Transcript TS 2014 05 amerique du nord complet

Terminale S Mai 2014 Amérique du Nord
Exercice 1 (5 points)
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10–3 près.
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.
Partie A : Conditionnement des pots
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots
de contenance maximale 55 mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49 mL de crème.
1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot
par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 50 et d’écart-type σ = 1,2 .
Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème,
on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire X, sans modifier son espérance µ = 50 . On veut
réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
On note σ ' le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à
X − 50
.
σ'
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z.
b. Déterminer une valeur approchée du réel u tel que P ( Z ≤ u ) = 0,06 .
c. En déduire la valeur attendue de σ ' .
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème.
On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion
de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
a. On admet que Y suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
Partie B : Campagne publicitaire
Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette
crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent
satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95 %, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de
la crème.
Partie A
1° La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance = 50 et d’écart-type
« le pot est non conforme » : ( < 49)
( < 49) = 0,5 − (49 < < 50) ≈ 0,202
Ainsi la probabilité qu’un pot soit non conforme est 0,202
2° a) La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance
donc la variable aléatoire
b) d’après la calculatrice
On a : ( ≤ ) = 0,06
c)
< 49 ⟺
=
pour
− 50 < −1 ⟺
d’où, avec la q2b, −
= 1,2
= 50 et d’écart-type ′
suit la loi normale centrée réduite (espérance 0 ; écart-type 1)
≈ −1,555
<
= −1,555 ⟹
"
≈ 0,643
3° la variable aléatoire $ suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,06
En effet, pour un pot : ("potnonconforme") = 0,06 et ("potconforme") = 0,94
b) « la boutique reçoit 2 ou moins de 2 pots non conformes » : ($ ≤ 2)
($ ≤ 2) = ($ = 0) + ($ = 1) + ($ = 2)
50
50
50
= 0 1 × 0,06 × 0,94 + 0 1 × 0,06 × 0,9434 + 0 1 × 0,065 × 0,9436
0
1
2
34
5
= 0,94 + 50 × 0,06 × 0,94 + 1225 × 0,06 × 0,9436
≈ 0,04533 + 0,19 + 0,41625
≈ 0,652
Ainsi, la probabilité de recevoir au maximum 2 pots non conformes est de 0,652
Partie B
Intervalle de confiance : 7 = 1408 =
44
3
Conditions : 7 ≥ 3078 = 99 ≥ 57(1 − 8) = 41 ≥ 5
:; = <8 −
8−
1
1
√7
; 8 +
1
√7
>
≈ 0,62268 +
1
√7
√7
D’où :@ = A0,622; 0,792B
≈ 0,7916
Ainsi, au seuil de 95%, on peut estimer que la proportion de personnes satisfaites appartient à l’intervalle
A0,622; 0,792B
Exercice 2 (6 points)
On considère la fonction f définie sur A0; +∞A par 8(D) = 5E F − 3E 5F + D − 3
On note Cf la représentation graphique de la fonction f et D la droite d’équation y = x – 3 dans un repère orthogonal
du plan.
Partie A : Positions relatives de Cf et D
Soit g la fonction définie sur l’intervalle A0; +∞A par g ( x ) = f ( x ) − ( x − 3 ) .
1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle A0; +∞A, g ( x ) > 0 .
2. La courbe Cf et la droite D ont-elles un point commun ? Justifier.
1° Pour tout D de A0; +∞A:
G(D) = 8(D) − (D − 3) = ⋯ = 5E F − 3E 5F = E F (5 − 3E F )
D ≥ 0 ⟹ −D ≤ 0 ⟹ E F ≤ E ⟹ E F ≤ 1 ⟹ −3E F ≥ −3 ⟹ 5 − 3E
De plus E F > 0
D’où E F (5 − 3E F ) > 0
Ainsi, pour tout réel Dde A0; +∞A , on a : G(D) > 0
2° pour tout réel Dde A0; +∞A , on a :
G(D) > 0d’aprèslaq1
⟹ 8(D) − (D − 3) > 0
⟹ 8(D) > D − 3
F
≥ 2 ⟹ 5 − 3E
F
>0
Ainsi la courbe QR est strictement au-dessus de la droite D, la courbe et la droite n’ont aucun point
commun.
Partie B : Étude de la fonction g
On note M le point d’abscisse x de la courbe Cf , N le point d’abscisse x de la droite D et on s’intéresse à l’évolution
de la distance MN.
1. Justifier que, pour tout x de l’intervalle A0; +∞A, la distance MN est égale à g ( x ) .
2. On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle A0; +∞A.
Pour tout x de l’intervalle A0; +∞A, calculer g ' ( x ) .
3. Montrer que la fonction g possède un maximum sur l’intervalle A0; +∞A que l’on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
1° STD; 8(D)U ∈ QR W(D; D − 3) ∈ X
SW = Y(D − D)5 + T8(D) − (D − 3)U
= YT8(D) − (D − 3)U
5
5
= |8(D) − (D − 3)|
= 8(D) − (D − 3)[\]8(D) > D − 3
= G(D)
2° Dérivée
Pour tout D de A0; +∞A
G(D) = 5E F − 3E 5F
G" (D) = 5(−E
F)
− 3(−2E
3° signe de ^′(_)
−5 + 6E
−5 + 6E
D
E F
−5 + 6E
G′(D)
F
F
=0⟺E
>0⟺E
0
F
F
F
5F )
= −5E
G(D)
+ 6E
5F
=E
F (−5
+ 6E
5
5
5
6
= ⟺ −D = ln ⟺ D = − ln ⟺ D = ln
6
6
6
5
5
5
5
6
> ⟺ −D > ln ⟺ D < − ln ⟺ D < ln
6
6
6
5
+
+
+
ln
`
+
−
−
0
0
Tableau de variation de la fonction G
`
D
0
ln
G′(D)
F
0
G 0ln 1
`
−
+
+∞
+∞
F)
E > 0 sur
6
5
5
25 25 75 25
G aln b G a ln b 5E cd` 3E 5 cd` 5 2
32
5
6
6
36
6 36 12
`
5
Ainsi, la fonction G admet un maximum pour D ln et ce maximum vaut
5
Interprétation graphique
La fonction G modélise la distance MN, distance entre la droite et la courbe. On en déduit que la distance
`
5
MN est maximum lorsque les points S et W ont pour abscisse ln et l’écart maximum est , soit environ
5
2,1 . f.
Partie C : Étude d’une aire
On considère la fonction A définie sur l’intervalle A0; /∞A par A ( x ) =
∫
x
0
f ( t ) − ( t − 3 ) dt .
1. Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l’aire est donnée par A(2).
2. Justifier que la fonction A est croissante sur l’intervalle A0; /∞A.
3. Pour tout réel x strictement positif, calculer A ( x ) .
4. Existe-t-il une valeur de x telle que A ( x ) = 2 ?
1° hachurage
g 2
5
h 8 i
i
3 ji
C’est l’aire du domaine limité par les droites d’équation D
2° g D
F
h 8 i
i
3 ji
0; D
F
h G i ji
La fonction g a pour dérivée la fonction G
Dans la partie A, on a prouvé G D I 0 sur A0; /∞A
On en déduit g" D I 0 sur A0; /∞A
Ainsi, la fonction g est strictement croissante sur A0; /∞A
2 et entre la droite et la courbe QR
3° Pour tout
F
g D
D de A0; /∞A
h 8 i
F
h 8 i
F
h 5E
k
1
E
<5 2
1
3 ji
i
3 ji
3E
5k
k
F
⋯
ji
1
32
E
2
3
/ E 5F b
2
3
5E F / E 5F
2
a 5E
7
2
i
5k
>
F
3
a 5/ b
2
4° Méthode 1
La fonction g est continue et strictement croissante sur A0; /∞A, donc sur A0; 2B
Donc A est une bijection de A0; 2B sur son image A0; g 2 B
De plus 2 ∈ A0; g 2 B
g 2
2,8
Donc l’équation g D
2 admet une unique solution dans A0; 2B
Méthode 2 :
On résout
g D
2
7
3
⟺
5E F / E 5F 2
2
2
⟺ 7 10E F / 3E 5F 4
⟺ 3 10E F / 3E 5F 0
⟺ 3E 5F
⟺ 3 EF
⟺ EF
⟺D
5
10E F / 3 0
10E F / 3 0
1
m E F
3
3
ln 0 1 m D
n
ln 3
Dans A0; /∞A , l’équation g D
2 a pour solution ln 3
Méthode 3(si on n’a pas trouvé 1ou2) : on regarde la table de la fonction A , on a une valeur approchée
Exercice 3 (4 points)
On considère un cube ABCDEFCH donné ci-contre.
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et
uuur 1 uuuur
P le point tel que HP = HG .
4
Partie A : Section du cube par le plan (MNP)
1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en
un point L. Construire le point L.
2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes
et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et
on note Q leur point d’intersection.
a. Construire les points T et Q en laissant apparents les
traits de construction.
b. Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
Partie B
(
)
uuur uuur uuur
L’espace est rapporté au repère A ; AB, AD, AE .
1. Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du point L.
5

3. On admet que le point T a pour coordonnées  1 ;1 ;
8


 . Le triangle TPN est-il rectangle en T ?

Partie A
1° Dans le plan (EFG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes ; on
appelle L leur point d’intersection.
2. a. Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires dans le plan (BCG) d’où les constructions de
T et Q.
b. On cherche l’intersection des plans SWo et gpq .
r ∈ So ⟹ r ∈ SWo
W ∈ SWo
D’où rW ⊂ SWo
Dans pQtq
rW coupe AQtB en T et ApqB en Q
u ∈ gpq ∩ SWo
Dans wqtx
Ainsi gpq ∩ SWo
So coupe AwqB en R
yu
y ∈ gpq ∩ SWo
(gpqw)
(uy) coupe AgwB en S
3° dans
Ainsi la section du solide par le plan (SWo) est le pentagone Sozu{
Sur ma figure il manque des pointillés et le polygone : Geogebra joue les récalcitrants !
|||||} ; gX
|||||} ; |||||}
1° Dans le repère Tg; gp
gw U
1
S a0; ; 1b
2
Partie B
1 1
W a1; ; b
2 2
1
o a ; 1; 1b
4
3
2° Représentation paramétrique de (So) droite passant par o 0 ; 1; 11 de vecteur directeur ||||||}
So ~ •
1 1
„D = + i
‚
4 4
(So):
1 (i ∈ y)
ƒ… = 1 + i
2
‚
• †=1
3
5
0
0
|||||}
Représentation paramétrique de (qt) droite passant par q(1; 0; 1) de vecteur directeur qt ‡1ˆ
0
D=1
(qt):‰… = i′(i′ ∈ y)
†=1
On détermine le point d’intersection r des deux droites
D=1
D=1
D=1
„ … = i"
„ … = i"
„… = i "
‚ †=1
‚ †=1
‚
‚
‚
‚† = 1
1 1
1 1
⟺
⟺
D= + i
1= + i
i=3
4 4
4 4
ƒ
ƒ
ƒ
5
1
1
…=
‚
‚
‚
‚
2
‚… = 1 + 2 i
‚… = 1 + 2 i
•† = 1
• †=1
• †=1
D’où r 01; 5 ; 11
−3
3° |||||}
zo ~ 0 •
n
6
n
0
|||||}
zW ~− 5•
−6
|||||}. zW
|||||} = − n × 0 + 0 × 0− 1 + n × 0− 1 = − n ≠ 0
zo
3
5
6
6
`3
Le triangle zoW n’est pas rectangle en z
Exercice 4 (5 points, non spécialistes)
Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux
bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
• au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
• an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
• bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc a0 = 800 et b0 = 1400.
1. Par quelle relation entre an et bn traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, an+1 =
3
an + 330 .
4
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle an est supérieur ou
égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes ( . . . ).
Variables
n est un entier naturel
a est un réel
Initialisation
Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
Traitement
Tant que a < 1100, faire :
Affecter à a la valeur . . .
Affecter à n la valeur n +1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
: sur le sujet distribué en classe, il y a une erreur. La ligne affecter à 7 la valeur 7 + 1 apparait deux fois
4. Pour tout entier naturel n, on note un = an − 1320 .
a. Montrer que la suite ( un ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Exprimer un en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, \‹
n ‹
= 1320 − 520 × 031 .
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
1° Conservation du volume total : \‹ + Œ‹ = 2200
2° Chaque jour : le bassin A perd 15% et récupère 10% de B
après 7 jours : \‹
après 7 + 1 jours : \‹Ž
10
15
\‹Ž = \‹ −
\‹ +
Œ
100
100 ‹
= \‹ − 0,10\‹ + 0,15(2200 − \‹ )
= \‹ − 0,10\‹ − 0,15\‹ + 330
= 0,75\‹ + 330
3
= \‹ + 330
4
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
n est un entier naturel
a est un réel
Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
Tant que a < 1100, faire :
Affecter à a la valeur 0,75\ + 330
Affecter à n la valeur n +1
Fin Tant que
Afficher n
4° Pour tout 7 de
‹Ž = \‹Ž − 1320
3
= a \‹ + 330b − 1320
4
3
= \‹ − 990
4
3
990
•\‹ −
•
3
4
4
3
= (\‹ − 1320)
4
3
=
4 ‹
Pour tout 7 de , on a
=
donc la suite (
‹)
‹
=
ב
=3
n
‹
est géométrique de raison ‘ = 3 et de 1er terme
4° b) Pour tout 7 de
‹
‹Ž
n
,
= \ − 1320 = −520
3 ‹
‹ = −520 × a b
4
De plus ‹ = \‹ − 1320,
Donc \‹ = ‹ + 1320
n ‹
Ainsi \‹ = −520 × 0 1 + 1320
3
3 ‹
3 ‹
Œ‹ = 2200 − \‹ = 2200 − ’−520 × a b + 1320“ = 880 + 520 × a b
4
4
5° bassin B :
On résout
\‹ = Œ‹ 3 ‹
3 ‹
⟺ −520 × a b + 1320 = 880 + 520 × a b
4
4
11
ln 26
3 ‹
11
3 ‹
11
3 ‹
3
11
⟺ 440 = 1040 × a b ⟺
= a b ⟺ ln
= ln a b ⟺ 7 × ln = ln ⟺ 7 =
3
4
26
4
26
4
4
26
ln 4
11
ln 26
≈ 2,99
3
ln 4
Après 3 jours, les deux bassins auront le même volume d’eau.
Remarque :
On peut aussi résoudre \‹ = 1100 et/ou faire le lien avec l’algo et faire fonctionner l’algo
Exercice 4 (5 points, spécialistes)
Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux
bassins à l’aide de deux pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
• au départ, le bassin A contient 1 100 m3 d’eau et le bassin B contient 1 100 m3 d’eau ;
• tous les jours, 15% du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10% du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin A est transféré vers le bassin B et,
pour des raisons de maintenance, on transfère également 5 m3 du bassin A vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
• an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
• bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc a0 = 1100 et b0 = 1100.
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1. Traduire la conservation du volume total d’eau du circuit par une relation liant an et bn .
2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution du volume d’eau dans les bassins.
Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d’obtenir la feuille de
calcul ci-dessous :
A
B
C
1
Jour n
Volume bassin A
Volume bassin B
2
0
1100,00
1100,00
3
1
4
2
1187,50
1012,50
5
3
1215,63
984,38
6
4
1236,72
963,28
7
5
1252,54
947,46
8
6
1264,40
935,60
9
7
1273,30
926,10
10
8
1279,98
920,02
11
9
1234,98
915,02
12
10
1288,74
911,26
13
11
1291,55
908,45
14
12
1293,66
906,34
15
13
1295,25
904,75
16
14
1296,44
903,56
17
15
1297,33
902,67
18
16
1298,00
902,00
19
17
1298,50
901,50
20
18
1298,87
901,13
3. Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution du volume d’eau dans chacun des bassins ?
Partie B
 0,9 0,15 
 −5 
 an 
On considère la matrice carrée M = 
 et les matrices colonnes R = 
 et X n =   .
0,1
0,85
5




 bn 
On admet que, pour tout entier naturel n, X n+1 = M X n + R .
 1300 
1. On note S = 
 . Vérifier que S = MS +R.
 900 
En déduire que, pour tout entier naturel n, X n+1 − S = M ( X n − S ) .
Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel n, X n − S = M n ( X 0 − S ) et que
 0,6 + 0,4 × 0,75 n 0,6 − 0,6 × 0,75 n
Mn =
 0,4 − 0,4 × 0,75 n 0,4 + 0,6 × 0,75n

 1300 − 200 × 0,75 n
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, X n = 
 900 + 200 × 0,75 n


.



.


3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l’entier naturel n vérifie 1300 − an < 1,5 et bn − 900 < 1,5 .
Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.