Transcript TD n° 27 2014 - Un cours de physique en spéciale PC

Spéciale PC.
Thème :
Propagation des O.E.M. dans les D.L.H.I.
TD n° 27 :
Donné le : 31 / 01 / 2014.
Année 2013-2014.
Planche OEM 305 : onde transversale dans
un plasma neutre ; propagation et réflexion
ionosphérique.
L’ionosphère est une couche atmosphérique située à
très haute altitude ( > 60 km) que l’on assimilera à un gaz
ionisé (plasma) constitué de cations de charge +e et de
masse Mi et d’électrons de charge –e et de masse me.
Au repos, la densité volumique d’électrons et de cations
est n0 de sorte que le plasma est localement neutre.
Ce gaz est un milieu raréfié de permittivités diélectrique
et magnétique égales à celles du vide, contenant des particules chargées dont les interactions sont négligées.
On donne :
-19
-30
e = 1,6 .10 C
; me = 0,91 .10 kg.
-27
11 -
3
Mi = 1,67 .10 kg
; n0 = 6 .10 é /m .
On étudie dans ce plasma la propagation d’une onde
électromagnétique plane progressive de pulsation  se propageant suivant l’axe Ox, dont le champ électrique est donné par : E
E0 cos( t
mouvement les charges.
kx )ez . Cette onde met en

On note v e(M,t) le champ des vitesses d’un électron si-


tué en M à l’instant t et on suppose que < v e>t = 0 . On
néglige toute autre force que la force électromagnétique.

1°) Compte tenu de l’expression donnée pour E , montrer
que le plasma reste localement neutre en présence de
l’onde. On supposera dans la suite que la densité
d’électrons et de cations est n0.
2°) Montrer que le champ magnétique est donné par :
B( x, t ) 
k
 E ( x, t )

3°) Montrer que si la vitesse des électrons reste très petite
devant la vitesse de phase de l’onde, la force magnétique est
négligeable devant la force électrique. Cette condition est
supposée vérifiée dans la suite.
4°) Pourquoi peut-on négliger le mouvement des ions ?
v
Montrer que l’accélération en M s’écrit :
.
t
5°) En utilisant le principe fondamental de la dynamique,

trouver l’expression du vecteur densité de courant j


9°) Montrer que l’on peut étudier la propagation d’une
onde électromagnétique dans l’ionosphère comme si celleci était un milieu diélectrique l.h.i. dont on exprimera le carré de l’indice complexe n en fonction de  et p
10°) Quelle est la nature de l’onde si  < P ? Montrer que
cette onde ne transporte pas de puissance.
11°) Quel phénomène se produit-il à l’interface atmosphère
(ou plutôt vide !) – ionosphère pour une onde incidente
telle que  < P ?
Planche OEM 302 : Propagation d’une onde
électromagnétique dans un métal.
On cherche à caractériser la propagation d’une onde
électromagnétique (O.E.M.) dans le métal, qu’on cherche
sous forme d’une O.P.P.H. de pulsation .
On admettra que le champ électrique associé à cette
O.P.P.H. dans le milieu est transverse et qu’il n’existe aucun champ statique d’origine extérieure.
On utilisera la représentation complexe, avec une dépendance en e
7°) Établir à partir des équations de Maxwell dans le plasma en représentation complexe la relation de dispersion
k( ).
En déduire que l’onde ne peut se propager que si  > P
que l’on déterminera en fonction des données. ( P est appelée pulsation de plasma).
, avec à priori k complexe.
On adopte dans le métal le modèle de conduction de
Drüde :
- les électrons de conduction (masse m et charge –e)
sont soumis de la part du réseau à une force en 
 est un temps de relaxation du milieu.
m

v , où
- L’amplitude du mouvement des électrons est suffisamment petite par rapport à la longueur d’onde de
l’O.E.M. pour pouvoir linéariser l’équation du mouvement.
- Les électrons sont non relativistes.
Soit n* le nombre d’électrons libres par unité de volume.
Pour les applications numériques, on prendra :
-14
28 -3
-31
  = 10 s ;
n* = 10 m ;
m = 9,1 .10 kg
-19
-12
e = 1,6 .10 C ; 0  8,84 .10 usi.
1°) Expliquer, compte tenu des hypothèses précédentes,
pourquoi la force magnétique exercée sur un électron de
conduction est négligeable devant la force électrique.
2°) Montrer que la densité volumique de charges reste localement nulle, et qu’en conséquence la densité particulaire
des électrons de conduction est constante.
3°) Établir, qu’à l’approximation linéaire, l’équation du
mouvement d’un électron de conduction s’écrit :
v
En utilisant les images complexes de E et j , montrer
que l’on peut attribuer au plasma une conductivité complexe . Commentaire ?
6°) Montrer que la puissance moyenne cédée par le champ
électromagnétique aux porteurs de charges est nulle.
j  t  k . r 
1
v
e
E.

m
En déduire l’expression du vecteur densité de courant
t


j en régime forcé de pulsation .
Montrer que le métal peut être caractérisé par une con
ductivité électrique complexe :  
. On exprimera
1  j
0 en fonction de n*, e,  et m.
0

4°) Établir l’équation de propagation du champ E dans le
métal. En déduire la relation de dispersion :
8°) Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
Commentaires ?
Page 1 sur 2
k 
2

c
2
2
 j  0 .
n*e
5°) Vérifier la dimension de :  
Montrer que l'angle  que fait u avec Oy (direction de
2
, appelée pulsa-
m 0
p
tion de plasma du milieu conducteur. Pour le métal envisagé, à quel domaine du spectre électromagnétique cette pulsation de plasma appartient-elle ?
6°) Étude de quelques cas limites :
Quelles expressions simplifiées obtient-on pour k si :
a) 
1
p ;
b)
1
1
   p ; c)
p
Planche OP 510 : modélisation de la polarisation rotatoire.
Une O.E.M. plane progressive monochromatique, polarisée rectilignement (O.P.P.M.R.) de longueur d'onde dans
l'air  et de pulsation , pénètre dans une cuve de longueur
 contenant une substance optiquement active.
On note Ox la direction de propagation (vers les x
croissants) et on suppose que le champ électrique Ei de
cette O.P.P.M.R. est parallèle à Oy, d'amplitude E0.
Une telle substance transmet deux polarisations particulières sans altération:
 Une polarisation circulaire gauche avec une vitesse de
c
propagation : vg
, où ng est l'indice du milieu pour
ng
les ondes circulaires gauches;
 Une polarisation circulaire droite avec une vitesse de
c
propagation : vd
, où nd est l'indice du milieu pour
nd
les ondes circulaires droites.
On ne se préoccupera pas des problèmes rencontrés aux interfaces
air-milieu.
→
1°) Écrire les composantes du champ Ei . Montrer qu'on
peut décomposer l'O.P.P.M.R. incidente sous la forme :
E1
E2
E0
2
0
E0
E2 , avec : E1
2
cos
t
x
sin
t
x
c
et
c
sin
x
t
t
c
x
c
.
1°) L’électron n’est soumis qu’au champ électrique créé par
le proton. Montrer qu’il est élastiquement lié et calculer sa
pulsation propre 0 en proposant des valeurs pertinentes
pour les paramètres du problème.
2°) L’électron est soumis en outre à l’action d’une onde
électromagnétique plane progressive harmonique polarisée
rectilignement. On définit sa polarisabilité électrique complexe
e
par la relation p
fonction de
et
0
e 0E
. Exprimer
e
en
.
3°) Soit n * le nombre volumique d’électrons élastiquement
n *e 2
. Exprimer l’indice lumineux
m 0
(indice de réfraction) n d’une vapeur d’hydrogène en fonction de 0 ,
et p .
liés. On notera
p
Évaluer l’ordre de grandeur de n 1 dans les conditions usuelles d’une part pour une lumière violette et
d’autre part pour des rayons X. Commenter.
Planche OEM 308 : Transparence ultraviolette de certaines métaux (souvent alcalins).
On adopte le modèle de conduction de Drüde dans un
métal : l’action du réseau sur un électron de conduction est
équivalente à une force de la forme mv / . Une onde
électromagnétique monochromatique se propage dans le
métal et on néglige la force magnétique qu’elle exerce sur
1°) Montrer que le métal possède une conductivité complexe
et l’exprimer en fonction de
,
et
Montrer que les champs E1 et E 2 décrivent une
O.P.P.M. polarisée circulairement (O.P.P.M.C.). Préciser
les sens gauche ou droite de ces O.P.P.M.C.
2°) Par quoi faut-il remplacer c dans l'expression des
champs lorsque l'onde se propage dans un milieu d'indice
n ? Préciser les composantes des champs E1 et E 2 à la
sortie de la cuve, en fonction de , nd, ng et c.
En déduire que l'onde résultante à la sortie de la cuve
est polarisée rectilignement, suivant une direction fixe définie par le vecteur u : on écrira les composantes de son
champ électrique ES .
On modélise un atome d’hydrogène par un noyau fixe
en O dont la charge e est uniformément répartie en volume dans la boule de centre O et de rayon a , et un électron ponctuel de masse m et de charge e mobile.
les électrons. On note n * le nombre volumique d’électrons
libres.
0
cos
3°) Proposer un dispositif expérimental permettant de
mettre en œuvre cette propriété.
Planche OEM 307 : Modèle de Thomson de
l’atome d’hydrogène.
 .



Caractériser pour chacun de ces cas l’O.E.M. obtenue.
Ei
n
ng .
2c d
Justifiez le nom de « polarisation rotatoire » donné à ce
phénomène.
la polarisation initiale) s'écrit :
0
n *e2 / m .
2°) On rappelle que le métal est localement neutre. En déduire la relation de dispersion des ondes électromagnétiques proportionnelles à exp[ j( t kx )] :
k2
2
j 0 .
c2
3°) Comment se simplifie la relation de dispersion pour
1 ? Interpréter alors le fait que certains métaux
sont transparents dans l’ultraviolet, sachant que
n*
et
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1028 m
3
14
s.
10
, m
9,1.10
31
kg , e
1, 6.10
19
C