Transcript Avståndsberäkning

1 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Avståndsberäkning
AVSTÅNDSBERÄKNING
( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM )
Avståndet mellan två punkter
Låt A = ( x1 , y1 , z1 ) och B = ( x2 , y 2 , z2 ) vara två punkter i rummet.
B
Avståndet d mellan A och B är
→
d = | AB |= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
A
===================================================
Avståndet från en punkt till ett plan
Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen Ax + By + Cz + D = 0 och
låt P( x1 , y1 , z1 ) vara en given punkt.
P
Metod1:
Avståndet d från punkten P = ( x1 , y1 , z1 )
till planet Ax + By + Cz + D = 0 är
Ax + By1 + Cz1 + D
d =| 1
|.
Q
A2 + B 2 + C 2
π
Metod2:
Linjen L genom P vinkelrät mot planet har ekvationen
, ,
, ,
.
Om vi betecknar med Q skärningspunkten mellan linjen L och planet π då är
avståndet d |
|.
===================================================
Avståndet från en punkt till en rät linje
Metod1: Avståndet d från punkten
A = ( x1 , y1 , z1 )
till den linje som går genom
P= , ,
och har riktningsvektorn
,
är
r →
| v × PA |
d=
.
r
|v |
A
d
P
B
2 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Avståndsberäkning
Metod2: Vi kan bestämma den punkt B på linjen
, ,
, ,
som ligger närmast punkten A genom att använda villkoret
·
0
och därefter beräkna
|
|.
Exempel:
Beräkna avståndet från punkten A = (2,3,8) till linjen L: ( x, y , z ) = ( 2,2,6) + t (1,1,0) .
Lösning : Låt B vara en punkt på linjen L. Då har B koordinater
2
, 2
, 6 . Om punkten B ligger på linjen närmast punkten A då
gäller ( se bilden ovan)
·
0
,
Eftersom
1
,
2 och
1
Därför
,
1
,
2
1, 1, 0 får vi från (*)
0 0
1/2, 1/2, 2
1/2
√
och
|
|
.
Anmärkning: Punkten B = (5/2,5/2,6) , kan också beräknas genom att substituera
t 1/2 i B
2 t, 2 t, 6 .
===================================================
Metod3: Vi kan bestämma den punkt B på linjen L:
, ,
, ,
som ligger närmast punkten A genom att först bestämma ekvationen för planet Π
som går genom A vinkelrät mot L. Därefter bestämmer vi B som skärningspunkt
mellan planet Π och linjen L:
Exempel:
Beräkna avståndet från punkten A
= (2,3,8) till linjen L:
( x, y , z ) = ( 2,2,6) + t (1,1,0) .
A
d
B
P
Lösning :
Planet Π har en normalvektor
och därför är planets ekvation:
1
2
1
3
0
eller
5 0
Vi substituerar linjens ekvationer
2
,
2
och får 2
2
5 0
1/2
Skärningspunkten är därför
5/2, 5/2, 6 .
1/2, 1/2, 2 och därmed
Härav
Π
8
,
0
6 i planets ekv
3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Avståndsberäkning
|
|
3√2
2
Avståndet mellan två parallella räta linjer
A
L1
Välj en punkt A på t ex linjen L1
och beräkna avståndet från
punkten A till linjen L2.
d
L2
===================================================
Avståndet mellan två icke-parallella räta linjer
r
r
Låt L1 och L2 vara två räta linjer genom P1 och P2 med riktningsvektorer v1 och v2 .
r r r
r
Låt N vara en normalvektor till både L1 och L2 , t ex N = v1 × v2 .
Avståndet mellan linjerna är
r
→
N
d = | P1 P2 o r | .
|N |
r
v1
L1
P1
L2
d
P2
r
v2
Uppgift 1.
Planet 6 x + 2 y + 3z = 6 skär koordinataxlarna i punkterna A, B och C.
Bestäm omkretsen av triangeln ABC.
Lösning:
4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Skärningen med x-axeln får vi om vi substituerar
y = 0 och z = 0 i ekvationen:
6x + 0 + 0 = 6 ⇒ x = 1 .
Alltså är A=(1, 0, 0).
På samma sätt får vi B= (0, 3, 0) och C=( 0,0, 2).
Härav:
→
→
Avståndsberäkning
z
C
B
A
y
AB = (−1, 3, 0) och | AB |= 10 ,
→
→
→
→
AC = (−1, 0, 2) och | AC |= 5 ,
x
BC = (0,− 3, 2) och | BC |= 13 .
Därmed är omkretsen av triangeln ABC lika med 10 + 5 + 13 .
Svar:
10 + 5 + 13
Uppgift 2.
Bestäm avståndet från punkten A = (1,–2, 3) till planet 2 x + 5 y = −4 z − 2 .
Lösning:
Först skriver vi planets ekvation på formen Ax + By + Cz + D = 0 .
Alltså 2 x + 5 y + 4 z + 2 = 0 .
Avståndet från punkten A till planet är
Ax + By1 + Cz1 + D
2 ⋅ 1 + 5 ⋅ ( −2) + 4 ⋅ 3 + 2
6
6
2
d =| 1
| =|
=
=
|=
.
2
2
2
2
2
2
45 3 5
5
A + B +C
2 +5 +4
Svar:
2
5
(=
2 5
)
5
Uppgift 3.
Linjen ( x, y , z ) = (1,1,1) + t ( 2,1,1) skär planet x + y + z − 7 = 0 i en punkt A.
Bestäm avståndet från punkten A till planet 2 x + 3 y + 4 z + 10 = 0 .
Lösning:
Vi substituerar x = 1 + 2t , y = 1 + t , z = 1 + t i ekvationen x + y + z − 7 = 0 och får
t = 1. Alltså är skärningspunkten A=(3,2,2).
Avståndet från punkten A till det andra planet 2 x + 3 y + 4 z + 10 = 0 är
Ax + By1 + Cz1 + D
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 10
30
d =| 1
| =|
|=
.
2
2
2
2
2
2
29
A + B +C
2 +3 +4
30
Svar:
29
Uppgift 4.
Bestäm avståndet mellan följande (parallella) plan
2x + 2y + z = 5 och 2x + 2y +z = 0
5 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Avståndsberäkning
Lösning:
Ovanstående plan är parallella eftersom de har parallella normalvektorer, ( faktisk samma
normalvektor (2, 2,1). den här gången)
Vi väljer en punkt på första planet t ex P(1,1,1) och använder formeln
Avståndet d från punkten A = ( x1 , y1 , z1 )
Ax + By1 + Cz1 + D
|.
till planet Ax + By + Cz + D = 0 är d =| 1
A2 + B 2 + C 2
Ax + By1 + Cz1 + D 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 5
|=|
|=
I vårt fall d =| 1
3
A2 + B 2 + C 2
2 2 + 2 2 + 12
5
Svar: d =
3
Uppgift 5.
Linjen ( x, y , z ) = (0,1,2) + t (1,1,3) skär planet x + y + z − 13 = 0 i en punkt A.
Bestäm avståndet från punkten A till linjen ( x, y, z ) = (2,2,6) + t (1,1,0) .
Lösning:
Vi substituerar x = 0 + t , y = 1 + t , z = 2 + 3t i ekvationen x + y + z − 13 = 0 och får
t = 2. Skärningspunkten är A=(2,3,8).
För att beräkna avståndet från punkten A till linjen ( x, y , z ) = ( 2,2,6) + t (1,1,0) använder vi
formeln
r →
| v × PA |
d=
.
r
|v |
→
Vi väljer en punkt på den andra linjen t ex P=(2,2,6) och bildar vektorn PA = (0,1,2) . Linjens
r
riktningsvektor är v = (1,1,0) .
r →
v × PA = (2,–2,1).
Avståndet från punkten A till linjen ( x , y , z ) = ( 2,2,6) + t (1,1,0) är
r →
| v × PA |
9
3
d=
=
=
.
r
|v |
2
2
Svar:
3
2
(=
3 2
)
2
Uppgift 6.
Bestäm avståndet från punkten A =(1,2,3) till skärningslinjen mellan två plan
x + y + z = 2 och x + 2 y + 2 z = 3 .
Lösning:
först bestämmer vi skärningen mellan planen:
6 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
⎧x + y + z = 2
⎨
⎩x + 2 y + 2z = 3
Avståndsberäkning
[( −1) ⋅ ekv1 + ekv 2]
⎧x + y + z = 2
⇒⎨
⎩ y + z =1
Vi betraktar z som en frivariabel, betecknar z=t och får
x =1
y = 1− t
z=t
Alltså skär de två plan längs en linje.
För att beräkna avståndet från punkten A =(1,2,3) till linjen ( x, y , z ) = (1,1,0) + t (0,−1,1)
använder vi formeln
r →
| v × PA |
d=
r
|v |
r
där P=(1,1,0) och v = (0,−1,1) .
→
r →
Härav PA = (0,1,3) och v × PA = (-4,0,0).
Avståndet från punkten A till linjen är
r →
| v × PA |
4
d=
=
=2 2.
r
|v |
2
Svar: 2 2
Uppgift 7.
Bestäm avståndet mellan följande linjer
( x, y , z ) = (1,1,4) + t (1,1,3) och ( x, y , z ) = (1,1,1) + t ( 2,2,6) .
Lösning:
r
r
Linjernas riktningsvektorer v1 = ( 1,1,3) och v2 = ( 2,2,6) är parallella eftersom
r
r
v2 = 2v1 . Därför väljer vi en ( vilken som helst) punkt på en linje och beräknar avståndet från
denna punkt till den andra linje.
Vi väljer A=(1,1,4) och använder formeln
r →
r r
| v × PA |
d=
, där P=(1,1,1) och v = v2 =(2,2,6).
r
|v |
→
r →
Härav PA = (0,0,3) och v × PA = (6,-6,0).
Avståndet från punkten A till linjen är
r →
| v × PA | 6 2 3 2
=
=
d=
.
r
|v |
2 11
11
Svar:
3 2
11
7 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Avståndsberäkning
Uppgift 8.
Bestäm avståndet mellan följande linjer
( x, y , z ) = (1,1,1) + t (1,2,1) och ( x, y , z ) = (1,3,4) + t ( 2,2,0) .
Lösning:
r
r
Linjerna har riktningsvektorer v1 = ( 1,2,1) och v2 = ( 2,2,0)
r r r
Vektor N = v1 × v2 =(-2,2,-2) är vinkelrät mot båda linjer.
Vi väljer en punkt på varje linje.
Låt P1=(1,1,1) och P2=(1,3,4).
→
Då P1 P2 =(0,2,3).
r
N
1
3
=
.
Avståndet är d = | P1 P2 o r | =
3
|N |
3
→
Svar: d =
3
3
Uppgift 9.
Vi betraktar två linjer
L1: ( x, y, z ) = (7, 3, 4) + t (−2, 1, 0) och
L2: ( x, y, z ) = (1, 0, 1) + s (0, − 1, 1) .
a) Bestäm de två punkter P, Q på L1 respektive L2 som ligger närmast.
b) Beräkna därefter (det kortaste) avståndet mellan linjerna L1 och L2
L1
r
v1
P
d
Q
L2
r
v2
Lösning:
r
r
Linjerna har riktningsvektorer v1 = (−2, 1, 0) och v 2 = (0, − 1, 1) .
→
r
r
Punkter P och Q ligger närmast om PQ är vinkelrät mot både v1 och v2 ,
dvs om
→
→
r
r
PQ · v1 =0 och PQ · v 2 =0 .
Punkten P ligger på L1 och därför får vi punktens koordinater för ett värde på parameter t.
Alltså har P koordinater
P( 7 – 2 t, 3 + t, 4)
Punkten Q ligger på L2 och därför har Q koordinater
8 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Q( 1, – s, 1 + s) :
→
Därmed PQ = (2 t – 6, – s – t –3, s– 3)
→
r
Från PQ · v1 =0 har vi –4t + 12 – s – t –3 =0 ( ekv1)
→
r
Från PQ · v2 =0 har vi s + t + 3 + s – 3 =0 ( ekv2)
Vi löser systemet:
–5t– s +9=0 ( ekv1)
t+2 s =0
( ekv2)
och får s = –1 och t= 2.
→
Härav P( 3,5,4) och Q( 1,1,0) och PQ = (–2, –4,–4) .
→
Avståndet d= | PQ |= 4 + 16 + 16 = 6
Svar: a) P( 3,5,4) och Q( 1,1,0) b) d=6
Avståndsberäkning