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TD S13 – Filtrage analogique linéaire
D.Malka – MPSI 2013-2014 – Lycée Saint-Exupéry
S1 – Mesure de pH
C1=100 nF
Un pH-mètre est composé d’une électrode de verre qui délivre un signal électrique fonction affine du pH :
V = A + B.pH
où A et B sont des constantes ajustées par étalonnage du pH-mètre.
Du fait de la proximité de dispositifs d’agitation, un signal sinusoïdal de fréquence égale à 4 Hz se superpose au signal utile. On utilise donc un filtre passe-bas
en vue d’atténuer l’ondulation parasite, sa fonction de transfert est de la forme :
H=
AC
Vers
ampli Y1
Entrée Y1
DC
V1
GND
R=1 MΩ
C2
=
16 pF
H0
1 + jωτ
1. Quelle valeur de H0 choisir si l’on ne veut pas modifier la tension utile par
le filtrage, lorsque la solution présente un pH constant ?
2. Quelle valeur de constante de temps permet d’atténuer l’oscillation parasite
d’un facteur 10 ? d’un facteur 100 ?
3. Le pH de la solution varie lentement dans le temps avec un temps caractéristique de variation T . Quel est l’inconvénient d’utiliser une constante de
temps trop élevé ?
S2 – Couplage AC d’un oscilloscope
Sur un oscilloscope, on peut choisir un mode de couplage qui permet de sélectionner la partie alternative du signal mesuré. Un filtre analogique est alors
intercalé entre l’entrée et les étages de traitement suivants (fig.1). Ce filtre a pour
vocation d’éliminer la valeur moyenne du signal.
La fonction de transfert en couplage AC s’écrit :
Figure 1 – Couplage AC, DC ou GND
H0
H=
1−j
1
R(C1 + C2 )ω
1. Montrer que le couplage AC introduit un filtrage passe-haut.
2. Déterminer la valeur de la fréquence de coupure du filtre.
3. La couplage AC a pour fonction de supprimer la composante continue du
signal d’entrée et de ne transmettre donc que la composante alternative.
On considère le signal d’entrée suivant :
e(t) = e0 + E cos(ωt)
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TD S13 – Filtrage analogique linéaire
3.1 Pour f = 1 kHz, le couplage AC remplit-il correctement sa fonction ?
10
3.2 Pour f = 3 Hz, le couplage AC remplit-il correctement sa fonction ?
S3 – Pseudo-intégrateur
0
On considère le filtre pseudo-intégrateur fig.2 dont on donne les diagrammes
de Bode en gain fig.3 et en phase fig.4.
G (dB)
10
R0
20
C
R
40 0
10
+
e
30
s
101
102
f (Hz)
103
104
Figure 3 – Diagramme de Bode en gain
S4 – Antenne réceptrice AM
Figure 2 – Filtre pseudo-intégrateur
1. Quelle est la nature de ce filtre ?
2. Déterminer sa fréquence de coupure à −3dB.
3. Montrer qu’à haute fréquence (terme que l’on précisera) ce filtre se comporte
comme un intégrateur.
4. Effet du filtre sur quelques signaux.
4.1 Représenter le signal de sortie pour l’entrée :
e1 (t) = E1 cos(2πf t) + E0 avec E0 = 5, V, E1 = 10, V, f = 2 kHz
4.2 Représenter le signal de sortie pour l’entrée u(t) représentée fig.5. On
exploitera le caractère intégrateur à haute fréquence du filtre.
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Les signaux des radios commerciales en grande onde (GO) à modulation d’amplitude (AM) ont des fréquences centrales f0 comprises entre 150 kHz et 300 kHz.
On donne quelques fréquences d’émission fig.6.
Les canaux d’émissions ont une largeur δf = 4, 5 kHz (la plage de fréquences
de la voix étant de l’ordre de [20Hz, 5kHz]).
L’association d’une antenne réceptrice et de l’étage d’entrée d’un récepteur
est représenté fig7. Le circuit RLC est un filtre qui doit sélectionner le signal utile
parmi tous les signaux reçus par l’antenne. Le signal de sortie est noté s(t). La
bobine est caractérisée par son inductance L = 5 mH.
1. Représenter le diagramme de Bode en gain du filtre idéal qui réaliserait la
sélection fréquentielle.
2. Pourquoi le filtre RLC est-il adapté à la situation ?
3. Déterminer les valeurs de R et C qui conviennent à la sélection de la plage de
1
fréquence [f0 − δf, f0 + δf ] avec f0 = 162 kHz. On rappelle que ω0 = √
LC
2
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10
3.0
2.5
u(t)
phi (rad)
5
2.0
1.5
100
0
5
101
102
f (Hz)
103
104
Figure 4 – Diagramme de Bode en phase
r
1 L
et Q =
.
R C
4. On donne le diagramme de Bode en gain du circuit RLC pour f0 = 162 kHz
(fig.8 et 9). Déterminer le gain du filtre pour les fréquences f0 , f0 + δf et
f1 = 181 Khz (Europe 1). Commenter.
10
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
t(s)
0.00020
0.00025
0.00030
Figure 5 – Signal carré
2. A l’aide d’un grapheur, par exemple la bibliothèque matplotlib.pyplot
sous Python, représenter le diagramme de Bode en gain du filtre (pour
ω0 = 314 rad.s−1 ).
3. Justifier l’appellation « réjecteur de bande ».
4. Que vaut le gain pour ω = ω0 ?
S5 – Filtre réjecteur de bande
5. On donne une réalisation passive d’un tel filtre fig.10. Vérifier que le filtre
réalise bien sa fonction à haute fréquence et à basse fréquence.
Pour supprimer un signal parasite dont la pulsation ω0 est connue, on envisage
l’utilisation d’un filtre appelé réjecteur de bande de fonction de transfert :
6. On donne le spectre en fréquence du signal d’entrée fig.11. Représenter le
spectre en fréquence du signal de sortie.
H=
1 − x2
1 + 4jx − x2
ω
ω0
1. Quel est l’ordre de ce filtre ?
avec x =
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Fréquence
162 kHz
171 kHz
181 kHz
Emetteur
France Inter
Médi 1
Europe 1
Pays
France
Maroc
ALlemagne
D.Malka
Lieu
Allouis
Nador
Felsberg
Antenne
350m de haut
350m de haut
280m de haut
TD S13 – Filtrage analogique linéaire
Puissance
2000 kW
2000 kW
2000 kW
Figure 6 – Caractéristiques d’émission de quelques radios commerciales
10
0
G (dB)
10
20
30
40
50
60
R
L
C
104
105
f
106
107
Figure 8 – Filtrage du récepteur AM
Figure 7 – Antenne radio
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1.0
0.8
H
0.6
0.4
10
0.2
8
140000
150000
160000
f
170000
180000
190000
Figure 9 – Filtrage du récepteur AM (zoom)
Amplitude
0.0
130000
6
4
2
A
R
ie
R
is=0
B
C
Ue
R/2
50
100
f(Hz)
150
200
Figure 11 – Spectre du signal à l’entrée du réjecteur de bande
C
2C
00
Us
Figure 10 – Filtre réjecteur de bande
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