Transcript Optimering av utklippt vinkel för maximal volym på glasstrut

2012
The Mad
Mathematician’s
Mathematic
Consultancy Bureau
Sebastian Genas
Optimering av utklippt vinkel för
maximal volym på glasstrut
Vilken vinkel ska klippas ut ur en cirkulär skiva papper för att få en så stor volym på
konerna som bildas av de utklippta sektorerna som möjligt? Vilken vinkel ska klippas ut
för att bilda en glasstrut med rätt proportioner?
Sebastian Genas
Mb10b
Frågeställning
Denna undersökning har gått ut på att analysera och komma fram till vilken vinkel som
är optimal att från en cirkulär skiva papper klippa ut för att få en så stor volym som
möjligt på den strut som bildas av den kvarvarande delen. Ett delmoment i uppgiften
består av att forma en kon av även den utklippta cirkelsektorn och bestämma den vinkel
som ger den största volymen för båda konerna tillsammans. För att lösa problemen
används med fördel flera olika metoder, för noggrannhet och för att få en klarare
överblick, och den optimala vinkeln bestämdes med hjälp av praktiska mätningar i
utklippta pappersstrutar, genom en grafisk undersökning av maximipunkter i GeoGebra,
samt algebraiskt genom derivering och granskning av derivatans rötter.
Sammanfattning av resultat
Efter fysiska mätningar av papperskoner, grafisk och algebraisk lösning blev resultatet
att vinkeln som ger störst volym på den kvarvarande struten är 66°. Då det gäller att
konstruera koner av både den utklippta delen och den kvarvarande är vinklarna 117°
och 243° optimala. Här är det två olika värden då det ena är och det andra
,
vilket ger två likadana strutpar.
Lösning genom fysiska mätningar
Detta angrepp på problemet gjordes för att få en ungefärlig bild av hur resultaten skulle
se ut, och för att få ett tankegrepp om uppgiften på ett praktiskt sätt. Utgångspunkten
var ett antal cirklar med radien
på lite tjockare papper som det sedan klipptes
ut vinklar med jämna 30- och 45-graders mellanrum upp till 180°, då mönstret efter ett
halvt varv upprepas med den skillnaden att det blir den utklippta sektorn som blir
större än den kvarvarande. För att mäta volymen fylldes de utklippta strutarna med
vatten som vägdes med hela grams precision.
180°
30°
Fig. 1 Till den första uppsättningen mätningar användes vatten som de 16 strutarna fylldes med. Vattnet vägdes sedan för
att få värdet på volymen (eftersom ett gram vatten motsvarar en cm3).
2
Sebastian Genas
Mb10b
Fig. 2 Utrustningen som användes till att bilda konerna. Passaren användes för att rita upp papperscirklarna, och de små
papperstrianglarna gjordes som mall för att rita upp vinklar med 30- och 45-graders mellanrum.
De fyra första värdena på konerna som bildades av den kvarvarande delen blev ytterst
opålitliga, då det var svårt att avgöra var gränsen för högsta vattennivån gick, på grund
av ytspänningen som uppstod. Dessutom var de strutarna svåra att fylla då de var så
flacka och gjorda av papper, att de tenderade att böja sig av vattnets vikt, vilket gjorde
mätningarna än mindre precisa. Dessa faktorer gjorde det nödvändigt att göra om
mätningarna på ett noggrannare sätt.
När mätningarna gjordes om på nytt användes istället för vatten ris för att fylla
strutarna, och för att mäta volymen fylldes först struten till brädden med ris som sedan
hälldes över i en skål. Riset i skålen mättes med hjälp av ett 50ml mätglas, med hela
milliliters precision. Denna metod gav mycket pålitligare resultat då det i detta fall var
mycket enklare att uppskatta när konen var full, det blev ingen böjning av konen och
inget spill av vatten.
Resultat
Utklippt vinkel (°)
0
30
45
60
90
120
135
150
180
Kon1 (cm3)
Kon2 (cm3)
0
0
118
125
132
130
114
111
100
70
1
5
8
19
35
43
56
70
3
Båda konerna (cm3)
0
119
130
140
149
149
154
156
140
Sebastian Genas
Mb10b
Fig. 3 Punktdiagram för Kon1. De röda kryssen är mätningar som gjordes för Kon2 men som kan användas till Kon1 för att de
utklippta sektorerna motsvarar kvarvarande sektorer för v >180°.
Fig. 4 Punktdiagram för båda konernas sammanlagda volym. De röda kryssen har samma volymvärden som de grå, men
omvänt då kurvan för den sammanlagda volymen följer samma mönster efter 180°, men tvärtom.
Som graferna visar verkar det som om det någonstans runt 60° finns ett maximum i
volym för Kon1, och runt 150° och
för summan av båda konerna.
Det är förstås grova uppskattningar av maxpunkternas värden, men syftet med de
fysiska mätningarna var precis att få ett approximativt värde och en överblick.
4
Sebastian Genas
Mb10b
Grafisk lösning genom optimering av graf
En grafisk lösning av problemet ger ett precist och överblickbart resultat av uppgiften,
men för att kunna lösa uppgiften grafiskt med hjälp av GeoGebra, måste ett uttryck för
konernas volym ställas upp. När sedan de essentiella uttrycken hittats skrivs de in som
funktioner av vinkeln, och med radien som förändringsbar parameter. För att hitta de
punkter där grafen når sitt maximum (inom intervallet 0 < v < 2π) används GeoGebras
inbyggda funktion för maxpunkter, där funktion och sökintervall anges.
Kon1
Omkrets för Kon1:
Radie för Kon1:
Höjd för Kon1: √
(
√
)
Konens sida
√
(
)
Radien
Basytans area för Kon1: (
)
Volym för Kon1:
Höjden
Basytan
√
√
Kon2
Omkrets för Kon2:
Radie för Kon2:
Höjd för Kon2: √
Konens sida
( )
√
√
Radien
5
(
)
√
√
Sebastian Genas
Mb10b
Basyta för Kon2: ( )
Volym för Kon2:
Höjden
Basytan
√
√
Volym för båda konerna tillsammans:
√
√
Resultat
Som grafen visar har funktionen för Kon1 två maxpunkter, varav den ena är
ogenomförbar praktiskt då det syns att den vinkeln är långt över 2π; det är svårt att
klippa ut mer än 360° ur en papperscirkel. En avläsning av -värdet för den andra
maxpunkten ger dock en optimal vinkel
1.5130 radianer
.
Fig. 5 Grafen för Kon1.
6
Sebastian Genas
Mb10b
Fig. 6 Vinkeln som bildar den största struten (för Kon1).
Fig. 7 Graferna för Kon1 (höger) och Kon2 (vänster).
7
Sebastian Genas
Mb10b
Fig. 8 Grafen för de båda konernas sammanlagda volym (graferna i Fig. 7 summerade).
Funktionen där volymerna för Kon1 och Kon2 är summerade visar att det finns två olika
optimala utklippta vinklar inom det rimliga intervallet. Den första punkten har vinkeln
2.0358 radianer
, och den andra
4.2473
. Vi ser här att det andra värdet är
, vilket stämmer då de utklippta
strutarna blir identiska med de två olika vinklarna.
Fig. 9 Vinkeln som ger den största totala volymen för de två konerna.
8
Sebastian Genas
Mb10b
Algebraisk lösning
Problemet löstes även på algebraisk väg genom att derivera uttrycken för konernas
volym och sätta derivatan lika med 0, för att få fram rötterna och alltså eventuella
maxpunkter i uttrycket för volymen. Denna lösningsmetod användes för att säkerställa
resultatet från de tidigare metoderna, och för att få ett noggrant resultat. För att få fram
uttrycken för volymernas derivator användes sökmotorn Wolfram|Alpha som verktyg.
Maxvolym för Kon1
√
(
√
)
Fig. 10 Grafen för Kon1 och dess derivata.
Grafisk kontroll i GeoGebra visar att uttrycket för derivatan verkligen stämmer.
Derivatan för volymen av Kon1 sätts lika med 0 för att hitta extrempunkter:
√
9
Sebastian Genas
Mb10b
Lösning med hjälp av Wolphram|Alpha ger
(Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet)
(√
(
)
√ )
(Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet)
För att kontrollera att det vid 66° verkligen finns en maximipunkt, kan en närliggande
punkt på grafen för
undersökas, om det är en maximipunkt borde volymens värde
vara lägre för den närliggande punkten.
cm3
cm3
Detta tyder på att det vid 66° är störst volym för en utklippt strut.
Maxvolym för båda konerna
√
(
√
)
√
√
(
)
√
√
Fig. 11 Graf för båda konernas volym och dess derivata.
10
Sebastian Genas
Mb10b
Derivatan för summan av de båda konernas volym sätts lika med 0 för att hitta
extrempunkter, och förenklas för att underlätta sökandet i W|A:
(
)
(
√
)
√
Nämnarna multipliceras med motsatt term för att få samma nämnare och kunna stryka
dessa
√
√
Faktorerna med kan strykas då det bara är en konstant
√
√
faktoriseras ut och divideras bort och ger
√
√
När detta uttryck matas in i W|A blir resultatet
Alla dessa värden ligger i det tillåtna intervallet, och för att kontrollera ifall dessa är
maximi- eller minimipunkter används samma metod som för Kon1.
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
Detta visar att det vid 180° är en minimipunkt och att det vid 117° och 243° är
maximipunkter, vilka alltså är lösningar för problemet.
11
Sebastian Genas
Mb10b
Reflektioner kring lösningsmetoderna
Att med hjälp av mätningar i riktiga pappersstrutar försöka få ett exakt resultat är så
gott som förgäves, men det var som nämnt tidigare inte heller riktigt meningen i denna
undersökning, utan mer som ett komplement till mer precisa lösningsmetoder. Att med
hjälp av GeoGebra rita upp en graf och beräkna dess maxpunkter och att lösa uppgiften
algebraiskt är då bättre angreppssätt. Att lösa problemet grafiskt var det mest effektiva
sättet, samtidigt som ett precist svar fås, då det bara var att ställa upp de nödvändiga
uttrycken och sedan utföra ett kommando i GeoGebra. Att med algebra lösa uppgiften är
förstås snyggare och renare, men ett mycket krångligare alternativ då man måste hålla
på med att derivera uttrycken och sedan lösa den ekvationen. Att göra det för hand är
oerhört tidskrävande, men att göra det med Wolfram|Alpha kan ge krångliga och
onödigt invecklade uttryck då sökmotorn inte alltid kan hitta den enklaste formen på
lösningen. I undersökningens gång var det något problematiskt att få de algebraiska
uttrycken att överensstämma med varandra, men till slut lyckades jag förenkla
situationen genom att istället för att mata in hela det långa uttrycket skriva in en
förenklad variant utan konstanter, som bara kan läggas på i efterhand. Detta gjorde det
möjligt att slutföra processen och få ett svar med precision.
Slutsatsen när det gäller lösningsmetoderna är alltså att när det handlar om sådana här
långa uttryck är det lättare att lösa det hela genom att rita grafen och endast utföra ett
kommando för att få fram svaret. Att med algebra lösa den kan resultera i ett svar i exakt
form, men det tar tid och är egentligen oväsentligt i den här typen av problem.
Förslag till utökning av problemet: Vilken vinkel ska
klippas ut för att få en lagom glasstrut?
Frågeställningen som ställdes inför problemlösningen tar upp hur volymen för strutar
som klipps ut av papper optimeras, men ingenting specifikt om glasstrutar. Därför följer
här en undersökning om vilken vinkel som ska skäras ut ur en cirkulär skiva strutdeg för
att bilda en lagom glasstrut av den utskurna delen. Först måste kriterierna för en
”lagom” glasstrut redas ut. En lagom strut är:



En strut som har radien ≈ glasskulans radie ≈ 3cm. Då syns halva kulan och det
får plats med en kula till om så önskas. Att strutdegen när struten formas
överlappar lite grann och gör konens radie lite mindre är egentligen bra, då syns
kulan mer och glassen ser större ut. Dessutom vill man helst äta av glassen ett tag
innan man börjar knapra på struten.
En strut som är tillräckligt hög för att sitta bra i handen. Om man ser på strutar i
glasskiosker är höjden på dem ungefärligen 15cm.
En strut med de proportioner att det går att tillverka så många strutar som
möjligt på så lite cirkulär strutdeg som möjligt. Det är därför önskvärt att kunna
skapa fyra eller fem strutar av en skiva deg.
12
Sebastian Genas
Mb10b
Radien och den utklippta vinkeln måste alltså bestämmas för att bilda en strut enligt
dessa krav. Vi har konens radie given, samt konens höjd (på ett ungefär), vilket medför
att vi kan räkna ut cirkelns radie med hjälp av Pythagoras sats (cirkelns radie är konens
sidolängd).
Så
√
cm
För att få fram vilken vinkel som ger en bra strut sätts det vi vet,
radie, in i uttrycket för omkretsen för Kon2
och konens önskade
Det betyder att det går att skapa cirka fem stycken strutar ur en cirkulär skiva strutdeg
med radien 15.3 cm. För att degen ska gå jämnt ut måste varje strut skäras med
vinkel, vilket endast påverkar strutens proportioner marginellt.
13
Sebastian Genas
Mb10b
Referenser
Wolphram|Alpha, sökning på ”derivative of (x² sqrt(1 - x² / (4π²)))”. Hämtad 2012-0603 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%28x²+sqrt%281++x²+%2F+%284π²%29%29%
Wolphram|Alpha, sökning på ”derivative of ( π - x)² sqrt(1 - ( π - x)² / (4π²))”. Hämtad
2012-06-03 från
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%282%CF%80++x%29%C2%B2+sqrt%281+-+%282%CF%80++x%29%C2%B2+%2F+%284%CF%80%C2%B2%29%29
Wolphram|Alpha, sökning på ” 0=(r³ ( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²)) / ( 4π² sqrt((4π - x)
x))”. Hämtad 2012-06-03 från
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D%28r%C2%B3+%282%CF%80++x%29+%283x%C2%B2++12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29%29+%2F+%2824%CF%80%C2%B2+s
qrt%28%284%CF%80+-+x%29+x%29%29
Wolphram|Alpha, sökning på ” 0=( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²) sqrt(4π² - x²) + (8π² x - 3x³)
sqrt((4π - x) x)”. Hämtad 2012-06-03 från
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D%282%CF%80++x%29+%283x%C2%B2++12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29+sqrt%284%CF%80%C2%B2++x%C2%B2%29+%2B+%288%CF%80%C2%B2+x++3x%C2%B3%29+sqrt%28%284%CF%80+-+x%29+x%29
John Dahlberg, muntlig kommentar. 2012-05-24
14