Transcript Løsningsforslag 9 - Institutt for elektronikk og telekommunikasjon

Institutt for elektronikk og telekommunikasjon,
Fakultet for informatikk, matematikk og elektronikk,
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
NTNU
TFE4120 Elektromagnetisme
Løsningsforslag øving 9
Oppgave 1
C
H
Vi bruker Amp`eres lov
I
ˆ
z
H · dl =
C
Z
J · dS,
(1)
S
der integrasjonsveien C er vist i figuren over. Vi antar at strømmen i ledningen er I. Ved
hjelp av Amp`eres lov og ligningen ∇ · B = 0 kan det argumenteres at den magnetiske
ˆ-komponent (se side 58-59 i kompendiet). Da
flukstettheten B, og derfor ogs˚
a H, bare har en z
H-feltet er null utenfor solenoiden, f˚
ar vi fra Amp`eres lov at inne i solenoiden er H = Hˆ
z, der
Hl = N I,
(2)
som gir
NI
.
l
Da den magnetiske flukstettheten er gitt ved B = µr µ0 H, f˚
ar vi at
H=
B = µr µ0
NI
ˆ.
z
l
(3)
(4)
a) Her er µr ≈ 1. Alts˚
a har vi
B ≈ µ0
1
NI
ˆ.
z
l
(5)
b) Her er µr = 5000. Alts˚
a har vi
B = 5000µ0
NI
ˆ.
z
l
(6)
Oppgave 2
l1
l2
l6
l3
C
l4
l5
Integrasjonsveien C (stiplet linje) er i midten av jernkjernen og deles opp i delene l1 -l6 .
a) Vi bruker Amp`eres lov. Om vi deler opp integrasjonsveien C i de seks delene l1 -l6 , slik
som figuren over viser, f˚
ar vi at
I
H · dl = H1 l1 + H2 l2 + H3 l3 + H4 l4 + H5 l5 + H6 l6
C
X
(7)
=
Hi li
i
= N I.
Ved ˚
a bruke at fluksen Φm er konstant gjennom hele kretsen, f˚
ar vi for del i av
integrasjonsveien at
Φm
Φm = Si Bi = Si µi Hi ⇒ Hi =
,
Si µi
der Si er tverrsnittsarealet til del i. Dette uttrykket settes inn for Hi i (7), som gir
X Φm
X li
li = Φm
= N I.
Si µi
Si µi
i
(8)
(9)
i
Ved ˚
a definere reluktansen Rmi som
Rmi =
2
li
,
Si µi
(10)
f˚
ar vi
NI
Φm = P
.
i Rmi
(11)
b) Fra figuren i oppgaveteksten ser vi at l1 = l5 = 6cm, l2 = l4 = 2.45cm, l3 = 0.1cm,
l6 = 5cm, S1 = S5 = 1cm2 , S2 = S3 = S4 = S6 = 2cm2 . I tillegg har vi at
H
.
µ1 = µ2 = µ4 = µ5 = µ6 = 5000µ0 , og µ3 = µ0 = 4π · 10−7 m
Vi finner da for reluktansen i de forskjellige omr˚
adene at
Rm1 = Rm5 = 9.55 · 104 H−1 ,
(12a)
Rm2 = Rm4 = 1.95 · 104 H−1 ,
(12b)
6
Rm3 = 3.97 · 10 H
som gir at
,
(12c)
Rm6 = 3.98 · 104 H−1 ,
(12d)
−1
NI
100 · 1mA
Φm = P
≃ 2.36 · 10−8 Wb.
≃
6 H−1
R
4.24
·
10
i mi
(13)
c) Om vi regner med uendelig relativ permeabilitet i kjernen, ser vi fra uttrykket
Rmi = Siliµi at alle reluktansene unntatt Rm3 vil g˚
a mot null, slik at vi f˚
ar
Φm =
Alts˚
a blir feilen vi gjør
NI
= 2.52 · 10−8 Wb.
Rm3
2.52 − 2.36
· 100% = 7%.
2.36
(14)
(15)
Oppgave 3
Se figur 3.17 i kompendiet for en hysteresekurve som viser M (H). N˚
ar det gjelder kurven
B(H), s˚
a har vi fra definisjonen av H at B(H) = µ0 (H + M ) = µ0 (1 + χm )H, der M = χm H.
For ferromagnetiske materialer er den magnetiske susceptibiliteten χm ≫ 1. Vi kan derfor
neglisjere det første leddet i uttrykket for B(H), slik at B i praksis er proporsjonal med M ;
B ≈ µ0 M . Derfor vil kurven B(H) være lik kurven M (H) bortsett fra en skaleringsfaktor µ0 .
Selv om vi ikke neglisjerer det første leddet vil formen p˚
a B(H) bli den samme som for M (H);
det eneste som skjer er at helningen reduseres noe.
3