Transcript Document - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

TD 03 : Propagation d’un signal
Exercice 1 : Évolution temporelle d’une onde
Soit l’onde « f » suivante, pour tout x, à l’instant t = 0 :
f(x, t=0)
1
x (m)
2
4
6
8
10
-1
On supposera que :
o l’onde est progressive suivant les x croissants (vers la droite ici)
o la célérité de l’onde est c = 1 m/s
o le milieu est infini
1. Construire l’onde f, pour tout x, à l’instant t = 2s
2. Représenter, sur un nouveau schéma, l’évolution temporelle de l’onde, au point
x0 = 14 m.
Exercice 2 : Évolution temporelle d’une onde (2)
Soit l’onde f(x,t) = A×cos(ωt - kx), où k et A sont des constantes.
1. Tracer l’allure de l’onde aux instants t = 0, t = T/8, t = T/4 et t = T/2. On pourra
calculer la distance (exprimée en fraction de longueur d’onde) sur laquelle l’onde s’est
propagée pendant ces durées.
2. Que dire de l’allure de l’onde à l’instant t = T ?
Exercice 3 : Mesure de vitesse de propagation
On visualise sur un oscilloscope bicourbe les tensions délivrées par deux microphones, un
fixe en O et l’autre mobile en M captant une onde progressive sinusoïdale émise par un haut
parleur (voir fig 0a). Lorsque les deux microphones sont placés en O, on observe sur un
oscilloscope la figure 0b.
1. Quelle est la fréquence f de l’onde ?
Les quatres graphes des figures 1, 2, 3 et 4 représentent les tensions délivrées par le
microphone en O et le second microphone situé respectivement en quatre points d’abscisses
x1, x2, x3 = 34 cm et x4.
2. Quelle est la longueur d’onde de l’onde sonore ?
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3. Que vaut la vitesse de propagation c de l’onde sonore ?
4. Déterminer les abscisses x2 et x4.
O
x1 x2
x3
x4
fig 0a : schéma de l’expérience
fig 0b : les deux micros en O
fig 1 : 2e micro en x1
fig 2 : 2e micro en x2
fig 3 : 2e micro en x3
fig 4 : 2e micro en x4
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Exercice 4 : Vitesse de propagation sur une corde
On observe un mode propre sur une corde tel que la distance entre deux nœuds est d = 41 cm.
1. Relier la distance entre deux nœuds et la longueur de la corde.
2. Sachant que le vibreur excitant la corde oscille à la fréquence f = 58 Hz, en déduire la
vitesse de propagation de l’onde.
Exercice 5 : Spectre du son engendré par une corde de guitare
Une corde de guitare est accordée de telle manière que le fondamental
corresponde à la fréquence f1 = 220 Hz.
1. En grattant cette corde de manière quelconque, expliquer quel est
le spectre émis.
2. On désire jouer la note La2 qui correspond à la fréquence f1 = 220
Hz. Est-il possible d’obtenir avec la corde de guitare un son dont le
spectre ne comporte que cette fréquence ?
Exercice 6 : Notes pour un instrument de musique
Un instrument de musique est modélisé par une cavité de longueur ℓ, fermée à
une extrémité et ouverte à l’autre. La vitesse du son dans l’air est c = 340 m/s.
Remarque : dans un tel tube, l’onde stationnaire qui s’y développe présente un
ventre de vibration du côté « bouché » et un nœud de vibration du côté « ouvert ».
1. Quelle doit être la longueur du tube pour que la plus faible fréquence
d’onde stationnaire dans cet instrument soit f1 = 440 Hz.
2. Quelle est la fréquence f2 immédiatement supérieure pouvant être émise
par cet instrument ?
3. Exprimer de manière générale, en fonction d’un entier n, les fréquences fn
pouvant êtres émises par cet instrument.
4. Où doit-on placer un trou dans l’instrument afin de supprimer f2 du spectre
du son émis ?
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Exercice 7 : Tube à ondes stationnaires
Un haut-parleur est placé à l’entrée d’un tube à ondes stationnaires. Il est alimenté par une
tension sinusoïdale de pulsation ω. La célérité des ondes sonores dans l’air est notée c (cf.
schéma derrière).
1. Donner la forme de l’onde incidente pi(z,t) engendrée par le haut parleur.
2. Une surface réfléchissante placée en bout de tube en z = 0 engendre une onde
réfléchie. Donner la forme de cette onde réfléchie pr(z,t), d’amplitude et de phase
indéterminée pour l’instant.
3. La surface réfléchissante en z = 0 est supposée être un ventre de vibration. En déduire
plus précisément l’onde réfléchie. On pourra exprimer le fait que la dérivée de la
grandeur vibrante par rapport à z est nulle en z = 0 vu que c’est la position d’un ventre
de vibration.
4. En déduire la forme de l’onde totale p(z,t). Montrer que l’on obtient effectivement une
onde stationnaire. La représenter à différents instants.
5. Comment peut-on mesurer la longueur d’onde dans ce dispositif ?
O
z
Exercice 8 : Corde excitée par un vibreur
Une corde délimitée par les abscisses x = 0 et x = L est excitée en x = 0 par un vibreur. Celuici impose un déplacement vertical de l’extrémité gauche de la corde z(t) = z0 × sin(ωt), où ω
est la pulsation du vibreur et z0 son amplitude. L’extrémité droite est fixée. On appelle y(x,t)
la hauteur de la corde par rapport à l’horizontale, en x à l’instant t.
1. Quelles conditions limites a-t-on en x = 0 et x = L ?
On suppose que la vibration est de la forme y(x,t) = A sin(ωt + ϕ) × sin(kx + ψ), où A, ω, k,
ϕ, ψ sont des constantes telles que k = ω /c, où c est la vitesse de propagation de l’onde.
2. Quelle type d’onde est-ce ?
3. Trouver les valeurs des constantes A, ϕ et ψ.
4. Pour quelles valeurs de k l’amplitude de la vibration devient-elle très grande ?
Retrouver l’expression :
 nπ x   nπ c t 
y n ( x, t ) = y n0 sin 
 sin 

 L   L 
5. Pourquoi l’amplitude diverge-t-elle ici ?
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