Transcript 7 Måling og geometri

FAKTA
SI-systemet
Eit internasjonalt mlesystem, ogs kalla det metriske systemet
Lengder
Den grunnleggjande SI-eininga for mling av lengder er meter.
Symbolet for meter er m.
Masse
Den grunnleggjande SI-eininga for masse er kilogram.
Symbolet for kilogram er kg.
Volum
Volum gir oss eit ml p kor mykje noko rommar.
SI-eininga for volum er kubikkmeter, m3.
Vi mler ogs volum i liter, l. 1 liter er det volumet som fr plass
i ein kube med 1 dm lange sider. 1 liter er derfor det same som 1 dm3.
Mltal
Det talet vi ¢nn ved ei mling
Mleining
Nemninga til eit mltal
Mleusikkerheit Manglande presisjon i mlingar kallar vi mleusikkerheit.
Kor nyaktige mlingane blir, kjem an p kor nyaktig vi mler,
og kor gode mleinstrumenta vre er. Nr vi tel, fr vi ei nyaktig mengd.
Gjeldande si¡er Vi har spesielle reglar for kor mange si¡er som skal gjelde i eit mltal.
Sifra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 er alltid gjeldande.
. For eksempel er det ¢re gjeldande si¡er i 235,9.
Tal med 0
. Dersom 0 er omgitt av andre si¡er, er 0 eit gjeldande si¡er.
Det er ¢re gjeldande si¡er i 2,006.
. I eit desimaltal som byrjar med null, reknar vi ikkje dei innleiande
nullane som gjeldande si¡er.
Det er eitt gjeldande si¡er i 0,5, mens det er to gjeldande si¡er i 0,89.
. I talet 10,0600 er begge dei to siste nullane gjeldande.
Vi har seks gjeldande si¡er.
. I talet 16 000 kan det vere to, tre, ¢re eller fem gjeldande si¡er.
For presisere kor mange gjeldande si¡er talet har, kan vi skrive
talet p standardform:
178
1,6 104
har to gjeldande siffer
1,60 104
har tre gjeldande siffer
EMNE 7 – MÅLING
OG GEOMETRI
Strle
Ei linje med eitt endepunkt.
Linje
Ei linje utan endepunkt.
Linjestykke
Ei linje som er avgrensa av
to endepunkt.
Punkt
Eit punkt har ikkje utstrekning
og blir gjerne markert med
ein prikk eller eit kryss.
Vinkel
To strlar lagar ein vinkel.
Dei to strlane kallar vi hgre
vinkelbein og venstre vinkelbein. Det felles endepunktet
kallar vi toppunktet.Vi bruker
stor bokstav som namn p topppunktet og liten bokstav som
namn p vinkelen.Vinkelen mler vi
i grader. Symbolet for vinkel er ,
og symbolet for grader er .
Vinkelmlar
Brukt til mle vinklar.
Spiss vinkel
Ein vinkel som er mindre enn 90 ,
kallar vi ein spiss vinkel.
Rett vinkel
Ein vinkel som er 90, kallar vi ein rett vinkel.
Vi merkjer vinkelen med ein liten ¢rkant
ved toppunktet.
Stump vinkel
Ein vinkel som er strre enn 90 ,
kallar vi ein stump vinkel.
Likevinkel
Ein vinkel som er 180,
kallar vi ein likevinkel.
FAKTA
179
EMNE 7 – MÅLING
OG GEOMETRI
FAKTA
— teikne
— lage ein geometrisk ¢gur ved
hjelp av linjal, vinkelmlar og vinkelhake.
— konstruere
— lage ein geometrisk ¢gur ved hjelp av passar og linjal.
Berre bokstavane som er namn p toppunkta, skal st p konstruksjonen.
Alle konstruksjonar skal gjerast med blyant.
Hjelpe¢gur
Ei skisse av det som skal konstruerast. P hjelpe¢guren skriv vi
den informasjonen som er gitt i oppgva.
Normal
Nr to linjer skjer kvarandre slik at vinkelen mellom dei er 90,
kan vi seie at linjene str vinkelrett eller normalt p kvarandre.
Ein normal er det same som ein rett vinkel.
Midtnormal
Nr normalen deler linjestykket AB midt mellom A og B,
kallar vi han midtnormalen til linjestykket.
Reise
ein normal
— konstruere normalen til ei linje i eit punkt p linja.
Nedfelle
ein normal
— konstruere ein normal fr eit punkt og ned p ei linje.
Halvere
ein vinkel
— dele ein vinkel i to like store vinklar.
Halveringsstrle
Den linja som deler ein vinkel i to like vinklar, kallar vi halveringsstrle.
Samansett
vinkel
Nr vi kombinerer konstruksjon av 60, 90, dobling og halvering
av vinklar, kan vi konstruere samansette vinklar.
Kopiere
ein vinkel
Skal vi lage ein vinkel som er like stor som ein vi har fr fr,
kan vi kopiere den opphavlege vinkelen.
Parallelle linjer To rette linjer som aldri skjer kvarandre, kallar vi parallelle linjer.
To parallelle linjer har felles normalar, og avstanden mellom dei to
parallelle linjene er lengda av normalane mellom dei.
Polygon
180
Ein polygon er ein plan ¢gur som har tre eller £eire sider. Polygon er
det greske ordet for mangekant. Punkta A, B, C, D osv. er hjrna
i polygonen, og sidene kallar vi AB, BC, CD osv. Polygonen har namn
etter talet p sider eller hjrne. Dersom alle vinklane er like store og alle
sidene er like lange, har vi ein regulr polygon eller ein regulr
mangekant.
EMNE 7 – MÅLING
Trekant
OG GEOMETRI
FAKTA
Ein mangekant eller polygon med tre sider, tre hjrne og tre vinklar:
. Hjrna i trekanten merkjer vi av mot klokkeretninga.
. Trekanten fr namn etter toppunkta i vinklane. Ein trekant som
.
.
.
.
.
.
Likesida
trekant
er laga av punkta A, B og C, kan vi skrive 4ABC.
Vinkelsummen i ein trekant er 180.
For konstruere ein trekant treng vi tre uavhengige opplysningar
om trekanten.
Hgda i ein trekant er lengda av normalen fr eit hjrne til den
motstande sida. Ettersom ein trekant har tre hjrne og tre sider,
har han oftast tre ulike hgder.
gh
Areal trekant =
2
I ein trekant ABC der AB er diameteren i ein sirkel, og C ligg p
sirkelen, er C alltid 90.
I ein trekant der vinklane er 30, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt
s lang som den minste kateten.
. I ein likesida trekant er alle sidene like lange, og alle vinklane er 60.
. Alle dei tre hgdene er like store.
. Kvar hgd halverer ei side og ein vinkel.
. Hgdene deler trekanten i to rettvinkla trekantar
med vinklane 30, 60 og 90 :
Likebeint
trekant
. I ein likebeint trekant er to av sidene like lange, og vinklane til dei
to motstande sidene er like store.
. Nr vi nedfeller normalen fr toppunktet i den tredje vinkelen,
blir den likebeinte trekanten delt i to jamstore, rettvinkla trekantar.
. Normalen deler den tredje vinkelen
i to like vinklar:
181
EMNE 7 – MÅLING
FAKTA
OG GEOMETRI
Rettvinkla
trekant
. I ein rettvinkla trekant er ein av vinklane 90.
. Den lengste sida kallar vi hypotenus.
Hypotenusen er den motstande sida
til vinkelen p 90.
. Dei to sidene som blir forma av vinkelbeina
til 90 -vinkelen, kallar vi katetar.
. Arealet av ein rettvinkla trekant kan vi
ogs rekne ut med formelen
A=
Pytagorassetninga
katet katet
2
I ein rettvinkla trekant er arealet av kvadratet
p hypotenusen c lik summen av areala av
kvadrata p katetane a og b:
c 2 = a2 + b2
182
Toppvinklar
Vinklar med felles toppunkt kallar vi toppvinklar.
Vinkelbeina til den eine vinkelen er ei direkte
forlenging av beina til den andre vinkelen.
Toppvinklar er alltid like store. u og v er
toppvinklar, x og y er toppvinklar.
Nabovinklar
To vinklar som ligg attmed kvarandre,
er nabovinklar. Dei har eit felles toppunkt,
eit felles vinkelbein og er til saman 180 .
a og b er nabovinklar.
EMNE 7 – MÅLING
FAKTA
OG GEOMETRI
Samsvarande
vinklar
Nr to linjer blir overskorne av ei tredje linje, fr vi
samsvarande vinklar. Dei samsvarande vinklane
har anten hgre eller venstre vinkelbein felles.
Dei har ikkje same toppunktet. a og b har hgre
vinkelbein felles. Dei er samsvarande vinklar.
Like store
samsvarande
vinklar
Nr to parallelle linjer blir overskorne av ei tredje
linje, fr vi like store samsvarande vinklar.
m er parallell med n, m k n. a og a 0 og b og b 0
er samsvarande vinklar og jamstore fordi
m og n er parallelle.
Formlike
¢gurar
Figurar som har same forma, men ulik storleik, kallar vi formlike
¢gurar. Symbolet for formlikskap er . P formlike ¢gurar er alle
vinklane parvis like store, og linjestykka mellom dei parvis like store
vinklane har same forholdet til kvarandre.
Formlike
trekantar
4ABC 4DEF nr A = D, B =
og C = F. I formlike trekantar har
linjestykka mellom dei parvis like
store vinklane same forholdet til
kvarandre:
E
AB BC CA
=
=
DE EF FD
Kongruente
¢gurar
Kongruente ¢gurar er bde formlike og jamstore.
Mlestokken mellom kongruente ¢gurar er alts 1 : 1.
Diagonal
Ei rett linje som gr fr det eine hjrnet til det motstande hjrnet
i ein ¢rkant, kallar vi diagonal.
Firkant
Ein mangekant eller polygon med ¢re sider kallar vi ein ¢rkant.
Det ¢nst mange ulike ¢rkantar, men felles for dei
er at dei har ¢re sider og ¢re hjrne.
. Vi merkjer ¢rkanten p same mten som trekanten.
Hjrna fr namn i alfabetisk rekkjeflgje mot klokkeretninga.
. Diagonalen deler ¢rkanten i to trekantar.
. Firkantar kan som regel konstruerast som to trekantar.
183
EMNE 7 – MÅLING
OG GEOMETRI
FAKTA
. Vinkelsummen i ein ¢rkant er
2 180 = 360 .
. For konstruere ein ¢rkant treng vi
fem uavhengige opplysningar.
. Toppunktet p den vinkelen vi namngir,
skal alltid st i midten nr vi namngir vinkelen
med tre bokstavar: A = DAB = BAD.
Kvadrat
. Firkant der alle sidene er like lange og parallelle.
. Alle vinklane er 90.
. Diagonalane i eit kvadrat er like lange
og str vinkelrett p kvarandre.
. Diagonalane halverer kvarandre og deler
vinklane i to vinklar p 45.
. Diagonalane deler ogs kvadratet i ¢re
kongruente og likebeinte trekantar.
. A=ss
Rombe
. Firkant der alle sidene er like lange, og motstande sider er parallelle.
. Diagonalane halverer kvarandre og str vinkelrett p kvarandre.
. Diagonalane halverer vinklane og deler romben i ¢re kongruente
trekantar.
. Motstande vinklar er like store,
og hgda str alltid vinkelrett
p grunnlinja.
diagonal1 diagonal2
. A = g h eller A =
2
Rektangel
. Firkant der to motstande sider er
like lange og parallelle.
. Diagonalane halverer kvarandre
og deler rektanglet i ¢re likebeinte
trekantar, der motstande trekantar
er kongruente.
. Alle vinklane er 90.
. A = l b eller A = l h
184
EMNE 7 – MÅLING
OG GEOMETRI
FAKTA
Parallellogram . Firkant der to motstande sider er like lange og parallelle.
. Diagonalane halverer kvarandre
og deler parallellogrammet i ¢re
trekantar, der motstande
trekantar er kongruente.
. Motstande vinklar er
like store.
. Hgda str alltid
vinkelrett p grunnlinja.
. A=gh
Trapes
. Firkant der to av sidene er parallelle,
mens dei to andre sidene ikkje er parallelle.
. Hgda i eit trapes str vinkelrett
p dei parallelle sidene.
. Dersom dei to ikkje-parallelle sidene
er like, er trapeset likebeint.
h
. A = ða + bÞ 2
Sirkel
. Ein sirkel deler vi inn i 360 .
. I ein sirkel med sentrum S
.
.
.
.
(pi)
ligg alle punkta i ein gitt avstand
fr S.
Avstanden fr periferien til sentrum
kallar vi radius.
Ei rett linje dregen fr periferien,
gjennom sentrum og ut til periferien att,
kallar vi diameter.
A = r 2
O = 2r
er ein gresk bokstav. Talet er forholdet mellom omkrinsen og
diameteren i ein sirkel. Talet er eit irrasjonalt tal og kan ikkje skrivast
som ein eksakt brk. = 3,141 592 653 589 793 238 . . .
Nr vi reknar med desimalar, er det vanleg setje & 3,14,
men brken 22
7 er o'g ei god tilnrming.
185
EMNE 7 – MÅLING
FAKTA
OG GEOMETRI
Sirkelsektor
Ein sirkelsektor er ein del av sirkelen med toppunkt i sentrum av sirkelen.
Ein sektorvinkel har to radiar som vinkelbein. Den delen av omkrinsen
som hyrer til sektoren, kallar vi sirkelboge.
A sirkelsektor
n
= r 360
2
der n er gradtalet p sektorvinkelen.
Lengda av ein sirkelboge ¢nn vi med denne formelen:
b = 2r n
360
der n er gradtalet p sektorvinkelen.
186
Tangent
Ein tangent er ei rett linje som sneiar sirkelen i eitt punkt. Dette punktet
kallar vi tangeringspunktet. Tangenten str vinkelrett p radien
i tangeringspunktet.
Korde
Eit linjestykke som har endepunkta p sirkelen. Midtnormalen til
ein korde gr gjennom sentrum i sirkelen. Midtnormalane til to ikkjeparallelle kordar har skjeringspunktet i sentrum av sirkelen.
Sekant
Ein sekant er ei rett linje som skjer sirkelen i to punkt.
Rom¢gur/
romlekam
Tredimensjonale ¢gurar, for eksempel eit rett prisme, ein sylinder og
ei kule. Over£ata av ein rom¢gur mler vi mellom anna i kvadratcentimeter ðcm2 Þ, kvadratdesimeter ðdm2 Þ og kvadratmeter ðm2 Þ.
Volumet av ein rom¢gur mler vi mellom anna i kubikkmillimeter
ðmm3 Þ, kubikkcentimeter ðcm3 Þ, kubikkdesimeter ðdm3 Þ og
kubikkmeter ðm3 Þ.Volumet av ein rom¢gur kan ogs mlast i liter, dl,
cl og ml.
EMNE 7 – MÅLING
FAKTA
OG GEOMETRI
Polyeder
Ein rom¢gur som har polygonar til side£ater.
Platonsk
lekam
Dersom ein rom¢gur er bygd opp av kongruente polygonar,
kallar vi ¢guren ein platonsk lekam.
Rett prisme
. Eit rett prisme har ein mangekant til grunn£ate og
side£ater som str vinkelrett p grunn£ata.
. Grunn£ata i eit rett prisme kan vere trekanta, ¢rkanta, femkanta
osv. Er alle sidene i eit rett prisme kvadratiske, kallar vi prismet
ein terning eller ein kube.
. Over£ata av eit rett prisme ¢nn vi ved
rekne ut arealet av kvar av sidene
i prismet og s addere areala.
. Volumet av eit rett prisme er arealet av
grunn£ata multiplisert med hgda:
V =Gh
der G str for arealet av grunn£ata.
Pyramide
. Ein pyramide har ei grunn£ate og £eire trekantar som mtest
i eit punkt p toppen.
. Grunn£ata kan vere alle slags mangekantar. Dersom alle sidene er
likesida trekantar, er pyramiden ein platonsk lekam, eit tetraeder.
. Brettar vi ut ein pyramide med kvadratisk grunn£ate, fr vi ein ¢gur
som er samansett av eit kvadrat og ¢re likebeinte trekantar.
. Volumet av alle pyramidar:
V=
Gh
3
G er arealet av grunn£ata, og h er hgda i pyramiden.
. Hgda i ein pyramide mler vi fr toppen av
pyramiden, i toppunktet for trekantane, og
vinkelrett ned p grunn£ata. Hgda i ein
pyramide med kvadratisk grunn£ate str
vinkelrett p grunn£ata der diagonalane
skjer kvarandre.
187
EMNE 7 – MÅLING
Sylinder
FAKTA
OG GEOMETRI
. Ein sylinder er ein rom¢gur med ei sirkulr eller elliptisk grunn£ate
og med side£ater som str vinkelrett p grunn£ata.
. Over£ata av ein sirkulr sylinder ¢nn vi med formelen
A sylinder = 2r 2 + 2rh = 2r ðr + hÞ
der h er hgda i sylinderen.
. Volumet av ein sylinder reknar vi ut med formelen
V =Gh
der G er arealet av grunn£ata i sylinderen.
Kjegle
. Ei kjegle omfattar ei grunn£ate og side£ater som
mtest i ein spiss.
. Grunn£ata kan vere ein sirkel eller ein ellipse.
. Volumet av ei sirkelforma kjegle er
1
3 av volumet av ein sylinder med same
grunn£ata og hgda:
Gh
3
r 2 h
V=
3
V=
der h er hgda fr toppunktet
vinkelrett p grunn£ata.
Kule
. Ei kule er ein perfekt symmetrisk ¢gur.
Kula har ingen kantar og er derfor ikkje eit polyeder.
. Alle punkta p over£ata har same avstanden (radien) fr sentrum.
. Over£ata av ei kule kan vi rekne ut med formelen
A = 4r 2
. Volumet av ei kule kan vi rekne ut
med formelen
V=
188
4r 3
3
EMNE 7 – MÅLING
Tabellar
FAKTA
OG GEOMETRI
Mltal
med mleining
Namn
1 mil
mil
1 km
kilometer
1m
meter
1 dm
desimeter
1 cm
centimeter
1 mm
millimeter
Mltal
med mleining Namn
1 tonn
tonn
1 kg
kilogram
1 hg
hektogram
1 gram
gram
1 mg
milligram
1 mg
mikrogram
Kor mange meter
10 000 m
1000 m
1m
1
10
1
100
1
1000
m = 0,1 m
m = 0,01 m
m = 0,001 m
Kor mange gram
Kor mange kilogram
1 000 000 g
1000 kg
1000 g
1 kg
1
10
100 g
1g
1
1000
g = 0,001 g
1
1000 000
g
= 0,000 001 g
1
1000
kg = 0,1 kg
kg = 0,001 kg
1
1 000 000
kg
= 0,000 001 kg
1
1 000 000 000
kg
= 0,000 000 001 kg
Mltal
med mleining
Namn
1 m3
kubikkmeter
1 m 1 m 1 m = 1 m3
1 dm3
kubikkdesimeter
0,1 m 0,1 m 0,1 m
1
= 0,001 m3 = 1000
m3
1 cm3
kubikkcentimeter
Kor mange kubikkmeter
0,01 m 0,01 m 0,01 m
= 0,000 001 m3 = 1 0001 000 m3
189
EMNE 7 – MÅLING
190
FAKTA
OG GEOMETRI
Mltal
med mleining
Namn
1l
liter
1 dl
desiliter
1 cl
centiliter
1 ml
milliliter
Kor mange liter
1 liter
1
10
1
100
1
1000
liter = 0,1 liter
liter = 0,01 liter
liter = 0,001 liter