FYS2130 Svingninger og bølger, Obligatorisk oppgave B

Nicolai Kristen Solheim

  FYS2130 Svingninger og bølger   Ukeoppgave, sett B Nicolai Kristen Solheim

Ukeoppgave, sett B

Oppgavetype 1 a) For en ligning som 1.18

som tar utgangspunkt i Newtons andre lov, vil det være forskjeller på analytiske og numeriske løsninger. Netwons andre lov er som kjent summen av krefter ∑ . For en analytisk metode, vil vi bare kunne se på harmoniske svinginger. Da tenker vi på systemer som ikke påvirkes av friksjon, luftmotstand o.l. eller hvor kreftene som påvirker er konstante. For numeriske metoder, vil vi kunne ta hensyn til nettopp friksjon, luftmotstand og annet som måtte ha en innvirkning på systemet. Hovedtrekkene er at vi kan ta hensyn til luftmotstand, friksjon o.l. ved bruk av numeriske metoder, mens dette vil være vanskelig b) analytisk. Likheter ved disse metodene er at begge vil kunne løse harmoniske svinginger. Likevel vil en analytisk løsning gi et mer nøyaktig resultat enn det en numerisk løsning vil gi på grunn av mulige numeriske feil. Grunnen til at numeriske metoder er å foretrekke noen ganger, og analytiske andre ganger kommer av hva en betrakter. For harmoniske svinginger vil en analytisk løsning være lettere, mens for systemer hvor andre krefter og faktorer spiller inn vil numeriske metoder gi c) tilnærmet korrekt resultat. Ulemper med slike numeriske metoder er feil oppnådd gjennom f.eks overflow o.l. Figur 2.2 betrakter forskjellige aspekter ved Eulers metode. Det som vektlegges i denne figuren er hvordan tidssteg virker inn på resultatet, og hvilke konsekvenser systematiske feil kan gi. Mindre tidssteg gir bedre tilnærmelse, men det er også en begrensning på hvor små tidssteg som kan brukes. Et problem vil være hvor nøyaktig datamaskinen angir tall. d) e) Vi har fire numeriske metoder. Vi har Eulers (enkle), Euler-Cromers, Eulers midtpunktmetode og Runge-kutta. Vi kan begynne kort med Eulers og Euler-Cromers metode. Disse er relativt like. Det eneste som skiller disse er at andre ledd i Euler-Cromers regnes ut som ∆ . Eulers metode finner dette ved ∆ . Videre har vi Eulers midtpunktsmetode som tar utgangspunkt i stigningstallet i begynnelsen av intervallene, men dette brukes bare for halve intervallet. Man regner derfra stigningstallet i midten av intervallet og bruker så dette for hele intervallet. Dette gir et mer nøyaktig svar enn de andre Euler-metodene. Den siste metoden vi betrakter er Runge-kutta. Denne er mer nøyaktig enn midtpunktmetoden da den tar utgangspunkt i fire estimerte stigningstall (et i begynnelsen, to i midten og et i slutten av intervallet). Vi kan gjennomføre den alternative utledningen ved å ta den deriverte av den deriverte, og samtidig anvende den enkle definisjonen av der deriverte.   ∆ Side  

1

  av  

3

 

FYS2130 Svingninger og bølger   Ukeoppgave, sett B Nicolai Kristen Solheim   ∆ ∆ ∆ 2 ∆ ∆ f) g) h) Hvis vi videre velger 2 ∆ ∆ 2 ∆ , og ∆ ∆ 2 2 ∆ får vi tilsvarende som i boken. ∆ ∆ ∆ ∆ 2 ∆ ∆ 2 ∆ ∆ ∆ ∆ Vi har her sett den alternative utledningen. ∆ Grunnen til at det anvendes dimensjonsløse variable er for å ikke miste numerisk presisjon, og for å lettere kunne anvende dette på flere områder uten å måtte gjøre endringer. Likevel vil det ikke være nødvendig å gjøre det i vår sammenheng da vi arbeider med fenomener der SI enheter er velegnet og innenfor rammene som vi kan beregne numerisk. Vi skal heller ikke studere varianter av samme type problem. Når vi snakker om randverdiproblemer mener vi en differensiallikning med randbetingelser, hvor randbetingelser sier noe om systemets tilstand ved endepunktene av beregninger ved alle tidspunkt. Side 59-63 gir fire ulike programmer i Matlab, hvorav et er et eksempelprogram. Skjemaet under viser hvordan disse funksjonene spiller sammen. Altså hvilke funksjoner som kaller på hvem, og hvilke parametre som overføres mellom dem.

Program

kaller rk4_2130

rk4_2130

kaller fx kaller fv kaller fx kaller fv kaller fx

fv

returnerer dvdt returnerer dvdt

fx

returnerer dxdt returnerer dxdt returnerer dxdt kaller fv kaller fx kaller fv returnerer xn, vn, tn returnerer dvdt returnerer dvdt returnerer dxdt Side  

2

  av  

3

 

FYS2130 Svingninger og bølger   Ukeoppgave, sett B Nicolai Kristen Solheim i) Dersom man f.eks. ønsker å skifte fra dempede svingninger med et enkelt friksjonsledd til beregninger der man også ønsker å ta inn et ikke-lineært friksjonsledd, kan dette gjøres ved å modifisere løkken i programmet slik at den tar hensyn til dette. Problemet ligger i at tid ikke inngår eksplisitt i uttrykkene våre slik at tidspunktene ikke vil stemme overens mellom to beregninger.   Side  

3

  av  

3