på rätt plats i positionssystemet! 37/10 måste t.ex. vara 3,7: 37/10 = 30/10 + 7/10 = 3 + 7/10
Blandad form och bråkform
Alla heltal kan förstås skrivas som bråk. 1 = 7/7 = 14/14 = 197/197 eller vad du nu vill. Har du alla bitar eller grupper har du en hel. Har du dubbelt så många som i en hel har du två; 2 = 14/7 = 200/100 = 57/57… o.s.v. Alla bråk som är större än 1 kan skrivas både i bråkform – alltså bara som ett bråk, t.ex. 14/5 eller i blandad form – alltså med de hela delarna för sig och det som inte räcker till en till hel för sig, det sistnämnda då i bråkform. 5 går ju 2 hela gånger i 14, och så får vi 4 femtedelar över. 14/5 blir alltså 2 4/5 i blandad form. Det kan också skrivas så här: 26
Addition och subtraktion av bråk
Addition och subtraktion av bråk är enkelt. Det gäller bara att komma ihåg att nämnaren bara är en sort. Du kan bara addera eller subtrahera bråk med samma nämnare, alltså bråk av samma sort. Ett bra knep är att använda ord: två fjärdedelar + en fjärdedel är förstås tre fjärdedelar! Och fem sjundedelar – två sjundedelar är förstås tre sjundedelar. 2/4 + 1/4 = ¾ 5/7 – 2/7 = 3/7 Om man ska addera bråken 2/3 och 2/6 måste man först göra om dem så de får samma nämnare. Se ”förkorta och förlänga bråk”! 27
Multiplikation och division av bråk med heltal.
Att multiplicera ett bråk med ett heltal eller tvärt om är också lätt. Du vet att 4 1/3 = 1/3 4 eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation. Multiplikation med heltal kan ju skrivas om som upprepad addition och då ser vi att 4 1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = (4 1)/3 = 4/3 Eller Du multiplicerar alltså bara täljaren med heltalet i fråga. Det blir på samma sätt med division. Du delar täljaren med heltalet i fråga: (6/7)/3 = (6/3)/7 = 2/7 Tänk att tre personer ska dela på sex sjundedelar. Då får de 6/3 sjundedelar var, alltså 2 sjundedelar.
Multiplikation av bråk med bråk
Titta på multiplikationen ½ x ¾ Som vid multiplikation med decimaltal mindre än noll kan vi betrakta detta som att man tar en viss del av den andra faktorn. Här tar vi hälften av ¾. Det får vi t.ex. om vi tar hälften så stora bitar men lika många: 3/8. Titta nu på 2/3 x ¾ Vi kan betrakta detta som att vi tar 2/3 av ¾. Skall vi ha 1/3 av ¾ får vi ta bitar som är en tredjedel så stora. Vi måste dela varje fjärdedel i 4 bitar. Vi får tolftedelar. 3 x 4 = 12. Totalt får vi 3/12. Skall vi ha 2/3 av ¾ måste vi ta 2 sådana bitar. Alltså 6/12. Vad är det alltså vi gör? Jo, först delar vi det vi har (den andra faktorn) i mindre bitar. Skall vi ha ett visst antal tredjedelar av den andra faktorn måste varje bit i den delas upp i tre bitar. Då får vi totalt så många bitar som produkten av nämnare 1 och nämnare 2. Sedan räknar vi efter hur många bitar vi skall ha av de nya bitarna. Det är produkten av täljare 1 och täljare 2. Alltså: Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Exempel: 2/3 x ¾ = (2x3)/(3x4) = 6/12 Kan förkortas med 6 till ½. Prova att rita en bild så ser du att detta exempel stämmer. ¾ av ett varv på en cirkel är t.ex. tre av de fyra kvartar man kan dela in cirkeln i. En tredjedel av tre stycken kvartar är en kvart. Två sådana är ett halvt varv. 28
Division av bråk med bråk
Innehållsdivision
Väldigt många bråkdivisioner kan du lösa genom att tänka innehållsdivision. Exempel 1: Exempel 2: eftersom - det behövs två halvor för att få en hel. eftersom I exempel två ser du att om du har samma nämnare behöver du ju bara dividera det första talets täljare med de andra talets täljare. Nämnaren är ju bara en ”sort” som talar om vad det är för sorts delar vi jobbar med. Ibland är det ju rätt enkelt att tänka innehållsdivision utan att nämnarna är lika. Du bör t.ex. veta att det går två fjärdedelar på en halv, så en halv delat med en fjärdedel måste alltså vara två. Om det inte är så uppenbart som i de här fallen kan du alltid göra bråken liknämniga genom att förkorta eller förlänga som när du adderar eller subtraherar bråk. Då kan du tänka som ovan igen. 29
Allmän metod för division av bråk
Det finns en allmän metod som man kan använda när man dividerar bråk. Den bygger på det här: Tänk dig att du ska utföra divisionen . Du ska göra dem liknämniga. Båda nämnarna är primtal, så du kan inte förkorta utan måste förlänga. När nämnarna är lika innehåller de exakt samma primfaktorer. Eftersom de inte har några gemensamma primfaktorer nu – och båda är primtal – är alltså de enklaste bråken med gemensam nämnare du kan hitta de du får om du förlänger varje bråk med det andra bråkets nämnare : och Nu kan du skriva divisionen så här i stället: I avsnittet om innehållsdivision av bråk konstaterade vi att om nämnarna är lika behöver vi bara dividera täljarna med varandra. Vi får alltså kvoten 33/14. Skriver vi upp allt vi gjort ovan i ett svep blir det så här: Titta på det här lite noggrannare - varifrån kommer 33 och 14? Vi får dem när vi förlänger bråken och vi ser att 33 = täljaren i bråk 1 x nämnaren i bråk 2 14 = nämnaren i bråk 1 x täljaren i bråk 2 och Det här kan användas vid alla bråkdivisioner. För alla bråk gäller följande (
a, b, c
och
d
är vilka heltal som helst som är större än 0). 30
Förkorta och förlänga bråk
Förkorta
Tänk dig en chokladkaka med 24 rutor. Om du tar åtta av de rutorna har du ju tagit 8/24 av hela kakan. Men du har också tagit två rader av åtta - alltså 2/6. Eller så kan du dela kakan i tre bitar som består av två rader var. Då har du tagit en av tre bitar – alltså 1/3. Att skriva ett om ett bråk så att det blir mindre tal i täljare och nämnare kallas att förkorta bråket. Hur gör man det där på mattevis då? Tja, om du går från att titta på bitar till att titta på rader så får blir det ju som att du slår ihop bitarna fyra och fyra – du delar upp dem i grupper med fyra bitar i varje. Då får du ju 24/4 = 6 grupper (innehållsdivision!), alltså en fjärdedel så många grupper. Du måste alltså dela nämnaren med 4! Men de bitar hade tagit slås ju också ihop fyra och fyra – alltså måste täljaren också delas med 4! Går du från rader till de större bitarna med två rader i varje så slår du ihop raderna två och två. Då får du dela både täljare och nämnare med två: Du kunde också ha slagit ihop bitarna åtta och åtta från början: Du kan fortsätta så länge det finns något tal som det går att dela både täljare och nämnare med. När det inte finns det längre har du förkortat bråket så långt det går. Alltså: Om du delar både täljare och nämnare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. 31
Förlänga
I stället för att slå ihop bitar i grupper kan du förstås dela upp grupper i mindre bitar. Om du från början delar chokladkakan i tre bitar och tar en av dem – 1/3 – kan du ju dela upp varje bit i t.ex. åtta bitar. Då får du åtta gånger så många bitar totalt sett (nämnaren) och de du ätit blir också åtta gånger så många – men mindre förstås (täljaren). Du multiplicerar alltså både nämnare och täljare med åtta! Allmänt gäller: Om du multiplicerar både nämnare och täljare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. Du har nytta av att kunna förkorta och förlänga bråk t.ex. när du vill addera eller subtrahera bråk som från början har olika nämnare. Då kan du antingen förlänga eller förkorta dem så att de får samma nämnare. Exempel 1: Övertyga gärna dig själv om att det stämmer genom att rita! Exempel 2: Att förkorta och förlänga bråk kan också vara användbart när man ska omvandla ett bråk till procentform eller decimalform. Då förlänger eller förkortar man så att man får nämnaren 10, 100, 1000 eller vad som nu är enklast. Exempel: 32
Procent
Man kan ange andelar av något i bråk. Man kan också ange andelar i procent. Procent är samma sak som antal hundradelar. 57/100 kan skrivas 57 % (57 procent). Skall du skriva om ett bråk som procent kan du prova att förlänga eller förkorta så att nämnaren blir 100 så är det klart. Ibland behöver du inte göra det – du vet ändå. Exempel: Tag 1/2 till exempel. Du vet att en hel – allting är 100 % (det måste förstås vara alla de hundra hundradelarna – alltså 100 %). Hälften är förstås hälften av dessa – alltså 50 %. På samma sätt är 1/4 = 100/4 % = 25 % Funkar inget av detta omvandlar du bråket till decimalform – med hjälp av miniräknare eller kort division – och så läser du av hur många hundradelar det är; 0,2987 är t.ex. 29,87 %. Precis som ett bråk kan vara större än 1 så kan man ha mer än 100 %. Om jag äter 1 och en halv tårta har jag t.ex. ätit 150 % av en hel tårta.
Räkna ut hur många procent något är
Det viktiga är att veta vad ”det hela” är. Vad är det du jämför med? Är det hur mycket pengar du har på ditt konto? Är det vad ett par byxor kostar innan prishöjning eller efter prishöjning? Vet du vad du jämför med så måste du också veta vad du jämför med detta. Kanske hur mycket du fick i ränta (i kronor) när du hade si och så mycket pengar på kontot? Det du jämför med ”det hela” kallar vi ”delen”. Du får antal procent genom att räkna ut ”delen”/”det hela” och skriva svaret i procentform. Exempel: Putte har 20 000 kronor på sitt bankkonto. På ett år får han 100 kronor i ränta. Vad är räntan i procent? 100/20 000 = 1/200 = 0,005 = 0,5 % Svar: Räntan var 0,5%
Räkna ut hur mycket x % av något är
Du kan räkna ut hur mycket x % av något är på flera sätt. Här får du två varianter i form av två exempel. Exempel 1
Börja med att räkna ut hur mycket 1 % är
Hur mycket är 24 % av 200? 1 % = 200/100 = 2 24% = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 är 48 Exempel 2
Gör om till decimalform först
Hur mycket är 24 % av 200? 24 % = 0,24
Jag ska ta 24 hundradelar av 200. Det gör jag om jag multiplicerar 0,24 med 20!
0,24 x 200 = 0,24 x 100 x 2 = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 = 48 33
Procentenheter
Det gäller att skilja på procent och procentenheter. Om räntan är 10 % och höjs till 12 % ökar den med 2/10 = 20 % men bara med 12 – 10 = 2 procentenheter.
Potenser, kvadrater och kvadratrötter
På samma sätt som man kan skriva om upprepad addition av samma tal som multiplikation kan man skriva om upprepad multiplikation av samma tal som en potens. Exempel: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 3 3 3 3 3 = 3 4 3 4 läser man ”tre upphöjt till fyra” I uttrycket 3 4 kallas trean ”bas” och fyran ”expontent” Att ta ett tal upphöjt till två, alltså multiplicera det med sig själv, kallas att ta kvadraten på talet. Namnet har att göra med att arean på en kvadrat är sidan x sidan (och båda sidorna är ju lika långa i en kvadrat – alltså multiplicerar man ett tal med sig själv när man räknar ut arean). 3 2 = 9 är alltså kvadraten på 3. Ett tals kvadratrot kan man säga är motsatsen till kvadraten. Ett tals kvadratrot svarar på frågan: ”Vilket positivt tal ska jag ta kvadraten på för att få det här talet?” Kvadratroten ur 9 är alltså 3 – eftersom 3 2 = 9 Man skriver så här:
OBS! Av tekniska orsaker skrivs potenser i dina läxor oftast så här: 10 ^ 2 i stället för 10 2 . Det betyder precis samma sak och du kan själv skriva om det till det vanliga sättet innan du läser uppgiften
. 34
Negativa tal
Addition och subtraktion av negativa tal
Att addera med ett negativt tal är samma sak som att subtrahera. Ex: 5 + (-4) = 5 – 4 = 1 Vad händer om man subtraherar med ett negativt tal? Vi kan roa oss med ett exempel: Ett flygplan flyger på 500 m höjd och ett annat på 300 m höjd. Höjdskillnaden är (500 – 300) m. På samma sätt borde man kunna räkna ut höjdskillnaden mellan det första flygplanet och en ubåt på 200 m djup. På samma sätt som man brukar kalla källarvåningar för 1, -2 o.s.v., med bottenvåningen som noll, anger vi ubåtens avstånd till havsytan som -200 m. Om vi räknar ut höjdskillnaden mellan flygplan 1 och ubåten på samma sätt som mellan de två flygplanen får vi uttrycket (500 – (-200))m. Man kan inse att avståndet är 500 m ovanför vattenytan och 200 m under vattenytan, alltså (500 + 200) m = 700 m. Det blir det bara om vi räknar de två minustecknen som plus! Vi kan också titta på följande serie subtraktioner: 5 – 3 = 2 5 – 2 = 3 5 – 1 = 4 5 – 0 = 5 5 – (-1) = ? Tittar vi från början ser vi att differensen blir större ju mindre den andra termen blir. Minskar den andra termen med 1 ökar differensen med 1. Det verkar rimligt att mönstret skall fortsätta även om den andra termen råkar bli mindre än 1. Så är också fallet. 5 – (-1) = 6 5 – (-2) = 7 o.s.v. Att subtrahera ett negativt tal innebär alltså samma sak som att addera motsvarande positiva tal. Exempel: 5 – (-6) = 5 + 6 = 1 35
Multiplikation och division av negativa tal
Att multiplicera eller dividera ett negativt tal med ett positivt brukar inte vara något problem. Det känns inte konstigt att 2 x -3 = -6. Och eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll vid multiplikation (2 x 3 = 3 x 2) är det heller inte konstigt att -3 x 2 = -6. Tittar vi på division är det inte heller konstigt att t.ex. -10/2 = -5. Kvoten gånger nämnaren skall ju bli täljaren. Det känns inte heller konstigt att hälften av -10 är -5. Däremot känns det kanske lite skumt att säga att två går -5 ggr i -10. ”minus fem gånger” känns lite abstrakt. Kanske blir det bättre om man säger att man får ta bort två fem gånger för att få minus 10. Om man dividerar två negativa tal då? Tja, då verkar det inte orimligt att säga att -2 går fem gånger i 10. -10/-2 = 5. Kvoten av två negativa tal är alltså positiv. Vi kan titta på multiplikation av två negativa tal på ett annat sätt: Vi kikar på en serie igen: -3 x 4 = -12 -3 x 3 = -9 -3 x 2 = -6 -3 x 1 = -3 -3 x 0 = -0 -3 x (-1) = ? På samma sätt som vid addition är det inte orimligt att anta att mönstret fortsätter. Om produkten växer med tre varje gång den varierande faktorn minskar med ett bör detta gälla även om även den andra faktorn blir negativ. Så är också fallet. Multiplicerar man ett negativt tal med ett annat negativt tal blir produkten positiv. Då ser vi också att kvoten mellan en positiv täljare och en negativ nämnare blir negativ. Produkten av kvoten och nämnaren är ju lika med täljaren, som är positiv. Då måste kvoten vara negativ om nämnaren är negativ. Serien ovan fortsätter -3 x (-1) = 3 -3 x (-2) = 6 o.s.v. Exempel: -5 x -5 = 25 -30/-6 = 5 36
Ex 2:
Avrundning och överslagsräkning
Avrundning
Ibland vill man avrunda ett tal. Man kanske vid en beräkning får ett tal som aldrig tar slut. Delar jag ett med tre får jag t.ex. 0,3333333333333333333….. Jag kan fortsätta i evighet. Det tar inte slut i alla fall. Jag måste bestämma hur många siffror jag skall ha med. Hur många siffror jag vill ha med kan jag tala om på olika sätt. Jag kan tala om hur många decimaler jag vill ha med i svaret. Jag kan tala om hur många gällande siffror jag skall ha med. Jag kan säga att jag skall avrunda till närmsta hundradel eller närmsta tiotal eller till heltal. I affären avrundar jag den totala summan jag handlar för till närmsta femtioöring.
Avrundning till givet antal decimaler
Om jag skall avrunda till ett visst antal decimaler måste jag veta vad decimaler är. Decimaler är siffrorna efter kommat. De som betyder tiondelar, hundradelar etc.
Ex 1
: Vi tar talet 23,45832 Om jag vill avrunda det till två decimaler skall det tal jag skriver vara så nära 23,45832 som möjligt men bara ha två decimaler kvar. 23,45832 ligger mellan 23,45 och 23,46. Eftersom siffran efter femman är en åtta ligger talet närmare 23,46 än 23,45. Hade åttan varit en fyra eller mindre hade talet legat närmare 23,45. Hade åttan varit en femma hade talet legat närmare 23,46 eftersom det finns siffror större än noll i nästa position. Även om det inte finns det avrundar man uppåt om siffran efter den sista som skall stå kvar är en femma. Alltså: Avrundning till 2 decimaler 23,45832 23,46 23,34432 23,34 23,34532 23,35 23,345 23,35 Avrundning av talet 23,001635 a) till 1 decimal 23,0 b) till 2 decimaler c) till 3 decimaler 23,00 23,002 d) till 4 decimaler e) till 5 decimaler 23,0016 23,00164 37
Avrundning till tiondelar, hundradelar och liknande
I stället för att tala om hur många decimaler man skall avrunda till kan man tala om vilken siffra som skall vara den sista som står kvar. I stället för att säga ”avrunda till en decimal” kan man säga avrunda till tiondelar – den första decimalen är ju tiondelssiffran. I stället för att säga avrunda till två decimaler säger man avrunda till hundradelar eller närmsta hundradel.
Ex:
Avrunda 345,0683 till tiondelar (eller närmsta tiondel): 345,0683 345,1
Ex:
Ibland blir svaret noll när man avrundar. Om vi avrundar 0,003 till närmsta hundradel blir svaret t.ex. 0,00.
Avrundning till heltal
Man kan också avrunda till heltal. Då hugger man av alla decimaler. Här den första decimalen fyra eller mindre är det bara att hugga på. 45,46 blir t.ex. 45. 45,46 ligger ju närmare 45 än 46 eftersom det är mindre än 45,5 som ligger mittemellan. Är den första decimalen fem eller högre får man däremot höja entalssiffran ett steg. 45,78 ligger t.ex. närmare 46 än 45 och avrundas alltså till 46.
Avrundning till ental
Ibland säger man ental i stället för heltal. Den sista siffran är ju entalssiffran i t.ex. 45 och 46.
Avrundning till tiotal, hundratal o.s.v.
Hittills har vi bara huggit av de siffror som står efter den sista vi vill ha med samt kanske höjt den sista siffran som står kvar förstås. Men om vi vill avrunda till närmsta tiotal då? T.ex. talet 556. Avrundar vi till närmsta tiotal är vi inte intresserade av entalssiffran längre. Men vi kan ju inte plocka bort den?! Då får vi ju 56 (eftersom entalssiffran är en 6:a höjer vi tiotalssiffran till 6. Vi måste sätta dit en nolla på entalssiffrans plats för att få kvar 6:an på tiotalsplatsen. Alltså 556 560. Man får bara tänka på att man inte kan se på 560 om det är avrundat till 560 eller om vi vet att entalssiffran är en nolla (som i 560,032). Samma sak gäller vid avrundning till 100-tal: 567 600. Vi fyller på med nollor på slutet –och ser inte längre skillnad på 600,00 632 och 620… 38
Överslagsräkning
Om man vill veta ungefär hur mycket man har köpt för i affären eller om man vill kontrollera om svaret på en räkneuppgift är rimligt är det bra att kunna göra en överslagsräkning. Då får man veta ungefär vad svaret på beräkningen blir, man får ett närmevärde.
EXEMPEL 1.
Beräkna närmevärdet av 37 + 54 + 29
Först avrundar du alla talen till närmsta tiotal som du lärt dig:
37 + 54 + 29 40 + 50 + 30
Sedan räknar du ut summan av de avrundade talen:
40 + 50 + 30 = 120.
Du skriver alltså:
37 + 54 + 29 40 + 50 + 30 = 120
EXEMPEL 2.
Beräkna närmevärdet av 17 43
Avrunda först:
17 43 20 40
Beräkna sedan:
20 40 = 800
Kontrollera svaret!
20 40 är dubbelt så mycket som 10 40!
Du skriver alltså:
17 43 20 40 = 800
Avrunda så att uträkningarna blir så enkla som möjligt
. Ofta avrundar vi så att vi får ”en siffra och resten nollor”
Exempel: 345 300 355 400 0,054 0,05 5,4 5 5,51 6 39
Primtal, faktorisering och primtalsfaktorisering
Faktorisering
Du vet att man kan multiplicera två tal – två faktorer - och få en produkt, t.ex. så här: 2
3 = 6
Om du gör tvärt om, alltså så att säga tar en produkt, och delar upp den i faktorer så säger man att du faktoriserar, t.ex. så här: 6 = 2
3
Om vi struntar i ordningen på faktorerna och i att man skulle kunna skriva att 6 = 1 6 så går talet 6 bara att faktorisera på ett sätt. Andra tal går att faktorisera på många sätt. Exempel: 100 = 10 10 = 2 50 = 4 25 Det går också att fortsätta och faktorisera faktorerna också. Exempel: 100 = 10 10 = 2 5 10 = 2 5 2 5 Eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll kan man t.ex. ordna dem i storleksordning. Då får vi 100 = 2 2 5 5 Om vi provar att gå via de andra faktorerna ovan, 2 50 och 4 25, så får vi faktiskt samma faktorer som om vi går via 10 10. Titta: 2 50 = 2 5 10 = 2 5 2 5 = 2 2 5 5 4 25 = 2 2 25 = 2 2 5 5
Primtal
Ett tal som inte går att dela upp i faktorer (utom sig själv och ett) kallas primtal. De första primtalen är (1), 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…
Primtalsfaktorisering
Om du delar upp ett tal i faktorer så långt det går, som vi gjorde med 100 ovan, så kommer alla faktorerna att vara primtal. Du har primtalsfaktoriserat. Varje tal kan primtalsfaktoriseras på precis ett sätt. Du använder de delbarhetsregler du kan och jobbar på tills du inte kan dela någon faktor mer. De tal det inte finns några delbarhetsregler för får du prova! (Hur stora tal behöver du prova?! Tänk efter själv och fråga din lärare om tips om du inte kommer på det!)
Exempel:
112 = 2 56 = 2 2 28 = 2 2 2 14 = 2 2 2 2 7 Klart!
5 Du har nytta av att kunna primtalsfaktorisera t.ex. när du ska förkorta bråk. De primfaktorer som finns i både täljare och nämnare kan du ju förkorta med! 5 2 2 2 2 7 kan också skrivas om som 2 4 7
Repetera potenser om du inte förstår!
40
Ekvationer
Du kan lösa ekvationer på lite olika sätt. Enkla ekvationer kan du lösa genom att gömma det obekanta talet (som ofta markeras med x eller y) med ett finger och tänka efter vad som ska stå där för att det ska stämma. Får du ekvationen 1 + x = 3 ”vet du” att för att det påståendet ska vara sant måste x vara 2. Två andra sätt får du repetera här:
Utnyttja sambandet mellan räknesätten.
Om 3x + 4 = 19 så vet du att 3x = 19 – 4
Har du ett visst tal – här 3x – och lägger till fyra och får 19, får du tillbaka talet (3x) igen om du tar bort fyra från 19.
Nu vet du att 3x = 15 3x betyder ju 3 x. Om 3x = 15 så vet du att x = 15/3 Formellt redovisar du så här: 3x + 4 = 19 3x = 19 – 4 3x = 15 x = 15/3 = 5
Föser du ihop 3 högar med ett visst antal saker i, så det blir en hög, så får du förstås tillbaks lika många saker i varje hög om du delar upp dem i tre högar igen.
Svar: x = 5
Balansmetoden
I balansmetoden utnyttjar du att likhetstecknet betyder att det som står till vänster är lika mycket som det som står till höger. Du vill ha ett ensamt x kvar på ena sidan. Om du gör något för att nå dit måste du göra samma sak på andra sidan. Annars gäller ju inte likheten längre. Exempel: 3x + 4 = 19 3x + 4 – 4 = 19 – 4 3x = 15 3x/3 = 15/3 x = 5
Ta bort fyra på båda sidor! Dela med tre på båda sidor!
Svar: x = 5 41
Enheter, prefix och enhetsomvandlingar
Enheter
Vi människor har nog behövt mäta olika saker väldigt länge. Vi har till exempel länge mätt hur långa olika saker är. När vi började mäta längden på saker använde vi olika delar av kroppen, till exempel underarmen, handen, tumme eller en fot. Om någon ville berätta för någon annan hur långt något var kunde de säga ”Jo, den var tre händer lång” eller ”Den var fem fötter lång”. ”händer” och ”fötter” blev
enheter
för längd. En enhet talar om hur mycket en av det man mäter är. En hand är ju mindre än en fot, så tre händer är förstås mindre än tre fötter. Så småningom hittade man på andra namn på det här enheterna. Mätte man med underarmen sa man ”aln”, mätte man med fötterna sa man ”fot”. En opraktisk sak med att mäta med kroppen är att olika människor är ju olika stora. Därför bestämde man i olika längder hur lång en fot, en aln o.s.v. skulle vara. Då blev det lättare att veta precis hur stort något som någon annan hade mätt var – så länge man höll sig i sitt eget land. Pratade man med någon från ett annat land stämde det däremot inte alltid. Man hade inte gett samma längd till en fot i alla länder. Så småningom kom man på att det vore praktiskt att ha samma ”enheter” i olika länder. man skulle göra nya enheter ville man gärna att de skulle vara lika smarta som vårt sätt att skriva tal. Det vore bra om 10 av en enhet kunde bli 1 av en annan enhet. Då skulle det vara lätt att räkna. Man skulle bara behöva flytta siffrorna åt höger och vänster. Med de gamla ”kroppsdelsenheterna” var det ju inte så. Det kanske gick 2 och en halv hand på en fot t.ex. I Frankrike hade man hittat på en enhet som inte hade med kroppsdelarna att göra. Det var enheten
meter
. Du vet ju ungefär hur lång en meter är. En meter är ju en ganska opraktisk enhet om man ska mäta hur långt något litet är, t.ex. ett suddgumma. Man behövde alltså fler enheter – för mindre saker. Det var då man kopplade dem till vårt sätt att skriva tal på. Om man delar en meter i tio lika stora bitar, så kan längden på en sådan bit bli en ny enhet. Varje sådan bit är ju en tiondel av en meter. Därför fick enheten heta
decimeter
, efter det latinska ordet för tiondel. När ordet
deci
ingår i namnet på en enhet betyder det alltid
tiondel
, så decimeter betyder just ”tiondels meter”. (
deci
finns ju t.ex. också i
deciliter
som betyder
tiondels liter
. En liter är ju 10 deciliter). Man fortsatte på samma sätt och delade in en decimeter i tio bitar. Sådan bitar går det ju hundra bitar av på en meter – de är en hundradels meter. Den enheten kallades
centimeter
och
centi
betyder förstås just
hundradel.
42
Fortsätter man på samma sätt – och delar en centimeter i tio bitar – får man 1000 bitar på en meter. Varje sådan bit är en tusendel av en meter. Enheten heter
millimeter
och
milli
betyder tusendel. Alltså: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm På likande sätt behövde man enheter för riktigt stora saker – vi har t.ex. kilogram för tusen gram och kilometer för tusen meter.
Kilo
betyder alltså tusen. De här orden som man sätter framför en enhet kallas prefix och du kan läsa mer om dem under avsnittet ”prefix”. Saker som vi mäter på olika sätt kallas storheter, t.ex. vikt, längd, area, tid och volym. Vi ska titta lite på enheter för olika typer av storheter.
Enheter för längd
Grundenheten för längd är meter. Mindre och större enheter skapas med hjälp av prefix. I Sverige använder vi också enheten mil för längre sträckor. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 km = 1000 m 1 mil = 10 km En annan enhet du kan stöta på är enheten 1 ljusår. Det låter som en viss tid, men är en sträcka som är lika lång som den ljuset kan färdas på ett år, alltså ca 9 461 miljarder km! Det kan kanske vara kul att känna till några andra enheter för längd, som använts tidigare i Sverige och andra som t.ex. används i en del andra länder 1 svensk verktum 2,474 cm 1 svensk decimaltum 2,929 cm 1 engelsk tum 6 (
inch - in
) = 2,54 cm 1 engelsk fot (
foot – ft
) = 12 in = 0,3048 m 1 yard (
yard – yd
) = 3 ft = 0,9144 m 1 engelsk mil (
mile
) = 5 280 ft = 1 609,344 m 1 sjömil (nautisk mil, distansminut) = 1 852 m Det kan också vara bra att man ibland kan prata om någon längdenhet alls, utan att tala om någon särskild, t.ex. när man diskuterar sambandet mellan areaenheter och längdenheter. Då skriver man helt enkelt ”längdenhet” eller ”längdenheter” och förkortar det le. 6 Den enhet som används när man anger storlek på datorskärmar t.ex. Förr användes den också på brädgårdar, medan många snickare använde verktum. Det gällde att vet vilken sorts tumstock man använde! 43
Enheter för area
Under avsnittet om geometri kan du se hur man räknar ut hur stor area t.ex. en rektangel har och vad area är. Repetera det om du behöver, innan du läser vidare här! Areaenheter (ae) bygger normalt på längdenheter (le). Mäter jag läng i centimeter blir motsvarande areaenhet kvadratcentimeter. En kvadratcentimeter är då en yta som är lika stor som en kvadrat som har sidan 1 cm. På motsvarande sätt är en kvadratmeter en yta som är lika stor som en kvadrat med sidan 1m. Eftersom vi räknar ut area genom att multiplicera två längder t.ex. 2 cm x 3 cm betecknas enheten cm 2 – vi multiplicerar ju cm med cm – och det betecknas ju just cm 2 . Titta på avsnittet om potenser om det här är konstigt. Där ser du också att det kallas att ta kvadraten på ett tal när man multiplicerar det med sig själv – inte så konstigt när man tänker på hur man räknar ut arean på just en kvadrat! Det viktigaste att komma ihåg här är att det inte blir samma förhållande mellan de olika enheterna som för längdenheterna. Det återkommer vi till under avsnittet om enhetsomvandlingar. Utöver alla ”kvadratenheter” – det finns förstås en för varenda upptänklig längdenhet bör du känna till areaenheterna ar och hektar. En ar är en yta lika stor som en kvadrat med sidan 10 m, alltså 100 m 2 . En hektar är 100 ar (hekto = 100), alltså 10 000 m 2 . Enheten hektar används bl.a. när man pratar om hur mycket åkermark eller skog en gård består av.
En annan enhet som används i de sammanhangen är ”tunnland”. Ett tunnland är ungefär en halv hektar. Namnet kommer av att det var så stor yta en tunna säd räckte till när man sådde.
Enheter för volym
Förutom en del äldre eller engelska volymsenheter (ve) används två typer av volymsenheter i Sverige. Det är dels enheter som är härledda från längdenheterna, på liknande sätt som areaenheterna, dels enheter som baseras på grundenheten liter. En kub med sidan en meter – och alla andra volymer som rymmer lika mycket – har volymen en kubikmeter – 1 m 3 , något som är lika stort som en kub med sidan 1 dm har volymen en kubikdecimeter – 1 dm 3 . Under avsnittet geometri kan du läsa om hur man räknar ut volymen för några tredimensionella former. För ett rätblock multiplicerar man längden x bredden x höjden, alltså tre sträckor. Vi får t.ex. m m m – som enligt reglerna för potenser betecknas m 3 1 kubikdecimeter kallas också för 1 liter (1l). Från denna enhet kan vi få andra enheter med hjälp av prefix; 1 deciliter = 1/10 liter; det går alltså 10 dl på en liter, o.s.v. När man ska göra omvandlingar mellan systemet baserat på längdenheter och systemet baserat på liter gäller det att hålla tungan rätt i mun. Mer om det under avsnittet om enhetsomvandlingar! 44
Enheter för vikt
När det gäller vikt kan vi utgå från gram. Fler enheter för tyngre eller lättare saker får vi med hjälp av prefix. Ett kilogram (1 kg) är t.ex. 1000 gram och ett milligram (mg) ett tusendels gram (0,001 g).
Enheter för temperatur
Temperatur mäts vanligen i grader Celsius ( C). Den enheten är gjort så att man valde att sätta 0 C vid vattnets fryspunkt och 100 C vid vattnets kokpunkt och dela in temperaturerna där emellan i 100 lika stora steg. Man kan också mäta temperatur i Kelvin (K). I den temperaturskalan är stegen mellan varje grad lika stora som i Celsiusskalan, men noll grader = absoluta nollpunkten – det kallaste något kan bli. Absoluta nollpunkten = 0 K = - 273,15 C 0 C blir därför 273,15 K I USA (och några andra länder) använder man fortfarande Fahrenheitskalan. Där är vattnets fryspunkt 32 C och kokpunkten 212 C. De här formlerna kan användas för att räkna om temperaturer i grader Fahrenheit till grader Celsius och tvärt om: [°F] = [°C] × 9 ⁄ 5 + 32 [°C] = ([°F] − 32) × 5 ⁄ 9
Enheter för tid
1 år = 365 dagar = 52 veckor = 12 månader = 4 kvartal 1 kvartal = 3 månader (jan – mars; april – juni; juli – sept; okt – dec) 1 månad = ca 30 dagar 1 vecka = 7 dygn 1 dygn = 24 timmar 1 timme = 60 minuter 1 minut = 60 sekunder 1 sekund = 100 hundradels sekunder
Enheter för hastighet
Enheter för hastigheter är alltid en kvot mellan ett mått på det man är intresserad av hur fort det går och en tid, t.ex. meter/sekund; kilometer/timme; stickade maskor/minut… 45
Prefix
En enhet är något som talar om vad det är man mäter eller räknar med. Det finns vissa basenheter t.ex. gram för vikt (g) 7 meter för sträcka/längd (m) liter för volym (l). Om man vill mäta något som är mycket större eller mindre än en basenhet kan man använda
prefix
. Det är små ord man sätter framför enheten och som talar om att man avser en viss multipel eller andel av enheten i fråga. Exempel på prefix är
kilo
och
milli
. Följande prefix ska du kunna: kilo (k) hekto (h) (deka deci (d) centi (c) milli (m) mikro (µ) = = = = = = = tusen hundra tio) tiondel hundradel tusendel miljondel
används ytterst sällan – med bara som information
Enhetsomvandlingar
De flesta enhetsomvandlingar klarar man bra med goda kunskaper om vårt talsystem. 23 m är t.ex. 23 x 10 dm = 230 dm – eftersom det går 10 dm på varje meter. 32 cm = 32/100 m = 0,32 m – eftersom 1 cm = 1/100 m o.s.v. När det gäller tid blir det lite trassligare, för man behöver t.ex. dividera och multiplicera med annat än 10, 100, 1000 o.s.v., men det brukar inte ställa till så stora problem. Det är när man ska omvandla mellan olika areaenheter och volymsenheter man behöver tänka lite.
Areaenheter
Du vet att 1 m = 10 dm. Då är frågan – hur många dm 2 är 1 m 2 ? Nu kan man inte bara gå på att deci betyder tiondel! Vi måste titta på hur man räknar ut area. Tänk dig en kvadrat med sidan 1 m. Hur långa sidor har den om vi ska ange enheten i dm? Jo 10 dm förstås. Och arean = sidan x sidan, alltså 1 m x 1 m = 1 m 2 eller 10 dm x 10 dm = 100 dm 2 1 m 2 är alltså 100 dm 2 ! Eftersom man tar en längd gånger en längd blir skillnaden mellan enheten kvadraten på skillnaden på längdenheterna! 1 m 2 = 100 dm 2 = 10 000 cm 2 = 1 000 000 mm 2 7 Egentligen är grundenheten för vikt kilogram (kg) vilket kan tyckas vara lite ologiskt. För att göra det lite enklare och mer systematiskt i början använder vi gram (g) här – men pratar, för att inte ställa till det mer sedan, om basenheter i stället för grundenheter . 46
Volymsenheter
1 m = 10 dm. Hur många dm 3 är 1 m 3 ? För att avgöra det måste vi titta på hur man räknar ut volym. Tänk dig en kub med sidan 1 m, alltså 10 dm. Volymen är 1 m x 1 m x 1m = 1 m 3 eller 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm 3 1 kubikmeter är alltså tusen kubikdecimeter! Eftersom man multiplicerar tre längder blir skillnaden mellan varje enhetssteg 1000 i stället för 10! 1 m 3 = 1000 dm 3 = 1 000 000 cm 3 = 1 000 000 000 mm 3 1 dm 3 = 1000 cm 3 o.s.v. När det gäller volym behöver man också hålla reda på växlingen mellan enheter som de ovan och enheter baserade på litersystemet. Om du lär dig att 1 liter = 1 dm 3 och förstår det som står ovan kan du tänka ut resten. 1 dl är ju en tiondel av en liter, alltså 0,1 dm 3 eller 100 cm 3 1 ml är en tusendel av en liter – alltså 0,001 dm 3 = 1 cm 3 47
Geometri
Plana figurer
Fyrhörningar
(tvådimensionella figurer)
Typiskt utseende Beskrivs bäst som
Fyrhörning
Uppfyller också kraven för
-
Minimikrav
fyra hörn parallelltrapets fyrhörning fyra hörn två parallella sidor parallellogram Rektangel fyrhörning parallelltrapets fyrhörning parallelltrapets parallellogram fyra hörn motstående sidor parallella (
alltså: sidorna mitt emot varandra ska vara parallella)
fyra hörn räta vinklar Romb Kvadrat fyrhörning parallelltrapets parallellogram fyra hörn alla sidor lika långa fyrhörning parallelltrapets parallellogram rektangel romb fyra hörn räta vinklar alla sidor lika långa 48
Trianglar Typiskt utseende Övrigt Typiskt utseende
49
Beskrivs bäst som
triangel likbent triangel liksidig triangel rätvinklig triangel spetsvinklig triangel
Uppfyller också kraven för
(triangel) (triangel) likbent triangel
En rätvinklig triangel kan vara likbent, men den kan aldrig vara liksidig.
trubbvinklig triangel
En liksidig triangel är alltid spetsvinklig. En likbent triangel kan vara spetsvinklig En likbent eller rätvinklig triangel är aldrig trubbvinklig. En likbent triangel kan vara trubbvinklig
Minimikrav
tre hörn tre hörn två sidor lika långa tre hörn alla sidor lika långa tre hörn en rät vinkel
(Kan en triangel ha två räta vinklar? Prova!)
tre hörn bara spetsiga vinklar tre hörn en trubbig vinkel
(Kan en triangel ha två trubbiga vinklar? Prova!)
Beskrivs bäst som
ellips
Uppfyller också kraven för
ellips
Minimikrav
Två symmetrilinjer – och inga räta linjer
- samt en del andra krav som vi inte går in på här. Det finns liknande figurer som man ställer lägre krav på. De kan kallas ”oval”
Oändligt antal symmetrilinjer Cirkel
Vinklar
Tänk dig två linjer som sitter ihop i en punkt. En vinkel är ett mått på hur mycket den ena linjen måste vridas för att båda linjerna ska sammanfalla. Om man vrider ett helt varv blir vinkeln 360°. Den lilla ringen upptill till höger läses ”grader”. Ett halvt var blir då 180° eftersom 360/2 = 180. Ett kvarts varv blir 90° (360/4 = 180/2 = 90) Ett åttondels varv blir 45° (90/2 = 45) En
rät vinkel
är 90°. En
spetsig vinkel
är mindre än 90°. En
trubbig vinkel
är mer än 90 °. 50
Symmetri
Symmetrilinjer
En figur har en symmetrilinje om du kan vika figuren så att de två halvorna helt täcker varandra.
Exempel:
En kvadrat har fyra symmetrilinjer. Du kan vika den längs vilken som helst av de fyra streckade linjerna och halvorna kommer att täcka varandra. En rektangel har två symmetrilinjer. Du kan vika dem på längden eller på bredden. Däremot kan du inte vika dem längs diagonalerna 8 . Prova själv om du inte tror på det! En parallellogram har inga symmetrilinjer. En cirkel däremot har oändligt många.
Rotationsaxel
En figur har en rotationsaxel om du kan rotera den mindre än ett varv runt sin ”mitt” utan att det syns. En kvadrat kan du rotera ett kvarts varv utan att det syns. Du kan alltså göra fyra stopp på ett varv. Då har kvadraten en fyrtalig rotationsaxel. En rektangel och en parallellogram kan du rotera ett halvt varv utan att det syns. Du kan göra två stopp på ett varv. Parallellogrammer och rektanglar har tvåtaliga rotationsaxlar. En liksidig triangel har en tretalig rotationsaxel. En rätvinklig triangel har ingen. 8 En diagonal är en linje som går från ett hörn till ett annat genom en figur. 51
Area och omkrets
begrepp
periferi: yta: omkrets: area: enhet: diameter radie det som avgränsar figuren från omgivningen
Enkelt: Linjen du ritar när du ska rita figuren.
det som finns inuti figuren periferins längd (mäts i mm, cm, dm, m…)
Enkelt: Hur långt det är runt om figuren.
ytans storlek (mäts i mm 2 , cm 2 , dm 2 , m 2 …) Enheten talar om hur mycket ”en” av något är. en linje från cirkelns mittpunkt till dess periferi det man mäter i, t.ex. centimeter, meter, liter, kvadratmeter, timmar… en linje från periferin på ena sidan av en cirkel till periferin på den andra sidan, som går genom cirkelns mittpunkt
Kom ihåg: En kvadratcentimeter (1 cm
2
) är en yta som är lika stor som en kvadrat med sidan en centimeter.
area och omkrets för rektanglar
omkretsen = längden av alla sidor tillsammans arean = längden gånger bredden
Varför är arean = längden gånger bredden? Titta på rektangeln nedan! Du ser att det finns tre rader med fyra rutor i rektangeln. Om varje ruta är en kvadrat med sidan 1 cm har varje ruta arean 1 cm 2 . En rad har i det här fallet arean 4 cm 2 . Du har tre sådana rader. Hela arean blir då 4 + 4 + 4 = 3
4
= 12, alltså 12 cm 2 .
För alla rektanglar gäller att varje rad (som är 1 enhet hög) har lika stor area som rektangeln är lång – och det finns lika många sådana rader som rektangeln är bred. Du kan alltså alltid få arean genom att multiplicera längden med bredden.
52
Area och omkrets för cirklar
Om man mäter omkretsen och diametern på en hel massa cirklar upptäcker man att om man delar omkretsens längd med diameterns längd får man alltid samma tal; 3,141592… Det är ett tal som har oändligt många decimaler – det tar aldrig slut. Det här talet kalls pi och skrivs med den grekiska bokstaven pi: Ofta avrundar man till två decimaler och räknar med 3,14 Omkretsen = x diametern eller, som formel:
O =
d
= 2 r (radien är ju halva diametern) Om man tänker efter vad det här innebär är det ganska rimligt: Det innebär att det är ungefär tre gånger så långt runt cirkeln som det är tvärsöver den. Arean för en cirkel räknar man också ut med hjälp av : Arean = x radien x radien A = r 2 Det här är inte heller så konstigt. Radien x radien är ju ytan på en kvadrat med radien som sida. En sådan har markerats i figuren nedan. Formeln för cirkelns area säger att cirkeln är lika stor som drygt tre sådana kvadrater. Det verkar inte så osannolikt. Hela den stora kvadraten i figuren nedan skulle ha en area lika stor som fyra sådana kvadrater. För cirkeln går ”hörnen” bort. Tillsammans är de knappt en liten kvadrat. 53
Area och omkrets för rektanglar med formler
Omkrets
Med ord: omkretsen = 2 halva omkretsen = 2 (längden + bredden) Med symboler:
O l b
= omkretsen = längden = bredden
O
= 2 = 2 (
l
+
b
)
Area
Med ord: arean = längden bredden Med symboler:
A l
= arean och
b
enligt ovan
A
=
l
b
Area och omkrets för parallellogrammer och trianglar.
Omkretsen för parallellogrammer och trianglar räknar man lätt ut på samma sätt som omkretsen för alla andra figurer med räta linjer som sidor. Lägg ihop längden av alla sidor bara. Med papper, penna och sax är det ganska lätt att övertyga sig om att formlerna för area hos parallellogrammer och trianglar nedan är sanna. Om du klipper av ena hörnet på en parallellogram och flyttar över det till andra sidan kan du lätt göra om den till en rektangel med samma höjd. Och om du tar två lika dana trianglar och sätter ihop dem får du en parallellogram. Be om hjälp i skolan om du vill testa det! Arean av en parallellogram = basen x höjden Arean av en triangel = (basen x höjden)/2 54
Tredimensionella kroppar
Typiskt utseende beskrivs bäst som 9
Parallellepiped Rätblock Kub Prisma Cylinder sfär, klot Kon Pyramid
krav 10
motstående sidor parallella alla vinklar räta alla vinklar räta alla kanter lika långa
9 Ett rätblock uppfyller förstås också alla krav som ställs på en parallellepiped. Vi går dock inte närmare in på sådant när det gäller tredimensionella kroppar just nu. 10 Just nu får du i de flesta fall lära dig det här utifrån bilder. Så småningom ska du också lära dig beskriva kropparna i ord. 55
Beräkna volym
Om vi tittar på en kropp med en viss bottenyta och väggar uppåt som är parallella med varandra och vinkelräta mot bottenytan, t.ex. ett rätblock eller en cylinder, kan vi tänka så här för att räkna ut volymen. Tänk att bottenytan har en viss area. Vi tar ett exempel för enkelhets skull. Bottenytan är 5 cm 2 . Om höjden är precis 1 cm blir volymen förstås precis 5 cm 3 – 1 kubikcentimeter för varje kvadratcenti meter i bottenytan. Är höjden 2 cm blir volymen 5 cm 2 x 2 cm = 10 cm 3 o.s.v. Volymen är alltså bottenarean x höjden. Hur du räknar ut bottenarean är förstås beroende av vilken form den har. Se under avsnittet area! 56
Termer
Periferi och yta står det om under avsnittet om omkrets och area!
Tvådimensionella (plana) figurer
hörn höjd bredd sida diagonal eller längd bas (
Höjden är alltid vinkelrät mot basen. Nästa år ska du lära dig rita in höjden i parallellogrammer och trianglar.)
Tredimensionella kroppar
hörn kant sida 57
Korta sammanfattningar Räknesätten
Addition och subtraktion
3 + 2 = 5 5 – 2 = 3 2 + 3 = 5 5 – 3 = 2 x y x + y = z z – y = x y + x = z z – x = y
Addition och multiplikation
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 8 3 8 + 8 + 8 = 3 8 Du ser att 3 8 = 8 3 3 13 = 3 10 + 3 3 Du ser att 3 13 = 3 10 + 3 3
Multiplikation och division
1 1 Multiplikation: Delningsdivision: Innehållsdivision: 1 1 3 2 = 6 1 1 6/3 = 2 6/2 = 3
Gäller alltid: kvoten
nämnaren = täljaren
58
Termer
Addition (+, ”plus”)
Räknesättet heter
addition
. När vi räknar med addition
adderar
vi. Vi beräknar
summan
av de
termer
vi adderar. 3 + 5 = 8 term 8 – 5 = 3 summa
Subtraktion (-, ”minus”)
Räknesättet heter
subtraktion
. När vi räknar med subtraktion
subtraherar
vi. Vi beräknar
differensen
mellan
termerna
. term differens
Multiplikation (
eller
, ”gånger”)
Räknesättet heter
multiplikation.
När vi räknar med multiplikation
multiplicerar
vi. Vi beräknar
produkten
av
faktorerna
. 3 8 = 24 faktor produkt
Division (/ eller , ”delat med”)
Räknesättet heter
division.
När vi räknar med division
dividerar
vi. Vi beräknar
kvoten
mellan
täljaren
och
nämnaren.
täljare nämnare kvot
Minnesregel:
t
äljaren står på
t
aket,
n
ämnaren står där
n
ere 59
Uppställning
addition utan övergång
Exempel: 243 + 532 1) 2)
2 4 3 + 5 3 2
addition med övergång
Exempel: 567 + 785
2 4 3 + 5 3 2 7 7 5
1)
5 6 7 + 7 8 5
2) 1 1
5 6 7 + 7 8 5 1 3 5 2
subtraktion utan övergång
Exempel: 543 - 231 1) 2)
- 2 3 1 5 4 3 5 4 3 - 2 3 1 3 1 2
subtraktion med övergång – ej växling över noll
Exempel: 523 - 347 1)
5 2 3 - 3 4 7
2) 10
5 2 - 3 4
10
3 7 1 7 6
subtraktion med övergång - växling över noll
Exempel: 1) 2) 503 – 347
5 0 3 - 3 4 7
10
5 0 - 3 4
10
3 7 1 5 6
60
Delbarhetsregler
Ett tal är delbart med 2 3 5 6 9 10 om sista siffran är jämn siffersumman är delbart med 3 sista är fem eller noll sista siffran är jämn och siffersumman är delbar med 3 siffersumman är delbar med 9 sista siffran är noll. Siffersumman är summan av alla siffror i talet. Exempel: 372 har siffersumman 3 + 7 + 2 = 12 Ett primtal är ett tal som bara går att dela med sig själv och ett. 61