Transcript a  b - Erwin Sitompul

Kuliah 7
4. TEORI BILANGAN
Matematika Diskrit
Dr.-Ing. Erwin Sitompul
http://zitompul.wordpress.com
Bilangan Bulat
 Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai
pecahan desimal.
Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.
 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil,
yang mempunyai pecahan desimal.
Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/2
Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat
 Misalkan a dan b bilangan bulat, a  0.
Maka a habis membagi b (a divides b) jika terdapat
bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
 Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0.
Contoh:
(a) 4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3.
(b) 4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/3
Teorema Euclidean
Teorema Euclidean 1:
Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0.
Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q
(quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga
m = nq + r
dengan 0  r < n.
Contoh:
(a) 1987/97 = 20, sisa 47
1987
= 9720 + 47
(b) 25/7 = 3, sisa 4
25
= 73 + 4
(c) –25/7 = –4, sisa 3
–25 = 7(–4) + 3
Tetapi bukan –25 = 7(–3) – 4,
karena remainder r = –4 (sementara syarat 0  r < n)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/4
Pembagi Bersama Terbesar (PBT)
 Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.
 Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor)
dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian
hingga d | a dan d | b.
 Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d.
Contoh:
Tentukan PBT(45,36) !
 Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
 Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
 Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9.
Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/5
Pembagi Bersama Terbesar (PBT)
Teorema Euclidean 2:
Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0,
sedemikian sehingga m = nq + r, 0  r < n.
Maka PBT(m,n) = PBT(n,r).
Contoh:
Ambil nilai m = 66, n = 18,
66 = 183 + 12
Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/6
Algoritma Euclidean
 Tujuan
Algoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat.
 Penemu
Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan
algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/7
Algoritma Euclidean
Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m  n,
misalkan r0 = m dan r1 = n.
…
Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk
memperoleh:
r0 = r1q1 + r2
0  r 2  r 1,
r1 = r2q2 + r3
0  r 3  r 2,
ri–2 = ri–1qi–1 + ri
ri–1 = riqi + 0
0  ri  ri–1,
Menurut Teorema Euclidean 2,
PBT(m,n) = PBT(r0,r1) = PBT(r1,r2) = … =
PBT(ri–2,ri–1) = PBT(ri–1,ri) = PBT(ri,0) = ri
Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol
dari runtunan pembagian tersebut, yaitu ri.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/8
Algoritma Euclidean
Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m  n).
Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama
terbesar dari m dan n.
Algoritma Euclidean
1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP.
Jika n  0, lanjutkan ke Langkah 2.
2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.
3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu
ulang kembali ke Langkah 1.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
7/9
Algoritma Euclidean
Contoh:
Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat m  n dipenuhi.
80 = 126 + 8
12 = 81 + 4
8 = 42 + 0
n = 0  m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/10
Kombinasi Linier
 PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
(linear combination) dari a dan b dengan koefisienkoefisennya yang dapat dipilih bebas.
Contoh:
PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)80 + 712
Koefisien,
dapat dipilih bebas
Teorema Kombinasi Linier:
Misalkan a dan b bilangan bulat positif,
maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
PBT(a,b) = ma + nb.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/11
Kombinasi Linier
Contoh:
Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312
dan 70!
Solusi:
Terapkan Algoritma Euclidean
untuk memperoleh
PBT(312,70) = 2 sbb:
312 = 470 + 32
(1)
70 = 232 + 6
(2)
32 = 56 + 2
(3)
6 = 32 + 0
(4)
Susun (3) menjadi
2 = 32 – 56
(5)
Susun (2) menjadi
6 = 70 – 232
(6)
Erwin Sitompul
Masukkan (6) ke (5) menjadi
2 = 32 – 5(70 – 232)
= 132 – 570 + 1032
= 1132 – 570
(7)
Susun (1) menjadi
32 = 312 – 470
(8)
Masukkan (8) ke (7) menjadi
2 = 1132 – 570
= 11(312 – 470) – 570
= 11312 – 4970
Jadi, PBT(312, 70) = 2
= 11312 – 4970
Matematika Diskrit 7/12
Aritmatika Modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah
bilangan bulat positif, maka
a mod m
memberikan sisa pembagian bilangan
bulat bila a dibagi dengan m
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r,
dengan 0  r < m
Hasil dari modulo m terletak di dalam
himpunan { 0,1,2,…,m–1 }
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/13
Kongruen
 Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3.
Maka dikatakan 38  13 (mod 5).
Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5.
 Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0.
Jika m habis membagi a – b, maka a  b (mod m).
 Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m,
maka ditulis a  b (mod m).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/14
Kongruen
Contoh:
 17  2 (mod 3)
 3 habis membagi 17–2 = 15
 –7  15 (mod 11)
 11 habis membagi –7–15 = –22
 12  2 (mod 7)
 7 tidak habis membagi 12–2 = 10
 –7  15 (mod 3)
 3 tidak habis membagi –7–15 = –22
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/15
Kongruen
a  b (mod m) dapat dituliskan sebagai
a = b + km (k adalah bilangan bulat).
Contoh:
 17  2 (mod 3)
 –7  15 (mod 11)
 17 = 2 + 53
 –7 = 15 + (–2)11
a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a  r (mod m).
Contoh:





23 mod 5 = 3
6 mod 8 = 6
0 mod 12 = 0
–41 mod 9 = 4
–39 mod 13 = 0
Erwin Sitompul
 23  3 (mod 5)
 6  6 (mod 8)
 0  0 (mod 12)
 –41  4 (mod 9)
 –39  0 (mod 13)
Matematika Diskrit 7/16
Kongruen
Teorema Kongruen:
Misalkan m adalah bilangan bulat positif.
1. Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat,
maka
i. (a + c)  (b + c) (mod m)
ii. ac  bc (mod m)
iii. ap  bp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif
2. Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m), maka
i. (a + c)  (b + d) (mod m)
ii. ac  bd (mod m)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/17
Kongruen
Contoh:
Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut
Teorema Kongruen,
 17 + 5  2 + 5 (mod 3)

22  7 (mod 3)
 175  25 (mod 3)

85  10 (mod 3)
 17 + 10  2 + 4 (mod 3) 
27  6 (mod 3)
 1710  24 (mod 3)

170  8 (mod 3)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/18
Bilangan Prima
 Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika
pembaginya hanya 1 dan p.
Contoh:
23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi
oleh 1 dan 23.
 Bilangan selain prima disebut bilangan komposit
(composite).
Contoh:
20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh
2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/19
Relatif Prima
Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima
jika PBT(a,b) = 1.
Contoh:
 20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1.
 7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1.
 20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1.
Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m
dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1.
Contoh:
 Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1,
sehingga dapat ditulis 220 + (–13)3 = 1 (m = 2, n = –13).
 Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1,
sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m20 + n5 = 1.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/20
Inversi Modulo
 Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse)
dari perkalian adalah pembagian.
 Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4  1/4 = 1.
 Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi
modulo lebih sukar.
 Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka terdapat inversi
(balikan) dari a modulo m.
 Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat x sedemikian
sehingga ax  1 (mod m).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/21
Inversi Modulo
Contoh:
Tentukan balikan dari 4 (mod 9) !
Solusi:
Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada.
Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa
9 = 24 + 1.
Susun persamaan di atas menjadi
–24 + 19 = 1.
Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa
–2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).
 Periksa bahwa –24  1 (mod 9)
1
 2
4 (mod 9)
Erwin Sitompul
 1  2  4 (mod 9)
 1  8 (mod 9)
Matematika Diskrit 7/22
Inversi Modulo
Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9)
adalah juga inversi dari 4.
1
1
 2   2 (mod 9)
4 (mod 9)
4
Contoh:

7  –2 (mod 9)
 –11  –2 (mod 9)
 16  –2 (mod 9)
1
 7 (mod 9)  ,
4
Erwin Sitompul
 9 habis membagi 7 – (–2) = 9
 9 habis membagi –11 – (–2) = –9
 9 habis membagi 16 – (–2) = 18
1
1
 11 (mod 9)  , 16 (mod 9) 
4
4
Matematika Diskrit 7/23
Inversi Modulo
Contoh:
Tentukan balikan dari 17 (mod 7) !
Solusi:
Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada.
Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa
17 = 27 + 3
(1)
7 = 23 + 1
(2)
3 = 31 + 0
(3)
Susun (2) menjadi
1 = 7 – 23
(4)
Susun (1) menjadi
3 = 17 – 27
(5)
Dari persamaan terakhir diperoleh
Masukkan (5) ke (4)
bahwa –2 adalah inversi (balikan)
1 = 7 – 2(17 – 27)
dari 17 (mod 7)
1 = –217 + 57
 Periksa –217  1 (mod 7)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/24
Inversi Modulo
Contoh:
Tentukan balikan dari 18 (mod 10) !
Solusi:
Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, maka inversi dari 18 (mod 10)
tidak ada.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/25
Kongruensi Linier
Kongruensi linier berbentuk:
ax  b (mod m),
dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x
adalah variabel bilangan bulat.
Pemecahan:
ax = b + km  x = (b + km) / a
Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang
memberikan hasil x bilangan bulat.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/26
Kongruensi Linier
Contoh:
Tentukan solusi untuk 4x  3 (mod 9) !
Solusi:
4x  3 (mod 9)  x = (3 + k9 ) / 4
k = 0  x = (3 + 09) / 4 = 3/4
 bukan solusi
k = 1  x = (3 + 19) / 4 = 3
 solusi
k = 2  x = (3 + 29) / 4 = 21/4  bukan solusi
k = 3, k = 4
 tidak memberi solusi
k = 5  x = (3 + 59) / 4 = 12
 solusi
…
k = –1  x = (3 – 19) / 4 = –6/4  bukan solusi
k = –2  x = (3 – 29) / 4 = –15/4  bukan solusi
k = –3  x = (3 – 39) / 4 = –6
 solusi
…
k = –7  x = (3 – 79) / 4 = –15  solusi
…
Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/27
Kongruensi Linier
Contoh:
Tentukan solusi untuk 2x  3 (mod 4) !
Solusi:
2x  3 (mod 4)  x = (3 + k4 ) / 2
 Oleh karena k4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k4
akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil.
 Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu
bilangan pecahan.
 Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi
2x  3 (mod 4).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/28
Kongruensi Linier
Contoh:
Tentukan x sedemikian hingga 3x  4 (mod 7) !
Solusi:
3x
(3)–13x
x
x
x
x






4 (mod 7)
(3)–14 (mod 7)
(3)–14 (mod 7)
–24 (mod 7)
–8 (mod 7)
6 (mod 7)
x = {..., –8, –1, 6, 13, 19, ...}
1
(3)   y (mod 7)
3
 3 y  1 (mod 7)
 y  2
1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/29
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN
 ISBN (International Standard Book Number)
 Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya
dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–
3015–4561–9.
 ISBN terdiri atas empat bagian kode:
 Kode yang mengidentifikasikan bahasa
 Kode yang mengidentifikasikan penerbit
 Kode unik untuk buku tersebut
 Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka
atau huruf X)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/30
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN
Karakter uji dipilih sedemikian hingga
10
 ix
 0 (mod 11)
 ix
mod 11  karakter uji
i i
9
i i
i
i
Contoh:
ISBN 0–3015–4561–8
0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris,
3015 : kode penerbit
4561 : kode unik buku yang diterbitkan
8 : karakter uji.
Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:
10 + 23 + 30 + 41 + 55 + 64 + 75 + 86 + 91 = 151
Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/31
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN
Contoh:
ISBN 978-3-8322-4066-0
 Mulai Januari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit
 Cara perhitungan menjadi berbeda dan dipergunakan
modulo 10

 

  xi     3xi   x13  0 (mod 10)
 i ganjil   i genap 
Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:
91 + 73 + 81 + 33 + 81 + 33 +
21 + 23 + 41 + 03 + 61 + 63 = 100
Jadi, karakter ujinya adalah 100 + x13  0 (mod 10)
x13 = 0
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/32
Pekerjaan Rumah (PR7)
No.1:
Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai
kombinasi linier 216 dan 88.
No.2:
Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah
apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa
karakter uji dari ISBN tersebut.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/33
Pekerjaan Rumah (PR7)
New
No.1:
Tentukan solusi untuk 5x  7 (mod 11) !
No.2:
Bila diberikan kode ISBN-10: 0072880082, periksa apakah
kode ini adalah valid atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji
dari kode ISBN tersebut.
No.3: Sukarela untuk tambahan 20 poin
Kode ISBN-13: 978-007289A054 adalah valid. Berapakah nilai
dari A?
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 7/34