Transcript Kvadratsetningene

18.09.2013
Kvadratsetningene
Tillegg til kapittel 2 – Grunntall 9
Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013
Mål for det du skal lære:
 kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk
Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke
ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Innhold
Kvadratsetningene…………………………………………………………………………. 3
Den første kvadratsetningen…………………………………………………………. 3
Den andre kvadratsetningen…………………………………………………………. 5
Den tredje kvadratsetningen…………………………………………………………. 6
2
Kopieringsoriginal
Bokmål
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Kvadratsetningene
Vi har tidligere regnet med kvadrattall. Et kvadrattall finner vi ved å
multiplisere et naturlig tall med seg selv. Dette kaller vi også å finne
kvadratet av et tall.
12 = 1 · 1 = 1
22 = 2 · 2 = 4
32 = 3 · 3 = 9
1, 4 og 9 er de første kvadrattallene.
Når vi skal multiplisere to like parenteser som har to ledd, kan vi
bruke den vanlige regelen for å multiplisere to parenteser.
Vi skal nå lære en raskere måte å multiplisere to like parenteser. Det
gjør vi ved å bruke noe vi kaller kvadratsetningene.
Den første kvadratsetningen
Den første kvadratsetningen gjelder når vi skal finne kvadratet av
summen av to tall [(a + b)2]. Vi regner ut (a + b)2 ved å bruke regelen
for å multiplisere to parenteser:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet
(a2), addere det dobbelte produktet av de to tallene (2 · a · b) og til
slutt addere kvadratet av det siste tallet.
HUSK!
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a · a + 2 · a · b + b · b = a2 + 2ab + b2
Eksempel
Regn ut (2x + 3y)2.
Løsning
(2x + 3y)2 =
2x · 2x + 2  2x  3y + 3y · 3y =
4x2 + 12xy + 9y2
Den andre linjen kan være en
nyttig mellomregning, men du
trenger ikke ta den med dersom
du greier å regne ut svaret
direkte.
3
Kopieringsoriginal
Bokmål
Revidert læreplan 2013
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Fasit:






1
2
3
4
5
6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
Regn ut.
a (x + 1)2
b
(2x + y)2
c
(x + 2y)2
1
a x2 + 2x + 1
b 4x2 + 4xy + y2
c x2 + 4xy + 4y2
Regn ut.
a (a + 5)2
b
(a + 3b)2
c
(2a + 1)2
2
a a2 + 10a + 25
b a2 + 6ab + 9b2
c 4a2 + 4a + 1
Regn ut.
a (3x + 2)2
b
(2x + 4y)2
c
(a + 4b)2
3
a 9x2 + 12x + 4
b 4x2 + 16xy + 16y2
c a2 + 8ab + 16b2
Regn ut.
a (3x + 2y)2
b
(5x + 2y)2
c
(4a + 2b)2
4
a 9x2 + 12xy + 4y2
b 25x2 + 20xy + 4y2
c 16a2 + 16ab + 4b2
Regn ut.
a (a + 2b)2 + b2
b
(a + 2)2 – a2
5
a a2 + 4ab + 5b2
b 4a + 4
Regn ut.
a (x + 4)2 + (x – 3)x
b
x(2x – 1) + (x + 3)2
6
a 2x2 + 5x + 16
b 3x2 + 5x + 9
Regn ut.
a (x + 2)2 + (x + 5)2
Regn ut.
a (a + 3)2 + 2(2a + 1)
Regn ut.
a (3x + 2)2 + 2x(x – 2)
b
b
b
2
2
(3x + y) – (2x + 3y)
7
a 2x2 + 14x + 29
b 5x2 – 6xy – 8y2
2
8
a a2 + 10a + 11
b 5a2 + 3a + 1
2
9
a 11x2 + 8x + 4
b x2 + 8x + 25
(2a + 1) + a(a – 1)
(2x + 5) – 3x(x + 4)
Regn ut.
a 2(x + 2)2
b
4(2x + 3)
10
a 2x2 + 8x + 8
b 16x2 + 48x + 36
Regn ut.
a x(2x + y)2
b
2x2(x + 3)2
11
a 4x3 + 4x2y + xy2
b 2x4 + 12x3 + 18x2
2
Regn ut.
a (x + 3)2 + (2x + 1)2 – (x + 3)2
b (2x + 3)2 – (x + 5)2 + (3x + 1)2
4
Kopieringsoriginal
Bokmål
12
a 4x2 + 4x + 1
b 12x2+ 8x – 15
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Fasit:
Den andre kvadratsetningen
Den andre kvadratsetningen er ganske lik den første. Forskjellen er
at vi finner kvadratet av differensen mellom to tall [(a – b)2]. Vi regner
ut (a – b)2 ved å bruke regelen for å multiplisere to pareneteser.
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet (a2),
subtrahere det dobbelte produktet av de to tallene (2 · a · b) og til slutt
addere kvadratet av det siste tallet.
HUSK!
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a · a – 2 · a · b + b · b = a2 – 2ab + b2
Eksempel
Regn ut (3x – 2)2.
Løsning
(3x – 2)2 =
3x · 3x – 2  3x  2 + 2 · 2 = Den andre linjen kan være en nyttig
mellomregning, men du trenger ikke
9x2 – 12x + 4
ta den med dersom du greier å regne
ut svaret direkte.



13
14
15
 16
Regn ut.
a (x – 2y)2
Regn ut.
a (a – 3b)2
Regn ut.
a (3x – 1)2
b
b
b
Regn ut.
a (2a – 3)2 – 2a(a – 1)
2
(2x – 1)
2
(4a – b)
2
(2a – 3b)
b
2
c
(3x – y)
c
2
c
14
a a2 – 6ab + 9b2
b 16a2 – 8ab + b2
c a2 – 10a + 25
(a – 5)
2
(x – 4y)
2
a(3a – 4) – (a – 2)
5
Kopieringsoriginal
Bokmål
13
a x2 – 4xy + 4y2
b 4x2 – 4x + 1
c 9x2 – 6xy + y2
15
a 9x2 – 6x + 1
b 4a2 – 12ab + 9b2
c x2 – 8xy + 16y2
16
a 2a2 – 10a + 9
b 2a2 – 4
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Fasit:
 17
 18
Regn ut.
a (x – 4)2 – 2x(x – 1)
b
(a – 2)2 – (2a – 3)2
17
a –x2 – 6x + 16
b –3a2 + 8a – 5
Regn ut.
a (x – 2)2 – (x + 3)2
b
(2x – y)2 – (x + 2y)2
18
a –10x – 5
b 3x2 – 8xy – 3y2
 19
Regn ut.
a 2x(x – 3) + (2x – 5)2 – (3x + 2)2
b (4x – y)2 – 3xy(x + 2) – (3x + 2y)2
19
a –3x2 – 38x + 21
b 7x2 – 3x2y – 26xy – 3y2
 20
Regn ut.
a (3x + 2)2 – 4(x – 3)2 + 4x2 – 2(x – 1)2
b (4x + 1)2 – 2(3x – 2)2 + 2x2 – (3x – 1)2
20
a 7x2 + 40x – 34
b –9x2 + 38x – 8
 21
Regn ut.
a 2x2(3x + 2) – x(2x + 3)2 + 4(x – 3)2
b x(2x + 1)2 – 2(3x2 + 2) + x2(x – 1)2
21
a 2x3 – 4x2 – 33x + 36
b x4 + 2x3 – x2 + x – 4
Den tredje kvadratsetningen
Den tredje kvadratsetningen er egentlig ikke en kvadratsetning og blir
ofte i stedet kalt konjugatsetningen. Her skal vi ikke finne kvadratet av
et uttrykk, men multiplisere summen og differensen av to tall
[(a + b)(a – b)].Vi regner ut (a + b)(a – b) ved å bruke regelen for å
multiplisere to parenteser.
(a + b)(a – b) = a · a – a · b + a · b – b · b = a2 – b2
Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet
minus kvadratet av det siste tallet.
HUSK!
(a + b)(a – b) = a · a – b · b = a2 – b2
6
Kopieringsoriginal
Bokmål
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Fasit:
Eksempel
Regn ut (2a – b)(2a + b).
Løsning
(2a – b)(2a + b) =
2a · 2a – b · b =
.4a2 – b2.






22
23
24
25
26
27
 28
 29
Den andre linjen kan være en nyttig
mellomregning, men du trenger ikke
ta den med dersom du greier å regne
ut svaret direkte.
Regn ut.
a (x + y)(x – y)
b (2x + 3y)(2x – 3y)
22
a x2 – y2
b 4x2 – 9y2
Regn ut.
a (a – 3)(a + 3)
b (2x + 1)(2x – 1)
23
a a2 – 9
b 4x2 – 1
Regn ut.
a (x + 2)(x – 2)
b (x – 5)(x + 5)
24
a x2 – 4
b x2 – 25
Regn ut.
a (5x + 7)(5x – 7)
b (6a – 8)(6a + 8)
25
a 25x2 – 49
b 36a2 – 64
Regn ut.
a (3x + 4y)(3x – 4y)
b (2x – 5y)(2x + 5y)
26
a 9x2 – 16y2
b 4x2 – 25y2
Regn ut.
a (4a + 5b)(4a – 5b)
b (3a – 6b)(3a + 6b)
27
a 16a2 – 25b2
b 9a2 – 36b2
Regn ut.
a (a + 6)(a – 6)
b (3x + 7)(3x – 7)
28
a a2 – 36
b 9x2 – 49
Regn ut.
a (2a + b)(2a – b) + (a + b)(a – b)
b (4a – 1)(4a + 1) + (a + 3)(a – 3)
c (3x + 4)(3x – 4) + (2x + 3)(2x – 3)
d (2x + 3y)(2x – 3y) + (x + 2y)(x – 2y)
7
Kopieringsoriginal
Bokmål
29
a 5a2 – 2b2
b 17a2 – 10
c 13a2 – 25
d 5x2 – 13y2
Grunntall 9
Kapittel 2 Algebra
Revidert læreplan 2013
Fasit:
 30
Regn ut.
a (x + 6)(x – 6) – (2x – 1)(2x + 1)
b (3x + 2)(3x – 2) – (x + 3)(x – 3)
c (a – 4)(a + 4) – (3a + 5)(3a – 5)
d (2a + 4b)(2a – 4b) – (a – 3b)(a + 3b)
30
a –3x2 – 35
b 8x2 + 5
c –8a2 + 9
d 3a2 –7b2
 31
Regn ut.
a (x – 2)2 + (x + 3)(x – 3)
b (3x – 2)2 + (2x + 1)2
c (2 – x)(2 + x) + (x – 4)2
d (x + 5)(x – 5) – (x + 5)2
31
a 2x2 – 4x – 5
b 13x2 – 8x + 5
c –8x + 20
d –10x – 50

Regn ut.
a (2x + 7y)(2x – 7y) + (x – 3y)(x + 3y)
b (6x + 5y)(6x – 5y) – (3x – y)(3x + y)
c (3x – 4y)2 – (2x – y)2 + (x + 6y)2
d (x + y)2 – 2(x – y)2 – (x + y)(x – y)
32
a 5x2 – 58y2
b 27x2 – 24y2
c 6x2 – 8xy + 51y2
d –2x2 + 6xy
 33
Regn ut.
a (2a – 3)2 – (1 – a)2
b (2a – 5)2 – (a + 4)(a – 4)
c (2a + b)2 – (3a + 4b)(3a – 4b)
d (3a – 4)2 – (4 – 3a)2
33
a 3a2 – 10a + 8
b 3a2 – 20a + 41
c –5a2 + 4ab + 17b2
d 0
 34
Regn ut.
a (6a – b)(6a + b) – (a + 2b)2 + 3(2a + 3b)2
b 5(a + 3b)(a – 3b) – (a – 4b)(a + 4b) + 4(a + b)2
c (3a – 2)2 – (4a + 3)2 – (a + 5)(a – 5)
d (a – 4b)(a + 4b) – 3(3a – 5b)2 + 7(a – b)2
34
a 47a2 + 32ab + 22b2
b 8a2 + 8ab – 25b2
c –8a2 – 36a + 20
d –19a2 + 76ab – 84b2
 35
Regn ut.
a (5a + 3b)2 + (4a – b)2 – (a – 2b)(a + 2b)
b (4x – y)(4x + y) – (3x + 4y)2 – (4x – 5y)2
c 6x(2x + 1)(2x – 1) + 2x(x – 3)2 – 5x(3x – 4)(3x + 4)
d 4(a2 + b2)(a2 – b2) + a2(a + b)2 + a2(a – b)2
35
a 40a2 + 22ab + 14b2
b –9x2 + 16xy – 42y2
c –19x3 – 12x2 + 92x
d 6a4 + 2a2b2 – 4b4
32
 36
Regn ut.
a 5(x2 + 2)2 – (2x2  3)(2x2 + 3) – 4(2x2 – x)2
b 3(4x + 3)(4x – 3) – 2x2(x + 3)2 – 4(x2 – 1)2
c (2x2 – 3)2 – 2x(x + 2)(x – 2) – x(3x2 + 2)2
d 5(x3 – 2)2 – x(x2 – 1)(x2 – 1) – 2x(3x + 4)2
8
Kopieringsoriginal
Bokmål
36
a –15x4 + 16x3 + 16x2 + 29
b –6x4 – 12x3 + 38x2 – 31
c –9x5 + 4x4 – 14x3 – 12x2
+ 4x + 9
d 5x6 – x5 – 36x3 – 48x2
– 33x + 20