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DS3 Physique PC
Ce problème SANS CALCULATRICE est consacré aux phénomènes de transport
diffusif, il comporte trois volets :
• Echanges thermiques au niveau du fuselage d'un avion en vol,
• Dopage d'un semi-conducteur,
• Diffusion d'un colorant dans un fluide
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
•
les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les
développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité
ne seront pas comptabilisés ;
•
tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d’aider à la
compréhension du problème ;
•
tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il n’a pas été
démontré par le(la) candidat(e).
PREMIERE PARTIE
ÉCHANGES THERMIQUES DU FUSELAGE D’UN AVION
A1.
Donner une définition du phénomène de conduction thermique et un exemple d'application
pratique. Rappeler la loi de Fourier, liant des grandeurs physiques à définir avec précision et
préciser leurs unités dans le système international.
A2.
Proposer une définition du phénomène de convection thermique. Préciser la distinction faite
entre convection naturelle et convection forcée ; donner un exemple de chaque.
Le fuselage d'un avion, assimilé à un cylindre de rayon intérieur RINT, d'épaisseur e et de
longueur L, est constitué d'un matériau de conductivité thermique λC. Seule la surface latérale de ce
cylindre sera prise en compte (la longueur L, grande devant R INT , permet de négliger l'influence des
extrémités). L’étude est faite en coordonnées cylindriques dont l’axe est confondu à l’axe de révolution
du cylindre. Le rayon extérieur du fuselage est noté REXT (soit REXT = RINT + e ).
e
RINT
Figure 1
L
Tournez la page S.V.P.
Dans l’avion, l’air intérieur est immobile. La conducto-convection au niveau de la face
intérieure du fuselage est négligée ; ainsi la température de la face interne du fuselage et celle de l’air
intérieur sont identiques, de valeur notée TINT .
A l’extérieur de l’avion qui se déplace à la vitesse v, l’air situé au contact du fuselage est à la
température TA . La température de la face externe du fuselage est notée T EXT et h est le coefficient de
conducto-convection à cette interface.
La température moyenne de l’atmosphère, compte tenu des couches situées à grande
distance de l’avion, est notée TMA.
Le fuselage constitue ainsi une zone de transfert thermique entre l’air intérieur et l’air
extérieur ; dans l’épaisseur du fuselage, supposons pour simplifier que la température ne dépende
que de la distance r à l’axe.
L’étude qui suit a pour objectif de déterminer le flux thermique traversant le fuselage, en
régime permanent.
Intéressons-nous dans un premier temps à la conduction thermique dans l’épaisseur du
fuselage. Soit ⃗j ( r ) la densité de courant de chaleur qui y règne.
A3.
⃗j ( r )= K e⃗ r
r
Montrer que cette densité de courant de chaleur s'écrit :
, où K est une constante.
A4.
En déduire la loi de variation de la température T(r) en fonction de RINT, REXT, TINT, TEXT et r.
A5.
Exprimer la puissance thermique totale Φ traversant le fuselage de l'intérieur vers l'extérieur,
en fonction de RINT, REXT, L, TINT, TEXT et λC.
La face externe du fuselage échange aussi de la chaleur selon plusieurs formes de
rayonnement.
L’une d’entre elles, due au soleil, est caractérisée par un apport de puissance φS par unité de
surface orthogonale aux rayons solaires, mais dont une partie est réfléchie par la peinture (blanche)
du fuselage ; seule la fraction ε φS est finalement absorbée par l’avion. Le bilan de puissance solaire
reçue par l’avion s’exprime alors ainsi : P solaire = 2 REXT L ε φ S .
A6.
Justifier cette expression.
Admettons que tout élément de surface du fuselage reçoive de l'atmosphère de température
4
moyenne TMA la puissance surfacique σ TMA et émette par ailleurs un rayonnement associé à sa
4
température TEXT , de puissance surfacique σ TEXT , σ
A7.
étant une constante.
Établir l’expression littérale de P R, traduisant le bilan radiatif global de puissance reçue par le
fuselage, lié à toutes les formes de rayonnement.
L’ensemble des phénomènes décrits précédemment permet d’établir le bilan thermique global
de la face externe du fuselage.
A8.
Écrire l’équation traduisant le bilan thermique de la face extérieure du fuselage, en régime
permanent, prenant en compte tous les phénomènes physiques présents : conduction,
conducto-convection et rayonnement.
Pour un Airbus A340 en vol de croisière, les valeurs numériques sont les suivantes :
L = 60 m , RINT = 5,3 m , e = 0,3 m , λ C = 0,03 SI , TINT = 293 K , TA = 220 K , TMA = 290 K ,
h = 20 SI , φ S = 700 W.m− 2 , ε = 0,25 .
La résolution de l’équation de la question précédente donne TEXT = 234 K . Dans la suite de
cet exercice nous allons étudier la résolution numérique de cette équation dans le langage Python. On
définit la fonction bilan qui donne l'expression du bilan thermique et radiatif au niveau de la surface
extérieure du fuselage en fonction de TEXT:
from math import *
def bilan(Text):
L=60
Rint=5.3
Rext=5.6
lambda_c=0.03
Tint=293
Ta=220
Tma=290
h=20
phis=700
epsilon=0.25
sigma=5.67e-8
phi=2*pi*L*lambda_c*(Tint-Text)/(log(Rext/Rint))
Psol=2*Rext*L*phis*epsilon
Patm=2*pi*Rext*L*sigma*Tma**4
Prayonne=2*pi*Rext*L*sigma*Text**4
phicond=h*(Text-Ta)*2*pi*Rext*L
return phi+Psol+Patm-Prayonne-phicond
On trace la fonction bilan sur l'intervalle [200K,300K] :
Afin de déterminer la valeur de TEXT correspondant au régime stationnaire à 1K près, on cherchela
condition d'annulation de la fonction bilan.
Une première méthode consiste à utiliser des données de type 'list' de la manière suivante :
•
créer une liste numérique de valeurs de TEXT et une liste numérique de valeurs de bilan(TEXT)
•
vérifier que la liste numérique donnée par bilan(TEXT) est monotone
•
Calculer la valeur de TEXT correspondant à une annulation de la fonction bilan
A9.
Définir en langage Python une fonction creer_liste_num_xy(fonction,debut,fin,nombre) qui
prend comme arguments
• une fonction mathématique (fonction d'une variable « de type f(x) »)
• début et fin qui délimitent l'intervalle d'étude dans lequelles on calcule des valeurs de la
•
fonction mathématique
le nombre de valeurs calculées.
La fonction creer_liste_num_xy renvoie deux listes : valeurs_x et valeurs_y
A10.
Définir en langage Python une fonction est_monotone(liste_num) qui renvoie True si la liste
forme une suite numérique monotone et False sinon.
A11.
Définir en langage Python une fonction zero(fonction,debut,fin,nombre)
qui prend comme
arguments une fonction mathématique d'une variable, un intervalle d'étude et un nombre de
valeurs calculées. La fonction zero tranforme la fonction mathématique en données de type
'list' en utilisant les fonctions définies dans les questions précédentes. La fonction zero renvoie
la valeur de x pour laquelle fonction(x) est monotone et s'annule sur l'intervalle étudié. Elle
renvoie des messages spécifiques en l'absence de monotonie et en l'absence d'annulation de
la fonction étudiée.
A12.
Comment appeler la fonction zero afin de déterminer la température TEXT à 1 degré près ?
Une deuxième méthode permet de déterminer l'annulation d'une fonction monotone sans
passer par des données de type 'list'. La fonction zero2 est définie de la manière suite :
def zero2(fonction,debut,fin,precision):
assert fonction(debut)*fonction(fin)<=0 and precision>0
gauche,droite=debut,fin
fonction_gauche,fonction_droite=fonction(gauche),fonction(droite)
while droite-gauche>2*precision:
milieu=(droite+gauche)/2
fonction_milieu=fonction(milieu)
if fonction_gauche*fonction_milieu<=0:
droite,fonction_droite=milieu,fonction_milieu
else:
gauche,fonction_gauche=milieu,fonction_milieu
return (droite+gauche)/2
A13.
Expliquer le fonctionnement de l'algorithme mis en œuvre dans la fonction zero2. Quelle type
de recherche est développée dans cet algorithme ?
5
DEUXIEME PARTIE
DOPAGE D'UN SEMI-CONDUCTEUR
Au sein d’un milieu homogène, considérons un ensemble de particules dont la
concentration n’est pas uniforme. Ces particules peuvent être des molécules, des atomes ou des
ions, des défauts ponctuels, des électrons libres, etc … Dans l’hypothèse d’une diffusion
unidirectionnelle, leur densité (ou concentration) particulaire n(x,t) dépend de leur position le long
de la direction Ox.
En 1885, dans le cadre de ses travaux sur les mélanges de gaz et de liquides, Adolf Fick
proposa la loi phénoménologique de diffusion. Cette loi introduit le coefficient de diffusion (ou
diffusivité) D et relie le vecteur densité volumique de particules ⃗
j D ( r ) au gradient de
concentration particulaire n.
B1.
Rappeler la loi de Fick ; expliquer le caractère « phénoménologique » de cette loi. Justifier
l’existence d’un flux de particules et son orientation relative vis à vis du gradient de
concentration.
La loi de Fick ne faisant apparaître que les variations spatiales de la concentration
particulaire à un instant t, il convient de la compléter par une équation de bilan lorsque le flux de
particules varie au cours du temps. Considérons un cylindre infiniment long, de section S
constante, parallèle à la direction Ox de la diffusion.
B2.
Effectuer un bilan de matière sur un volume élémentaire de section S et d’épaisseur dx
pour établir une relation traduisant la conservation du nombre de particules. En déduire
l’équation de la diffusion :
∂n
∂ 2n
= D 2 .
∂t
∂x
B3.
Par une analyse dimensionnelle, établir une relation qualitative exprimant la longueur
caractéristique L du phénomène de diffusion en fonction de l’ordre de grandeur τ de sa
durée et du coefficient de diffusion D.
B4.
Réécrire l’équation de la diffusion dans le cas où le coefficient de diffusion varie avec la
concentration de l’espèce diffusante. Proposer un mode de résolution de cette équation.
En réalité, l’écoulement des particules dans une direction donnée peut avoir deux origines :
l’une est la conduction induite par le gradient de concentration, l’autre est la convection provoquée
par l’action d’une force extérieure (dite force de transport) qui déplace les particules avec une
vitesse moyenne v constante.
B5.
Exprimer simplement le vecteur densité volumique de particules ⃗
j T pour la seule
convection en fonction de v et n(x,t). (On pourra s'appuyer sur une analyse dimensionnelle
et/ou un bilan de particules) Compléter la loi de Fick pour obtenir une nouvelle équation de
la diffusion dans le cas particulier où D et v sont indépendants de la densité de particules.
Pour illustrer la diffusion, considérons la situation expérimentale du dopage d’un semiconducteur d’arséniure de gallium (AsGa) avec du silicium. A l’instant t = 0 , N0 atomes de silicium
par unité de volume sont brusquement introduits en x = 0 , à la surface d’une plaquette d’AsGa
considérée comme un milieu semi-infini. L’analyse du régime instationnaire montre que le nombre
d’atomes de silicium N(x,t) par unité de volume à l’abscisse x et à l’instant t s’écrit :
N(x,t) =
K
t
 ax 2 
÷.
t 

exp  −
Tournez la page S.V.P.
6
B6.
Etablir la relation entre a et D, pour que la répartition d’atomes N(x,t) soit solution de
l’équation de diffusion établie en question B2. Traduire la conservation du nombre
x
d’atomes introduits et, par le changement de variable u =
se référant aux
2 Dt
compléments mathématiques en fin d’épreuve, déterminer la valeur de K en fonction de N0
et D.
Le schéma ci-dessous (Figure 1) traduit le résultat du dopage de la plaquette d’AsGa :
l’évolution de la distribution des atomes de silicium est tracée en fonction de l’abscisse x, à
différents instants.
N(x,t) en 1021 atomes/m3
8
t = 1h
7
6
t = 2h
5
4
t = 6h
3
2
t = 20 h
1
0
Figure 1
0
0,5
x (µm)
1,0
1,5
2,0
B7.
Analyser la forme des courbes obtenues. Que vaut l’aire sous chacune de ces courbes ?
Déterminer, à un instant t donné (en adoptant par exemple t = 1 h ), la profondeur
d’implantation L des atomes de silicium correspondant à une concentration moitié de la
concentration injectée en x = 0 (il s’agit de la demi-largeur à mi-hauteur).
B8.
Proposer un mode de détermination du coefficient de diffusion D du silicium dans AsGa.
Estimer l’ordre de grandeur du coefficient de diffusion D.
TROIXIEME PARTIE
DIFFUSION DES MOLECULES D’UN COLORANT
Etudions la diffusion de molécules de colorant entre deux solutions aqueuses qui, à
l’instant initial, ne possèdent pas la même concentration volumique. Une cuve d’épaisseur d et de
grandes dimensions dans les deux autres orientations, est constituée de deux bacs de même
volume remplis d’une solution contenant des molécules d’un même colorant et séparés par une
mince cloison située en z = 0 . De part et d’autre de ce plan de séparation, les concentrations
sont uniformes et valent respectivement C1 pour z < 0 et C2 < C1 pour z > 0 . (Figure 2)
A l’instant t = 0 , la cloison est brusquement retirée et les
àt= 0
molécules diffusent, conduisant à une concentration C(z,t) en un
point de cote z et à l’instant t. Très loin du plan z = 0 , et pour des
temps élevés, les concentrations conservent leurs valeurs initiales :
C1
C( − ∞ ,t) = C1 et C( + ∞ ,t) = C2 .
L’équation de la diffusion, étudiée dans la partie précédente, O
admet ici pour solution la fonction d’erreur (détaillée en fin de
u
2
z
C2
exp( − s 2 ) ds , avec u =
problème) : erf(u) =
.
∫
0
2 Dt
π
Figure 2
D est le coefficient de diffusion des molécules de colorant dans la z
d
solution ; il est supposé indépendant de la concentration.
z= 0
7
C1.
Comparer la variation d’énergie potentielle d’une molécule de colorant, de masse molaire
MC, lors de son déplacement dans le champ de la pesanteur de l’ordre de la hauteur h de la cuve,
à l’énergie d’agitation thermique kBT de cette molécule.
En tirer la conclusion utile pour la suite du problème, en utilisant les données suivantes :
MC = 100 g.mol− 1 , h = 10 cm , g ≅ 10 m.s − 2 , N A = 6.10 23 mol− 1 , k B = 1,33.10 − 23 J.K − 1 et
T = 300 K .
C2.
Présumer, sans effectuer de calcul, de la concentration attendue à l’interface des deux
bacs, lorsque le phénomène de diffusion est achevé.
Par continuité en z = 0 , la concentration dans chaque domaine peut être décrite par une
expression du type C (z, t ) = A erf (u ) + B , A et B étant des constantes.
C3.
Déterminer les constantes A et B à partir des conditions aux limites, puis écrire la loi de
répartition de concentration C(z, t) .
C4.
Tracer l’allure du profil de concentration C(z, t) à trois instants successifs : t = 0 , t1 puis
t 2 > t1 . Commenter ces tracés.
Détermination expérimentale du coefficient de diffusion
L’indice de réfraction n d’une solution est, en première approximation, une fonction affine
de la concentration du colorant en solution et peut s’écrire : n ( z,t ) =n0 +αC ( z,t ) , n0 et α étant des
constantes positives.
C5.
Exprimer la constante α en fonction des indices n1, n2 et des concentrations C1, C2 des
deux solutions, sachant qu’à la limite n(C = C1 ) = n1 et n(C = C2 ) = n2 .
C6.
grad n associé aux variations de l’indice n dans la cuve,
Déterminer le gradient d’indice ⃗
puis sa composante sur l’axe Oz en fonction de n1, n2, D, z et t. En quelle position cette
composante est-elle maximale ? Donner sa valeur correspondante.
C7.
Représenter l’allure de cette fonction à trois instants successifs : t = 0 , t1 puis t 2 > t1 .
Commenter ces tracés.
Un faisceau laser est élargi grâce à une lentille cylindrique inclinée à 45° par rapport à la
verticale pour former une nappe laser allongée (Figure 3a). Ces rayons lumineux sont envoyés
perpendiculairement à une face de la cuve de façon que différentes hauteurs dans la solution
soient traversées par les rayons le long d’une diagonale de la face d’entrée. Cette diagonale est
inclinée à 45° par rapport au plan horizontal.
Un écran, parallèle à la cuve, récupère les impacts des rayons après traversée de la cuve.
Selon l’optique des milieux inhomogènes, les rayons lumineux sont déviés dans la cuve et suivent
une trajectoire courbe, le rayon de courbure R s’exprimant comme :
1
R
≅
1 ∂ n(z,t)
n
∂ z
.
Lors de sa traversée dans la solution (Figure 3b), le rayon lumineux est donc dévié d’un
angle α tel que :
α ≈ tanα ≈ d R .
Tournez la page S.V.P.
8
•
Figure 3a
cuve
écran
C1
x
faisceau
laser
y’
C2
lentille
cylindrique
z
y
z'
d << R
C1
H
R
β
α
faisceau
laser
α
x
z= 0
O
L
cuve
z
C8.
C2
écran
Figure 3b
z'
Préciser pour quelle valeur de z se réalise la déviation maximale du rayon lumineux sur
l’écran.
Le rayon lumineux subit une déviation à la traversée de la paroi de sortie de la cuve dont
l’épaisseur en verre est négligeable. Le rayon émerge de la cuve pour passer dans l’air (d’indice
optique na = 1 ) avec un angle de réfraction β .
C9.
Réaliser un schéma illustrant la trajectoire du rayon lumineux à la traversée de la paroi de
la cuve en verre d’épaisseur supposée nulle ; faire apparaître les angles α et β, puis
évaluer l’angle β en sortie de cuve.
∂ n(z, t)
En déduire la déflexion verticale globale H du rayon en fonction de d, L et
.
∂z
(utiliser pour cela l’approximation aux petits angles)
C10.
Exprimer la déflexion verticale maximale Hmax observée sur l’écran en fonction de D, L, d,
n1, n2 et du temps t.
Préconiser, en décrivant l’expérimentation et en représentant l’aspect de l’écran, une
méthode de détermination du coefficient de diffusion D.
9
Pour son TIPE un étudiant réalise l'expérience précédente avec L=1m, d=3cm, n1=1,363,
1
n2=1,333. Il trace avec le logiciel Regressi |Hmax| en fonction le √ t (noté invsqrtt dans le logiciel
et exprimée en SI). Le graphique et les résultats de la modélisation sont présentés dans l'annexe
1. A l'aide de ce logiciel il détermine la valeur de D.
C11.
Expliquer en quoi le coefficient de corrélation n'est pas un outil adapté pour juger de la
validité d'un modèle linéaire. Comment peut-on faire pour justifier la linéarité entre les deux
grandeurs représentées sur le graphique ? En déduire un ordre de grandeur de la valeur
de D.
Afin d'améliorer son analyse, l'étudiant utilise ensuite le logiciel GUM_MC, logiciel de calcul
d'incertitudes composées. Il estime les incertitudes associées aux différents paramètres
expérimentaux ainsi que la relation qui permet le calcul de D. Le calcul effectué par le logiciel
permet alors d'obtenir différentes informations présentées par le logiciel dans une page de
synthèse disponible en annexe 2.
C12.
En une synthèse de quelques lignes, analyser les informations apportées par le logiciel.
FIN DE L’EPREUVE
Tournez la page S.V.P.
10
Annexe 1 : Fichier Regressi pour la détermination du coefficient de diffusion.
11
Annexe 2 : Fichier GUM_MC pour la détermination du coefficient de diffusion.
Tournez la page S.V.P.
12
COMPLEMENTS MATHEMATIQUES
•
•
Définition de la fonction erreur (error function) :
erf ( x ) =
2
π
x
∫ exp ( − s ) ds
2
0
Propriétés de erf(x) :
erf ( x ) = − erf ( − x )
erf ( 0 ) = 0
2
erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) =
π
∞
∫ exp ( − s ) ds
2
x
d
2
 erf ( x )  =
exp − x 2
dx
π
(
•
Représentation de la fonction erreur :
•
Intégrale d’Euler :
∞
)
∫ exp ( − s ) ds =
2
0
π
2
erf ( ± ∞ ) = ± 1