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2- Instruments de gestion des risques de marché
Objectif : présenter les produits dérivés utilisés dans la gestion des risques de
marché.
1- CONTRATS À TERME
2- SWAPS
3- OPTIONS CLASSIQUES
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1- CONTRATS À TERME :
1.1- PRINCIPES :
contrat à terme (CAT) = contrat entre deux parties portant sur la livraison d’un
bien (sous-jacent) à une date future pour un prix fixé à l’avance (prix à terme)
payé à la livraison.
• Acheter à terme = prendre une position longue sur le contrat
• Vendre à terme = prendre une position courte sur le contrat
Deux types de CAT : forward et futures (cf. tableau comparatif ci-après)
En pratique :
différences de cash-flows ⇒ différences de prix des forwards et futures
(même sous-jacent, même échéance)
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Comparaison :
FUTURE
FORWARD
marché organisé
contrat de gré à gré (OTC)
avec chambre de compensation
compensation (cf. EMIR*)
Contrats standardisés,
Contrats non standardisés
limités aux sous-jacents
Diversité de sous-jacents,
standardisation
échangés sur bourses existantes,
diversité d’échéances
échéances prédéfinies
Valeur d’un contrat définie ;
montants
indéfinis
pas de fractionnement
Compte de marges,
Compte de marges couramment
exigences
marge initiale / de maintenance
requis
Compensation quotidienne,
Cash-flows
Un seul règlement à l’échéance
(mark to market)
dénouement avant l’échéance
Livraison ou
Livraison
(généralement)
dénouement en cash
Risque de contrepartie
non
oui
disponibilité
* EMIR (European Market and Infrastructure Regulation)
http://www.amf-france.org/Acteurs-et-produits/Produits-derives/Presentation.html
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1.2- PARITÉ COURS COMPTANT – COURS À TERME
(1) « buy and hold » : acheter au comptant ; stocker ;vendre à échéance
opération
Achat comptant
cash-flow en t = 0 cash-flow en t = 1
– S0
Stockage + Vente à l’échéance
– sS0 + S1
rentabilité
S1 S0
R 0=
s
S0
(2) « réplication » : placer sans risque + position longue sur contrat à terme
opération
Achat actif sans risque
Achat à terme + Vente à l’échéance
cash-flow en t = 0cash-flow en t = 1
– S0
0
+ (1+rf)S0
– F + S1
rentabilité
R̂ 0=
S1 F
+r f
S0
(3) Absence d’opportunité d’arbitrage : R 0= R̂ 0
d’où parité cours à terme – cours comptant : F =(1+r f +s) S 0 → produit linéaire
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(r q+s)T
Formulation générale : F =S 0 e
(en temps continu)
S0
r
q
s
CAT sur
prix du ss-jac
taux d’intérêt
rendt du ss-jac
coût de portage
devises
taux de change
taux d’intérêt
domestique
taux d’intérêt
étranger
Rendt en divid
de l’indice
convenience
yield
indices boursiers
marchandises
Niveau de
l’indice
prix du sousjacent
taux d’intérêt
taux d’intérêt
0
0
coût de stockage
obligations
notionnelles
taux d’intérêt
NB : à l'échéance, prix du CAT = prix spot
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(4) Cas des contrats à terme sur actifs financiers
• en général, pas de livraison effective à l’échéance (règlement en espèces)
• acheteur du contrat (position longue) paye S1 – F au vendeur (position courte)
• versement de revenu (dividende...) avant échéance → coût de portage négatif
(5) Structure par terme des prix
structure normale : prix à terme (prix des futures) croissants avec la maturité
• « report » F – S0 > 0 → coût de stockage ou de portage implicite
structure inversée : prix à terme (prix des futures) décroissants avec la maturité
• F – S0 < 0 → bénéfice de détention (convenience yield, dividende implicite)
contango : le prix du contrat (d’échéance donnée) diminue dans le temps
normal backwardation : le prix du contrat (d’échéance donnée) augmente dans le temps
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1.3- TRANSFERT DE RISQUE :
Réduction du risque : position sur le CAT inverse de la position sur sous-jacent
→ réplication d’un Bon du Trésor (sans risque) : achat comptant + position courte sur CAT
opération
cash-flow en t = 0 cash-flow en t = 1
Achat actif sans risque (valeur remboursement F)
– F / (1+rf)
+F
Position courte sur CAT
portefeuille
Achat comptant + Vente à l’échéance
répliquant
Total
0
– S0
– S0
F – S1
+ S1
+F
F S0
→ Taux sans risque implicite : r̂ f =
S0
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Couverture optimale :
Minimiser la variance de la valeur d'un portefeuille aux variations du prix du sousjacent :
• vente prévue de NS sous-jacents en t = 1
• couverture par position courte sur futures (sur NF sous-jacents)
• ratio de couverture (hedge ratio) h = NF / NS
Gain total : Y =( S 1 S 0 ) N S +( F 0 F 1 ) N F soit : Y = N S (∆ S h ∆ F )
La variance de Y est minimale quand la variance de (∆ S h ∆ F ) est minimale.
2
S
2
Or : V (∆ S h ∆ F )=σ +h σ
2
F
2 h ρσ S σ F
σS
d'où h*=ρ σ F
→ h* = pente de la droite de régression de ∆S sur ∆F.
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Hausse du risque : spéculation (prise de position sur le CAT sans sous-jacent)
Répliquer une position sur le sous-jacent
échanges de futures :
• moins coûteux (pas d’échange « physique »)
• sur marges (pas de paiement intégral du sous-jacent → effet de levier)
Exemples : stock futures
cf. LIFFE (2002), Universal Stock futures – A guide to trading strategies.
• Profiter d’une hausse du cours d’une action → position longue sur future
• Profiter d’une baisse du cours d’une action → position courte sur future
• Profiter d’une différence de performances → relative value trade
position longue sur future de la meilleure
position courte sur future de l’autre
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2- SWAPS :
2.1- Principes :
Swap = accords d’échange de structures de cash-flows futurs, à des dates et selon
des modalités de calcul prédéfinies (les « jambes »).
• À l'origine la valeur du swap est nulle (les VA des jambes sont égales)
→ on détermine la valeur d'un paramètre particulier (taux, marge, prix)
Ensuite, la valeur du swap évolue en fonction des taux d'intérêt.
• Les contreparties s'échangent les flux nets.
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Swaps de taux d’intérêt
(Interest Rate Swap)
Swaps de change
(FX swap)
Swaps de devises
(Currency swap)
Swap d'indice
(Equity swap)
Swaps de volatilité
(Volatility swap)
Swaps de matières premières
(commodity swap)
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paiements à taux fixe contre paiements à taux
variable
échange de deux devises au comptant + échange
inverse à terme
paiements (principal + intérêts) dans 2 devises ≠ ;
à tx fixe contre fixe, ou tx fixe contre variable
(cross currency interest rate swap), ou tx variable
contre variable
paiements du rendement d’un portefeuille d’actions
(dividendes et plus-values) contre taux d’intérêt
(fixe ou variable)
paiements d’un notionnel multiplié par la
différence entre volatilité réalisée sur une période et
volatilité prédéfinie
Paiements relatifs à une même quantité de matières
premières, l'un à prix fixe, l'autre au cours du
marché
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Swaps de risque de crédit (Credit Default Swap) : assurance contre le défaut d’un emprunteur
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2.2- Swaps de taux d'intérêt « vanille »
contrat d'échange de flux d'intérêts, taux fixe contre taux variable
• calculés sur un montant notionnel (pas d'échange du principal)
• même monnaie (≠ swap de devises)
• sur un horizon défini
• avec niveau de taux fixe et taux variable de référence + spread définis
• périodicité des paiements d 'intérêt (« tenor », celle du taux de référence pour
un swap vanille), mode de calcul
« vendeur de swap » → « gagne » le taux fixe, « paye » le taux variable
« acheteur de swap » → « paye » le taux fixe, « gagne » le taux variable
Utilisation :
• Couverture du risque de taux (transformer un actif/engagement à taux fixe en
actif/engagement à taux variable)
• Accès à de meilleures conditions de marché (selon les avantages comparatifs
des contreparties)
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Ex :
• A s'engage à payer à B un taux d'intérêt de 5 % sur un notionnel de 100M €
• B s'engage à payer à A le LIBOR sur le même notionnel
date
05/03/2012
05/09/2012
05/03/2013
05/09/2013
05/03/2014
05/09/2014
05/03/2015
LIBOR 6 mois
(%)
4,20
4,80
5,30
5,50
5,60
5,90
6,40
Cash-flows de A
flux variable
(M€)
2,10
2,40
2,65
2,75
2,80
2,95
flux fixe (M€)
– 2,50
– 2,50
– 2,50
– 2,50
– 2,50
– 2,50
flux net (M€)
– 0,40
– 0,10
0,15
0,25
0,30
0,45
→ cf. chapitre sur le risque de taux d'intérêt
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2.3- Swaps de change
Contrat d'échange de devises, l'un au comptant (au taux de change spot) et l'autre à
échéance (au taux de change à terme)
• une contrepartie emprunte une devise, et simultanément en prête une autre, à
une deuxième contrepartie
• l'obligation de remboursement sert de collatéral
• le montant à rembourser est fixé au départ (au taux à terme)
→ les swaps de change peuvent être considérés comme des prêt/emprunts de
devises garantis sans risque
départ :
X.S $
A
B
échéance :
X€
X.F $
A
B
S = taux spot
F = taux forward
X€
→ cf. chapitre sur le risque de change
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3- OPTIONS CLASSIQUES
3.1- PRINCIPES :
Option = droit de réaliser une transaction future à des conditions fixées à l'avance.
→ Options « vanilles »
call : option d'achat
droit d'acheter un actif (sous-jacent, de valeur S) à ou jusqu'à une date fixée
(échéance) à un prix fixé (prix d'exercice X)
put : option de vente
droit de vendre un actif (sous-jacent, de valeur S) à ou jusqu'à une date fixée
(échéance) à un prix fixé (prix d'exercice X)
Option européenne : peut être exercée uniquement à l'échéance
Option américaine : peut être exercée à tout moment jusqu'à l'échéance
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→ Options « exotiques » (Poncet et Portrait (2008), Finance de Marché, Dalloz, ch. 14)
• « path independent » : le gain ne dépend que la valeur finale du sous-jacent
◦option à départ différé ; digitale ; multi-sous-jacent ; composée (sur option) ;
quanto …
• « path dependent » : le gain dépend de la trajectoire du sous-jacent
◦option barrière ; digitale à barrière ; look-back (prix d'exercice = minimum
des cours du sous-jacent sur une période donnée) ; asiatique (sur moyenne).
• Définissent des profils de gains particuliers, utiles dans les produits structurés
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Cash-flows associés à une option européenne
À la conclusion du contrat, l'acquéreur paye une prime à l'émetteur
(C pour un call, P pour un put).
À l'échéance,
• le détenteur (acheteur) est libre d'exercer,
• l'émetteur (vendeur) de l'option est obligé de se porter contrepartie.
Valeur intrinsèque du call à l'échéance : C T =max 0, S T – X 
Valeur intrinsèque du put à l'échéance : P T =max 0, X
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ST 
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Les gains de l'acheteur sont les pertes du vendeur (et réciproquement)...
CALL
cash-flows
Call long
+C
Prix du sous-jacent
X
–C
PUT
Call court
cash-flows
Put court
+P
Prix du sous-jacent
–P
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X
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Put long
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3.2-LA PARITÉ PUT – CALL
Les valeurs d'un call et d'un put européens de même échéance et de même prix
d'exercice sont liées...
Deux portefeuilles :
• « put + actif sous-jacent »
• « call + placement de la valeur actuelle du prix d'exercice »
Valeur à l'échéance du portefeuille...
… « put + actif sous-jacent »
… « call + placement »
si ST < X
(X – ST) + ST = X
0+X=X
si ST > X
0 + ST = ST
(ST – X)+ X = ST
→ Les deux portefeuilles ont la même valeur à l'échéance quelque soit la valeur
du sous-jacent.
→ Loi du prix unique ⇒ C + VA(X) = S + P
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Plusieurs présentations possibles :
• signe + → position longue (achat)
• signe – → position courte (emprunt et vente)
Par exemple :
C = S + P – VA(X)
→ call « synthétique » obtenu par emprunt, achat du sous-jacent et du put.
P = C – S + VA(X)
→ put « synthétique » obtenu par vente du sous-jacent, placement et achat du call.
C – P = S – VA(X)
→ achat du call et vente du put ≈ achat du sous-jacent par emprunt
≈ achat à terme du sous-jacent (cours à terme = prix d'exercice)
(représenter les profils de gain brut des portefeuilles)
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NB : la parité put-call n'est valable que pour les options européennes.
Pour les options américaines :
• prime supérieure à celle d'une option européenne (mêmes caractéristiques) :
• Ceurop ≤ Camér et Peurop ≤ Pamér
• car option américaine inclut droit d'exercice précoce (avant échéance)
• on peut montrer :
• Camér + X ≥ S + Pamér ≥ Camér + VA(X)
d'où :
S – VA(X) ≥ Camér – Pamér ≥ S – X
• NB : en fait, il n'est jamais rentable d'exercer avant échéance un call américain
(sur action ne versant pas de dividende) :
→ Ceurop = Camér
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3.3- EVALUATION DES OPTIONS :
Chaque méthode d'évaluation des options repose sur un modèle d'évolution du
prix de l'actif sous-jacent (ici : sous-jacent = action).
(a) Créer un portefeuille qui réplique exactement la valeur de l'option :
• acheter δ actions et investir M dans l'actif sans risque
• δ et M tels que la valeur finale du portefeuille soit égale à celle de l'option.
→ Absence d'opportunité d'arbitrage ⇒ V = δ S + M
• Nombre d'actions en portefeuille de réplication (δ)
◦s'appelle le « delta » de l'option.
◦s'interprète comme la sensibilité du prix de l'option au prix du sous-jacent :
dV/dS = δ
◦δ positif pour un call, négatif pour un put
• Position dans l'actif sans risque (M) :
◦négative pour un call, positive pour un put
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(b) Créer un portefeuille sans risque :
évaluation d'un call :
• Écrire : δ S – V = – M → long δ actions + court 1 call ≈ long sans risque
• acheter δC actions et vendre un call
évaluation d'un put :
• Écrire : – δ S + V = M → long δ actions + long 1 put ≈ long sans risque
• acheter –δP actions et acheter un put
→ connaissant le modèle d'évolution du prix de l'actif sous-jacent, choisir δ tel
que la valeur finale du portefeuille reste constante...
• δ positif pour un call, négatif pour un put
• delta du call – delta du put = 1 (mêmes sous-jacent et échéance, cf. PPC)
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3.4- FORMULE DE BLACK ET SCHOLES
Formule de valorisation d'une option européenne sur une action ne versant pas de
dividende et dont la volatilité est constante.
Extension du modèle binomial en temps continu.
• La durée de la période tend vers 0
• Le nombre période tend vers l'infini
C = S N d 1  X exp r f T  N d 2 
avec :
• N(x) la fonction de répartition de la loi normale
ln S / X r f  2 /2T
• d1 =
 T
• d 2 = d 1  T
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C = S N d 1  X exp r f T  N d 2 
V=δS+M
on retrouve :
δ = N(d1)
et
M = – X exp(– rfT) N(d2) (emprunt pour un call)
X exp(– rfT) = valeur actualisée au taux sans risque « continu » du prix d'exercice
N(d2) = probabilité risque-neutre d'exercer le call
X exp(– rfT) N(d2) = valeur actuelle attendue risque-neutre du prix d'exercice
Remarque : si l'action verse un dividende (d : taux de dividende en % de S)
C = S exp d T  N d 1  X exp r f T  N d 2  (Merton)
ln  S / X r f d  2 /2T
et d 2 = d 1   T
d1 =
 T
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Le prix du call dépend du prix du sous-jacent
• Le prix du call augmente avec le prix du sous-jacent : le « delta » de l'option :
dC/dS = δ > 0
• La relation est convexe : le « gamma » de l'option
le « delta » augmente avec le prix du sous-jacent d 2C/dS 2 = dδ /dS = Γ > 0
C
C
Valeur intrinsèque
delta
Prix du sous-jacent
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Le prix du put se déduit du prix du call par la parité put-call
P = C S VA X 
P = S [ N d 1  1 ] X exp  r f T  [ 1 N d 2  ]
• Le delta du put est négatif (parité pu-call
• La valeur du put peut être négative :
put très en dedans → exercer : attendre l'échéance → coût d'opportunité
• Il n'y a pas intérêt à exercer un call américain sur une action ne versant pas de
dividende avant l'échéance → sa valeur est égale à celle d'un call européen.
• Il peut être intéressant d'exercer le call américain juste avant le versement du
dividende.
• Il peut être intéressant d'exercer un put avant échéance : la formule de BlackScholes ne peut pas être utilisée pour évaluer un put américain (il n'existe pas
de formule)
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3.5- LES GRECQUES
La valeur d'une option dépend de 6 paramètres :
paramètres
« grecque »
cours du sous-jacent
« delta »
prix d'exercice
volatilité du sous-jacent
« véga »
durée jusqu'à échéance
« thêta »
taux sans risque
« rho »
dividendes versés
call
+
–
+
–
–
–
put
–
+
+
–
+
+
La volatilité n'est pas connue → cf. chapitre sur les mesures de risque
• estimation fondée sur la volatilité historique (écart-type des rentabilités passées)
• tenir compte de la variation dans le temps (modèles statistiques GARCH :
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity).
• Options cotées : prix donné → en déduire une « volatilité implicite » du sous-jacent
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3.7- Stratégies d'échanges impliquant des options :
cf. LIFFE (2002), Universal Stock futures – A guide to trading strategies.
• Placement à capital garanti : obligations + call
• Une option + sous-jacent :
covered call (call couvert) : long sur action + court sur call européen
protective put : long sur action + long sur put européen
• Spreads : au moins deux options
bull/bear spread : deux options de même échéance, de prix d'exercice X2>X1
bull spread
○ long call de prix d'exercice X1 + court call de prix d'exercice X2
(spread haussier) ○ long put de prix d'exercice X1 + court put de prix d'exercice X2
bear spread
○ long call de prix d'exercice X2 + court call de prix d'exercice X1
(spread baissier) ○ long put de prix d'exercice X2 + court put de prix d'exercice X1
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butterfly spread : avec trois options de même échéance, de prix d'exercice
différent X3>X2>X1
◦long call de prix d'exercice X1 + long court call de prix d'exercice X3 + court
sur call de prix d'exercice X2
◦long put de prix d'exercice X1 + long court put de prix d'exercice X3 + court
sur call de prix d'exercice X2
calendar spread : avec options d'échéances variées, de même prix d'exercice
◦court sur call d'échéance proche + long sur call d'échéance lointaine
◦neutral calendar spread → call ATM (X ≈ S0)
◦bullish calendar spread → call OTM (X > S0)
◦bearish calendar spread → call ATM (X < S0)
◦court sur put d'échéance proche + long sur put d'échéance lointaine
reverse calendar spread :
◦long sur call d'échéance proche + court sur call d'échéance lointaine
◦long sur put d'échéance proche + court sur put d'échéance lointaine
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• Combinaisons : puts et calls de même sous-jacents
long straddle :
◦long call + long put de même échéance et de même prix d'exercice
short straddle :
◦short call + short put de même échéance et de même prix d'exercice.
long strangle : options de même échéance, prix d'exercice différents X2>X1
◦long call de prix d'exercice X2 + long put de prix d'exercice X1
short strangle :
◦short call de prix d'exercice X2 + short put de prix d'exercice X1
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