Transcript Exercices : Réduction

Lycée Saint-Louis-PSI1
Exercices : Réduction
1. Les affirations suivantes sont-elles vraies ou fausses.
Justifiez votre réponse .
a) A et A T ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes
ordres de multiplicité.
VRAI FAUX
b) A et AT ont les mêmes valeurs propres et les sous
espaces propres de A et AT associés à une même valeur
propre ont même dimension.
VRAI FAUX
c) Soit u ∈ l(E). Des vecteurs propres associés à des
valeurs propres non nulles sont dans Im u.
VRAI FAUX
d) La somme de deux matrices diagonalisables est
diagonalisable :
VRAI FAUX
e) La somme d'une matrice scalaire et d'une matrice
diagonalisable est diagonalisable VRAI FAUX
f) Si A ∈ Mn(IR) est nilpotente, elle est trigonalisable.
VRAI FAUX
g) Une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels telle
que # Sp(A) = n – 1 est trigonalisable.
VRAI FAUX
h) Une matrice semblable à une matrice triangulaire
inférieure est trigonalisable :
VRAI FAUX
2. Soit A ∈ Mn(IR) telle que χA(x) = (x – 1)² (x – 2)².
Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses :
a) A est d'ordre 4
VRAI FAUX
b) A est diagonalisable
VRAI FAUX
c) A est trigonalisable
VRAI FAUX
d) A est inversible.
VRAI FAUX
e) Donner un exemple de matrice diagonalisable, puis de
matrice trigonalisable vérifiant les conditions
3. Soit E l'ensemble des suites complexes convergentes.
Soit f : E → E, u = (un)n ֏ v = (vn)n , où
∀ n ∈ IN, vn = un + 1.
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de f.
4. Soient E un IK-espace vectoriel et (f , g) ∈ l(E)².
a) Si λ est une valeur propre non nulle de f o g, montrer
que λ est valeur propre de g o f.
b) Montrer que la propriété reste vraie si λ = 0 et si E est
de dimension finie.
c) Montrer que le résultat est faux si λ = 0 et E = IK[X].
5. Soit E un -espace vectoriel de dimension finie. On
suppose que u et v sont deux endomorphismes de E.
a) Si u o v = v o u, montrer que u et v ont un vecteur propre
commun.
b) Si u o v = 0, montrer que u et v ont un vecteur propre
commun.
6. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et
α ∈ * ; on suppose que (f , g) ∈ l(E)2 vérifie
f o g – g o f = α f.
a) Montrer que ∀ n ∈ IN*, f n o g – g o f n = n α f n.
b) En déduire que f est nilpotent.
7. Soit A ∈ GLn(IR). Exprimer le polynôme caractéristique
de A– 1 en fonction de celui de A. CCP PC 2004
FB/ChAL4/14/15
8. Soient A et B deux éléments de Mn( ).
a) On suppose dans cette question que A est inversible.
Montrer que A B et B A ont même polynôme caractéristique.
b) Soit r ∈ 1, n , montrer que les polynômes caractéristiques de Jr B et de B Jr sont égaux.
c) Montrer que les matrices A B et B A ont même polynôme caractéristique.
9.Diagonalisation des matrices réelles :
 −1 −4 −2 −2 
2



 −4 −1 −2 −2 
0
b)
a) 
1
2
2
1
4






2
2
4
1


0
0
1
−1
0
0
2
1
0
0

1
.
0


−1
b
b 
 a + 2c


10. Diagonaliser M =  b
a+c
c .
 b
c
a + c 

(il est conseillé d’écrire M comme combinaison linéaire
des puissances d'une même matrice J) puis calculer Mn.
11. Éléments propres de A =
3

1
1

⋮
1

1
3
0
⋮
0
1
0
3
⋮
0
⋯ 1

⋯ 0
⋱ 0

⋱ ⋱
⋯ 3 
.
12. Soit E un - espace vectoriel de dimension finie n > 0.
Soit u un endomorphisme de E de rang 1.
a) En discutant sur la dimension de Im u ∩ Ker u, montrer
que E = Im u ⊕ Ker u ou Im u ⊂ Ker u.
b) Soit e un vecteur non nul de Im u. Justifier l'existence
d'une base de E dont le premier vecteur est e.
Dans le cas où Im u ⊂ Ker u, quelle est la forme de la
matrice de u sur une telle base ?
c) Dans le cas où Im u ⊂ Ker u, montrer que Tr(u) = 0.
d) Montrer alors l'équivalence des trois assertions :
i) u est diagonalisable
ii) E = Im u ⊕ Ker u
iii) Tr(u) ≠ 0.
13. Soit M ∈ GLn( ) telle que M² soit diagonalisable,
montrer que M est diagonalisable.
14. Soient M et N deux matrices carrées d'ordre n à
coefficients dans ayant même polynôme caractéristique
et diagonalisables.
Montrer qu'il existe deux matrices A et B de Mn( ) telles
que M = A B et N = B A.
15. Soit n ∈ IN et n ≥ 2. Soit (A , B) ∈ Mn(IK)² tel que A B
soit diagonalisable.
Montrer que si A ou B est inversible, la matrice B A est
diagonalisable.
Qu'en est-il si A et B ne sont pas inversibles ?
16. Soit n ∈ IN*, E = IRn[X], et f définie par
f(P) = X (1 – X) P' + n X P.
Montrer que f est un endomorphisme de E et déterminer
ses éléments propres .
17. Montrer que les matrices
0 1 1


A =  1 0 0  et B =
 2 1 0


sont semblables. Centrale PSI 2010
0 2 1


1 0 1
0 1 0


18. Soit A ∈ M2(IR) une matrice admettant j = e 2i π / 3
comme valeur propre complexe.
3
1  −1
Montrer que A est semblable à la matrice 
.
2  − 3 −1 
Centrale PC 2010.
19. Déterminer les suites (un)n , (vn)n et (wn)n telles que
∀ n ∈ IN, un+1 = vn , vn+1 = un + wn et wn+1 = un + vn + wn .
25. Soit n ∈ IN* et A ∈ Mn(IR) telle que A3 = A + In .
Montrer que det(A) > 0.
26. Soit A ∈ M3(IR) telle que A² = A4 et {– 1 , 1} ⊂ Sp(A).
Montrer que A est diagonalisable dans M3(IR).
27. Soit A ∈ GL6(IR) telle que A3 – 3 A² + 2 A = 0 et
Tr(A) = 8. Déterminer le polynôme caractéristique de A.
28. a) Soit A ∈ Mn(IR) telle que A4 + 5 A² + 4 In , montrer
que Tr(A) = 0.
b) Soit A ∈ Mn(IR) telle que A3 = 2 A² – A, montrer que
Tr(A) ∈ IN.
29. Soit (a , b , c) ∈ IN3, a ≠ b, c ≠ 0. On suppose que
P = (X – a)(X – b) (X² + X + c) est un polynôme
annulateur de A ∈ Mn(IR).
Montrer que Tr(A) ∈ et que det(A) ≥ 0.
TPE 2009
30. Soit E un -espace vectoriel de dimension n ≥ 2.
On suppose que (f1 , … , fp) sont des éléments de l(E)
vérifiant ∀ i ∈ 1, p , fi o fi = – IdE
∀ (i , j) ∈ 1, p , i ≠ j, fi o fj + fj o fi = 0.
2
20. Si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel
de dimension finie n > 0, il existe une droite ou un plan ustable.
21. Soit A ∈ Mn(IK) diagonalisable. On définit :
c = {A ∈ Mn(IK) / A M = M A}.
Montrer que c est un espace vectoriel et en donner la
dimension.
22. Soit A ∈ Mn(IR) admettant n valeurs propres deux à
deux distinctes et B ∈ Mn(IR) telle que B2 = A.
Montrer que toute base de vecteurs propres de A est une
base de vecteurs propres de B.
Trouver toutes les matrices B ∈ M3(IR) telles que B2 = A
 11 − 5 5 


avec A =  − 5 3 − 3 .


 5 −3 3 
0 0
 1


23. Soit A =  − 9 − 2 6


 − 9 − 3 7
a) Montrer que A est diagonalisable et trouver P
de GL3 (IR) et D diagonale telles que A = P D P – 1.
(on rangera les valeurs propres de A sous forme d'une suite
croissante).
b) On cherche à déterminer B ∈ M3 (IR) telle que B² = A.
i) Montrer que A B = B A et que B est diagonalisable.
ii) Montrer que T telle que B = P T P– 1 s'écrit
C 0 
T =
 où C ∈ M2 (IR ) vérifie C² = I2 et ε² = 1.
 0 2ε 
iii) Déterminer l’ensemble des matrices B telles que
B² = A.
24. Soient A et B de Mn( ) telles qu'il existe M ∈ Mn( ),
M ≠ 0 telle que A M = M B.
Montrer que A et B ont une valeur propre commune.
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Calculer pour tout i ∈ 1, p , Tr(fi) et det(fi).
 ABA = I2
31. Résoudre dans M2(IR) le système (s) 
.
 BAB = I2
32. Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie et
u ∈ l(E). On suppose que
(u – idE)2 o (u + 2 idE) = 0 et (u – idE) o (u + 2 idE) ≠ 0.
L'endomorphisme u est-il diagonalisable ? CCP PSI 2007
33. Soit E un espace vectoriel de dimension n > 0 et
p ∈ l(E) tel que p² soit un projecteur.
a) Que pouvez vous dire du spectre de p ?
b) Montrer que p est diagonalisable ssi p.3 = p.
34. Soit n ∈ IN* et k ∈ IN*.
Soit A ∈ Mn( ) ayant n valeurs propres distinctes. Montrer
que {X ∈ Mn( ) / Xk = A} est fini de cardinal kn ou kn – 1.
35. Soit A ∈ Mn( ) telle que An = In et (In , A , … , A n – 1)
est une famille libre. Calculer Tr(A) et det(A).
36. Soit E un IK-espace vectoriel de dimension n > 0 et s
une symétrie de E de trace égale à p.
a) Montrer que n et p ont même parité.
Dans la suite, on note ϕ l'endomorphisme de l(E) tel que
∀ u ∈ l(E), ϕ(u) = s o u + u o s.
b) Montrer que ϕ est diagonalisable.
c) Déterminer les valeurs propres de ϕ et leur ordre de
multiplicité. Donner le polynôme caractéristique de ϕ.
37. Soit n ∈ IN*, A ∈ Mn( ).
Montrer qu’il y a équivalence entre :
a) A est nilpotente
b) Sp(A) = {0}
c) le polynôme caractéristique de A est Xn
d) An = 0.
2
38. Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n à coefficients dans n'ayant aucune valeur propre commune.
a) Montrer que χA(B) ∈ GLn( ).
b) Montrer que, pour toute matrice M, il existe une unique
matrice X de Mn( ) telle que A X – X B = M. CCP PSI 2004
0 − 2 2 


39. Soit A =  4 3 − 5 . A est-elle diagonalisable ?


 2 0 − 1
Si oui, la diagonaliser. Sinon, trouver une matrice triangulaire supérieure semblable à A.
40.a) Montrer que les matrices A et B sont semblables :
1
0
 3
− 2 0 0




A =  − 4 − 1 0  , B =  0 1 1 .




 4 − 8 − 2
 0 0 1
b) Trouver les sous-espaces vectoriels u-stables lorsque u
est l'endomorphisme de IR 3 canoniquement associé à A.
c) Calculer An lorsque n ∈ IN, en utilisant un polynôme
annulateur de A.
41. Soit A une matrice carrée d'ordre 3 admettant deux
valeurs propres α et β. On suppose que α est valeur propre
simple de A et β est valeur propre double de A.
Montrer que A est semblable à
α 0 0
α 0 0




D =  0 β 0  ou à T =  0 β 1  .
 0 0 β
 0 0 β




46. Soit Tn l'ensemble des matrices triangulaires
supérieures à coefficients dans et T'n l'ensemble des
matrices triangulaires supérieures dont les termes de la
diagonale sont nuls.
a) Soit A ∈ Tn , montrer que l'application ϕ définie sur Tn
par M ֏ ϕ(M) = A M – M A définit une application
linéaire de Tn dans T'n.
b) En utilisant l'exercice précédent, en déduire, si
A ∈ Mn( ), que c(A) = {M ∈ Mn( ) / A M = M A} est un
- espace vectoriel de dimension au moins égale à n.
47. Soit P = a0 + a1 X + … + an – 1 Xn –1 + Xn un
polynôme unitaire de [X] auquel on associe une matrice
 0 0 ⋯ ⋯ 0 −a0 


 1 0 ⋯ ⋯ 0 − a1 
 0 1 ⋯ ⋯ 0 − a2 
compagnon CP = 
 .
⋮ 
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮
 0 0 ⋯ 1 0 −a 
n −2


0
0
⋯
0
1
−
a

n −1 
a) Montrer que le rang de Cp vaut
n si a0 ≠ 0 et n – 1 si a0 = 0.
b) Soit λ ∈ une valeur propre de Cp ;
Montrer que rg(Cp – λ In) ≤ n – 1. En déduire la dimension
des sous-espaces propres de Cp
c) Montrer que le polynôme caractéristique de Cp est égal
à P.
Montrer que Cp est trigonalisable.
À quelle condition Cp est-elle diagonalisable ?
d) Soit λ1 , … , λp les racines distinctes de P .
p
42. Soient A, B et C des matrices carrées d'ordre n à
 A C
coefficients réels. On note M = 
.
 0 B
Donner une CNS pour que la matrice M soit une matrice
trigonalisable.
Dans ce cas, la trigonaliser.
43. Soit M ∈ Mn( ) et Q ∈ [X].
Établir que χQ(M) =
∏ (X − Q(λ))
m(λ)
.
λ∈Sp( M )
44. Soit A ∈ Mn( ). Déterminer l'ensemble des P ∈ [X]
tels que P(A) soit nilpotente.
Mines PC 2009
45. a) Soit A ∈ Mn( ) de rang 2.
Montrer qu'il existe λ et µ dans tels que
χA = Xn –2(X – λ)(X – µ).
Montrer que λ + µ = Tr(A) et λ² + µ² = Tr(A²).
1 0 ⋯ ⋯ 0 0 


1 0 ⋯ ⋯ 0 1 
⋮
⋮
b) La matrice A = 
 est-elle
⋮
⋮
1 0 ⋯ ⋯ 0 1 


1 0 ⋯ ⋯ 0 1 
diagonalisable ? Si oui la réduire.
Sinon est-elle trigonalisable dans Mn(IR) ? Si oui; trouver
P et T triangulaire supérieure telle que A = P T P–1 .
FB/ChAL4/14/15
On note P =
∏ (X − λ )
k
mk
et on suppose que P ∈
[X].
k =1
p
Soit q ∈ IN. Montrer que R =
∏ (X − λ )
q mk
k
est à
k =1
coefficients dans
.
CCP PC 2009
48. Soient A et B deux éléments de GLn( ) et
 0 B
M =
.
A 0
Montrer que
M est diagonalisable ⇔ A B est diagonalisable.
(On utilisera M²).
49. Soit 1 ≤ p < n entiers,
1 ⋯ 1
U 0 


U = ⋮
⋮  ∈ Mp(IR) et A = 
 ∈ Mn(IR).
 0 0
1 ⋯ 1


Éléments propres de A. A est-elle diagonalisable ?
 A A
50. Soit A une matrice carrée d'ordre n et M = 
.
 A A
a) Calculer si k ∈ IN*, Mk.
b) Si P est un polynôme, calculer P(M).
c) Si A est diagonalisable, montrer que la matrice M est
diagonalisable. Étudier la réciproque.
d) Exprimer le polynôme caractéristique de M en fonction
du polynôme caractéristique de A.
3
1 1
e) Étudier la réduction de la matrice B = 
.
1 1
En déduire, lorsque A est diagonalisable, la réduction de la
matrice M.
a b 
51. Soit A = 
 une matrice diagonalisable et non
c d 
 aM bM 
nulle et M ∈ Mn( ). On note B = 
.
 cM dM 
Montrer que B est diagonalisable ⇔ M est diagonalisable.
52. Soient A et B de Mn( ) diagonalisables.
On suppose que Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅.
I D
a) Soit D ∈ Mn( ). Déterminer l'inverse de  n
.
 0 In 
A 0
 A C
b) Montrer que les matrices 
 et 
 sont
 0 B
 0 B
semblables. Centrale PC 2009
53. Soit A = (ai,j)1 ≤ i , j≤n ∈ Mn( ).
a) Si λ ∈
vérifie ∀ i ∈ 1, n , |λ – aii| >
∑a
i j
1 0 ⋯ ⋯ 0 0 


1 0 ⋯ ⋯ 0 1 
⋮
⋮
b) La matrice A = 
 est-elle
⋮
⋮
1 0 ⋯ ⋯ 0 1 


1 0 ⋯ ⋯ 0 1 
diagonalisable ? Si oui la réduire.
Sinon est-elle trigonalisable dans Mn(IR) ?
Si oui; trouver P et T triangulaire supérieure telle que
A = P T P–1 .
56. Soit J = (ai,j)1 ≤ i , j ≤ n ∈ Mn( ), avec ai,i + 1 = 1 si 1 ≤ i ≤
n – 1 et an,1 = 1 et ai,j = 0 sinon.
Calculer J n. En déduire que J est diagonalisable et donner
les éléments propres de J.
En déduire le déterminant
∆n =
a0
an−1
an− 2
⋮
a2
a1
a1
a0
an−1
⋱
⋱
a2
a2 ⋯
a1 ⋱
⋱ ⋱
⋱ ⋱
⋱ an−1
⋯ an−2
an− 2
⋱
⋱
a1
a0
an−1
an−1
an−2
⋮
a2
a1
a0
.
,
1≤ j ≤ n
j ≠i
montrer que λ n'est pas valeur propre de A.
b) Si r ∈ IR ∗+ , on note D(a , r) = {z ∈ / |z – a| ≤ r }.
Si i ∈ 1, n , on note Li =
∑a
.
i j
1≤ j ≤ n
j ≠i
n
Montrer que Sp(A) ⊂ ∪ D(ai i , Li ) .
i =1
n
Montrer que l'on a aussi Sp(A) ⊂ ∪ D(ai i , Ci ) où
Ci =
∑a
i =1
ji
.
1≤ j ≤ n
j ≠i
c) Écrire un script Python permettrant de représenter le
domaine plan contenant le spectre d'une matrice complexe
d'ordre n.
L'appliquer aux matrices
0 2
0
2 
 0
 i




A =  3 − 4 2 et B =  3 −4
2 .


 −3 1 1 + 2i 
 − 3 1 1


54. Soit M ∈ Mn( ) et Q ∈ [X].
Établir que χQ(M) =
∏ (X − Q(λ))
m(λ)
.
λ∈Sp( M )
55. a) Soit A ∈ Mn( ) de rang 2.
Montrer qu'il existe λ et µ dans tels que
χA = Xn –2(X – λ)(X – µ).
Montrer que λ + µ = Tr(A) et λ² + µ² = Tr(A²).
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4
Indications
4.c) prendre g : P ֏ P' , imaginer f pour que g o f = Id.
5. Dans un - espace vectoriel de dimension n > 0, tout
endomorphisme admet au moins une valeur propre.
6.b) Utiliser Φ : l(E) → l(E), u ֏ u o g – g o u.
8.c) On rappelle que si A est une matrice de rang r, il
existe U et V inversibles telles que A = U Jr V.
44. On pourra démontrer qu'une matrice triangulaire est
nilpotente ssi les termes diagonaux sont nuls.
46.a) Calculer si i ≤ j, ϕ(Ei,j).
51. Utiliser A = P diag(α , β) P –1 pour montrer que B est
semblable à diag(α M , β M).
53.a) Par l'absurde, si A X = λ X avec X ≠ 0, introduire k
tel que |xk| = max xi .
1≤ i ≤ n
11. Si A = 3 I3 + B, quel est le rang de B ?
13. Montrer qu'il existe P ∈ [X] scindé à racines simples
tel que P(M²) = 0 et P(0) ≠ 0.
14. Montrer que M et N sont semblables.
15.b) Trouver A et B telles que B A soit diagonalisable et
pas A B (penser base canonique)
16. Pour trouver P vecteur propre associé à la valeur
propre k, on pourra demontrer qu'il existe α et β dans IN
tels que P = X α (X – 1) β Q
avec deg Q ≥ 0, Q(0) = Q(1) ≠ 0.
17. Comparer les polynômes caractéristiques de A et B.
18. À partir de X vecteur propre de A associé à la valeur
propre j et de X , former une base de M2,1(IR).
20. Distinguer les cas : χu a au moins une racine réelle et
χu sans racine réelle (dans ce cas le décomposer dans
IR[X]).
21. Introduire les endomorphismes u et v canoniquement
associés à A et M et une base b de vecteurs propres de u.
Caractériser v par sa matrice dans la base b.
24. Montrer que ∀ P ∈ [X], P(A) M = M P(B).
30. Déterminer Sp(fi) et montrer que n = 2 p en
déterminant les ordres de multiplicités des valeurs propres
de fi .
31. Trouver la CN A3 = I2 .
Distinguer selon les cas 1 ∈ Sp(A) et 1 ∉ Sp(A).
34. Si X est solution, montrer qu'il existe P inversible telle
que P –1 X P et P –1 A P soient diagonales.
35. Montrer que # Sp(A) = n.
36.b) Trouver un polynôme annulateur de ϕ.
c) Utiliser une base où la matrice de s est diagonale et
raisonner avec des matrices blocs.
38. Si X ∈ Ker u où u : X ֏ A X – X B, montrer que
∀ k ∈ IN, A Xk = Xk B.
41. Lorsque u n'est pas diagonalisable, montrer que
dim Ker(u – β Id)² = 2 et
IK3 = Ker(u – β Id)² ⊕ Ker(u – α Id).
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