Transcript Devoir 1 Groupe 06

MAT145 (Groupe 06, Automne 2014) : Devoir 1. Fausto Errico.
1
MAT145 : Groupe 06, Hiver 2014
´ cole de technologie sup´erieure de Montr´eal
E
Devoir 1
Exercice Max Points
1
30
2
30
3
40
4
30
5
30
6
30
7
30
Tot.
220
— Ce devoir compte pour 10% de la note finale. Le total des points est 220/200.
— Conservez une photocopie de votre travail.
— Remise : Avant 16h30, jeudi le 9 octobre 2014, dans la chute `a devoirs du SEG au
B2500.
` faire en ´equipe de 3 ´
— A
etudiants.
— Pr´esentez des solutions comment´
ees.
— Indiquez vos noms, pr´enoms ICI :
´
Etudiant
1:
´
Etudiant
2:
´
Etudiant
3:
Bonne chance !
MAT145 (Groupe 06, Automne 2014) : Devoir 1. Fausto Errico.
2
Question 1 (30 points)
Soit f (x) d´efinie par morceaux :
f (x) =
−x2 si x ≤ 0
x2
si x > 0
1. Est-ce que f (x) est continue dans tout son domaine ? Argumentez.
2. Calculez f ′ (x0 ) o`
u x0 est un point g´en´erique dans le domaine de f (x) (s´eparez les cas
x0 < 0, x0 > 0 et x0 = 0).
3. Est-ce que f (x) est d´erivable dans tout son domaine ? Argumentez.
Question 2 (30 points)
Soit f (x) = x2 (x + 2)2 − log(1 + x).
1. Montrez que f (x) est convexe (c.-`a-d. concave vers le haut) en ]0, ∞[. V´erifiez vos
calculs avec la TI.
2. Utilisez le r´esultat du point pr´ec´edent pour d´eduire que f (x) a une et une seule racine
en ]0, ∞[. Suggestion : utilisez les valeurs des limites lim+ f (x) et lim+ f ′ (x)
x→0
x→0
Question 3 (40 points)
x3 + x2 − 2x − 3
´
√
. En particulier :
Etudiez
la fonction f (x) =
x2 − 3
1. Trouvez le domaine de f (x) et v´erifiez, en utilisant les limites appropri´ees, s’il y a des
asymptotes verticales ou horizontales et, s’il y a lieu, trouvez leurs ´equations.
2. V´erifiez l’existence d’asymptotes obliques et, s’il y a lieu, trouvez leurs ´equations.
3. Calculez f ′ (x) et f ′′ (x).
´
4. Etudiez
le signe de f ′ (x) et f ′′ (x), et trouvez, s’il y a lieu, les points de maximum,
minimum, racines, ainsi que les points d’inflexion.
5. Produisez et imprimez le graphique de f (x) obtenu par la TI.
6. Remarque : pour l’´etude du signe de f (x), f ′ (x) et f ′′ (x) vous pouvez utiliser la TI. Il
´
faut faire les autres calculs (limites, d´eriv´ee, etc) `a la main. Evidemment,
vous pouvez
toujours v´erifier vos calculs avec la TI.
MAT145 (Groupe 06, Automne 2014) : Devoir 1. Fausto Errico.
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Question 4 (30 points)
Quand un ´echantillon de gaz est comprim´e `a temp´erature constante, la pression P et le
volume V satisfont `a l’´equation P V = C o`
u C est une constante. On suppose qu’`a un
certain moment le volume est de 600 cm3 , la pression de 150 kPa et qu’elle croˆıt de 20
` quelle vitesse le volume diminue-t-il `a ce moment ?
kPa/min. A
Question 5 (30 points)
D´eterminez l’´equation de la droite qui passant par le point (3,5), d´etache du premier quadrant
une aire minimale.
Question 6 (30 points)
O`
u faut-il situer le point P sur le segment AB pour que l’angle θ soit maximum ?
Question 7 (30 points)
D´erivez les fonctions suivantes (`a la main) :
(3x + 1)2
(−2x + 1)3
√
2. f (x) = arcsin sin x
r
q
√
3. f (x) = x + x + x
1. f (x) = ln