Transcript D3480

Machines asynchrones
Régime permanent
par
Michel POLOUJADOFF
Professeur à l’université Pierre-et-Marie-Curie
Laboratoire d’électrotechnique
1.
1.1
1.2
1.3
Principes de base......................................................................................
Principe élémentaire ....................................................................................
Considérations générales sur les transmissions asynchrones.................
Réalisations...................................................................................................
D 3 480
—
—
—
2
2
2
3
2.
2.1
2.2
Analyse du fonctionnement sinusoïdal triphasé permanent .......
Équations de fonctionnement en régime permanent ...............................
Schéma équivalent.......................................................................................
—
—
—
4
4
6
3.
Caractéristiques de fonctionnement à tension
et fréquence constantes .........................................................................
Fréquence de glissement.............................................................................
Circuit équivalent : définition et propriétés................................................
Caractéristiques approximatives de fonctionnement d’un moteur
à tension et fréquence constantes ..............................................................
Fonctionnements en génératrice et en frein. Réversibilité .......................
Puissance réactive absorbée par une machine à induction......................
Diagrammes circulaires d’impédance et d’admittance.............................
Principaux schémas équivalents utilisés en pratique ...............................
Moteurs à résistance statorique négligeable .............................................
—
—
—
7
7
7
—
—
—
—
—
—
8
9
9
10
11
11
—
—
—
—
—
—
12
12
12
13
13
14
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Démarrage et contrôle de la vitesse à fréquence
et tension constantes ..............................................................................
Démarrage sous tension réduite.................................................................
Démarrage par rhéostat rotorique des moteurs à rotor bobiné...............
Moteurs à encoches profondes et moteurs à double cage.......................
Commande de la vitesse par utilisation d’un rhéostat rotorique.............
Commande de la vitesse par soustraction d’énergie rotorique ...............
5.
5.1
5.2
Réglage de la vitesse par variation de fréquence ...........................
Notions de base............................................................................................
Exemple de schéma de régulation de vitesse pour un ensemble
à machine à induction..................................................................................
—
—
14
14
—
15
6.
6.1
Annexes .......................................................................................................
Représentation graphique d’une fonction homographique complexe
d’une variable réelle.....................................................................................
Existence d’une droite des couples ............................................................
—
16
—
—
16
17
6.2
lus de la moitié de l’énergie électrique produite dans les pays industrialisés
est transformée en énergie mécanique, par des moteurs. La plupart de
ceux-ci appartiennent à l’un des types suivants : à courant continu, asynchrone,
synchrone, à courant alternatif à collecteur. On estime généralement que les
moteurs asynchrones représentent 70 % de la puissance installée, et qu’ils
absorbent 40 à 50 % de l’énergie totale consommée. Même si ces chiffres sont
imprécis, ils montrent l’importance de ce type d’équipement.
P
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 1
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
Le texte qui suit est destiné à expliquer, dans ses grandes lignes, le fonctionnement des machines asynchrones en régime permanent. Il ne prétend pas épuiser
le sujet, car les problèmes posés par les essais et l’analyse des pertes ont été
passés sous silence.
Par contre, on a donné en détail les caractéristiques d’utilisation, qui doivent
être largement connues et qui permettent de distinguer les fonctionnements
possibles de ceux qui ne le sont pas.
L’article sera complété par la suite par une deuxième partie consacrée aux régimes transitoires.
1. Principes de base
1.1 Principe élémentaire
Considérons le dispositif représenté par la figure 1a : un aimant et
un disque placés face à face fixés à deux arbres disposés dans le
prolongement l’un de l’autre. Nous entraînons dans un certain sens
l’arbre solidaire de l’aimant tandis que nous laissons l’autre libre de
toute contrainte mécanique.
Désignons par M une petite zone de la plaque. Si l’aimant et la plaque tournent à deux vitesses différentes, M se trouvera d’abord en
face d’un pôle puis en face de l’autre. Les masses métalliques constituant cette petite zone seront donc alternativement traversées par
des lignes de force, soumises à un flux variable dans le temps ; elles
seront le siège de courants de même nature que les courants de
Foucault.
,
,,,
,
,
N
S
M
Stator (les enroulements
sont alimentés par
des courants
triphasés équilibrés)
Rotor (les enroulements
sont en court-circuit)
a
b
La loi de Laplace implique que des forces se développent ; la loi
de Lenz indique que leur résultante doit tendre à faire disparaître la
cause qui leur a donné naissance. Or cette cause est l’existence des
courants, eux-mêmes dus à la différence de vitesse.
Figure 1 – Principe des moteurs asynchrones à induction
■ Les forces électromagnétiques vont tendre à entraîner le disque
de telle sorte qu’il tourne à la même vitesse que l’aimant. Si l’aimant
tourne le plus vite, le disque tendra à le rattraper, le soumettant ainsi
à un couple de freinage. Si, au contraire, le disque va le plus vite,
l’aimant sera alors soumis à un couple d’accélération. Cette transmission, possible du fait de la différence de vitesse des deux éléments l’un par rapport à l’autre, est une « transmission
asynchrone ». Sans la différence de vitesse, aucun courant induit ne
naîtrait dans la plaque. Ce mode de transmission ne présente qu’un
intérêt limité : on part, en effet, d’un effort mécanique sur l’aimant,
à une certaine vitesse, pour obtenir, sur le disque, un effort mécanique à une vitesse inférieure.
1.2 Considérations générales
sur les transmissions asynchrones
■ Un autre système présente un grand intérêt. Considérons le dispositif représenté par la figure 1b : il est constitué par deux cylindres concentriques, séparés par un entrefer et faits d’un matériau
magnétique. Le cylindre extérieur est pourvu d’encoches occupées
par des enroulements parcourus par des courants triphasés susceptibles de créer un champ tournant dans l’entrefer. Le cylindre intérieur comporte lui aussi des encoches dans lesquelles sont disposés
des enroulements en court-circuit sur eux-mêmes.
Laissons immobile le cylindre extérieur (ou stator) et faisons circuler, dans les enroulements qu’il porte, des courants triphasés de
pulsation w ; ces courants engendrent, dans l’entrefer, un champ
d’induction magnétique tournant à la vitesse w /p (p étant le nombre
de paires de pôles du stator). Ce champ engendre, à son tour, dans
les enroulements en court-circuit portés par le cylindre intérieur, des
courants comparables aux courants de Foucault. La loi de réaction
de Lenz nous indique que le cylindre intérieur (ou rotor) tendra à se
déplacer pour que s’annulent ces courants.
D 3 480 - 2
La figure 2 représente un dispositif entièrement différent de celui
de la figure 1a. Il présente néanmoins, avec ce dernier, des analogies profondes. Il est constitué par deux éléments liés à des arbres
coaxiaux :
— l’un est une cuve emplie d’un liquide visqueux ;
— l’autre un ensemble de palettes pouvant tourner dans ce
liquide.
Si on fait tourner les palettes, celles-ci tendent à entraîner avec
elles l’huile, qui, par frottement, tend à entraîner la cuve munie
d’ailleurs de palettes intérieures. On transmet donc, de cette
manière, un couple de l’arbre des palettes à l’arbre de la cuve.
Cette transmission du couple ne peut s’effectuer que s’il existe
une différence de vitesse entre l’arbre menant et l’arbre mené.
D’autre part, la transmission est réversible car, si l’on fait tourner la
cuve, elle tend, par l’intermédiaire de l’huile, à entraîner les palettes.
Si l’on compare les dispositifs des figures 1a et 2, les palettes et
l’aimant jouent le même rôle, la cuve étant l’équivalent de la plaque
de cuivre et l’huile celui des courants de Foucault. Les pertes par
friction dans l’huile sont comparables aux pertes par effet Joule
dues aux courants de Foucault.
Considérons donc l’un ou l’autre de ces deux dispositifs et appelons W la vitesse angulaire de l’arbre menant, w celle de l’arbre
mené.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
,
,
,,,
,
,,,
,
,
c
a
Bague
tournante
Isolant
Arbre
Enroulement
Rhéostat
extérieur
a
b
Figure 3 – Principe de réalisation des machines à induction
à rotor bobiné
■ On réalise un rotor bobiné en disposant dans les encoches trois
enroulements de même nature que ceux du stator.
Figure 2 – Transmission hydraulique asynchrone
Si G est le couple appliqué sur l’arbre menant, c’est aussi celui
appliqué sur l’arbre mené.
La puissance reçue par le dispositif est G W , celle qu’il fournit à
l’arbre mené est Gw.
Le rendement de la transmission est donc w /W.
Si l’on introduit le glissement
WÐw
w
g = -------------- = 1 Ð ---W
W
b
Balai fixe
(1)
on voit que le rendement est égal à 1 – g .
Les pertes ainsi calculées (g fois la puissance G × W ) sont les pertes par courants de Foucault dans le disque de cuivre ou par frottements dans l’huile. Encore avons-nous négligé les pertes qui se
produisent dans les paliers supportant les deux arbres. Cette étude
nous montre donc que la valeur maximale du rendement d’une
transmission asynchrone est 1 – g , g étant le glissement.
Si, alors, on réunit entre elles les trois entrées d’une part, les trois
sorties d’autre part, l’ensemble est équivalent à la cage d’écureuil.
En fait, on préfère la disposition en bobinage à celle à cage lorsque
l’on veut pouvoir associer au circuit de l’induit des impédances auxiliaires. On prévoit pour cela un dispositif particulier comme celui de
la figure 3a ; les trois sorties sont réunies et les trois entrées sont
reliées à trois bagues centrées sur l’arbre et liées rigidement à
celui-ci par un isolant de bonne qualité mécanique. Sur chacune de
ces bagues frotte un balai fixe dans l’espace et on peut alors effectuer un montage tel que celui de la figure 3b. On rencontre toujours
une certaine difficulté pour connecter les trois phases aux trois
bagues. On voit sur la figure 3a que les bagues des phases « b » et
« c » sont traversées par le fil de la phase « a », ce qui nécessite un
isolement supplémentaire.
■ La figure 4 représente, de façon moins schématique, les éléments d’une machine asynchrone.
1.3 Réalisations
Le principe du moteur asynchrone a été étudié au paragraphe 1.1
et illustré par la figure 1. Sur cette figure, les enroulements du stator
sont analogues à ceux décrits dans l’article Bobinage des machines
tournantes. Les enroulements du rotor, quant à eux, peuvent être
réalisés principalement de deux manières ; ils sont soit en « cage
d’écureuil » soit « bobinés ».
■ Pour la réalisation d’une cage dite d’écureuil, on ménage, dans le
rotor, des encoches dans lesquelles on dispose des conducteurs non
nécessairement isolés des tôles. Les extrémités de ces conducteurs
sont reliées, de chaque côté, à deux couronnes conductrices appelées « anneaux de court-circuit ».
Plusieurs techniques de réalisation sont possibles.
● On peut, par exemple, réaliser séparément les conducteurs, en
cuivre, et les anneaux de court-circuit, en cuivre ou en bronze ; après
avoir enfoncé les conducteurs dans les encoches, séparément, au
marteau pneumatique, on en brase les extrémités aux anneaux de
court-circuit.
● Une autre technique consiste à couler sous pression, en une
seule fois, tous les conducteurs et les anneaux de court-circuit dans
un moule ; on utilise généralement l’aluminium, qui fond vers
700 °C, plutôt que le cuivre qui fond vers 1 100 °C.
a stator bobiné
b rotor à bagues
c rotor à cage
d schéma d'une cage d'écureuil
séparée de la tôlerie du rotor
Figure 4 – Parties principales de la machine asynchrone
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 3
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
2. Analyse du fonctionnement
sinusoïdal triphasé
permanent
Dans ce paragraphe, nous nous limitons au cas d’une machine
bipolaire à stator et rotor triphasés.
2.1 Équations de fonctionnement
en régime permanent
On considère sur la figure 5a, un moteur constitué d’un stator et
d’un rotor. Chacun porte un enroulement triphasé à deux pôles,
conforme à la conception des enroulements à champ tournant.
Les trois enroulements statoriques sont alimentés par des tensions triphasées équilibrées et directes u1, u 2, u 3 ; les trois enroulements du rotor sont montés en étoile, et mis en court-circuit. Nous
affecterons les indices « a, b, c » aux grandeurs rotoriques.
Le but du présent paragraphe est d’établir les équations de fonctionnement de l’ensemble lorsque la vitesse de rotation est constante et que le régime des courants est établi depuis longtemps.
Nous supposerons que le niveau de saturation est suffisamment faible pour que les flux soient proportionnels aux courants. D’autre
part, nous négligerons les pertes dans le fer.
Le stator est alors défini par :
et qu’elle est développable en série de Fourier ; si on la réduit à son
fondamental, elle s’écrit :
M a1 = M 0 cos q
(2)
M0 étant une constante.
Par symétrie, les neuf mutuelles inductances, que l’on peut définir
entre les trois enroulements du stator et les trois enroulements du
rotor, sont alors définies dans le tableau 1.
Tableau 1 – Mutuelles inductances entre enroulements
du stator et enroulements du rotor
a
b
c
1
M0 cos q
2p
M 0 cos æè q + -------öø
3
2p
M 0 cos æè q Ð -------öø
3
2
2p
M 0 cos æè q Ð -------öø
3
M0 cos q
2p
M 0 cos æè q + -------öø
3
3
2p
M 0 cos æè q + -------öø
3
2p
M 0 cos æè q Ð -------öø
3
M0 cos q
Nous appellerons u la tension qui apparaît entre les deux points
communs du rotor (figure 5b).
Dans ces conditions, la recherche des courants statoriques et
rotoriques, dans les conditions fixées ci-dessus, peut se ramener à
la résolution du système suivant :
Ls : inductance propre de l’une des phases ;
R : résistance de l’une des phases ;
Ms : mutuelle inductance entre deux phases statoriques.
Lr, r, Mr sont les grandeurs correspondantes pour le rotor.
On posera, en outre :
L = Ls Ð Ms
< = Lr Ð Mr
d
u 1 = Ri 1 + ------ [ L s i 1 + M s ( i 2 + i 3 ) ]
dt
2p
2p
d
+ M 0 ------ i a cos q + i b cos æ q + ------- ö + i c cos æ q Ð ------- ö
è
è
3 ø
3 ø
dt
d
u 2 = Ri 2 + ------ [ L s i 2 + M s ( i 1 + i 3 ) ]
dt
La mutuelle inductance entre les phases a et 1 est définie par
l’angle q que font entre elles ces deux phases. Il est facile de voir que
cette mutuelle Ma1 (q ) est telle que :
M a1 ( q ) = M a1 ( Ð q )
2p
2p
d
+ M 0 ------ i a cos æ q Ð ------- ö + i b cos q + i c cos æ q + ------- ö
è
è
3 ø
3 ø
dt
2p
2p
d
+ M 0 ------ i a cos æ q + ------- ö + i b cos æ q Ð ------- ö + i c cos q
è
è
3 ø
3 ø
dt
p
M a1 æè ---öø = 0
2
c
3
b
ia
a
a enroulements du moteur
2p
2p
d
+ M 0 ------ i 1 cos æ q + ------- ö + i 2 cos q + i 3 cos æ q Ð ------- ö
è
è
3 ø
3 ø
dt
u
b représentation du rotor
Figure 5 – Machine asynchrone : schéma de principe
D 3 480 - 4
(6)
d
u = ri b + ------ [ L r i b + M r ( i a + i c ) ]
dt
ib
ic
2
(5)
d
u = ri a + ------ [ L r i a + M r ( i b + i c ) ]
dt
d
2p
2p
+ M 0 ------ i 1 cos q + i 2 cos æ q Ð ------- ö + i 3 cos æ q + ------- ö
è
è
dt
3 ø
3 ø
θ
(4)
d
u 3 = Ri 3 + ------ [ L s i 3 + M s ( i 1 + i 2 ) ]
dt
M a1 ( q ) = Ð M a1 ( q + p )
1
(3)
(7)
d
u = ri c + ------ [ L r i c + M r ( i a + i b ) ]
dt
2p
2p
d
+ M 0 ------ i 1 cos æ q Ð ------- ö + i 2 cos æ q + ------- ö + i 3 cos q
è
è
3 ø
3 ø
dt
(8)
ia + ib + ic = 0
(9)
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
■ Nous sommes ici en présence d’un système d’équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients périodiques dépendant du
temps, valables en toutes circonstances sous réserve des hypothèses faites (linéarité des circuits magnétiques, loi de variation des
mutuelles en fonction de q ). Pour le résoudre dans les conditions
spécifiées plus haut (tensions statoriques triphasées équilibrées
directes, vitesse constante, régime établi depuis longtemps), nous
essaierons une solution telle que les courants statoriques forment un système triphasé équilibré direct, c’est-à-dire de la forme :
i 1 = Iö s cos ( wt Ð j )
2p
i 2 = Iö s cos æè wt Ð j Ð -------öø
3
avec
3 M 0 gw Iö s
1
Iö r = -------------------------------- ----------------------------------------------2
[ r 2 + ( g w < )2 ]1 ¤ 2
et
g w <
w <
tan y r = --------------- = ---------r
r¤g
A ce point de la démonstration, on connaît donc les courants rotoriques en fonction des courants statoriques, mais à condition de
vérifier que ces derniers possèdent la propriété qu’on leur a supposée.
Calculons, dans ces conditions, les flux j 1r, j 2r, j 3r créés par le
rotor à travers les phases 1, 2, et 3 du stator :
2p
i 3 = Iö s cos æè wt Ð j + -------öø
3
2p
2p
j 1 r = M 0 i a cos q + i b cos æè q + ------- öø + i c cos æè q Ð ------- öø
3
3
Appelons alors j as, j bs et j cs les flux induits par le stator dans
les phases a, b, c du rotor :
ì
2p
2p
j as = M 0 í i 1 cos q + i 2 cos æè q Ð ------- öø + i 3 cos æè q + ------3
3
î
öü
øý
þ
Iö r
p
= 3 M 0 ------- cos æ g w t Ð j Ð q 0 Ð y r + --- + q ö
è
ø
2
2
Compte tenu de la définition de g et q 0 [cf. relation (10)], il
s’ensuit :
Iö s
= 3 M 0 ------- cos ( wt Ð j Ð q )
2
Iö r
p
j 1 r = 3 M 0 ------- cos æè w t Ð j Ð y r + --- öø
2
2
Comme nous avons supposé la vitesse constante, il est utile, ici,
d’introduire la notation
q = ( 1 Ð g ) wt + q 0
(10)
où g est une constante qui caractérise la vitesse, et que nous appellerons glissement, reprenant ainsi un terme défini au
paragraphe 1.2, et q 0 une position à l’origine des temps. D’où,
l’expression du flux :
j as
Iö s
= 3 M 0 ------- cos ( gwt Ð j Ð q 0 )
2
De la même façon, on a :
j bs
Iö r
p 2p
j 2 r = 3 M 0 ------- cos æè w t Ð j Ð y r + --- Ð ------- öø
2
2 3
Iö s
2p
= 3 M 0 ------- cos æ g w t Ð j Ð q 0 Ð ------- ö
è
3 ø
2
Iö r
p 2p
j 3 r = 3 M 0 ------- cos æè w t Ð j Ð y r + --- Ð ------- öø
2 3
2
Il en résulte que les flux j 1r, j 2r, j 3r forment un système triphasé
équilibré et direct, ainsi que leurs dérivées.
Ainsi, il existe bien un ensemble de trois courants statoriques triphasés dont les expressions satisfont toutes les équations.
■ Il nous reste à mettre les calculs ci-dessus sous des formes plus
utilisables couramment. Nous allons procéder pour cela en plusieurs étapes.
● En supposant que u1 est l’origine des phases :
Iö s
2p
j cs = 3 M 0 ------- cos æè g w t Ð j Ð q 0 + ------- öø
3
2
u 1 = Uö cos wt
Par conséquent, les trois flux (j a s, j bs , jcs ) forment un système
triphasé équilibré direct si g > 0 ; il en est de même de leurs dérivées.
nous avons à déterminer Iö s , j , Iö r et y r. Ces grandeurs sont liées
par les relations suivantes :
Si g < 0, on voit que l’ordre de succession des phases est « a,c,b »
au lieu de « a,b,c » : on dit que le système est inverse. Il est facile de
voir qu’un système inverse a des propriétés semblables à celles
d’un système direct (cf. article Réseaux électriques linéaires. Multidipôles linéaires actifs).
d
cos wt = æ R + L ------ ö Iö s cos ( wt Ð j )
è
dt ø
Donc, si l’on additionne les équations (6), (7) et (8), en tenant
compte de (9), on trouve :
d
p
0 = æ r + < ------ö Iö r cos æ g w t Ð j Ð y r Ð q 0 Ð ---ö
è
è
d tø
2ø
3u=0
3 M0 d
p
+ ------------ ------ Iö r cos æ wt Ð j Ð y r Ð ---ö
è
2 dt
2ø
3M d
+ -----------0- ------ [Iö s ( g w t Ð j Ð q 0 ) ]
2 dt
■ On constate, alors, que les courants rotoriques forment un système triphasé à la pulsation g w :
p
i a = Iö r cos æè g w t Ð j Ð q 0 Ð y r Ð --- öø
2
p 2p
i b = Iö r cos æè g w t Ð j Ð q 0 Ð y r Ð --- Ð ------- öø
2 3
p 2p
i c = Iö r cos æè g w t Ð j Ð q 0 Ð y r Ð --- Ð ------- öø
2 3
Si, maintenant, nous convenons de représenter toute grandeur de
la forme :
X = Xö cos ( W t Ð x )
par :
Xö
X = ------- exp j ( W t Ð x )
2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 5
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
Enfin, si l’on note que ia, ib, ic, d’une part, et jas, jbs, jcs, d’autre
part, forment des systèmes triphasés équilibrés directs, les parties
variables correspondantes de g (t ) doivent nécessairement s’annuler à tout instant, ce qui montre que g (t ) est constant et égal à sa
valeur moyenne G.
on définira :
Uö
U = ------- exp ( j w t )
2
Iö s
I = ------- exp j ( w t Ð j )
2
2.2 Schéma équivalent
Iö r
p
i = ------- exp j æè w t Ð y r Ð --- öø
2
2
Ces grandeurs sont liées par :
3 M0 w
U = ( R + j Lw ) I + j -----------------2
3 M0 g w
0 = j æ --------------------------- ö I + ( r + j< gw ) i
è
ø
2
i
(11)
Il est habituel de réduire les équations d’une phase de la machine
[relations (11) et (12)] à celles du circuit de la figure 6. A cet effet, on
pose :
i = K I2
exp j [ ( 1 Ð g ) w t Ð q 0 ]
(14)
K étant un nombre réel non nul, et l’on multiplie l’équation (12) par
K.
ou
Si l’on pose :
3 M0 w
r
0 = j æ --------------------- ö I + æ --- + j < wö i
è
ø
èg
ø
2
R2 = K 2 r
(12)
Ces dernières expressions (11) et (12) permettent de calculer I et
i , en fonction de toutes les données, puis de remonter aux courants i1, i2, i3, ia, ib, ic. Il est cependant usuel de les déterminer par un
« circuit équivalent » que nous déterminerons paragraphe 2.2.
● Il est maintenant nécessaire de déterminer le couple développé
par la machine. A cet effet, nous l’exprimerons sous la forme :
(15)
3 M0 w
X m = --------------------- K
2
x1 = w L Ð Xm
x2 = K 2 < w ÐXm
on voit que les équations (11) et (12) deviennent :
¶ j as
¶ j cs
¶ j bs
g ( t ) = i a -------------- + i b ------------- + i c -------------¶ q
¶ q
¶ q
U = ( R + j x1 ) I + j Xm ( I + I 2 )
les dérivées partielles par rapport à q étant prises pour des courants
statoriques constants ; c’est-à-dire, on a, par exemple :
R
0 = j X m ( I + I 2 ) + æ -----2- + j x 2ö I 2
èg
ø
3 M 0 Iö s
¶ j as
------------- = --------------------- sin ( w t Ð j Ð q )
2
¶ q
qui sont précisément les équations du circuit de la figure 6 qui est
dit circuit équivalent à une phase de la machine asynchrone.
La première chose que nous remarquons est que le circuit équivalent absorbe le même courant qu’une phase du moteur sous la
même tension (et, naturellement, pour la même valeur de g ) ; il
absorbe donc la même puissance active et la même puissance réactive.
et donc :
d j as
¶ j as d q ¶ j as
--------------- = ------------- + ------- -------------dt ¶ q
dt
¶t
Par ailleurs, comme R1 est la résistance d’une phase du moteur,
R1 I 2 est égal aux pertes Joule par phase du stator.
prend une forme un peu particulière telle que :
¶
¶
d
------ = [ ( 1 Ð g ) w Ð w ] ------ = Ð gw -----¶q
¶q
dt
En outre, les formules (14) et (15) :
i = K I2
Cela permet d’évaluer la valeur moyenne de i a ( ¶ j as ¤ ¶ q ) par
l’intermédiaire de la valeur moyenne de i a ( d j as ¤ d t ) : on peut
évaluer cette dernière valeur en multipliant par ias la relation :
d j as
d
0 = æ r + < ------ö i as + -------------è
d tø
dt
K 2 r = R2
entraînent :
ri 2 = ( K I 2 ) 2 ( R 2 ¤ K 2 ) = R 2 I 22
ce qui donne :
ce qui montre que l’étude du circuit équivalent permet de déterminer les pertes Joule au rotor.
d j as
d i as
2 > + < < i ---------Ð < i as ------------- > = < ri as
as d t - >
dt
On notera que le produit d’une fonction sinusoïdale du temps,
telle que i as, par sa dérivée a une valeur moyenne nulle. Il résulte de
tout cela que la valeur moyenne de i as ( ¶ j as ¤ ¶ t ) est égale aux pertes par effet Joule dans la phase divisée par g w.
Le même raisonnement vaut évidemment pour les phases b et c
du rotor.
R1
x1
x2
I
U
Xm
I2
R2
g
Si on appelle PJr les pertes Joule rotoriques, on obtient donc :
G =
D 3 480 - 6
P Jr
< g ( t ) > = ---------g w
(13)
Figure 6 – Circuit équivalent à un moteur asynchrone
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
Nous pouvons maintenant faire le bilan suivant, pour un moteur
bipolaire. Pour une tension par phase U, il absorbe un courant I
sous un facteur de puissance cos j.
La puissance totale absorbée est :
contenterons d’étendre sans justification les résultats précédents,
mais en leur donnant, au passage, certaines interprétations physiques. Nous admettrons également que les mêmes résultats sont
applicables aux machines à cage (cages simples et encoches normales ).
P a = 3 U I cos j
Les pertes Joule au stator étant :
P Js = 3 R 1 I 2
3.1 Fréquence de glissement
(16)
on appelle puissance transmise à travers l’entrefer la différence :
P e = P a Ð P Js
D’après la loi de conservation des puissances dans le circuit équivalent (figure 6), cette puissance peut s’exprimer également par :
R2
P e = 3 ------ I 22
g
(17)
P Jr = 3 R 2 I 22
(18)
P Jr = g P e
(19)
on remarque que
que l’on s’exprime en disant que les pertes Joule au rotor sont égales à la puissance transmise multipliée par le glissement.
Or, d’après la formule (13), le couple de la machine bipolaire est :
P Jr
G = --------g w
(20)
ce que l’on exprime en disant que, pour une machine bipolaire, le
couple est égal à la puissance transmise à travers l’entrefer divisée
par la vitesse de synchronisme.
Quant à la puissance mécanique sur l’arbre, elle est bien entendu
égale au couple G multiplié par la vitesse angulaire de l’arbre
(1 – g) w ; elle est donc donnée par :
(21)
Par comparaison avec les formules précédentes concernant Pe et
PJr, on trouve bien :
P e = P m + P Jr
ws = w ¤ p
(nous avons fait les calculs du paragraphe 2 avec p = 1).
Si le rotor tourne à une vitesse w r différente de la vitesse de synchronisme, ses enroulements embrassent, alors, un flux statorique
variable dont la pulsation est :
p ( w s Ð w r)
La différence de vitesses w s – w r est appelée vitesse de glissement du rotor par rapport au stator, et sa valeur relative par rapport
à w s est appelée glissement :
( w s Ð w r)
w
g = ---------------------- = 1 Ð ------r
ws
ws
on peut donc aussi l’écrire :
Pm = ( 1 Ð g ) w G .
Ceux-ci créent un champ tournant à la vitesse dite de synchronisme :
Si le rotor tourne à une vitesse égale à w s, chacun de ses enroulements embrasse un flux statorique constant et n’est donc le siège
d’aucune force électromotrice.
Comme les pertes Joule rotoriques sont égales à :
P
G = -----ew
Supposons qu’un moteur à induction à p paires de pôles absorbe
des courants triphasés équilibrés.
(22)
c’est-à-dire que toute la puissance qui traverse l’entrefer est transformée soit en pertes par effet Joule soit en puissance mécanique.
3. Caractéristiques de
fonctionnement à tension
et fréquence constantes
Tous les calculs faits au paragraphe 2.2 se généralisent facilement
au cas de machines à p paires de pôles au stator et au rotor. En fait,
le plus difficile est de bien décrire la machine et d’en déduire que les
termes en cos q doivent être remplacés par des termes en cos p q.
De tels développements alourdiraient cet article, qui est plutôt destiné à faire comprendre les applications. C’est pourquoi nous nous
(23)
La pulsation des phénomènes rotoriques est alors g w et est appelée pulsation de glissement.
De cette définition, il résulte que g est positif si w r < w s .
Comme les courants rotoriques sont à la pulsation de glissement
et qu’ils forment un système triphasé équilibré direct, ils engendrent
un champ tournant à la vitesse g w / p par rapport au rotor ; comme
celui-ci tourne à la vitesse (1 – g) w / p par rapport au stator, le
champ rotorique tourne, par rapport au stator, à la vitesse :
(1 Ð g) w g w
w
------------------------ + ---------- = ---p
p
p
(24)
c’est-à-dire qu’il est immobile par rapport au champ statorique.
3.2 Circuit équivalent :
définition et propriétés
Nous admettons que, si nous négligeons les imperfections du fer
(saturation, pertes par hystérésis et courants de Foucault) et si la loi
de variation des mutuelles inductances peut se réduire aux premiers
harmoniques, toute machine à induction possède un circuit équivalent par phase qui est représenté par la figure 7a.
Pour des valeurs données de la tension d’entrée par phase U et du
glissement g, le moteur absorbe une puissance :
P a = 3 Re ( U I * )
I * étant la valeur conjuguée de I .
Le stator dissipe par effet Joule une puissance [cf. relation (16)] :
P Js = 3 R 1 I 2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 7
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
Une partie de cette puissance, égale à 3 R 2 I 22 est dissipée en pertes Joule dans le rotor [cf. relation (18)] :
Naturellement, une partie de la puissance mécanique Pm sert à
vaincre les frottements créés à l’intérieur même de la machine : frottements dans les paliers, mais surtout frottements aérodynamiques
créés par les inévitables ventilateurs de refroidissement qui aident à
l’élimination de l’énergie thermique dans le milieu ambiant. Si Pmec
représente la valeur correspondante des pertes mécaniques, la
puissance utile Pu est :
P Jr = 3 R 2 I 22
P u = P m Ð P mec .
et transmet au rotor, à travers l’entrefer, une puissance (cf. relation (17)] :
R 2 I 22
3
P e = P a Ð P Js = -------------------g
elle est donc reliée à Pe par [cf. relation (19)] :
Ce bilan de puissance est représenté figure 7b.
P Jr = g P e
Le reste de la puissance tranmise à travers l’entrefer est transformée en puissance mécanique sur l’arbre [cf. relation (22)] :
P m = P e Ð P Jr
d’où :
Pm = ( 1 Ð g ) Pe
(25)
Comme la vitesse angulaire de l’arbre est, par définition de g,
égale à (1 – g ) w / p (§ 3.1), le couple électromagnétique sur
l’arbre est :
Pm
G = ---------------------------------(1 Ð g)(w ¤ p)
d’où
Pe
G = ---------w¤p
(26)
formule très importante que l’on exprime en disant que le couple est
égal à la puissance transmise divisée par la vitesse de synchronisme.
Comme [relation (19)] :
P Jr = g P e
Il faut remarquer que si PJs et Pmec étaient négligeables, le rendement du moteur serait égal à 1 – g : c’est exactement le cas considéré paragraphe 1.2.
3.3 Caractéristiques approximatives
de fonctionnement d’un moteur
à tension et fréquence constantes
Appliquons les considérations précédentes à un moteur tel que U
et w soient maintenus constants.
Exemple : avec les valeurs numériques de la figure 8a en ajoutant
que la fréquence est 50 Hz et que p = 2, nous obtenons les courbes de
variations du couple (figure 8b), du courant (figure 8c) et du facteur de
puissance cos j (figure 8d).
Ces allures de courbes sont tout à fait représentatives des cas
usuels.
Comme les formules complètes sont assez compliquées, il est difficile de se faire rapidement une idée des ordres de grandeurs. Pour
y arriver, il est nécessaire de bien comprendre les approximations
numériques admissibles et leurs limites. Cela est vrai, bien entendu,
dans la plupart des situations pratiques où se trouvent les physiciens et les ingénieurs.
et comme la vitesse de glissement est, par définition, g fois la
vitesse de synchronisme [relation (23)], le couple est aussi le quotient des pertes Joule au rotor par la vitesse de glissement.
P Jr
G = ----------------g w¤p
jω,2
I
I2
jω,m
U
0,125
U = 127 V
jω,1
R1
(27)
1j
I
Γ (Nm)
2j
I2
0,35
g
30 j
20
0
a valeurs numériques
particulières (en ohms)
pour l'établissement
des courbes :
p = 2 ; f = 50 Hz
R2
g
ωs
ωr
b variation du couple
en fonction de la vitesse
cos ϕ
a circuit équivalent général
I (A)
0,5
Pa
Stator
Pe
Rotor
Pm
Pu
20
0
PJ s
PJr
Pmec
b bilan des puissances
Figure 7 – Moteur à tension et fréquence constantes :
circuit équivalent et bilan de puissances
D 3 480 - 8
ωs
c variation du courant
en fonction de la vitesse
ωr
0
ωs
ωr
d variation du facteur de puissance
en fonction de la vitesse
Figure 8 – Moteur à tension et fréquence constantes :
caractéristiques de fonctionnement pour un exemple numérique
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
U
N
O'
■ Supposons que nous entraînions la machine à une vitesse supérieure à w s (c’est-à-dire g < 0). Le champ tournant statorique tendra
alors à ramener la vitesse de l’arbre au synchronisme ; un fonctionnement à glissement négatif suppose, par conséquent, que la
machine reçoive de l’énergie sur son axe ; conformément à nos
notations, la puissance mécanique Pm et le couple G sont donc tous
deux négatifs. Cependant, si l’on calcule la puissance absorbée Pa,
on la trouve généralement négative, car la puissance à travers
l’entrefer
O
ϕ
1
2
R
R1 + g2 I
j (ω,1 + ω,2) I
P e = 3 R 2 I 22 g
M
m
est négative. Il en résulte que la machine fonctionne en génératrice.
■ Nous constatons ainsi que si une machine à induction alimentée
à fréquence constante tourne à la vitesse de synchronisme, elle
fonctionne à vide, c’est-à-dire qu’elle ne transforme aucune énergie
(aux pertes près).
Figure 9 – Moteur à tension et fréquence constantes :
diagramme pour l’étude approximative
Dans le cas considéré, nous notons que généralement :
R1
Çw
Si, à partir de cet état, on exerce un couple résistant sur l’arbre,
elle ralentit, ce qui lui permet d’absorber une énergie électrique
qu’elle transforme (au rendement près, qui est au plus égal à 1 – g)
en énergie mécanique.
<1 + w <2
w <1 + w <2
Ç w Lm
et le plus souvent w < 1 + w < 2 est de l’ordre de 7 à 15 % de w L m .
On peut donc envisager de négliger le courant dans la réactance
w Lm (figure 7a), ce qui permet de déterminer I par le diagramme
de la figure 9 ; on note alors que la puissance absorbée par le
moteur, lorsque g varie de 0 à l’infini, est représentée par la longueur MN : en effet, j est le retard de I sur U , et on a :
U sin j
I = --------------------------------w <1 + w <2
On dit donc que la machine à induction est réversible
puisqu’elle peut travailler en moteur ou en génératrice.
■ Supposons, maintenant, que le rotor tourne en sens inverse du
sens du champ tournant ; alors :
w r < 0 et g > 1
Bien entendu le champ statorique tend à amener le rotor à tourner
dans son propre sens. Ainsi, avec nos notations, Pm doit être négative car G et w r sont de signes opposés : la machine reçoit de la puissance mécanique sur son arbre.
donc la puissance absorbée
P a = 3 U I cos j
est ici proportionnelle à MN puisque :
MN = U sin j cos j
Il en résulte que, au point m, la puissance absorbée est maximale,
et il en est pratiquement de même de la puissance Pe ; or le glissement correspondant à m et à peu près :
R2
g m = -------------------------------w <1 + w <2
Si au contraire, à partir du même état, on exerce sur l’arbre un
couple moteur, elle accélère, ce qui lui permet de développer un
couple résistant et d’absorber une énergie mécanique qu’elle restitue au réseau électrique (au rendement près).
(28)
Répétons que toute approximation doit être utilisée prudemment,
et adaptée si nécessaire.
3.4 Fonctionnements en génératrice
et en frein. Réversibilité
Revenons à la définition du glissement [relation (23)] :
w
g = 1 Ð -------rws
■ Si 0 < w r < w s , on a alors :
1>g>0
c’est-à-dire que la vitesse de la machine est comprise entre 0 (arrêt)
et la vitesse de synchronisme. Les lois fondamentales de la physique indiquent que, dans ce cas, le champ du stator tend à accélérer
le rotor pour l’amener au synchronisme : la machine fonctionne en
moteur comme nous l’avons vu au paragraphe 3.3.
Simultanément, Pe est positive, puisque g est positif. Le rotor
reçoit donc à la fois de l’énergie électrique du stator et de l’énergie
mécanique de l’arbre ; le tout doit être dissipé en pertes par effet
Joule.
On dit que la machine fonctionne en frein.
3.5 Puissance réactive absorbée
par une machine à induction
Appliquons le théorème de Boucherot (cf. article Réseaux électriques linéaires) au circuit équivalent à la machine asynchrone
(figure 6).
La puissance active absorbée est :
R 2 I 22
R 1 I 2 + ------------- ;
g
elle peut être positive ou négative suivant la valeur de g.
La puissance réactive absorbée est égale à :
x 1 I 2 + x 2 I 22 + X m ( I + I 2 ) 2
et elle est toujours positive.
Cette remarque est d’importance capitale dans le choix des onduleurs destinés à l’alimentation à fréquence variable. Elle montre
qu’une machine asynchrone ne peut être associée à un pont de
Graetz à commutation naturelle ; en effet, un tel pont consomme
toujours de l’énergie réactive et devrait être complété par une batterie de condensateurs. On doit donc utiliser un pont entièrement
réversible.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 9
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
3.6 Diagrammes circulaires
d’impédance et d’admittance
Durant plusieurs décennies, le manque de moyens de calcul a
rendu très pénibles les calculs relatifs à la puissance et au couple
tels que nous les avons présentés paragraphe 3.2. Cependant, il se
trouve que des méthodes graphiques relativement simples à appliquer peuvent être développées. Nous allons donc les examiner. Leur
intérêt, dans le cadre présent, est de bien faire comprendre l’allure
générale des caractéristiques de fonctionnement.
Réactances (ou imaginaires)
M0
Mg
β
M'g
2
Xm
Xm + x1
Xm + x2
α
L’impédance d’entrée d’une machine à induction (ou de son circuit équivalent) fonctionnant à fréquence constante :
j Xm ( ( R2 ¤ g ) + j x2 )
Z = R 1 + j x 1 + ----------------------------------------------------( R2 ¤ g ) + j ( Xm + x2 )
M1
M∞
x'
peut être considérée comme une fonction homographique complexe d’une variable réelle : g, 1 / g ou R2 / g.
0 R
1
Résistances (ou réels)
Il en est de même du courant absorbé
I (g) = U ¤ Z
x ' = x1 +
si U et la fréquence sont constants.
Par conséquent, en vertu des propriétés décrites dans l’annexe 1
(§ 6.1), les points Mg, image de Z ( g ) , et Pg, image de I ( g ) , décrivent des cercles. Chacun de ces deux lieux peut être muni d’une ou
plusieurs échelles linéaires en g ou en 1 / g. En outre, ces lieux sont
étroitement liés puisque Pg est le symétrique (par rapport à l’axe des
réels) de l’inverse Mg dans une inversion géométrique dont le centre
est l’origine (et dont la puissance dépend à la fois de U et des échelles utilisées pour les impédances et les courants).
tan β =
Xm x2
Xm + x2
R2
g (Xm + x2)
=
1
tan α
Il faut noter que les points M'g situés à gauche de M0 M∞
correspondent à des valeurs négatives du glissement.
Figure 10 – Diagramme d’impédance d’un moteur asynchrone
■ Le cercle des impédances est très simple à tracer. En effet,
l’affixe de M0 est :
Z ( 0 ) = R1 + j ( x1 + Xm )
Réels
U ; Ia
PG = 0,117
d’où on déduit que :
2
Xm
Z ( g ) Ð Z ( 0 ) = -------------------------------------------------------( R2 ¤ g ) + j ( Xm + x2 )
et, en posant
Pg
0,05
ϕg
Ãg''
Ãg'
Imaginaires
R2
tan b = ------------------------------g ( Xm + x2 )
Droite de la puissance
mécanique Pm
0,5
1
P∞
les
Ãg
0 P0
Génératrice
on voit que
2
Ðj Xm
Z ( g ) Ð Z ( 0 ) = --------------------- exp ( j b ) cos b .
Xm + x2
Frein
Droite des coup
Ir
--0,5
10 A
--0,05
--0,12
Comme
Xm x2
Z ( ¥ ) = R 1 + j æè x 1 + --------------------- öø
Xm + x2
il en résulte que Mg décrit un cercle de diamètre M0 M¥ , parallèle
à l’axe des réactances, comme indiqué sur la figure 10.
■ En ce qui concerne le diagramme dit d’admittance, lieu de Pg, le
plus simple est de le déterminer par P0, P¥ et un troisième point PG.
Pour ce troisième point, il est intéressant, comme on va le voir plus
loin, de choisir la valeur particulière [relation (28)] :
gm = R2 ¤ ( x1 + x2 )
Un tel diagramme est tracé figure 11, où l’on a représenté verticalement l’axe des réels comme cela est traditionnel dans la littérature
spécialisée.
D 3 480 - 10
Les valeurs correspondent à l'exemple de la figure 8.
Les valeurs le long de la circonférence sont les valeurs du paramètre
adimensionnel g.
Figure 11 – Diagramme d’admittance d’un moteur asynchrone
Par définition, si U est l’origine des phases, 0 Pg représente I g
en module et en phase. Comme la puissance active Pa absorbée par
le moteur est égale à 3 U Ig cos jg, elle est proportionnelle à
v g P g ; elle est négative lorsque Pg passe sous l’axe des imaginaires : c’est le fonctionnement en génératrice.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
Pour une raison analogue, 0 v g représente, à une certaine
échelle, la puissance réactive absorbée ; celle-ci est toujours de
même signe, puisque le cercle d’admittance est situé tout entier à
droite de l’axe des réels ; nous avions déjà fait cette remarque au
paragraphe 3.5.
Frein
50
1 500 2 250
N (tr/min)
1 324
--50
g%
150
Il reste à déterminer le coefficient de proportionnalité entre
v¢g P g et Pe : nous admettrons que ce coefficient est extrêmement
proche de celui qui lie v g P g à Pa. On peut également démontrer
que v g² P g représente la puissance mécanique Pm sur l’arbre, le
coefficient de proportionnalité étant très peu différent des précédents.
100
50
11,7 0 12
--50
Les valeurs correspondent, comme pour la figure 11,
à l'exemple de la figure 8.
En tireté : même courbe pour une valeur
trois fois plus grande de R2 (cf § 4.2)
Figure 12 – Courbe couple-vitesse d’une machine asynchrone
R1
I
I g = U ¤ Z (g )
0
--375
Nous pouvons noter que pour g = 0 et g = ¥ la puissance transmise est nulle : donc P0 et P¥ appartiennent à cette droite.
Le cercle d’impédance ne dépend pas de R2, puisqu’il est
défini par x ‘, Xm + x1 et R1 ; mais la position du point Mg en
dépend, puisque tan b est proportionnel à R2 / g.
Par ailleurs :
Générateur
Γ (Nm)
La puissance transmise à travers l’entrefer est égale à la puissance absorbée (proportionnelle à v g P g moins les pertes Joule au
rotor (proportionnelles à I g2 , c’est-à-dire (0 Pg)2 ; comme Pg est lié à
un cercle, nous sommes dans les conditions de l’annexe 2 (§ 6.2). La
puissance Pe, et par conséquent le couple G, est proportionnelle à la
distance Pg à une droite dite droite des puissances transmises ou
droite des couples, qu’il nous faut maintenant déterminer.
■ Il en résulte, en particulier, que la courbe du couple en fonction de
la vitesse N varie comme indiqué sur la figure 12. On notera que les
extremums de cette courbe correspondent aux points du diagramme d’admittance les plus éloignés de P0 P¥ ; c’est pourquoi
nous avons recommandé de tracer le diagramme d’admittance, en
partant du schéma équivalent, en le définissant par les trois points
qui correspondent à g = 0, gm et g = ¥.
Moteur
U
x '2
R1
I 2'
I
R2'
g
Xm
'
x '1'
Xm
''
U
a
I 2''
R2''
g
b
Figure 13 – Machine asynchrone : circuits équivalents particuliers
donc le cercle d’admittance est indépendant de R2, mais sa graduation en dépend.
3.7 Principaux schémas équivalents
utilisés en pratique
3.8 Moteurs à résistance statorique
négligeable
On dit que R1 est négligeable lorsque :
Pour aboutir à la définition du circuit équivalent, nous avons
manipulé les équations (11) et (12), en introduisant une constante
réelle arbitraire non nulle K.
■ Si on choisit pour K la valeur particulière :
w L
K ¢ = --------------------------3 M0 w ¤ 2
R I
3 M0 w ¤ 2
K ² = --------------------------w L
on obtient le circuit de la figure 13b.
■ Si K appartient à l’intervalle [K ’’, K ’], x1, x2, Xm sont tous trois
positifs ou nuls ; sinon, on arrive à des circuits qui comportent au
moins une inductance négative. De tels circuits sont tout à fait utilisables, mais sont choquants pour des ingénieurs.
U
Dans ce cas, le calcul du couple peut se faire très simplement par
utilisation du circuit équivalent de la figure 13a. En effet, d’après les
relations (27) et (18), on a :
3 R 2¢
G = ----------- -------- I 2¢ 2
w¤p g
on obtient le circuit équivalent de la figure 13a.
■ En choisissant pour K la valeur :
Ç
U
mais I 2¢ » --------------------------------------- .
( R 2¢ ¤ g ) + j x 2¢
On a donc :
R 2¢ U 2
3
G » ----------- ---------------------------------------------2
w ¤ p ( R 2¢ ¤ g ) + g x 2¢ 2
qui est extremum pour
g = ± g M = ± ( R 2¢ ¤ x 2¢ )
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 11
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
■ Pour réduire le courant, on pourrait diminuer la tension d’alimentation en prévoyant un autotransformateur ou un transformateur à
plusieurs rapports. Ces procédés sont onéreux.
Si l’on pose
3
U2
G M = --- --------------------------2 ( w ¤ p ) x 2¢
■ On préfère à ces procédés le dispositif dit de démarrage
étoile-triangle. Considérons donc (figure 14b) un moteur dont les
phases du stator sont couplées successivement en étoile puis en
triangle, la tension entre phases U étant la même dans les deux cas.
on obtient alors :
2 GM
G » ----------------------g gM
-------- + ------gM g
En ce qui concerne le diagramme du cercle, on remarquera que
les points P0 et P¥, ainsi que le centre, sont situés sur l’axe des puissances réactives. En outre, les trois coefficients de proportionnalité,
définis paragraphe 3.7 sur le diagramme d’admittance, sont égaux.
4. Démarrage et contrôle
de la vitesse à fréquence
et tension constantes
La tension appliquée à chaque phase dans le premier cas est
U ¤ 3 ; dans l’autre elle est U. A glissement égal, chaque phase sera
parcourue par un courant I ¤ 3 fois moins élevé lors du couplage
en étoile que lors du couplage en triangle.
On conçoit donc le stator comme devant fonctionner en triangle,
mais on démarre en couplant ses enroulements en étoile. Lorsque le
moteur a atteint la vitesse convenable, on revient au couplage en
triangle.
La figure 14c montre une réalisation de ce dispositif. Lorsque les
contacts A, B et C sont placés à gauche, le couplage est en étoile ;
lorsqu’ils sont à droite, il est en triangle. Le couple, remarquons-le,
proportionnel au carré du courant, est trois fois plus petit dans un
cas que dans l’autre (figure 14d).
Le lecteur pourra également se reporter à l’article Moteurs asynchrones. Choix et problèmes connexes.
■ On utilise également un autre procédé pour réduire ce courant de
démarrage, en insérant un rhéostat en série avec les enroulements
du stator. Lorsque le démarrage est réalisé, les bornes de ce rhéostat sont mises en court-circuit (figure 15).
4.1 Démarrage sous tension réduite
La figure 14a donne le diagramme d’admittance habituel d’un
moteur du type industriel : le centre C et très voisin de l’axe des puissances réactives, les points P1 et P¥ sont très proches à la fois l’un
de l’autre et de cet axe. Le point Pn, correspondant au glissement
nominal gn , est situé dans la partie gauche du cercle de telle sorte
que O Pn (courant nominal) est très inférieur à O P1 (courant de
démarrage). Si on applique, à un moteur à l’arrêt, la tension U, le
courant absorbé dans les premiers instants du démarrage est très
supérieur au courant de marche normale. (Le rapport de ces courants est typiquement de 3 pour un moteur de 10 kW et de 5 pour un
moteur de 200 kW). Il peut en résulter un échauffement excessif du
stator et éventuellement du transformateur d’alimentation.
4.2 Démarrage par rhéostat rotorique
des moteurs à rotor bobiné
Remarquons que, sur les schémas équivalents à un moteur, R2 et
g n’interviennent que par leur rapport R2 / g et que les cercles
d’impédance et d’admittance ne dépendent pas de R2 (cf. remarque
à la fin du § 3.6). C’est la position du point correspondant à g = 1 qui
dépend de R2 c’est-à-dire la graduation de l’échelle des glissements.
L’échelle des puissances transmises, c’est-à-dire l’échelle des couples, ne dépend pas non plus de R2.
U/ 3
U
Pn
C
P0
P∞
P1
U
U
0
a définition du problème
Γ
N
A
b tension par enroulement suivant le couplage
B
C
Triangle
Étoile
Ns
c réalisation d'un commutateur
étoile-triangle
D 3 480 - 12
N
d courbes couple-vitesse suivant le couplage
Figure 14 – Moteur
asynchrone : démarrage
étoile-triangle
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
a et b moteur à double cage
Figure 15 – Moteur asynchrone : démarrage par rhéostat statorique
Supposons que nous ayons étudié toutes les caractéristiques d’un
moteur à rotor bobiné dont la résistance secondaire est caractérisée
par R2 ; utilisons les bagues représentées sur la figure 3a pour mettre en série, avec les enroulements rotoriques, un rhéostat extérieur
d’inductance propre négligeable (figure 3b). Les caractéristiques de
la machine sont inchangées, à l’exception de R2 remplacée par K R2,
K étant une constante qui ne dépend que du rhéostat. Puisque R2 ne
figure dans les équations de l’ensemble que sous la forme R2 / g , le
moteur ainsi modifié absorbera avec le même facteur de puissance
et le même couple le même courant pour un glissement Kg, que le
moteur initial pour un glissement g.
La figure 12 montre comment évolue la courbe couple-vitesse
quand R2 devient 3 R2. On voit que le couple au démarrage est beaucoup plus élevé dans le deuxième cas que dans le premier. D’autre
part, le moteur modifié absorbe, au démarrage, le même courant
que le moteur non modifié absorbait pour un glissement de 0,33.
c et d moteur à encoches profondes
Figure 16 – Différentes formes d’encoche
Γ
Cette opération (démarrage par rhéostat rotorique) permet
donc d’atteindre simultanément deux résultats : réduction du
courant absorbé et augmentation du couple au démarrage.
Lorsque le moteur aura atteint une vitesse suffisante, on réduira la
valeur des résistances extérieures jusqu’à la rendre nulle si l’on
veut. Les moteurs, pour la plupart, comportent un dispositif permettant de mettre en court-circuit les phases du rotor sans passer par
les balais qu’on peut relever lorsqu’ils sont devenus inutiles. On
évite ainsi l’usure des bagues et des balais lorsque les rhéostats
extérieurs ne sont pas utilisés.
4.3 Moteurs à encoches profondes
et moteurs à double cage
Nous venons de voir (§ 4.2) que les moteurs à rotor bobiné, plus
onéreux que les moteurs à cage, sont, par contre, plus faciles à
démarrer.
■ Or, si l’on remplace le barreau de la cage d’écureuil déjà décrite
(§ 1.3) par deux barreaux mis en parallèle, dont l’un est plus profondément enfoncé dans le fer (figure 16a), on remarque une propriété intéressante du système :
— lorsque la fréquence du courant qui parcourt les barres a une
faible valeur, c’est-à-dire lorsque le courant lui-même a une faible
amplitude, il se divise dans les deux barres en raison inverse de leur
résistance ;
au contraire, lorsque la fréquence du courant est élevée,
c’est-à-dire en particulier au démarrage, on peut montrer que le courant ne circule pratiquement que dans la barre la plus proche de
l’entrefer.
La résistance du rotor correspond donc à la section de la barre
extérieure au moment du démarrage et à la somme des deux sections lorsque la période de démarrage est achevée. Tout se passe
0
Ns
N
Figure 17 – Forme typique de courbe couple-vitesse obtenue pour
une machine asynchrone à double cage ou à encoches profondes
comme si la résistance du rotor diminuait au cours du démarrage.
On arrive au même effet qu’avec utilisation d’un rhéostat.
La figure 16b représente la demi-coupe d’un autre type de rotor à
double cage.
■ On peut aussi remplacer les deux barres par une barre unique
s’enfonçant profondément dans le fer. Le moteur est dit à encoches
profondes (figures 16c et 16d ).
■ La figure 17 représente une forme typique de courbe couple-vitesse pour ces types de moteurs.
4.4 Commande de la vitesse
par utilisation d’un rhéostat rotorique
Les caractéristiques couple-vitesse données par les figures 12 et
17 comportent une partie utile qui est sensiblement une droite
parallèle à l’axe des couples, tout comme cela se produit dans les
machines à courant continu du type à excitation composée ou du
type à excitation indépendante. La vitesse varie donc très peu
autour de la valeur Ns qui correspond au fonctionnement à vide.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 13
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
Γ
IV
III
II
Machine
à induction
I
Machine à
courant continu
Γr
V
Redresseur
a
0
Ns
Machine
à induction
N
R2 I < R2 II < R2 III < R2 IV < R2 V
Figure 18 – Réglage de la vitesse par variation de la résistance
rotorique d’un rotor bobiné
Redresseur Onduleur
Dans le cas des machines à induction, Ns est la vitesse de synchronisme correspondant à la vitesse angulaire w / p, qu’on ne peut
faire varier. Ce sont donc des moteurs fonctionnant à une vitesse
pratiquement constante. Cependant, en agissant sur R2, on peut
incliner plus ou moins la partie utile de G (N ). La figure 18 représente les courbes G (N ) d’un moteur à rotor bobiné pour des valeurs
croissantes de la résistance du rhéostat rotorique. Si Gr (N ) est la
courbe donnant le couple résistant de la machine à entraîner, on voit
que, en agissant sur R2, on définit le point de fonctionnement de
l’ensemble.
On peut donc faire varier la vitesse d’un arbre entraîné par un
moteur à induction. Mais ce moyen ne donne pas entière satisfaction ; en effet, la valeur maximale du rendement étant 1 – g, toute
diminution de vitesse ne peut s’obtenir qu’à l’aide d’une diminution
importante du rendement.
4.5 Commande de la vitesse
par soustraction d’énergie rotorique
■ Un effet identique à l’effet précédent peut être obtenu en faisant
débiter le rotor dans un système de redressement à diodes (pont de
Graetz) ; en effet, le courant débité côté alternatif est en phase avec
la tension, ce qui rend le pont équivalent à une résistance (du moins
« vu » du côté alternatif). L’énergie soustraite du rotor et transformée en courant continu peut être utilisée pour alimenter un moteur
à courant continu dont l’arbre est solidaire de celui de la machine à
induction (figure 19a) ; cette solution semble être progressivement
abandonnée.
■ Une autre solution consiste à utiliser un onduleur qui réinjecte
dans le réseau d’alimentation l’énergie soustraite au rotor
(figure 19b).
Ces méthodes ont été mises en œuvre il y a une soixantaine
d’années, alors qu’on ne disposait pas encore des éléments
semi-conducteurs modernes ; à leur place, on utilisait des machines
que l’on appelait commutatrices, changeurs de fréquence, moteurs
triphasés à collecteur. Les plus répandus de ces systèmes portaient
les noms de groupes Kramer et groupes Scherbius, noms que l’on
donne encore souvent aujourd’hui aux ensembles de la figure 19.
D 3 480 - 14
b
Figure 19 – Groupes Kramer et Scherbius
On peut envisager de changer le signe de la puissance transférée du rotor au réseau à courant continu. Le glissement de la
machine devient alors négatif, c’est-à-dire que l’on atteint des
vitesses supérieures à celle du synchronisme. La mise en œuvre
de ce principe est cependant difficile.
5. Réglage de la vitesse
par variation de fréquence
5.1 Notions de base
La vitesse de synchronisme étant proportionnelle à la pulsation w,
on peut la faire varier en faisant varier celle-ci. On peut se demander
comment variera alors la courbe couple-vitesse ; mais cette question n’a pas de sens si on ne spécifie pas la tension. Comme l’équation d’une phase du stator est :
u = r i+d j¤d t
u»d j¤d t.
Il en résulte que si um et jm sont les amplitudes de u (t ) et j (t ) :
um = w jm
ce qui montre qu’il faut faire varier la tension proportionnelle à la
fréquence (ou à peu près), si l’on veut maintenir constant le niveau
de saturation de la machine. L’examen de la figure 20 montre alors
que, si la résistance R1 est négligeable, les courants sont indépendants de la fréquence pour une vitesse de glissement g w donnée.
Cependant, la source de fréquence variable est généralement
limitée en tension (figure 21a). Cela signifie qu’à partir d’une
fréquence f m, le flux varie en fonction inverse de la fréquence. La
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
ω,1
is
1 ω2 ω
Γ
R2
g
ωLm
U = Kω
Γ
ω,2
ϕs
is
Figure 20 – Réglage de la vitesse par variation de fréquence :
schéma équivalent
ϕs
2
is
0
Γ
U
fr
Γ
IV III
II
I
0
fm
f
ωm
0
ωr
Figure 22 – Variations du couple et du courant en fonction
de la fréquence de glissement pour deux valeurs différentes
du flux statorique
a courbe tension-fréquence
fm est la fréquence à partir
de laquelle on ne peut plus
augmenter la tension
b courbes couple-vitesse
UI = UII > UIII > UIV
On règle donc is en réglant I.
Appelons W et W c la vitesse du rotor et sa valeur de consigne.
Figure 21 – Réglage de la vitesse par variation de fréquence :
courbes caractéristiques
figure 21b montre, dans ces conditions, quelques courbes couple-vitesse à tension et flux constants, limitées à leurs parties utiles.
Bien noter que w m = 2 p f m / p .
D’autre part, la relation (29) et la figure 22 fixent une relation entre
la fréquence rotorique et le courant continu I ; on élaborera donc
une valeur de consigne I c. Si I c > I > 0, il faut augmenter la tension
U aux bornes de sortie du pont P1, c’est-à-dire diminuer le retard à
l’allumage y ; c’est le rôle du régulateur de tension, qui élabore la
valeur de y.
5.2 Exemple de schéma de régulation
de vitesse pour un ensemble
à machine à induction
Nous avons montré (§ 5.1) que si le flux statorique d’un moteur à
induction est maintenu constant (ce qui est voisin d’un rapport U / f
constant), le courant statorique absorbé et le couple ne dépendent
alors que de la fréquence de glissement ; plus précisément, pour
une fréquence de glissement f r déterminée, le courant est proportionnel au flux statorique j s, et le couple est proportionnel à j 2s
(figure 22). Il en résulte que si l’on fixe à la fois les valeurs de f r et
i s, on fixe le flux j s, c’est-à-dire le niveau de saturation des différentes parties de la machine.
Cette remarque a donné lieu à de nombreux montages dont l’un
est décrit par la figure 23. Le réseau triphasé alimente un circuit à
courant continu par un pont de Graetz P1 ; le courant I est lissé par
une inductance L et envoyé sur les différentes phases de la machine
par un commutateur de courant P2. Chaque courant de phase est
donc égal à I pendant un tiers de période, puis nul pendant un
sixième de période, ensuite égal à – I pendant le tiers de période suivant ; son premier harmonique est donc de valeur efficace :
1 4
I s = ------- --- I sin 60°
2 p
Si W < W c, on veut augmenter le couple ; si l’on suppose que j s
est constant, il faut augmenter la valeur de la fréquence rotorique
f r ; c’est le rôle du régulateur de couple qui élabore une valeur de
consigne f rc pour f r ; on notera qu’il est nécessaire d’écrêter f rc si
l’on veut rester dans les zones normales d’utilisation du moteur.
L’addition de la fréquence rotorique f rc à la vitesse du rotor (à un
coefficient près qui fait intervenir le nombre de pôles) fournit la fréquence de fonctionnement du pont P2, elle-même gérée par une
commande d’allumage.
(29)
En cas de fonctionnement en récupération, f rc est négatif mais
I est positif ; pour augmenter I, il faut alors augmenter y au-delà de
p / 2 ; c’est pourquoi le signe de f rc doit être pris en compte par le
régulateur de tension.
On remarque que le flux statorique est automatiquement maintenu constant par la relation non linéaire entre f r et I. Les régulateurs de couple et de tension sont généralement de type
proportionnel-intégral.
Le procédé décrit dans ce paragraphe est généralement appelé
« autopilotage » ou « orientation indirecte du flux ». On le qualifie
de « scalaire ». Il est loin d’être le meilleur, mais il a été choisi ici
parce qu’il est le plus simple à comprendre (cf. article Alimentation
des machines asynchrones). Il peut être mis en œuvre au moyen
d’éléments analogiques (association d’amplificateurs opérationnels
associés à des éléments de circuit linéaires ou non linéaires), ou
bien au moyen d’un microprocesseur (associé à des interfaces analogiques-numériques) qui assure l’évaluation numérique des grandeurs f r et I c, et gère directement l’allumage des thyristors (ou les
commandes de base dans le cas des transistors à jonction, etc.).
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 15
MACHINES ASYNCHRONES ______________________________________________________________________________________________________________
P1
P2
I
L
~
U
A
I
+
Ωc
--
+
Ic
frc
Régulateur
de couple
Ω
--
Régulateur
de tension
Commande
d'allumage
0
+
+
Figure 23 – Commande de
vitesse par régulation scalaire
d’un moteur asynchrone
A est un dispositif de mesure du courant
6. Annexes
(d1) Échelle des x
6.1 Représentation graphique
d’une fonction homographique
complexe d’une variable réelle
Si a, b, g , d sont des constantes complexes et x une variable
réelle, on a :
a x+b
y = ------------------g x+d
fonction homographique complexe de la variable réelle x. Nous
pourrons mettre y sous la forme suivante (dite canonique) :
1
y = A + -------------------B x+C
Le but du présent paragraphe est de déterminer simplement
l’image P(x ) de y (x ).
■ Pour cela, l’astérisque indiquant la valeur conjuguée du symbole,
déterminons d’abord l’image P1 (x ) de y 1 = B * x + C * .
Nous notons que (figure 24) :
P1 ( 0 ) P1 ( x ) = x × P ( 0 ) P ( 1 )
Donc P1 (x ) décrit une droite d1.
■ Nous constatons ensuite que l’image P2 (x ) de :
1
y 2 = -----*- = y Ð A
y1
s’obtient simplement en prenant l’inverse de P1 (x ) avec l’origine
comme pôle et l’unité comme puissance.
Le lieu de P2 (x ) est donc un cercle (G1) qui est l’inverse de la
droite d1. Comme il est très simple de trouver P1 (x ) sur d1, il est
aussi très simple de localiser P2 (x ) sur le cercle (G1) ; on dit que d1
est une échelle linéaire en x pour la détermination de P2 (x ).
D 3 480 - 16
P2 (x )
P2 (1)
x
1
Imaginaires
( Γ1)
P1 (x )
a''
P1 (1)
a'
0
P1 (0)
a
0
Réels
P2 (0)
Figure 24 – Détermination des lieux décrits par les points P1 et P2
■ Enfin, notant que :
y = y2 + A
et que A = y ( ¥ ) , on voit que l’on obtient facilement P (x ) à partir
de P2 (x ) au moyen d’une translation définie par A qui amène (G1)
en (G ) et (d1) en (d) (figure 25).
La droite (d) peut être graduée linéairement en x, comme (d1) ;
bien entendu, toute droite (D) parallèle à (d) peut également être graduée linéairement en x et servir d’échelle des x.
■ Considérons maintenant un point O’ quelconque du cercle (G) et
une parallèle quelconque (D‘) à la droite O’ P(¥) ; marquons les
points m0, m1, m, qui sont les intersections avec (D’) de O’ P(0), O’ P(1),
O’ P(x ) respectivement.
Comparant maintenant la figure 26 ainsi obtenue avec la
figure 24, nous constatons que la figure formée par les quatre
points O, P1(0), P1(1), P1(x ) est géométriquement semblable à la
figure formée par les quatre points O’, m0, m1, m, parce qu’on
retrouve, sur ces deux figures, les mêmes angles a, a’, a’’. Ainsi, (D‘)
est aussi une échelle linéaire des x permettant de situer P(x ) sur son
lieu.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
______________________________________________________________________________________________________________ MACHINES ASYNCHRONES
(d) Échelle des x
Imaginaires
x
y
Γ
P (x )
x
∆
Γ
1
M
y
P (1)
x
0
x
1
Figure 27 – Détermination d’une droite des f
P (°)
0
(a et b étant constants)
P (0)
0
nous allons montrer que f est la distance de M à une droite des f.
En effet, si M est sur un cercle, on a :
0
Réels
x2 + y2 + a ¢ x + b ¢ y + g ¢ = 0
(a ’ b ’ g ’ étant constants).
Figure 25 – Détermination de P(x )
donc :
f = Ð a (a ¢ x + b ¢ y + g ¢ ) + b y
= Ax + By + C
Échelle des x
Imaginaires
x
f (M) est donc proportionnel à la distance de M à la droite :
m
P (x )
m1
a''
a'
1
f = 0 = Ax + By + C
O'
a
6.2.2 Application à la machine asynchrone
P (1)
Revenons au diagramme circulaire de la figure 11.
m0
Au point Pg, la puissance transmise à travers l’entrefer est égale à
la puissance absorbée diminuée des pertes par effet Joule au
stator :
P (°)
0
P (0)
Γ
P e = P a Ð P jst
∆'
2
= K 1 I a + K 2 OP g
0
Réels
Figure 26 – Détermination d’une autre échelle linéaire des x
■ En conclusion, l’étude graphique de y ( x ) est très simple. On
détermine d’abord les points P(0), P(¥) et P(1) d’affixes respectives b ¤ d, ( a ¤ g ) et ( a + b ) ¤ ( g + d ) , ce qui détermine le cercle (G)
lieu de l ‘image P(x ) de y ( x ) . On choisit ensuite un pôle arbitraire O’ auquel on associe une parallèle (D‘) à O’ P(¥). On gradue ensuite cette droite linéairement en x.
où Ia est l’ordonnée de Pg.
Donc Pe est proportionnelle à la distance de Pg à une droite que
nous devons déterminer. Or Pe = 0 pour g = 0 et g = ¥, donc la droite
cherchée passe par les points P0 et P¥ (figure 28).
Pe (et le couple G ) est donc proportionnel à la distance Pg à la
droite P0 P¥.
V
Ia
6.2 Existence d’une droite des couples
I
6.2.1 Théorème préliminaire
Soit (O, x, y ) un repère cartésien du plan (figure 27).
Pg
P (°)
P (0)
0
Ir
Si M(x, y ) est attaché à un cercle G et si on définit une fonction du
point M par la relation :
f (M) = a O M 2 + b y
Figure 28 – Détermination d’une droite des couples
pour une machine asynchrone
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 3 480 - 17